2020-2021学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2020-2021学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0 C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x02≥02．（5分）复数z满足（1+i）•z＝﹣1+i，其中i为虚数单位，则复数z＝（）A．1+i B．1﹣i C．i D．﹣i3．（5分）已知1，a1，a2，3成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．4．（5分）设实数x、y满足，则z＝2x+y的最小值为（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．105．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）右顶点与抛物线y2＝8x焦点重合且离心率e＝，则该双曲线方程为（）A． B． C． D．6．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax+4，则“a＞0”是“f（x）在R上单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件7．（5分）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律．其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”．现恰有30人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂（即1520），其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（）A．32 B．33 C．34 D．358．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）关于直线y＝﹣x的对称点Q在该双曲线上，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）下列选项中正确的是（）A．不等式恒成立 B．存在实数a，使得不等式成立 C．若a、b为正实数，则 D．若正实数x，y满足x+2y＝1，则（多选）10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是1，下列结论正确的有（）A．直线BC与平面ABC1D1所成的角为 B．C到平面ABC1D1距离为长 C．两条异面直线CD1和BC1所成的角为 D．三棱锥D1﹣DAB中三个侧面与底面均为直角三角形（多选）11．（5分）已知数列是首项为1，公差为d的等差数列，则下列判断正确的是（）A．a1＝3 B．若d＝1，则 C．a2可能为6 D．a1，a2，a3可能成等差数列（多选）12．（5分）已知P是左、右焦点分别为F1，F2的椭圆＝1上的动点，M（0，2），下列说法正确的有（）A．|PF1|+|PF2|＝4 B．|PF1|﹣|PF2|的最大值为2 C．存在点P，使∠F1PF2＝120° D．|MP|的最大值为2+三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数f（x）＝lnx在点（1，0）处的切线方程为．14．（5分）复数z＝（12+4a﹣a2）﹣（8a﹣16）i在复平面上对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为．15．（5分）在数列{an}中，a1＝2，an+1＝2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn＝126，则n＝．16．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，A是双曲线上一点，且AF2⊥x轴，若△AF1F2的内切圆半径为，则其渐近线方程是．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①S3＝12，②2a2﹣a1＝6，③a8＝16，这三个条件中任选一个，补充在下面试题的空格处中并作答．已知{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，若____，且a1、a2、a4成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}是各项均为正数的等比数列，且b2＝a1，b4＝a4，求数列{an+bn}的前n项和Tn．18．（12分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的顶点为O，准线方程为．（1）求抛物线方程；（2）若过点D（1，1）的直线1交抛物线于A，B两点，且D为AB的中点求直线l的方程；（3）过点（1，0）且斜率为1的直线与抛物线交于P，Q两点，求△OPQ的面积．19．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝60°，FC⊥平面ABCD，四边形ACFE为矩形，点M为线段EF的中点，且AD＝CD＝BC＝1，．（1）求证：平面BCM⊥平面AMC；（2）求平面MAB与平面FCB所成锐二面角的余弦值．20．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn+1﹣2Sn＝1，n∈N*．（Ⅰ）证明：{Sn+1}为等比数列，求出{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn＝，求{bn}的前n项和Tn，并判断是否存在正整数n使得Tn•2n﹣1＝n+50成立？若存在求出所有n值；若不存在说明理由．21．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个焦点为，且该椭圆经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，试问在x轴上是否存在定点Q使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标：若不存在，说明理由．22．（12分）已知函数f（x）＝xlnx﹣ax2（a∈R）在定义域内有两个不同的极值点．（Ⅰ）求实数a的取值范围；（Ⅱ）记两个极值点为x1，x2，且x1＜x2，求证：x1•x2＞1．

2020-2021学年广东省深圳市龙岗区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、单项选择题：本大题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．（5分）命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定是（）A．∀x∈R，|x|+x2＜0 B．∀x∈R，|x|+x2≤0 C．∃x0∈R，|x0|+x02＜0 D．∃x0∈R，|x0|+x02≥0【分析】根据全称命题的否定是特称命题即可得到结论．【解答】解：根据全称命题的否定是特称命题，则命题“∀x∈R，|x|+x2≥0”的否定∃x0∈R，|x0|+x02＜0，故选：C．【点评】本题主要考查含有量词的命题的否定，比较基础．2．（5分）复数z满足（1+i）•z＝﹣1+i，其中i为虚数单位，则复数z＝（）A．1+i B．1﹣i C．i D．﹣i【分析】根据复数的基本运算进行化简即可．【解答】解：由（1+i）•z＝﹣1+i得z＝＝＝＝i，故选：C．【点评】本题主要考查复数的基本运算，利用复数的运算法则是解决本题的关键，是基础题．3．（5分）已知1，a1，a2，3成等差数列，1，b1，b2，b3，4成等比数列，则的值为（）A．2 B．﹣2 C．±2 D．【分析】利用等差数列以及等比数列的通项公式以及性质，转化求解即可．【解答】解：1，a1，a2，3成等差数列，可得a1+a2＝4，1，b1，b2，b3，4成等比数列，可得b22＝4，1，b2，4同号，所以b2＝2，∴＝2，故选：A．【点评】本题主要考查数列性质与思维的严谨性．是基本知识的考查．4．（5分）设实数x、y满足，则z＝2x+y的最小值为（）A．﹣8 B．﹣6 C．6 D．10【分析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求最小值．【解答】解：由已知得到可行域如图：目标函数必须为y＝﹣2x+z，当此直线经过图中C（﹣2，﹣2）时z最小，为﹣2×2＝﹣6；故选：B．【点评】本题考查了简单线性规划问题；首先正确画出可行域，然后利用目标函数的几何意义求最值．5．（5分）已知双曲线（a＞0，b＞0）右顶点与抛物线y2＝8x焦点重合且离心率e＝，则该双曲线方程为（）A． B． C． D．【分析】求出抛物线的焦点坐标，得到双曲线的实半轴的长，利用双曲线的离心率转化求解双曲线方程即可．【解答】解：抛物线y2＝8x焦点（2，0），可得双曲线的实半轴的长a＝2，双曲线（a＞0，b＞0）的离心率e＝，可得c＝3，则b＝，所以双曲线方程为：．故选：A．【点评】本题考查抛物线的简单性质以及双曲线的简单性质的应用，考查计算能力．6．（5分）已知函数f（x）＝x3+ax+4，则“a＞0”是“f（x）在R上单调递增”的（）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】利用函数单调性和导数之间的关系求出a的取值范围结合充分条件和必要条件的定义进行判断．【解答】解：若f（x）在R上单调递增，则函数的f（x）的导数f′（x）＝x2+a≥0恒成立，即a≥0，∴“a＞0”是“f（x）在R上单调递增”的充分不必要条件，故选：A．【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，根据函数单调性和导数之间的关系是解决本题的关键．7．（5分）《周髀算经》是中国最古老的天文学和数学著作，它揭示日月星辰的运行规律．其记载“阴阳之数，日月之法，十九岁为一章，四章为一部，部七十六岁，二十部为一遂，遂千百五二十岁”．现恰有30人，他们的年龄（都为正整数）之和恰好为一遂（即1520），其中年长者年龄介于90至100，其余29人的年龄依次相差一岁，则最年轻者的年龄为（）A．32 B．33 C．34 D．35【分析】由题设建立实际问题与数列之间的对应关系，根据其呈现的特点，即可求出结果．【解答】解：根据题意可知，这30个人年龄之和为1520，设年纪最小者年龄为n，年纪最大者为m，m∈[90，100]，则有n+（n+1）+（n+2）+…+（n+28）+m＝29n+406+m＝1520，即有：29n+m＝1114，则m＝1114﹣29n，∴90≤1114﹣29n≤100，解得：34.966≤n≤35.31，因为年龄为整数，所以n＝35，故选：D．【点评】本题主要考查数列的实际应用，合理建立实际问题与数列之间的联系是解题的关键，本题属于基础题．8．（5分）双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的左焦点F（﹣c，0）关于直线y＝﹣x的对称点Q在该双曲线上，则双曲线的离心率为（）A． B． C． D．【分析】设左焦点的对称点Q的坐标，由对称点之间的关系求出Q的坐标，代入双曲线的方程可得a，c的关系，进而求出离心率．【解答】解：设左焦点关于bx+ay＝0的对称点为Q（x，y），由题意可得，解得：x＝，y＝，即Q（，），而Q在双曲线上，＝1，整理可得（c2﹣2a2）2﹣4a4﹣a2c2＝0，即c4＝5a2c2，整理可得：c2＝5a2，所以离心率e＝＝，故选：B．【点评】本题考查双曲线的性质及对称点的求法，属于中档题．二、多项选择题：本题共4小题，每小题满分20分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求．全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分．（多选）9．（5分）下列选项中正确的是（）A．不等式恒成立 B．存在实数a，使得不等式成立 C．若a、b为正实数，则 D．若正实数x，y满足x+2y＝1，则【分析】直接利用不等式的性质和基本不等式的应用判断A、B、C、D的结论．【解答】解：对于A：当a≥0和b≥0时，不等式，当且仅当a＝b时等号成立恒成立，故A错误；对于B：存在实数a＝1，使得不等式成立，故B正确；对于C：若a、b为正实数，则，当且仅当时，等号成立，故C正确；对于D：若正实数x，y满足x+2y＝1，则＝+4≥2+4＝8，当且仅当，即x＝时等号成立，故D正确．故选：BCD．【点评】本题考查的知识要点：不等式的性质，基本不等式的应用，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题．（多选）10．（5分）如图，正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长是1，下列结论正确的有（）A．直线BC与平面ABC1D1所成的角为 B．C到平面ABC1D1距离为长 C．两条异面直线CD1和BC1所成的角为 D．三棱锥D1﹣DAB中三个侧面与底面均为直角三角形【分析】连接B1C，BC1，设B1C∩BC1＝O，则CO⊥BC1，证明CO⊥平面ABC1D1，即可求得直线BC与平面ABC1D1所成的角及C到平面ABC1D1距离，从而判断A，B；找出两条异面直线CD1和BC1所成的角并求大小判断C；由正方体的结构特征判断D．【解答】解：如图，在正方体ABCD﹣A1B1C1D1中，连接B1C，BC1，设B1C∩BC1＝O，则CO⊥BC1，∵AB⊥平面BB1C1C，AB⊂平面ABC1D1，∴平面BB1C1C⊥平面ABC1D1，∵平面BB1C1C∩平面ABC1D1＝BC1，CO⊥BC1，∴CO⊥平面ABC1D1，则∠CBO为直线BC与平面ABC1D1所成的角为，故A正确；CO为C到平面ABC1D1距离，长为＝，故B正确；由AB∥C1D1，AB＝C1D1，可得四边形ABC1D1为平行四边形，得BC1∥AD1，则∠AD1C为异面直线CD1和BC1所成的角，为，故C错误；∵DD1⊥底面ABCD，∴DD1⊥AD，DD1⊥DB，可得△D1DA，△D1DB为直角三角形，∵AB⊥平面AA1D1D，∴AB⊥AD，AB⊥AD1，可得△BAD，△BAD1为直角三角形，∴三棱锥D1﹣DAB中三个侧面与底面均为直角三角形，故D正确．故选：ABD．【点评】本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间角的求法，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．（多选）11．（5分）已知数列是首项为1，公差为d的等差数列，则下列判断正确的是（）A．a1＝3 B．若d＝1，则 C．a2可能为6 D．a1，a2，a3可能成等差数列【分析】利用等差数列的性质和通项公式，逐个选项进行判断即可得解．【解答】解：由已知可得数列的通项公式为＝1+（n﹣1）d，当n＝1时，＝1，解得a1＝3，故A正确；若d＝1，则＝1+（n﹣1）×1＝n，所以an＝n2+n•2n，故B错误；若d＝0，则，a2＝6，故C正确；若a1，a2，a3成等差数列，则2a2＝a1+a3，即12+12d＝14+22d，解得d＝﹣，故a1，a2，a3可能成等差数列，故D正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查等差数列的性质，属于中档题．（多选）12．（5分）已知P是左、右焦点分别为F1，F2的椭圆＝1上的动点，M（0，2），下列说法正确的有（）A．|PF1|+|PF2|＝4 B．|PF1|﹣|PF2|的最大值为2 C．存在点P，使∠F1PF2＝120° D．|MP|的最大值为2+【分析】由椭圆的定义与性质逐个选项判断正误即可．【解答】解：由题设可得：a＝2，b＝＝c，由椭圆的定义可得：|PF1|+|PF2|＝2a＝4，故选项A正确；由椭圆的性质可知：|PF1|﹣|PF2|≤|F1F2|＝2c＝2（当P为椭圆的右顶点时取“＝“），故选项B正确；又由椭圆的性质可知：当点P为椭圆的上顶点或下顶点时，∠F1PF2最大，此时tan＝＝1＜，∴＜60°，即∠F1PF2＜120°，故选项C错误；设P（2cosθ，sinθ），则|MP|＝＝＝，当sinθ＝﹣1时，|MP|max＝2+，故选项D正确，故选：ABD．【点评】本题主要考查椭圆的定义及性质的应用，属于中档题．三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．（5分）函数f（x）＝lnx在点（1，0）处的切线方程为x﹣y﹣1＝0．【分析】因为曲线f（x）＝lnx在点（1，0）处的切线的斜率为f′（1），用点斜式求得函数f（x）＝lnx的图象在点（1，0）处的切线方程．【解答】解：∵f′（x）＝，∴曲线f（x）＝lnx在点（1，0）处的切线的斜率为f′（1）＝1，所以函数f（x）＝lnx的图象在点（1，0）处的切线方程是y﹣0＝x﹣1，整理得x﹣y﹣1＝0．故答案为：x﹣y﹣1＝0．【点评】本题考查导数的几何意义，考查学生的计算能力，比较基础．14．（5分）复数z＝（12+4a﹣a2）﹣（8a﹣16）i在复平面上对应的点在第四象限，则实数a的取值范围为（2，6）．【分析】根据复数z＝（12+4a﹣a2）﹣（8a﹣16）i在复平面上对应的点在第四象限，可得12+4a﹣a2＞0，﹣（8a﹣16）＜0，解得实数a的取值范围．【解答】解：复数z＝（12+4a﹣a2）﹣（8a﹣16）i在复平面上对应的点在第四象限，则12+4a﹣a2＞0，﹣（8a﹣16）＜0，解得：2＜a＜6．∴实数a的取值范围为（2，6），故答案为：（2，6）．【点评】本题考查了复数的几何意义、不等式的解法，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．15．（5分）在数列{an}中，a1＝2，an+1＝2an，Sn为{an}的前n项和，若Sn＝126，则n＝6．【分析】由an+1＝2an，结合等比数列的定义可知数列{an}是a1＝2为首项，以2为公比的等比数列，代入等比数列的求和公式即可求解．【解答】解：∵an+1＝2an，∴，∵a1＝2，∴数列{an}是a1＝2为首项，以2为公比的等比数列，∴Sn＝＝＝2n+1﹣2＝126，∴2n+1＝128，∴n+1＝7，∴n＝6．故答案为：6【点评】本题主要考查了等比数列的通项公式及求和公式的简单应用，解题的关键是熟练掌握基本公式．16．（5分）已知双曲线的左、右焦点分别为F1、F2，A是双曲线上一点，且AF2⊥x轴，若△AF1F2的内切圆半径为，则其渐近线方程是．【分析】由题意可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|＝2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用等积法和勾股定理，可得r＝c﹣a，结合条件推出a、b关系式，计算即可得到渐近线方程．【解答】解：由点A在双曲线上，且AF2⊥x轴，可得A在双曲线的右支上，由双曲线的定义可得|AF1|﹣|AF2|＝2a，设Rt△AF1F2内切圆半径为r，运用面积相等可得＝|AF2||F1F2|＝r（|AF1|+|AF2|+|F1F2|），由勾股定理可得|AF2|2+|F1F2|2＝|AF1|2，解得r＝＝＝c﹣a＝（﹣1）a，⇒c＝a，可得b＝则其渐近线方程是：y＝x故答案为：y＝x．【点评】本题考查双曲线的渐近线方程的求法，注意运用双曲线的定义和三角形的等积法，考查化简整理的运算能力，属于中档题．四、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（10分）在①S3＝12，②2a2﹣a1＝6，③a8＝16，这三个条件中任选一个，补充在下面试题的空格处中并作答．已知{an}是公差不为0的等差数列，其前n项和为Sn，若____，且a1、a2、a4成等比数列．（1）求数列{an}的通项公式；（2）设数列{bn}是各项均为正数的等比数列，且b2＝a1，b4＝a4，求数列{an+bn}的前n项和Tn．【分析】（1）设{an}是公差d不为0的等差数列，运用等差数列的通项公式和求和公式、结合等比数列的中项性质，解方程可得首项和公差，进而得到所求通项公式；（2）设等比数列{bn}的公比为q（q＞0），由等比数列的通项公式解方程可得首项合计金额公比，进而得到bn，再由数列的分组求和和等差数列、等比数列的求和公式，计算可得所求和．【解答】解：（1）设{an}是公差d不为0的等差数列，选①S3＝12，可得3a1+3d＝12，由a1、a2、a4成等比数列，可得a1a4＝a22，即为a1（a1+3d）＝（a1+d）2，解得a1＝d＝2，则an＝2+2（n﹣1）＝2n；选②2a2﹣a1＝6，可得2（a1+d）﹣a1＝6，又a1（a1+3d）＝（a1+d）2，解得a1＝d＝2，则an＝2+2（n﹣1）＝2n；选③a8＝16，可得a1+7d＝16，又a1（a1+3d）＝（a1+d）2，解得a1＝d＝2，则an＝2+2（n﹣1）＝2n；（2）设等比数列{bn}的公比为q（q＞0），b2＝a1＝2，b4＝a4＝8，可得q2＝＝4，解得q＝2，b1＝1，则bn＝qn﹣1＝2n﹣1，所以数列{an+bn}的前n项和Tn＝（2+4+6+…+2n）+（1+2+4+…+2n﹣1）＝（2+2n）n+＝n2+n+2n﹣1．【点评】本题考查等差数列和等比数列的通项公式和求和公式的运用，以及数列的分组求和，考查方程思想和运算能力，属于中档题．18．（12分）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的顶点为O，准线方程为．（1）求抛物线方程；（2）若过点D（1，1）的直线1交抛物线于A，B两点，且D为AB的中点求直线l的方程；（3）过点（1，0）且斜率为1的直线与抛物线交于P，Q两点，求△OPQ的面积．【分析】（1）由抛物线的准线方程求出p，即可得到抛物线方程；（2）直接利用点差法求AB的直线方程；（3）求出直线方程，设出P、Q坐标，联立直线与抛物线方程，利用弦长公式求弦长，再求出点到直线的距离，代入三角形的面积公式求解．【解答】解：（1）∵抛物线y2＝2px的准线x＝﹣，∴﹣＝﹣，解得p＝1，∴y2＝2x．（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），则，，∴（y1﹣y2）（y1+y2）＝2（x1﹣x2），则，∵点D（1，1）为AB的中点，∴，即AB所在直线的斜率为1，∴AB所在直线l的方程为y﹣1＝1×（x﹣1），即x﹣y＝0；（3）过点（1，0）且斜率为1的直线，直线l方程为：x＝1+y，设P（x3，y3），Q（x4，y4），由，可得y2﹣2y﹣2＝0，∴，∴|PQ|＝．∵原点到直线的距离d＝，∴△OPQ的面积：．【点评】本题考查仔细与抛物线的位置关系的综合应用，考查转化思想以及计算能力，是中档题．19．（12分）如图，在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝60°，FC⊥平面ABCD，四边形ACFE为矩形，点M为线段EF的中点，且AD＝CD＝BC＝1，．（1）求证：平面BCM⊥平面AMC；（2）求平面MAB与平面FCB所成锐二面角的余弦值．【分析】（1）证明AC⊥BC．FC⊥BC，推出BC⊥平面ACFE，得到BC⊥平面AMC．然后证明平面BCM⊥平面AMC．（2）以C为坐标原点，分别以直线CA，CB，CF为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，求出平面MAB的一个法向量，平面FCB的一个法向量，然后利用空间向量的数量积，求解平面MAB与平面FCB所成锐二面角的余弦函数值．【解答】（1）证明：在梯形ABCD中，AB∥DC，∠ABC＝60°，AD＝BC，所以∠DAB＝60°，∠ACD＝∠CAB，又AD＝CD，所以∠DAC＝∠ACD，所以∠DAC＝∠CAB＝30°，所以∠ACB＝90°，所以AC⊥BC．又FC⊥平面ABCD，BC⊂平面ABCD，所以FC⊥BC，因为AC∩FC＝C，AC，FC⊂平面ACFE，所以BC⊥平面ACFE，即BC⊥平面AMC．又BC⊂平面BCM，则平面BCM⊥平面AMC．（2）解：由（1）知CA，CB，CF两两垂直，所以以C为坐标原点，分别以直线CA，CB，CF为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，因为BC＝1，∠ABC＝60°，，所以，所以，B（0，1，0），，所以，．设为平面MAB的一个法向量，由，得，解得，取x＝1，则．因为是平面FCB的一个法向量，设平面MAB与平面FCB所成锐二面角为θ，所以．【点评】本题考查直线与平面垂直的判断定理的应用，平面与平面垂直的证明，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力，是中档题．20．（12分）设数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝1，Sn+1﹣2Sn＝1，n∈N*．（Ⅰ）证明：{Sn+1}为等比数列，求出{an}的通项公式；（Ⅱ）若bn＝，求{bn}的前n项和Tn，并判断是否存在正整数n使得Tn•2n﹣1＝n+50成立？若存在求出所有n值；若不存在说明理由．【分析】（Ⅰ）将等式移项，两边加1，结合等比数列的定义和数列的递推式，可得所求；（Ⅱ）求得，再由数列的错位相减法求和，可得Tn，解方程，结合函数的单调性，即可判断存在性．【解答】解：（Ⅰ）证明：∵Sn+1﹣2Sn＝1，∴Sn+1+1＝2（Sn+1）n∈N*∴{Sn+1}为等比数列，∵S1+1＝2，公比为2，∴，，∴，当n≥2时，，a1＝1也满足此式，∴；（Ⅱ），，，两式相减得：，，代入，得2n﹣n﹣26＝0，令f（x）＝2x﹣x﹣26（x≥1），f'（x）＝2xln2﹣1＞0在x∈[1，+∞）成立，∴f（x）＝2x﹣x﹣26，x∈（1，+∞）为增函数；由f（5）•f（4）＜0，所以不存在正整数n使得成立．【点评】本题考查等比数列的定义和通项公式、求和公式的运用，考查数列的错位相减法求和，考查方程思想和运算能力，推理能力，属于中档题．21．（12分）已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的一个焦点为，且该椭圆经过点．（1）求椭圆C的方程；（2）过点F作直线l与椭圆C交于不同的两点A、B，试问在x轴上是否存在定点Q使得直线QA与直线QB恰关于x轴对称？若存在，求出点Q的坐标：若不存在，说明理由．【分析】（1）根据焦点坐标，经过的点P坐标，列方程组，解得a，b，进而可得椭圆的方程．（2）当直线l为非x轴时，可设A（x1，y1），B（x2，y2）定点Q（t，0）（t≠x1，t≠x2），直线l的方程为x+my﹣＝0，与椭圆C的方程联立，得关于y的一元二次方程，由韦达定理可得y1+y2，y1y2，根据题意可得直线QA，QB的斜率互为相反数，即+＝0，化简可得2m（4﹣t）＝0，解得t，进而得点Q坐标，当直线l为x轴时，也符合题意，进而可得答案．【解答】解：（1）由题意可得c2＝3＝a2﹣b2①，由点P在椭圆上可得+＝1②，联立①②解得a2＝4，b2＝1，所以椭圆的方程为+y2＝1．（2）当直线l为非x轴时，可设直线l的方程为x+my﹣＝0，与椭圆C的方程联立，得（4+m2）y2﹣2my﹣1＝0，Δ＝（2）2+4（4+m2）＝16（m2+1）＞0，设A（x1，y1），B（x2，y2）定点Q（t，0）（t≠x1，t≠x2），则y1+y2＝，y1y2＝，直线QA与直线QB关于x轴对称，等价于直线QA，QB的斜率互为相反数，所以+＝0，即y1（x2﹣t）+y2（x1﹣t）＝0，因为x