数学高考解三角形复习

27讲对本讲内容的主要涉及三角形的边角转化三角形形状的判断三角形内三角函数的 ＝a（ac

c

，tanA＝b6-29，在△ABC中，A、B、C为其内角，a、b、cA、B、C sin

sin

sin

2R（R为外接圆半径三角形的面积121

2

21

chc（ha、hb、hca、b、c上的高12

2

2

a2sinBsin2sin(B

b2sinCsin＝2sin(C

c2sinAsin s(s(sa)(sb)(s

；s1(abc)；2 2 （1）角与角关系：A+B+C（2）边与边关系：abc，bca，cab，a－bc，b－ca，c－a

sin

sin

2R（R为外接圆半径余弦定理c2a2+b2－2bccosC，b2a2+c2－2accosB，a2它们的变形形式有：a2R

sinAsin

b2c2acosA 三角形中的三角变换，除了应用上述和上述变换方法外，还要注意三角形自身的，所以

A2

cos2

,

A2

sinC2r为三角形内切圆半径，p△ABC是正三角形的充分必要条件是∠A，∠B，∠Ca，b，c（2009岳阳一中第四次月考）.ABCABaACbab0

aa

，则BAC

30B．

D．30或答案1（1）（2）在ABC中，已知a20cm，b28cm，A400，解三角形（角度精确到10，边长精1cm（1）C1800(AB)1800(32.0081.80)66.20basinBsincasinCsin

sin

因为00B＜1800B640B①当B640时 C1800(AB)1800(400640)760casinCsin

B1160

C180(AB)180(40116)

，csinA

（2）32（1）3

，c6

2B600b（2）在ABCa134.6cmb87.8cmc161.7cm，解三角形（1）b2a2c22accosB=(23)2(6

2)2223(6

2)cos=12(6=∴b2

2)243(3(22)2(62)(22)2(62)2(2222(6

∴A60解法二：∵sinAasinB232 2又∵6∴

22.41.43.8,2321.83.6ac，即00Ab2c2cos

cos

c2a2

134.62161.72

C1800(AB)1800(5602032053)A2：三角形面积例3．在ABC中，sinAcosA 2，AC2，AB3，求tanA的值和2sinAcosA

2cos(A45) 22cos(A45)1又0A18060)60)31

A

23sinAsin105sin(4560)sin45cos60cos45sin60

264 1ACABsinA123

2 63

2 6)2

解法二：由sinAcosA计算它的对偶关系式sinAcosAsinAcosA 2(sinAcosA)222sinAcosA20A180,sinA0,cosA(sinAcosA)212sinAcosA32sinAcosA 22 ①+② sinA2 42 ①－② cosA2 42 sin 2 23从而tanA 223cos 4（2009湖南卷文）在锐角ABCBC1B2AAC的取值范围

cos

的值等 答案2(解 设A,B2.由正弦定理sin

BC,由锐角1801803

，故

2cos 3 35（2009（ 所对的边分别为a,b,c，满足cosA

，ABAC3（I）求ABC的面积 （II）若bc6，求a的值解（1）因为cosA

，cosA2cos2A

ABABAC得bccosA3bc5

1bcsinA2（2）对于bc5，又bc6，b5c1或b1c55a2b2c22bccosA20，a5例6（2009 卷Ⅰ理）在ABC中，内角A、B、C的对边长分别为a、b、c，已a2c22b，且sinAcosC 求分析：:此题事实上比较简单,但考生反应不知从何入手.对已知条件(1a2c22b左侧是sinAcosC3cosAsinC,过多的关注两角和与差的正弦,甚至有的学生还想用现在解法一：在ABC

sinAcosC

a2b2a

b2c23

2

.又由已知

2

.解得b4或b0(舍所以b2ccosA

a2c2b22bccosA.又a2c22bb0①又sinAcosC3cosAsinC，sinAcosCcosAsinC4cosAsinsin(AC4cosAsinC，即sinB4cosAsin由正弦定理得sinB

，故b4ccos 由①，②解得b4评析:从08年高考考纲中就明确提出要加强对正余弦定理的考查.在备应注意总结、7ABCA、B、CAcosA2cosBC22B+C 2

2=2

，所以有cos =sin2

1 2 =cosA+2sin2=1－2sin2+2sin2=－2(sin22

) 2

sin2

时cosA+2cos

28（2009（ 所对的边分别为a,b,c， 满足

，ABAC3求ABC的面积 （II）若c1，求a的值4解（Ⅰ）cosA24

A

，sinA

.cosA bc331cos2bc5，所以ABC1bcsinA1541cos2 （Ⅱ）由（Ⅰ）知bc5，而c1bb2c22bcb2c22bccos5式以及倍角，应用、分析和计算能力a2－c2=ac－bc，求∠AbsinBc2b2=ac2c

bsinB

在△ABC

b2c2a

=bc=1

在△ABCsinBbsinAabsin b2sin∴

3 3解法二：在△ABC中，由面 得1bcsinA=

bsinB=sinA=3 33

Atan

AtanC A2

A2

33tanAtan3得 2 31tanAtan 33所以tanAtanC tanAtanC33 33tanAtanC tanAtanC 33 5例12（2009 卷文）在ABC中，A、B为锐角，角A、B、C所对的边分别5a、b、c，且sinA AB2若ab 1，求a、b、c的值25解（I）∵A、B为锐角，sinA 5∴cosA

25,cosB

31sin211sin21sin2cos(AB)cosAcosBsinAsinB25310

510 2∵0AB

∴AB422由（I）知C

，∴sinC a asin

sin

sin5a

10b

2c，即a 2又∵ab 22 2bb ∴b22∴a213（2009

AB

B

角分别为

，

CB

D的仰角均为

B，D距离与另外哪两点间距离相等，然后求 D的

解:在△ABC中，∠DAC=30∠ADC=60°－∠DAC=30,CD=AC=0.1又∠BCD=180°－60°－60°=60°，CB是△CADAD在△ABC

3232 32因此

60.33km故B，D的距离约为0.33km （2（2009（水平方向在A，B两点进量，A，B，M，N在同一个铅垂平面内（如示意图飞机能够测量的数据有俯角和A，B间的距离，请设计一个方案，包括：①需要测量的数据（用字母表示，并在图中标出；②用文字和写出计算M，N间的距离的步骤

解：方案一：①需要测量的数据有：AM，N点的俯角；BN的俯角

；A，Bd（如图所示）AM.AM

d AN.AN

dsin；第三步：计算MN.由余弦定 AM，N点的俯角

1；B点到M，N点的府角22；A，Bd（图所示BM.BM

d BN.BN

dsin sin(2MN.5 卷文）在ABCA、BA、B、C5a、b、c，且sinA AB25若ab 1，求a、b、c的值25解（I）∵A、B为锐角，sinA ∴cosA

25,cosB

31sin211sin21sin2cos(AB)cosAcosBsinAsinB25310

510 2∵0AB∴AB4

由