2022-2023学年广东省茂名市第三高级中学高三数学理测试题含解析

2022-2023学年广东省茂名市第三高级中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设，是两个不同的平面，m是直线且．“”是“”的（）A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件参考答案：B试题分析：，得不到，因为可能相交，只要和的交线平行即可得到；，，∴和没有公共点，∴，即能得到；∴“”是“”的必要不充分条件．故选B．考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.【方法点晴】考查线面平行的定义，线面平行的判定定理，面面平行的定义，面面平行的判定定理，以及充分条件、必要条件，及必要不充分条件的概念，属于基础题；并得不到，根据面面平行的判定定理，只有内的两相交直线都平行于，而，并且，显然能得到，这样即可找出正确选项.2.“函数只有一个零点”是的 A．必要不充分条件 B．充分不必要条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件参考答案：A略3.有一个容量为66的样本，数据的分组及各组的频数如下：[11.5，15.5)

2

[15.5，19.5)

4

[19.5，23.5)

9

[23.5，27.5)

18[27.5，31.5)

1l

[31.5，35.5)

12

[35.5，39.5)

7

[39.5，43.5)

3根据样本的频率分布估计，大于或等于31.5的数据约占（A）

（B）

（C）

（D）参考答案：B大于或等于31.5的数据共有12+7+3=22个，约占，选B．4.复数R，则实数等于（） A．1

B．

C．0

D．±1参考答案：A略5.设是虚数单位，是复数的共轭复数.若复数满足，则（

）A.

B.

C.

D.参考答案：D6.某产品的广告费用x（百万元）与销售额y（百万元）的统计数据如表：x24568y2533m5575根据表中数据，用最小二乘法得出y与x的线性回归方程为=8.6x+5，则表中的m的值为（）A．46 B．48 C．50 D．52参考答案：D【考点】线性回归方程．【分析】由表中数据计算、，根据回归直线方程过样本中心点，求出m的值即可．【解答】解：由表中数据，计算=×（2+4+5+6+8）=5，=×（25+33+m+55+75）=37.6+，∵回归直线方程=8.6x+5过样本中心，∴37.6+=8.6×5+5，解得m=52．故选：D7.一次猜奖游戏中，1，2，3，4四扇门里摆放了a，b，c，d四件奖品（每扇门里仅放一件）．甲同学说：1号门里是b，3号门里是c；乙同学说：2号门里是b，3号门里是d；丙同学说：4号门里是b，2号门里是c；丁同学说：4号门里是a，3号门里是c．如果他们每人都猜对了一半，那么4号门里是（）A．a B．b C．c D．d参考答案：A【考点】进行简单的合情推理．【分析】根据题意，条件“四人都只说对了一半”，若甲同学猜对了1﹣b，依次判断3﹣d，2﹣c，4﹣a，再假设若甲同学猜对了3﹣c得出矛盾．【解答】解：根据题意：若甲同学猜对了1﹣b，则乙同学猜对了，3﹣d，丙同学猜对了，2﹣c，丁同学猜对了，4﹣a，根据题意：若甲同学猜对了3﹣c，则丁同学猜对了，4﹣a，丙同学猜对了，2﹣c，这与3﹣c相矛盾，综上所述号门里是a，故选：A．8.已知集合A={x|0<x<3}，B={x|x2≥4}，则A∩B=

A．{x|-2<x<0}

B．{x|2<x<3}

C．{x|2≤x<3}

D．{x|x≤-2或2≤x<3}参考答案：C略9.已知向量与不共线，且，若，则向量与的夹角为A． B．C． D．0参考答案：A10.设正实数a、b、c分别满足，，，则a、b、c的大小关系为（

）A. B.C. D.参考答案：B【分析】由，可得或．将，变形为：，．分别作出函数：，，的图象．即可得出大小关系．【详解】解：，解得或，，分别作出函数：，，的图象．

由图可知故选：【点睛】本题考查了指数函数与对数函数的图象及其单调性，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.(几何证明选做题)如图，是⊙的直径，是延长线上的一点，过作⊙的切线，切点为，，若，则⊙的直径

．

参考答案：4略12.已知向量，，，若∥，则=

．参考答案：5略13.设正项等比数列的前项和为，若，则

;参考答案：9在等比数列中，也成等比数列，即成等比，所以，所以，所以或（舍去）.14.设函数f（x）=3x3﹣x+a（a＞0），若f（x）恰有两个零点，则a的值为．参考答案：

【考点】函数零点的判定定理．【分析】利用导数求出函数的极大值和极小值，要使函数f（x）=3x3﹣x+a恰有2个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0，由此求得a值．【解答】解：∵f（x）=3x3﹣x+a，∴f′（x）=9x2﹣1，由f'（x）＞0，得x＞或x＜﹣，此时函数单调递增，由f'（x）＜0，得﹣＜x＜，此时函数单调递减．即当x=﹣时，函数f（x）取得极大值，当x=时，函数f（x）取得极小值．要使函数f（x）=3x3﹣x+a恰有两个零点，则满足极大值等于0或极小值等于0，由极大值f（﹣）==0，解得a=﹣；再由极小值f（）=，解得a=．∵a＞0，∴a=．故答案为：．15.图1是随机抽取的15户居民月均用水量（单位：t）的茎叶图，月均用水量依次记为A1、A2、…A15，图2是统计茎叶图中月均用水量在一定范围内的频数的一个程序框图，那么输出的结果n=．参考答案：8【考点】程序框图．【分析】算法的功能是计算15户居民在月均用水量中，大于2.1的户数，根据茎叶图可得月均用水量的户数，求出n的值．【解答】解：由程序框图知：算法的功能是计算15户居民在月均用水量中，大于2.1的户数，由茎叶图得，在15户居民用水中中，大于2.1的户数有8户，∴输出n的值为8．故答案为：8．16.设实数满足约束条件，若目标函数的最大值为9，则d=的最小值为__

___。参考答案：；17.已知函数，其中表示不超过实数的最大整数，如.若，则的值域为

.参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数g（x）=（2﹣a）lnx，h（x）=lnx+ax2（a∈R），令f（x）=g（x）+h′（x），其中h′（x）是函数h（x）的导函数．（Ⅰ）当a=0时，求f（x）的极值；（Ⅱ）当﹣8＜a＜﹣2时，若存在x1，x2∈[1，3]，使得恒成立，求m的取值范围．参考答案：【考点】利用导数求闭区间上函数的最值；利用导数研究函数的极值．【分析】（Ⅰ）把a=0代入函数f（x）的解析式，求其导函数，由导函数的零点对定义域分段，得到函数在各区间段内的单调性，从而求得函数极值；（Ⅱ）由函数的导函数可得函数的单调性，求得函数在[1，3]上的最值，再由恒成立，结合分离参数可得，构造函数，利用导数求其最值得m的范围．【解答】解：（I）依题意h′（x）=，则，x∈（0，+∞），当a=0时，，，令f′（x）=0，解得．当0＜x＜时，f′（x）＜0，当时，f′（x）＞0．∴f（x）的单调递减区间为，单调递增区间为．∴时，f（x）取得极小值，无极大值；（II）=，x∈[1，3]．当﹣8＜a＜﹣2，即＜＜时，恒有f′（x）＜0成立，∴f（x）在[1，3]上是单调递减．∴f（x）max=f（1）=1+2a，，∴|f（x1）﹣f（x2）|max=f（1）﹣f（3）=，∵x2∈[1，3]，使得恒成立，∴＞，整理得，又a＜0，∴，令t=﹣a，则t∈（2，8），构造函数，∴，当F′（t）=0时，t=e2，当F′（t）＞0时，2＜t＜e2，此时函数单调递增，当F′（t）＜0时，e2＜t＜8，此时函数单调递减．∴，∴m的取值范围为．19.公差不为零的等差数列中，且成等比数列。（1）求数列的通项公式；（2）设，求数列的通项公式参考答案：解:

(Ⅰ)．

(Ⅱ)．略20.（本小题满分13分）直角坐标系中，锐角的终边与单位圆的交点为，将绕逆时针旋转到，使，其中是与单位圆的交点，设的坐标为.（Ⅰ）若的横坐标为，求；（Ⅱ）求的取值范围.参考答案：（Ⅰ）；（Ⅱ）试题分析：（Ⅰ）利用三角函数的定义，求出，转化为正切函数的形式，求解即可；（Ⅱ）表示出x+y的三角函数的形式，然后求解取值范围．试题解析：(Ⅰ)∵的横坐标为,

∴，

∴

∴

法二：∵的横坐标为,

∴，∴，

∴

（Ⅱ）,，

∴，

∴,

∴,∴的取值范围是

考点：任意角三角函数、二倍角的正切21.已知椭圆C：＋＝1（a＞b＞0）的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为．（Ⅰ）求a，b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有＝＋成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由．参考答案：(Ⅰ)设F(c，0)，当l的斜率为1时，其方程为x－y－c＝0，∴O到l的距离为，由已知，得＝，∴c＝1．由e＝＝，得a＝，b＝＝．

（Ⅱ）假设C上存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有＝＋成立，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则P(x1＋x2，y1＋y2)．由（Ⅰ），知C的方程为＋＝1．由题意知，l的斜率一定不为0，故不妨设l：x＝ty＋1．由，消去x并化简整理，得(2t2＋3)y2＋4ty－4＝0．由韦达定理，得y1＋y2＝－，∴x1＋x2＝ty1＋1＋ty2＋1＝t(y1＋y2)＋2＝－＋2＝，∴P(，－)．∵点P在C上，∴＋＝1，化简整理，得4t4＋4t2－3＝0，即(2t2＋3)(2t2－1)＝0，解得t2＝．当t＝时，P(，－)，l的方程为x－y－＝0；当t＝－时，P(，)，l的方程为x＋y－＝0．故C上存在点P(，±)，使＝＋成立，此时l的方程为x±y－＝0．

略22.（12分）某旅行社为3个旅游团提供甲、乙、丙、丁共4条旅游线路，每个旅游团任选其中一条．（1）求恰有2条线路没有被选择的概率；（2）设选择甲旅行线路的旅游团数为ξ，求ξ的分布列和数学期望．参考答案：考点： 离散型随机变量及其分布列；离散型随机变量的期望与方差．专题： 概率与统计．分析： （Ⅰ）利用等可能事件概率计算公式能求出恰有两条线路