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文档简介
2022-2023学年江苏省苏州市吴江芦墟中学高一数学理期末试题含解析一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分。在每小题给出的四个选项中,只有是一个符合题目要求的1.已知f(x)是定义在R上的单调函数,实数≠,≠-1,=,.若,则()
A.<0B.=0C.0<<1D.≥1
参考答案:解析:注意到直接推理的困难,考虑运用特取——筛选法.在选项中寻觅特殊值.
当=0时,=,=,则,由此否定B,
当=1时,=,f()=f(),则,由此否定D;
当0<<1时,是数轴上以分划定点,所成线段的定比分点(内分点),是数轴上以>1分划上述线段的定比分点(内分点),∴此时又f(x)在R上递减,∴由此否定C.因而应选A.2.已知△ABC是边长为1的等边三角形,点D、E分别是边AB、BC的中点,连接DE并延长到点F,使得DE=2EF,则?的值为()A.﹣ B. C. D.参考答案:B【考点】平面向量数量积的运算.【分析】由题意画出图形,把、都用表示,然后代入数量积公式得答案.【解答】解:如图,∵D、E分别是边AB、BC的中点,且DE=2EF,∴?========.故选:B.3.已知是正三角形内部一点,,则的面积与的面积之比是(
)
(A)
(B)
(C)2
(D)参考答案:B略4.从两个班级各随机抽取5名学生测量身高(单位:cm),甲班的数据为169,162,150,160,159,乙班的数据为180,160,150,150,165.据此估计甲、乙两班学生的平均身高,及方差,的关系为(
)A., B., C., D.,参考答案:C【分析】利用公式求得和,从而得到和的大小,观察两组数据的波动程度,可以得到与的大小,从而求得结果.【详解】甲班平均身高,乙班平均身高,所以,方差表示数据的波动,当波动越大时,方差越大,甲班的身高都差不多,波动比较小,而乙班身高差距则比加大,波动比较大,所以,故选C.【点睛】该题考查的是有关所给数据的平均数与方差的比较大小的问题,涉及到的知识点有平均数的公式,观察数据波动程度来衡量方差的大小,属于简单题目.
5.(4分)直线2x﹣y﹣1=0被圆(x﹣1)2+y2=2所截得的弦长为() A. B. C. D. 参考答案:D考点: 直线与圆相交的性质.专题: 计算题;数形结合.分析: 本题拟采用几何法求解,求出圆的半径,圆心到直线的距离,再利用弦心距、半径、弦的一半三者构成的直角三角形,用勾股定理求出弦长的一半,即得弦长解答: 由题意,圆的半径是,圆心坐标是(1,0),圆心到直线2x﹣y﹣1=0的距离是=故弦长为2=故选D点评: 本题考查直线与圆相交的性质求解本题的关键是利用点到直线的距离公式求出圆到直线的距离以及利用弦心距、弦的一半、半径三者构成的直角三角形求出弦长.6.二次函数y=图像的顶点在(
)A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限参考答案:B略7.若函数的减区间是,则实数值是(
)
A.
B.
C.
D.参考答案:B略8.要得到的图象只需将的图象()A.向左平移个单位
B.向右平移个单位C.向左平移个单位
D.向右平移个单位参考答案:C因为,所以由y=3sin3x的图象向左平移个单位得到
9.函数的图象的一条对称轴是A.
B.
C.
D.参考答案:C略10.已知,且下列大小关系正确的是(
)A
B
C
D
参考答案:A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.如图,AB是⊙O的直径,C是圆周上不同于A、B的点,PA垂直于⊙O所在的平面,AE⊥PB于E,AF⊥PC于F,因此,
⊥平面PBC.(填图中的一条直线)参考答案:AF12.函数恒过定点
.参考答案:(2,1)13.已知变量满足条件,若目标函数仅在点(3,3)处取得最小值,则的取值范围是___________________.参考答案:
;略14.已知幂函数y=f(x)的图象过点=
.参考答案:3【考点】幂函数的概念、解析式、定义域、值域.【专题】函数的性质及应用.【分析】利用幂函数的定义先求出其解析式,进而得出答案.【解答】解:设幂函数f(x)=xα(α为常数),∵幂函数y=f(x)的图象过点,∴,解得.∴.∴.故答案为3.【点评】正确理解幂函数的定义是解题的关键.15.直线3x-4y+5=0关于y轴的对称直线为________________参考答案:7x+y+22=016.在△ABC中,A=60°,b=1,其面积为,则=
参考答案:2
17.(5分)sin960°的值为
.参考答案:考点: 诱导公式的作用.专题: 计算题.分析: 利用诱导公式,先化为0°~360°的正弦,再转化为锐角的正弦,即可求得解答: 由题意,sin960°=sin(720°+240°)=sin240°=sin(180°+60°)=﹣故答案为:点评: 本题的考点是诱导公式的应用,解题的关键是正确选用诱导公式转化.三、解答题:本大题共5小题,共72分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤18.对于数列{an},{bn},Sn为数列{an}是前n项和,且Sn+1﹣(n+1)=Sn+an+n,a1+b1=2,bn+1=3bn+2,n∈N*.(1)求数列{an},{bn}的通项公式;(2)令cn=,求数列{cn}的前n项和Tn.参考答案:【考点】8E:数列的求和;8H:数列递推式.【分析】(1)Sn+1﹣(n+1)=Sn+an+n,可得:an+1﹣an=2n+1.利用累加求和方法可得:an.由a1+b1=2,可得b1=1.由bn+1=3bn+2,n∈N*.变形为:bn+1+1=3(bn+1).利用等比数列的通项公式即可得出.(2)由(1)可得:cn==.利用错位相减法即可得出.【解答】解:(1)∵Sn+1﹣(n+1)=Sn+an+n,∴an+1﹣an=2n+1.∴an=(an﹣an﹣1)+(an﹣1﹣an﹣2)+…+(a2﹣a1)+a1=(2n﹣1)+(2n﹣3)+…+3+1==n2.由a1+b1=2,∴b1=1.∵bn+1=3bn+2,n∈N*.∴bn+1+1=3(bn+1).∴数列{bn+1}是等比数列,公比为3,首项为2.∴bn+1=2×3n﹣1,解得bn=2×3n﹣1﹣1..(2)由(1)可得:cn==.∴Tn=2++…+,=++…++,相减可得:=2++…+﹣=1+﹣,∴Tn=﹣.19.已知Sn为数列{an}的前n项和,且有a1=1,Sn+1=an+1(n∈N*).(1)求数列{an}的通项an;(2)若bn=,求数列{bn}的前n项和Tn;(3)设ck=,{ck}的前n项和为An,是否存在最小正整数m,使得不等式An<m对任意正整数n恒成立?若存在,求出m的值;若不存在,说明理由.参考答案:【考点】数列的求和.【分析】(1)在数列递推式中取n=n﹣1得另一递推式,作差后即可证得数列为等比数列,代入等比数列的通项公式得答案;(2)把数列{an}的通项代入bn=,然后利用错位相减法求数列{bn}的前n项和Tn;(3)把Sk,Tk代入ck=,整理后利用裂项相消法化简,放缩后可证得数列不等式.【解答】(1)当n=1时,a2=S1+1=a1+1=2;当n≥2时,Sn+1=an+1,Sn﹣1+1=an,相减得an+1=2an,又a2=2a1,{an}是首项为1,公比为2的等比数列,∴;(2)由(1)知,∴,∴,,两式相减得=,∴;(3)CK===.∴==.若不等式∴<m对任意正整数n恒成立,则m≥2,∴存在最小正整数m=2,使不等式∴<m对任意正整数n恒成立.…20.如图,在梯形ABCD中,,,,(Ⅰ)若,求实数的值;(Ⅱ)若,求数量积的值参考答案:(Ⅰ)(Ⅱ)【分析】(Ⅰ)根据平面向量基本定理求解,(Ⅱ)根据向量数量积定义求解【详解】(Ⅰ)因为,所以,,因此,(Ⅱ)【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量数量积,考查基本分析判断与求解能力,属中档题.21.已知.(1)化简;(2)若是第二象限角,且,求的值.参考答案:(1)(2)【分析】(1)利用三角函数的诱导公式即可求解.(2)利用诱导公式可得,再利用同角三角函数的基本关系即可求解.【详解】(1)由题意得.(2)∵,∴.又为第二象限角,∴,∴.【点睛】本题考查了三角函数的诱导公式以及同角三角函数的基本关系,属于基础题.22.(本小题13分)在海岸A处,发现北偏东45°方向距A为-1海里的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°的方向,距A为2海里的C处的缉私船奉命以10海里/小时的速度追截走私船.此时走私船正以10海里/小时的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿着什么方向能最快追上走私船?并求出所需要的时间.(注:≈2.449)参考答案:解:设缉私船追上走私船所需时间为t小时,如图所示,则有CD=10t海里,BD=10t海里.在△ABC中,∵AB=(-1)海里,AC=2海里,∠BAC=4
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