2022年浙江省杭州市富阳大源中学高三数学理月考试题含解析

2022年浙江省杭州市富阳大源中学高三数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.在等比数列中，若，是方程的两根，则的值是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C略2.若集合，则等于（

）

A．[0，1]

B．

C．

D．{1}参考答案：B略3.如图,在正六边形ABCDEF内随机取一点,则此点取自阴影部分的概率是（

）A．

B．

C.

D．参考答案：D本题考查几何概型,考查运算求解能力和应用意识.设正六边形的边长为2,与的交点为,易知,,所以,所求的概率为.4.设变量满足约束条件则目标函数的最大值为(

) A.4 B.11 C.12 D.14参考答案：B10.已知，且关于的函数在上有极值，则与的夹角范围为（

）A． B． C． D．参考答案：C6.设等差数列的前项和为，，则等于（

）A．10

B．12

C．15

D．30参考答案：C略7.若(x＋)n展开式的二项式系数之和为64，则展开式的常数项为（

）A．10

B．20

C．30

D．120参考答案：B8.已知数列{an}满足an=an+1，若a3+a4=2，则a4+a5=（）A． B．1 C．4 D．8参考答案：C【考点】等比数列的通项公式．【分析】根据已知条件可以求得公比q=2．【解答】解：∵数列{an}满足an=an+1，∴=2．则该数列是以2为公比的等比数列．由a3+a4=2，得到：4a1+8a1=2，解得a1=，则a4+a5=8a1+16a1=24a1=24×=4，故选：C．【点评】本题考查了等比数列的通项公式，是基础的计算题．9.已知集合，，则（

）A．(3,4)

B．(－∞,－1)

C．(－∞,4)

D．(3,4)∪(－∞,－1)参考答案：D10.已知集合，，则等于A. B.C. D参考答案：A【知识点】集合运算.

A1

解析：，所以=,故选A.【思路点拨】分别求出集合A、B,在求.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.在三角形ABC中，已知A=60°，b=1，其面积为，则=．参考答案：【考点】正弦定理．【分析】利用三角形面积公式列出关系式，将sinA，b，以及已知面积相等求出c的值，利用余弦定理求出a的值，利用正弦定理求出所求式子的值即可．【解答】解：∵△ABC中，A=60°，b=1，其面积为，∴bcsinA=，即c?=，解得：c=4，由余弦定理得：a2=b2+c2﹣2bccosA=1+16﹣4=13，即a=，则由正弦定理==得：===．故答案为：12.．投掷两颗相同的正方体骰子（骰子质地均匀，且各个面上依次标有点数1、2、3、4、5、6）一次，则两颗骰子向上点数之积等于6的概率为________.参考答案：略13.已知双曲线﹣=1（a＞0，b＞0）的右焦点为F，焦距为8，左顶点为A，在y轴上有一点B（0，b），满足?=2a，则该双曲线的离心率的值为

．参考答案：2【考点】双曲线的简单性质．【分析】利用向量的数量积公式，可得﹣4a+b2=2a，即16﹣a2=6a，可得a的值，由此可求双曲线的离心率．【解答】解：由题意，A（﹣a，0），F（4，0），B（0，b），∴=（﹣a，﹣b），=（4，﹣b）∵?=2a，∴（﹣a，﹣b）?（4，﹣b）=2a，∴﹣4a+b2=2a，∴b2=6a，∴16﹣a2=6a，∴a=2，∴e===2，故答案为：214.已知，则

．参考答案：1115.已知为等比数列，是它的前项和。若，且与的等差中项为，则=

.参考答案：31

16.当实数x，y满足约束条件时，z=x﹣y的最大值为m，则对于正数a，b，若=m，则a+b的最小值是

．参考答案：考点：简单线性规划．专题：计算题；作图题；不等式的解法及应用．分析：由题意作出其平面区域，z=x﹣y在x取最大，y取最小时有最大值，即（6，1）时有最大值，从而可得m=5；利用基本不等式求最值．解答： 解：由题意作出其平面区域，z=x﹣y在x取最大，y取最小时有最大值，即（6，1）时有最大值，故m=5；故=5，（）（a+b）≥（2++）≥；当且仅当a=b时，等号成立，故答案为：．点评：本题考查了简单线性规划，作图要细致认真，属于中档题．17.设m＞1，当实数x，y满足不等式组，目标函数z=x+my的最大值等于3，则m的值是．参考答案：4【考点】简单线性规划．【分析】画出满足约束条件的可行域，求出目标函数的最大值，从而建立关于m的等式，即可得出答案．【解答】解：由z=x+my得y=﹣x+，∵m＞1，∴目标函数的斜率k=﹣∈（﹣1，0），作出不等式组对应的平面区域如图：由平移可知当直线y=﹣x+，经过点A时，目标函数取得最大值，此时z=x+my=3，由，解得，即A（，），同时，A也在直线x+my=3上，代入得+m=3，解得m=4，故答案为：4．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（文）设函数，其中；（1）若的最小正周期为，求的单调增区间；（7分）（2）若函数的图象的一条对称轴为，求的值．（7分）参考答案：文）（1）

1分

3分

5分令得，

所以，的单调增区间为：

8分（2）的一条对称轴方程为

10分

12分又，

14分若学生直接这样做：的一条对称轴方程为

则得分为

11分略19.（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。在平面直角坐标系中，曲线的参数方程为，以为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线是圆心在极轴上且经过极点的圆，已知曲线上的点对应的参数,射线与曲线交于点.（1）求曲线,的方程；（2）是曲线上的两点，求的值.参考答案：（本小题满分10分）选修4—4：坐标系与参数方程。解：(1)将M（2，)及对应的参数j=代入得：得：∴曲线C1的方程为:（j为参数）或设圆C2的半径R，则圆C2的方程为：ρ=2Rcosθ(或(x-R)2+y2=R2)，将点D（，）代入得：=2R·

∴R=1

∴圆C2的方程为：ρ=2cosθ(或(x-1)2+y2=1)…5分(2)曲线C1的极坐标方程为：+=1将A（r1,q),B(r2,q+)代入得：+=1，+=1∴+=(+)+(+)=……………10分20.如图，在平面直角坐标系xoy中，椭圆的右顶点和上顶点分别为点A，B，M是线段AB的中点，且．．（1）求椭圆的离心率；（2）若a=2，四边形ABCD内接于椭圆，AB∥CD，记直线AD，BC的斜率分别为k1，k2，求证：k1?k2为定值．参考答案：【考点】K4：椭圆的简单性质．【分析】（1）A（a，0），B（0，b），线段AB的中点M．利用与离心率的计算公式即可得出．（2）由a=2，可得b=1，可得椭圆的标准方程为：+y2=1，A（2，0），B（0，1）．直线BC的方程为：y=k2x+1，直线AD的方程为：y=k1（x﹣2），分别于同一方程联立解得C，D，坐标，利用kCD==﹣，即可得出．【解答】（1）解：A（a，0），B（0，b），线段AB的中点M．=（﹣a，b），=．∵．∴+=﹣b2，化为：a=2b．∴椭圆的离心率e===．（2）证明：由a=2，可得b=1，∴椭圆的标准方程为：+y2=1，A（2，0），B（0，1）．直线BC的方程为：y=k2x+1，联立，化为：（1+）x2+8k2x=0，解得xC=，∴yC=．即C（，）．直线AD的方程为：y=k1（x﹣2），联立，化为：x2﹣16x+﹣4=0，∴2xD=，解得xD=，yD=，可得D（，）∴kCD==﹣，化为：1﹣16+2k1﹣2k2+8﹣8=0．∴（4k1k2+4k1﹣4k2+1）=0，∴k1k2=．【点评】本题考查了椭圆的标准方程与性质、直线与椭圆相交问题、一元二次方程的根与系数的关系，考查了推理能力与计算能力，属于难题．21.（本小题满分13分）已知（1）求的最小值和的最大值；（2）若，问是否存在满足下列条件的正数t，使得对于任意的正数都可以成为某个三角形三边的长？若存在，则求出的取值范围；若不存在，请说明理由.

参考答案：（1）,（2）存在满足题设条件.

【知识点】函数恒成立问题；函数的定义域及其求法；函数的值域解析：（1）…………（2分）由于，∴，当x=1时等号成立.……………（4分）故即x=1时，f(x)的最小值.…………………………（6分）又.故时，g(x)的最大值..…………………（8分）（2）∵，

∴若能构成三角形，只需对恒成立.…………………（10分）由（1）知……………（11分）…………………（12分）综上，存在满足题设条件.……（13分）【思路点拨】（1）先考虑，再说明函数与在（-∞，1]上均为减函数，在[1，+∞）上均为增函数，从而求出函数的最小值．（2）利用构成三角形的条件，转化为恒成立问题利用（1）的结论可确定．

22.在锐角△ABC中，内角A、B、C的对边分别是a、b、c，且2cos2+sin2A=1．（Ⅰ）求A；（Ⅱ）设a=2，△ABC的面积为2，求b+c的值．参考答案：【考点】二倍角的正弦；二倍角的余弦．【专题】转化思想；综合法；解三角形．【分析】（Ⅰ）由条件利用二倍角公式求得sinA=，可得A的值．（Ⅱ）由条件利用，△ABC的面积为2求得bc=8，再利用余弦定理求得b+c的