人教版数学八年级下册第28章平等四边形全章热门考点整合应用

全热考整应名师点金：本章内容是中考的必内容，主要考查与平行四边形、矩形、菱形、正方形有关的计算和证明等问题．近几年又出现了许多与平行四边形有关的开放探索题、操作题以及与其他知识相结合的综合题．其主要考点可概括为：一个定理，一个性质，四个图形，四个判定与性质，四个技巧，两种思想．一个定理三角形的中位线定．如图所示，已知在四边形ABCD中，AD且⊥，点，，G，，Q分别是，，CD，DA，BD的点．求证：(1)边形EFGH是矩形；(2)四边形菱形．(第题)一个性质直角三角形斜边上中线性质．如图，在△ABC中，点D，，分是AB，的中点，AH是上的高．求证：(1)四边形ADEF是行四边形；(2)∠DHF＝∠DEF.第2)

图形1

四个图形平行四边形．【中】图，分别以eq\o\ac(△,Rt)ABC的角边AC及边AB为向外作等边三角形ACD及边三角已知∠＝，⊥，垂足为点F，连接DF.(1)求证：AC＝；(2)求证：四边形是行四边形．第3题)图形2

矩形．如图，在ABCD中，点O是与BD的点，过点的线与的长线，的延长线分别交于点E，F(1)求证：△≌△.(2)连接，AF则与AC满足什么数量关系时，四边形AECF是形？请明理由．(第题)

图形3

菱形．如图，在△ABC中，E分是，的点，过点E作EF∥AB，交BC于F.(1)求证：四边形是行四边形．(2)当△满足什么条件时，四边形是形？为什么？(第题)图形4

正方形．如图，已知在eq\o\ac(△,Rt)ABC中∠ABC＝90°，先把△ABC绕点B顺针旋转90°后至△DBE再把ABC沿线平至FEG，DE，FG相于点H.(1)判断线段DEFG的置系，并说明理由；(2)连接，证：四边形是方形．第6题)

四个判定与性质判定与性质1

平行四边形．如图E，分是ABCD的AD，边的点，且＝.(1)求证：△ABE；(2)若M，N分是，的点，连接MF，试判断四边形怎样的四边形，并证明你的结论．(第7题判定与性质2

矩形【中考图▱中，DEAB，⊥，垂足分别为E，F求证：(1)△≌△CBF；(2)四边形DEBF为形．(第8题

判定与性质3

菱形．如图，在△ABC中，BAC的平分线交于D，E是AB上点，且＝，∥BC交AD于F.求证：四边形是形．(第)判定与性质4

正方形．如图为方形的AB的长线上一点DEAC于点F交于点GH为中点．求证：FB.(第题

技巧1

四个技巧解与四边形有关的折叠问题的技轴对称变换)11．如图，在矩形ABCD中，＝，BC，点E，分在AB，CD上，将矩形沿EF折，使点，D分落在矩形ABCD外的点A，处求阴影部分图形的1周长．(第11)技巧2

解与四边形有关的旋转问题的技特殊位置法．如图，正方形的角线相交于点O，点O是正方形BCO的个顶点，如果两个正方形的边长都等于1，么正方形A′O绕顶点O转动，两个正方形重叠部分的面积大小有什么规律？请说明理由．(第12题

技巧3

解与四边形有关的动点问题的技固定位置法．如图，在边长为10的形ABCD中对角线BD，角线，BD相交于点G点是线BD的动点⊥于，OF⊥AD于F.(1)求对角线的及菱形ABCD的积．(2)如图①，当点O对角线上运动时，OE＋OF值是否发生变化？请说明理由．(3)如图②，当点O对角线的延长线上时，＋的值是否发生变化？若不变，请说明理由；若变化，请探究OE，OF之间的数关系．第题)技巧4

解中点四边形的技巧．如图，在ABC中AB＝，点O在△的内部，＝，OB＝OC，D，E，，G分是，，，AC的中点．(1)求证：四边形DEFG是形；(2)若DE＝，＝3求面积．(第14题)

，，思想1

两种思想转化思想．如图，在四边形中∠C90°，∠ABD＝∠CBD，，P是BD上点，⊥，PFCD垂足分别为点，.证：＝EF(第题思想2

数形结合思想．[阅读]在平面直角坐标系中，以任意两点

Px)()为点的线段的点坐标为122

x＋xy＋121

[运用](1)如图，矩形ONEF的角线相交于点M，，OF分在轴和y上，O为坐标原点，点E的标(43)，则点M的坐标；(2)在平面直角坐标系中，有(－，，B，，C(1，4)三点，另有一点D与A，B，C构成平行四边形的顶点，求点D的坐标．(第16题)

答．证明：(1)∵点E，GH分别为，，DA的中点∴EF∥且＝AC，∥且GH＝，∥BD∴EF∥GH且＝，∴四边形是行边形．又∵⊥，⊥.EFGH矩形．(2)∵点，，GQ别为，ACDCDB的点，11∴EPBC，PG＝AD＝BCQE＝AD.22∵＝BC∴EP＝＝GQ＝QE，∴四边形EQGP是形．点拨：在三角形中出现两边中点常考虑利用三角形中位线得到线段的平行关系或数量关系．．证明：(1)∵点D，E分是AB，BC的点，∴∥同理可得EF∥AB.∴四边形是行四边形．(2)由(1)知四边形ADEF是行四边形，∴∠＝DEF在eq\o\ac(△,Rt)AHB中，D是AB的点，∴＝ABAD∴∠＝DHA同理可得HF＝AC，∴∠FAH＝∠FHA∴∠＋＝∠＋FHA∴∠＝DHF.∴∠＝∠DEF.．证明：(1)∵在eq\o\ac(△,Rt)ABC中BAC30°∴＝.∵△ABE等边三角形，EF⊥AB，∴AE，AB＝，＝BC在eq\o\ac(△,Rt)BCA和△AFE中，，，∴eq\o\ac(△,Rt)≌eq\o\ac(△,Rt)AFE(HL)，∴＝EF(2)∵△是边三角形，∴∠＝，AC，∴∠DAB∠＝90°.又∵⊥AB∴∠＝90°＝∠DAB∴EFAD

∵＝EF，＝，EFAD∴四边形是行四边形．．(1)明∵四边形ABCD是行四边形，∴OA＝，AB∥，∴∠AEO.在△和△中＝CFO，＝，OA＝OC.∴△AOE(AAS)．(2)解：当＝EF时四边形是矩形．理由如下：由(1)知△≌△，∴OE＝OF∵AO＝，∴四边形AECF是平行四边形．又∵＝EF∴四边形AECF是矩形．．(1)明∵D，分别是，AC的点，DE是ABC中位线，∴∥BC.又∵∥AB∴四边形是行四边形．(2)解：当AB＝时四边形DBFE是菱形．理由：D是中点，∴＝∵ABC的位线，∴＝.又∵＝，∴＝DE.又∵四边形是平行四边形，∴四边形是形．．(1)解⊥FG理由如下：由题意，得∠＝∠＝∠GFE，∠＝DBE＝，∴∠EDB∠＝90°.∴∠GFE∠＝，∴∠＝90°即⊥(2)证明：△沿线平至FEG∴∥GE，CB＝∴四边形CBEG是行四边形．∵∠ABC＝＝90°，∴四边形CBEG是形．∵＝，∴四边形CBEG是方形．．(1)明∵四边形ABCD是行四边形，AB＝CD，＝∠

∵AE，∴≌△CDF(SAS)．(2)解：四边形是行四边形．证明如下：∵△≌△CDF，∴∠＝∠CFD，BEDF.又∵，N分是BEDF的点，∴ME∵四边形是行四边形，∴∥AD，∴∠＝.∴∠＝FBE.∴EBDF，即∥.∴四边形MFNE是平行四边形．规律总结：本是一道猜想型问，先猜想结论，再证明结论．本题已知一个四边形是平行四边形，借助其性质，利用平行四边形的判定方法判定另一个四边形是平行四边形．．证明：(1)∵四边形ABCD是行四边形，∴＝∠C，ADCB又DE⊥AB，⊥，∴∠DEA∠BFC＝∴△ADECBF.(2)∵△ADE△CBF，∴＝CF.∵CD＝AB，∴DF＝BE.又∵CD，∴四边形为行四边形．又∵∠DEB，∴四边形为形．(第题．证明：如图，连，交AD于点O∵＝，∴△等腰三角形．∵AO平∠CAE∴AO⊥，且OC＝.∵EF∥CD，∴∠＝∠又∵∠＝∠，∴△≌△ASA．∴OD即与DF互垂直且平分，∴四边形CDEF菱形．．证∵四边形ABCD正方形，∴CD＝，∠DCF＝∠BCF＝，

22222222DC，∠＝90°，∴∠＝E.又∵＝，∴△≌△BCF∴∠＝.∠CBF＝∠E.∵为中点，∴＝HG＝.∴∠HGB∠HBG∵∠＋∠CGD90°∠CGD∠HGB＝HBG，∴∠FBGHBG＝，即∠＝90°∴FB⊥11．解：在矩形ABCD中，＝，BC，∴AB＝，＝＝又∵将矩形沿EF叠，使点A，分别落在矩外的A，处，1∴根据轴对称的性质可得E＝，AD＝，F＝.11设线段F与段AB交点，则阴影部分的周长为1(AE＋EM＋MD＋D＋MB＋MFFC＋)11＝AEEM＋＋ADMBMF＋＋CB1＝(AE＋EMMB＋(MD＋＋)＋AD＋1＝AB(FD＋FC＋101＝AB(FDFC)＋10＝10＋10＝30.．解：两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是.理由如下：∵四边形是方形，∴OB＝，OBE＝∠＝45°，∠＝∵四边形C是方形，∴∠EOF＝∴∠EOF＝∠∴∠EOF∠＝∠BOC－∠，即∠BOE.∴△≌∴＝.eq\o\ac(△,S)∴两个正方形重叠部分的面积等于∵＝×1，1∴＝＝.ABCD4∴两个正方形重叠部分的面积保持不变，始终是．解：在菱形中AG，⊥，＝BD×16＝8由勾股定理得AG＝AB

－BG＝10

－8

＝6所以AC＝×6＝12.所以菱形的积＝ACBD×12＝96.(2)不发生变化．理由如下：如图，连接，则＝＋，eq\o\ac(△,S)AOD

1所以BDAG＝AB＋AD，211即××＝×OE×10·.解得OE＋OF9.6，是定值，不变．(第13题(3)发生变化．如图②，连接，则＝－，ABDAOD1所以BDAG＝AB－AD.211即××＝×OE×10·.解得OE－OF9.6，是定值，不变．所以OE＋值发生变化OE，OF之的数量关系为OE－OF＝9.6.14．(1)明如图，连接AO并长交于H，∵AB，＝OC∴的垂线，即AH⊥∵，，，G分是，，，AC的点，(第14题∴DG∥，∥∥∴四边形DEFG是平行四边形．∵EF∥BC⊥，∴⊥EF.又∵∥，∴EF⊥DE∴四边形DEFG是矩形．(2)解：∵，，F分是，，OC的点，∴AO＝2＝，BCEF＝

∵△是等腰直角三角形，∴OHBC＝∴＝＋OH＝43＝7.∴＝×6×721.(第15题．证如图，连接.∵PE，PFCD，＝，∴∠PEC＝∠＝∠＝90°.∴四边形PECF是矩形．∴PC＝在△ABP△中＝，＝∠CBP，BP＝，∴△≌△CBP()．∴PA＝PC.∴＝点拨：本题运用了转化思想将边形中的边转化到三角形中，通过用等式的传递性证明两条线段相等．．解：，1.5)