2017年第十届全国中学生数理化学科能力展示活动

2017年第十届全国中学生数理化学科能力展示活动九年级数学解题技能展示试题（A卷）一、选择题1.若自然数n使得三个数的加法运算“”产生进位现象，则称n为“连加进位数”，例如，2不是“连加进位数”，因为2+3+4=9不产生进位现象；4是“连加进位数”，因为4+5+6=15产生进位现象；13是“连加进位数”，因为13+14+15=42产生进位现象；51是“连加进位数”，因为51+52+53=156产生进位现象.如果从0，1，2，99这100个自然数中任取一个数，那么取到“连加进位数”的概率是（A

）A．0.88B．0.89C．0.90D．0.912.如图,不规则四边形ABCD中:AB和CD是线段,AD和BC是圆弧,直线l⊥AB于E,当l从左至右移动(与线段AB有公共点)时,把四边形ABCD分成两部分,设AE=x,左侧部分的面积为y,则y关于x的大致图象是(C)3.7、在平面直角坐标系中，设点P到原点O的距离为ρ，OP与x轴的正方向的夹角为α（取逆时针方向），则用[ρ，α]表示点P的极坐标。显然，点P的坐标和它的极坐标存在一一对应关系。如点P的坐标(1，1)的极坐标为P[，45°]，则极坐标Q[4，60°]的坐标为(A)A、(2，)B、(2，-)C、(，2)D、(2，2)4.如右图，已知直线的表达式是,并且与轴，轴分别交于A,B两点。一个半径为1.5的⊙C，圆心C从点（0，1.5）开始以每秒0.5个单位的速度沿着轴向下运动，当⊙C与直线相切时，则该圆的运动时间为（D）A3s或6s;B6sC3sD6s或16s5.在△ABC中，D、E分别是BC、AB上的点，且且∠1=∠2=∠3，如果△ABC、△EBD、△ADC的周长依次是m、m1、m2，则的最大值是（C）ABCD6.在一个地球仪的赤道上用铁丝打一个箍，现将铁丝半径增大1米，需增加m米长的铁丝，假设地球的赤道上也有一个铁箍，同样半径增大1米，需增加n米长的铁丝，则m与n的大小关系是（B）

A.m＜nB.m=nC.m＞nD.无法确定m、n的大小7.如图甲是某学校存放学生自行车的车棚的示意图（尺寸如图甲所示），车棚顶部是圆柱侧面的一部分，其展开图是矩形。图2是车棚顶部截面的示意图，弧AB所在圆的圆心为O，车棚顶部是用一种帆布覆盖的，则覆盖棚顶的帆布的面积为（不考虑接缝等因素）（）。A160πB145πC120πD110π二、填空题9.“好酒也怕巷子深”，许多著名品牌是通过广告宣传进入消费者视线，已知某品牌商品靠广告销售的收入R与广告费A之间满足关系R＝(a为常数)，广告效应为D＝－A．那么精明的商人为了取得最大广告效应，投入广告费应为___．10.中国古代数学名著《九章算术》中记载了公元前344年商鞅督造的一种标准器——商鞅铜方升，其三视图如图年示（单位：寸）：若π取3，其体积为12.6（立方寸），则图中的值为3。11.如右图，时钟的钟面上标有1，2，3，…，12共12个数，一条直线把钟面分成了两部分，请你再用一条直线分割钟面，使钟面被分成三个不同的部分且各部分所包含的几个数的和都相等，则其中两个部分所包含的几个数的和都相等，则其中两个部分所包含的几个数分别是______和______．（1，2，11，12；3，4，9，10；5，6，7，8．）12.某玩具由一个圆形区域和一个扇形区域组成，如图在⊙O1和扇形O2CD中，⊙O1与O2C、O2D分别切于点A、B，已知∠CO2D=60°，E、F是直线O1O2与⊙O1、扇形O2CD的两个交点，且EF=24cm，设⊙O1的半径为xcm．若⊙O1和扇形O2CD两个区域的制作成本分别为0.45元/cm2和0.06元/cm2，当⊙O1的半径为4时，该玩具的制作成本最小。

（1）请你求出“蛋圆”抛物线部分的解析式，并写出自变量的取值范围；

（2）你能求出经过点C的“蛋圆”切线的解析式吗？试试看；

（3）开动脑筋想一想，相信你能求出经过点D的“蛋圆”切线的解析式。解：（1）根据题意可得：A(-1，0)，B(3，0)，

则设抛物线的解析式为(a≠0)，

又点D(0，-3)在抛物线上，

∴a(0+1)(0-3)=-3，

解之得：a=1

∴y=x2-2x-3，自变量范围：-1≤x≤3。（2）设经过点C“蛋圆”的切线CE交x轴于点E，连结CM，

在Rt△MOC中，∵OM=1，CM=2，

∴∠CMO=60°，OC=，

在Rt△MCE中，∵OC=2，∠CMO=60°，

∴ME=4，

∴点C、E的坐标分别为(0，)，(-3，0)，

∴