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文档简介
习题
1.1已知N=2£+3夕-E;:=£+夕一2£,求:0/和8的大小(模):(b)彳和8的单位
矢量:(c)A(d)[x月:(c)/f和8之间的夹角:⑴71在8上的投影.
解:(a)4和8的大小
/=+七:+£=+3,+1,=VM=3.74
5=|fi|=+B:+B;=-Jl2+12+2-=V6=2.45
(b)A和8的单位矢量
AI
o=_=__(2.v+3y-z)=0.535+0.803--0.26T
.B
b=~=芯(.t+y-2z)=0.408.v+0.408r-0.816z
(c)AB
A-B=AxBt+AyBy+A,B.=2+3+2=7
(d)A^B
xy2
4xQ=4儿3-1=-5.v+3y-z
纹B、1-2
(e)/和夕之间的夹角a
根据N•占=ABcosa/
AB7
cosa=-----—--—=0.764a=40.19°
AB9.163
⑴4在8上的投影
一AAB7
A-h==2.86
2.45
1.2如果矢闻:4、8和C在同一平面,证明4•(8xC)=0.
证明:设矢量X、8和C所在平面为个平面
A=Atx+Ayy
B=Bxx+Byy
e=c/+c.
xyz
尾纥纥纥纥
BKC=BXBy=(G-£C>+(G-sc)+(q-c*
Cqc
=(B£「B、C)2
1(月x。=0x(8c-BrCx)zz=0
1.3已知d=£cosa+jsina、8=£cos/7-f,sin6和C=?cos/+,sin/7,证明这三个
矢量都是单位矢地,且三个矢量是共面的。
证明:
1)三个矢员都是单位矢fit
//=p|=J/:+A;+力;=Vcos-a+sin-a=1
8=同=JB;+B:+B'=JcoS夕+siri#=1
C=|c|=Jc:+c;+c:=Jcos^尸+sin:夕=I
2)三个矢用是共而的
xy
BxC=B,8,B=2cos/?sin/5E
C、C,c
A(BKC)-Ox2cos夕sin"=0
1.4A=x+2y-z;B=ax+y-3z,当彳时,求a.
解:当1,月时,AB=O
A•B=a+2+3=0
所以
a=-5
1.5证明三个矢量X=5£—5»、8=3£—73-2和C=-2;-2/-£形成一个三角形的三
条边,并利用矢积求此三角形的而枳.
证明:因为A-B=2x+2y+z
A+(-ff)+C=O
所以三个矢量4、8和C形成一个三角形
此二.角形的而积为
s=/x同=4445-50=V5-+5:+20:/2=10.6
纥纥B:3-7-1
1.6P点和Q点的位置矢量分别为5£+12$,+2和23—3$,+2,求从P点到Q点的距离矢
量及其长度.
解:从P点到Q点的距离矢量为
R=rQ-rP-(2x-3y+z)-(5x+12y4-z)=-3x-15y
从P点到Q点的距离为
/?=|^|=V32+15:=15.3
1,7求与两矢量4=4£-3/+2和8=2£+3-2都正交的单位矢属。
解:设矢12C与西矢是彳=4£-3?+2和8=2£+»-2都正交,则
(I)
AC=4CX-3C,+C=0
BC=2CX+C,-C=0(2)
(I)+(2)得6C,-2CV=0->C,=3Ct(3)
得(
(I)+3x(2)10C,-2Cr=0tC:=5CX4)
如果矢量。是整位矢昆,则
c=|c|=Jc:+C;+C;=Jc;+9C:+25C:=I
所以C=,=0.169
Jl+9+25
C,=3C,=0.507
C:=5C,=0.845
C=0.1(»9.r+0.507>•+O.X45z
1.8将直角坐标系中的矢量场E(x,y,z)=f,E(xj,z)=y分别用网柱和网球坐标系中的
坐标分量表示.
解:在圆柱坐标系中
cos(psin°0z;cos。sin夕0rcos*
—-sinecos。0产”=-sin夕cos。00=-sin^7
儿001儿00100
K(p,(p,z)=3s(p0-s\n神
COS0sin。o--F,/cos8sin。(fo-sin0
—-sin^9cos研0—一sin0cos^01=cos。
FZ2001FZ200100
F:(p,(p,z)=sin而+cos加
在圆球坐标系中
sinOcosesinOsin*cos0TFj
F,,=cosOcos/cusGsin/-sin小J
-sin/COS0olz」
sin。cos。sinOsin(pcos。Tll「sinOcos。
=cosdcoswcos0sincp-sinJ0=cosOcos。
一sin。cos。0]()[[一sing
F,(r,0,<p)=sin0cos(ppJrcosJcosw。-sin<p<p
sinOcos/sin0sin(pCOS0-%-
Fg=COS夕COS0cosOsin0-sin。小
一singCOS00L_F-c-J
sin夕cos。sin6sin0COS0o-sin夕sin(p
=COS〃COS0cosOsin@-sin。1=cosOsine
-sin。cos(p00cos。
F,(r,0,<p)=sir^si而+co9siT^>0+COtp(p
1.9将网柱坐标系中的矢量场月(0,夕*)=20,尼仙伊,2)=30用五角坐标系中的坐标分
量表示.
解:
-sin夕
COSQ⑴
0明
得
1-1
cose—sin夕
%=sin。cos。
A.00
E(x,y,z)=2cos而+2sin好
又因为
r9
E(x,y,z)=2p=)-:(xx+yy)
Jx-+尸
一sin伊
cose
0
尸,z)=-3sin而+3cos@
利用(2)式可得
-3
(x,y,z)=3。=i」(xy->x)
Jx+y
i.io将哒球坐标系中的矢量场=5"R(八"伊)=b用直角坐标系中的坐标分
量:表示.
解:根据
'A'sinPcosecosOcos。一sin夕
4—sin^sin^cossin^7cose4(1)
_A*..cos。-sin。04.
得
sinOcosQcosOcose一sing55sin8cos°
=sinOsin0cosOsin。COS00=5sin夕sin。
儿cos。-sin。005cos。
R(.V,y,z)=15sin8cos夕+?5sin6sine+£5cos0
r=rsin0cos^
又因为y=rsin0sin(p(2)
z=rcosd
-5
得F(x,y,z)=,-=(xv+yy+zz)
tJx"+z2
户=。=0x户
r=j।=(xx+vv+zz)
->Jx2+y2+z2
E亿=,=0x;
=7二二(xy-词x-;'(xx+yy+zz)
yjx'+yyjx+y+z'
=J..1।.[-z(x;+/)+xzx+j与]
777/777/77
1.11计算在回柱坐标系中两点尸(5,乃/6,5)和0(2,n/3,4)之间的距曲。
解:两点P(5//6,5)和0(2,zr/3.4)之间的距离为
222
d=^l(x]-x2)+(>'1-y2)+(z,-z2)
="7(5XCOSCT/6)-2XCOSCT/3))2+(5xsin(/r/6)-2xsin(.r/3));!+(5-4);
=7(3.33)2+(0.76^+(1)2=V12.69=3.56
1.12空间中同一点上有两个矢量,取圆柱坐标系,4=3方+50-4£,8=2。+版+3E,
求:(a)/l+8;(b)/x8:(c)/l和8的单位矢属;(dM和8之间的夹角;(c)/1和8的大
小:⑴4在8上的投影。
解:
(a)J+B=(3+2)p+(5+4)0+(-4+3)z-5p+9(p-z
P0P(P2
(b)Jxfi=35-4=31p-17^+2i
Ap44
4,纥,B;23
(c)4=二==/[(ip+5。-42)=—J—(2p+4。+3z)
力V32+524-427.07
-B11
b=—==/(2/+40+3z)=-----(20+毋+3E)
B722+4;+325385
(d)4和8之间的夹角
0-cos_1('B)=cos1(———)=68.40
AB38.077
(cM和8的大小
L+父+代=7.071
8=物+段+8;=5.385
⑴X在8上的投影
A-b=(3p+5(p-4z)^^(2p+4^+3z)=2.6
1.13矢量场中,取圆柱坐标系,已知在点P(l,/r/2,2)矢量为4=2户+30,在点。(2,1,3)
矢员为8=-3)+102;求:(a)/+8;(b)d(c)4和8之间的夹角.
解:转换到口角坐标系
(a)/4B=2y+l0z
(b)A•R=9
A和8之间的夹角
e=cosT(^~^)=cos-1(—^-)=125.7°
AB15.44
1.14计算在圆球坐标系中两点P(10H/4,;r/3)和。(2,尸/2,幻之间的距离及从P点到Q
点的距离矢量。
解:根据圆球坐标与直角坐标的关系
x=rsinOcos。
y=rsintfsin^
z=rcQsO
x[=rsin0cos^=10x0.707x0.5=3.535
必=rsin6>sin=10x0,707x0,866=6J22
Z[=rcos^=10x0.707=7.07
x2=,sin〃cos0=2x1x(-l)=-2
y2=rsinOsin=2xlx=0
z2=rcosO=2x0=0
22
d=yl(xt-x2)+(^-y2)+(z,-z2)-
=7(3.535+2)2+(6.122)2+(7.O7)2=10.87
1.15空间中的同一点上有两个矢量,取圆球坐标系,4=39+J+5。,8=29一。+40,
求:⑶A+B;(b)4•B:(c)/和8的单位矢员:(d)/和8之间的夹角:(c)4和8的大
小:⑴/在8上的投影.
解:(a)4-8=5户+90
(b)A-B=25
(c)/和8的单位矢量
4=-^=(3户+日+50);b=^=(2r-0+4<p)
735历
(d)4和8之间的夹角
0=cos-,(-^)=cos1(-=—)=22.75°
AB27.11
(c)4和8的大小
/=〃—:=5.92
8=在+比+8:=4.58
⑴4在8上的投影
33=(3户+分+5。)(2户一1+初=5.455
1.16求/(x,y,z)=x'.Tz的梯度.
吁今+垛+哈
解:3x2y2zx^方+x3y2z
1.17求标量场/(x,y,z)=❷,+2z?在点(1J1)沿』=〃-2#+£方向的变化率。
Vf=.£且+f豆+E旦=岚+»+4点
解:
&chct
i-.=(xx-2y+z)
JY+/+]
xy-2x+4z
所以
孤.5=石
Z4JJ✓<V/<U
1.18由▽<!)=£」+/J+£零,利用圆柱坐标和亶角坐标的关系,推导
etctycz
3泮+0"巫
dppdipdz
解:在直角坐标系中
V(p=.^^f^
++(1)
永42
x=pcos(p
・y=ps\n(p(2)
z=z
P=&2+/
y
(P=arc/g-(3)
x
x=Qco§3-0sin3(4)
y=psin^74-0cos夕(5)
由⑵、(3)式可得
Zp
玄=cos*⑹
y=-----sin<p(7)
&1+(£)2『+•>'P
X
dp.
—=sin。
2_
加_X1
X-----T=COS0
O'l+g)2丁+y-----p
X
由(1)一(5)式得
▽①=x—+y——
exoy
八65I)A处.㈤
=(万cos0-0sin⑼=+("sin0+0COS0)=+2-
&。应
而
生=翌知孚虫="叱」吗诵
acpdxc(pdxcppc(p
用)cOdpcOc(pcdb.1cO
——=----------+-----------=------sin°+---------cos。
0cpdyd(pdy>dppd(p
再由(6)-(9)式可得
CAC<I>IC)(I).
VO=(pCQS<p-(psix\(p)(——COS0--------—sm(p)
dppdtp
-..8).1却
+(0sin0+0cos⑺(——sin*+-------cos。)+z——
dppd(p&
。色cos"建吗in“-0丑cos.n展加色8S*n>
dppd(pdppd(p
.(2.、.1cd)c4)1ckp.川)
+p——sin-e+0———cos'(p+0A-^cos0sin°+pA--------cospsin^4-z——
dppd(pdppd(p&
V*泮+0空+d
dppd(pa
1.19求/(0,8,2)=/7cos/的梯度.
解:Qc0s°_0sin0
“,,通,加,冽)
1.20=.v—+y-7r+^—•利用网球小标和立角坐标的关系,推导
.1加
V中=n+定把+(p—:------
&ro0rsin。dtp
解:
x=rsii^cotp
-y=rsii^sinp
z=rcoJ
x*+y-+z・
i/g在三
(P-arcigJ
x=户sinecose+@cosecosQ-0sine
y=3sin0sinQ+OcosOsine+0cos8
z=/cos〃一Osin"
效=这包+以包+小丝
AdrdxcOdxc(pdx
加_c4)dr+c4>dO+c<I>c(p
才er⑪,c0dyc(pdy
加说)(
——-----d--r+-c--4-)--c-O-+-c--O---d--p-
adrdzcOdzc(pdz
a-r=sin0cos^
ar
=sinSsin。
c?^-r
-=cose
A-
M=-COS0COS^
ar
COS"”
d\fr
—=——sin。
dzr
dtpsin夕
dx尸sin。
d(p_cos9?
dyrsin。
*。
+N——
&
drc(J)GO凶)的、,,方q-.、
=————+-———)(rs1Wco8十〃coJco平一0sixip)
ordxcOdrc(pdx
tXPdr汕。。c<bu(p,A..£A,、
+(---------F--------d----------)(rsm夕Nsm8+£cos&sin夕+geos/)
drdydOdyv(pdyf
―却少d^de,加丽山nnn.
+(-------+--------+--------)(厂cosO-Osm0)
erdzcOdzc(pdz
=(^^sinJcos夕)(rsin0cos(p+0cos0cos(p-^sin(p)
dr
+(li^cosJcos。)(rsin^cos^+"cosecos。-0sin⑺
rdO
|CXJ)A°
一(—;---—sin(p)(rsin0cos(p+JcosJcos伊一0sin夕)
■sin夕dtp
+(^-^sinOsin(p)(rsinOsin/+/cosOsincp+0cos8)
dr
+(—^-^cos^sin(p)(rsinOsing+OcosJsin(p+03s(p)
rdO
+(cos。)("sin6sin°+@8s6sine+0cos夕)
/sin,c(p
Ab.
+(——cos。)(户cos。一©sinff)
dr
+(」disin⑶(户cosO-Osin。)
rdO
3-0
araersin。却
1.21求f(r,e,(p)=r2sinOcos砂的梯度。
解:
V/=r—^0-^(p------------
crrcOrsm^ctp
=/2rsin夕cos>+^cos^cos^-iprsin(p
1.22求梯度其中。为常数.
解:
=P^r=P
①
Vr=/•—=r
&
V?1=r—=rA-?r
&
1.23在圆球坐标系中,矢量场广⑺为户(>)=七八其中〃为常数,证明矢量场所)对
厂
任意闭合曲线/的环量积分为零,即
jFdl=0。
/
证明:根据斯托克思定理:
jFdl=jj\7xFdS
Is
rrdvsin附
亘=0
VXA?)=VX=专
X7^^「串
0
所以
fr</7=JjvxF-4/s=o
/
1.23证明(I)V^=^?(4V<!)-<DV'P):(2)VF(O)=F(0)V<D.
证明:
(1)▽虫=f色虫+f虫色+£色虫
Wdv甲dzT
=让色力心£曳+$,八_j,£曳+」色中一zq空
M7dx甲dy'P-dy41dz+一夜
上甘色中+这中+4吁当邑+性+卫}
dxdyfdz/drdydz
=^?(TVO-OVT)
(2)VF(O)=.v^F++
dxdydz
=xF'—0)+F7—OJ+ZF'—0=F'(0)V<D
dxdydz
伊.曲
1.24|l:V-/<=|jm3------推导
解:
图1-1
1.25由▽•1=勺+23+七&推导厂.1=,£(加,,)+,且+”和
axczpdp1P加&
\d>1d1乱
▽=3二(//,)+—?—--(sin6M0)+---------
r'ari\x\OdOrsin。&p
解:
(1)▽♦4=土,+―-+―
a0日
_巩切,羽的,a,dp讯dip利
一-----十--------------十--------------十------n--------
dpdxd(pdxcpdyd(pdyA
由
-sin*0
cos。0
0I
得-4si叩
4=/即+4(:。和
Op
—=COS0
d(p1
——=——sm^7
dxp
dp.
=sin。
如p
厂j二次,Id/、d>।前।M的।盘,
由dxd(pdxdyd(pdyfA
Q\g
=coip—(Aco^-As\np)一一sii^—(/Isi(^)
cppc(p
6]eSA
+siup—(Asiw+力co取)+—co取^(4si叩+4co乾)•+■—
dppcip&
,,,
——6,Acos"(p----6--AAcosgsin.°-----1sin.^cos^——0A/+1—sin・*(pA
cpdpvpd(pp
ldA„,Ji,i
+--------sin+—sin8cos阿。H•—cos*<p-------cosRsingd,,
pd(pp'pdipp
+sin%£4+sin9cos44+Los°sin<p—A,+-cos'叫+生
dpxdppc(pAp&
8A,
=-4+—+1叫+曳
多Pp即&
M1曲E《,dA
p^p
-1,,IdI现
(2)▽•力=二△(//,)+—^-=-(sin叫)+」----
r-cv/sin"/〃rsin6?exp
or.
—=sin0cos^
¥=sinOsin(p
=cosO
=-cos0cos^
r
de
=-cosOsin°
—=—sin。
dzr
。
d--(p-=—sin
dxrsin6?
dtpcos*
dy尸sin。
皿=0
dz
4sinOcosecos^cos^一sin°/,
4=sinOsin0cos〃sin0cosu
A.cos<7-sin00
-dA出「dA
▽・/=—工+—L+—L
A&A
=-cA-d-r+c-A^c—OdAd(p+M—dr———dO—+,—4--d三(p
&dxcGdxd(pdx&dydOdyc(pdy
cA.drdAdOcAd(p
+—=——+z---+-z-—
&&d0&v(pdz
e
=sin9cos0—(sin,cos研+cosOcos矶,-sin(pA)
&
।e
+cos®cose------(sinecos”L+cos®cos@。-sin伊J)
rdO
sin。U,.△/c4..、
---------------(sin"cos+cos”cos侬〃-sin侬)
rsin/7ckp
+sinsin(p—(sin6?sin(pAt+cos〃sk】040+cos04)
&
।(;
+cos®sin0———(sin,sin04,+cos0sin^i^+cos^o4)
rdO
cos®3一八.46・▲.、
H-------------(smc/sin^4+cos〃sui3%+cos叫,)
rsin^加r
+cose£(cos6M,—sin6M°)
cr
一^(cos例-sin叫)
=siir0cos2(p—A+sin0cos0cos2(p—A-sin0cos^siii(p—A
drfdrodr
.2.2d.2•e
+sin'Osin’(p—A+sin^cos0sin*<p—A+sinOsin*cos0—A
&f&o&
2/•,
+cos*0—A-cosOsin。一A
at&o
+-(sin0cosl9cos2(p—A4-cos20cos2(p—A-cos0cos^sinq>—A)
rdOrdO0dO
g3《r
+一(sin〃cos8sin'(p—A,4-cos:夕sin’(p——A+cosOsin0cos0——A)
rdOdOoGO
1/9/7
2
—(sin0cos0—-sinO—Ao)
rc>0dO
+-(cos20cos2(pA-sintfcos^cos2(pA)
rf0
222
+—(cos0sin0At-sin0cos5sin(p40)
r
2
4--(sin0At+sinOcos也)
+——(-sin6>sin^cos^—/I-cos6>sin^cos^—/f+sin>—4)
/sing即r加s加
1/-zi.3Ad.,//、
+--------(sintfs\n(pcos(p——At.+cosc/sin^cos^——Ao+cos"cp——A)
rsinOdtpeipeip
+---------(sinOsin,油4-cos0sin:(pA+sin℃os胸)
rsin^0
2-
+---------(sin0cos(pAt+cos0cos(/iA0-sin℃os那)
rsinff
3、2sin。△cos。1巩
——(4,)+-[,+—:--------(4°)+—:—+—:-------?-
&rrsin^cGrsin。「sin。exp
iE
=-7•—(r'A)H-------------(sinOA^)+
r2a-rsinOrO°rsin/9rip
1.26计算下列矢量场的散度
a)F=yzx+zyy+xzz
b)户=0+
c)户=2户+,・cos"0+〃0
解:
1/nc\1国4.cos20
c)V-F=——(r*F)H----------(sin6匕)+-----------=sin。+------
广&rsin^cGrsin0&prsin。
1.27计算散度。(加),▽•八▽•(%"),其中定为常矢量.
解:
V(z^p)」Js“)=2
Vr=VF=
…。,口r/中夕①lea1//加、1/①
1.28由▽-<!)=--+—「推1A导▽-<!)=----(p-)+——-
解:
a2od.15co.icd>
——-=(cos3----sing-----Xcos。-----sing-----)
dx*dppd(pdppd(p
.c20).51cO.1ccd)
=cos-cp--r-sinecos伊——(-----)-sin伊-----(cos^?)
dp-dppd(ppd(pdp
a2<D,.d1a、/.纯Ir<D
——-=(sme—+cos@----)(sin*——+cos尹-----)x
力-dppd(pdppd<p
Qi]a
+sinecose—(----)+cose-----(sine——)
dppd(ppdtpdp
(c。酩果
+COS67-;----
P'3s
,,d)中d}.\d和
Vd)=cos*(/)——--sin^cos^—(---)-sin(p——(cQs(p——)
dp'dppdippdipdp
1dc^>
+sm^——(sm^—)
p-o(pd(p
,a2oe/&D、ie/.w>、
+snr(p—r+smecos伊——(----)+cos伊----(sm^——)
dp"dppc(ppd(pdp
1d
+cos^——z(cosv?—)
p-dtpc(p
%+S/J以-sMosJ也+S2OS」以
dp'pdpPd(pdppzdtp
,1ao).Id?61dd>,Ia2o)
4-COS*(p-----4-COS^Sin^--------cos^sm^--——4-COS*(p-r——r
pdppd(pdpp、d(pp-dqT
d2a)iaoia2o)
dp2pdpp:d(p:
1.29已知
a)f(r)=x2z
b)f(r)=p
c)f(r)=r
求
解:
1.30求矢量场户=成>+0+z£穿过山1,0<<^-,0<z<1确定的1*域的封闭面的通
量.
解:F=pp+(jj+zz
解法I:
目户•而=JJ1户•而+JJ户•"M+户•ds+J|F-ds
SS\SQSy
9为半径为1的圆弧侧面;另为侧平面;下端面:S4上端而。
IX
jj户•而=+zz)-zpd(pdz=JJppclqxlz=n
11
jjF-=Jj(/¥?+(&+zz)-(~y)dxdz=-Jj(j+7:'[,)dzdx
s.s.-ioJb+V*y=0
=JtZr-j<Zr=0
jj户.而=”(加+0+zi)(—z)pdpd(p=0
5、S3z=0
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解法2:
Id1五印
VF=-—^)+一一广+Y=2+1=3
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r-■«•***
\Adixyz
2aaa
i.3i由(▽x/),6=[jm------推导Vxx=———«
七;As岛W2
444
解:
1)设方=3/为边长为与,和Az的,中心在(x,y,z)的矩形回路
-dA,
A-dl=—/<Az-(JH----△z)Ar+(4H----Ar)Az-i-J,.Av
tdz.丹・
一身",+%如
dzdyf
A-dl
网.
----+—dA,—
dzdy
2)设方=卞,/为边长为At和Az的.中心在*,y,z)的矩形回路
r__SASA
jAdl=-/、Ar—(/;+«^AY)AZ+(4i力;Az
-25Az+%&At
dxdz
Asdxdz
3)设方=2,/为边长为At和与,的,中心在(x,j,,z)的矩形回路
-,0A
Adi7=-AAy-(A+——-Ay)A.v+(J,,+---A.v)Av+Ax
vxdydx
dAdA.
----xAyAxH----tZLvAv
生'dx
„-J..04HA.、dA.dAdASA
v*八以一三+靖+y+云x)+烈-至t+—)
戈
,
a-
4
1.32计算矢量场F=.xyf+2yzv-z的旋度
解:
=x(-2y)+p(0+0)+f(-x+0)
=-2yx-xz
1.33计算▽x万,Vx尸,▽x(zp),▽x0
解:
Vxp=-=0
Pdtp3
00
PP<PZ
cdd
Vx(zp)=-=0
Pcfp&
z00
rdrsin0(p
aa
Vxr=0
r'sin。百
r0
rf)
I.cos。*1
▽x0=r----------0—
/sin。dr加7,sin<7
00rsin。
1.34已知A=yx-xy.计算J-(VxA)
解:
对于任意矢量,若A=4(x,y)f+/,(x,.y)>1
£A
y
J旦u
VX=-长也+
及
44Cdy
44
,i4(x,J')o
--dAHA」
…M)=[4(x,y)f+4(-玄+右)R
1.35证明矢量场/向+*P+A>5既是无散场,乂是无旋场。
讦:
1.36已知£=/?oCOS停-Z?oSin的,求和Vxf。
解:
1瘟0
V£(sin体0)+
rsin^cG「sin。op
(sin0(-sin0))
rsin,弟
。_
2£0cos,2E0cos0
rsin附
d
dip
rsin0Ea
rOrsin^
1_6dd
r2sin0&万加
E0cos。-rE0sin30
=—(-&sirt?+航si田)=0
1.37证明Vx(<I>/1)=<I)Vx彳+V(I>xA•
+M4防F])+)'(4]-4丁)+石
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