2022年北京怀柔县杨宋中学高三数学理模拟试题含解析

2022年北京怀柔县杨宋中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.如图，在矩形区域ABCD的A，C两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ADE和扇形区域CBF（该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常）．若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是A．1－

B．－1

C．2－

D．参考答案：A略2.曲线处的切线方程是

（

）

A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.已知数列{an}满足a1＝1，，则＝()A

1

B

0

C

2014

D

－2014参考答案：B略4.已知为等比数列，，，则（

）

A.7

B.5

C.－5

D.－7参考答案：D

5.复数（i是虚数单位），则（

）A．

B．

C．－1

D．参考答案：D因为复数，所以，故选D.

6.某棱锥的三视图如图所示，则该棱锥的外接球的表面积为A.

B.

C.

D.参考答案：B7.若函数在区间上为减函数，则a的取值范围是

（

）

A．（0，1）

B．

C．

D．参考答案：C8.函数的定义域是

（

）A．

B．

C．

D．参考答案：C9.“a=”是函数y=cos2ax－sin2ax的最小正周期为“π”的(

)A充分不必要条件

B必要不充分条件

C充要条件

D既不充分条件也不必要条件参考答案：C略10.设集合，，则=（）A．

B．C．

D．参考答案：B略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某同学学业水平考试的科成绩如茎叶图所示，则根据茎叶图可知该同学的平均分为

．参考答案：12.如图，圆O与x轴正半轴交点为A，点B，C在圆O上，圆C在第一象限，且B（，﹣），∠AOC=α，BC=1，则cos（﹣α）=．参考答案：﹣【考点】两角和与差的余弦函数；两角和与差的正弦函数．【分析】由题意求得∠AOB=﹣α，由直角三角形中的三角函数的定义可得sin（﹣α）=sin∠AOB=，利用诱导公式化简可求cos（﹣α）的值．【解答】解：如图，由B（，﹣），得OB=OC=1，又BC=1，∴∠BOC=，∠AOB=﹣α，由直角三角形中的三角函数的定义可得sin（﹣α）=sin∠AOB=，∴cos（﹣α）=cos[（﹣α）+]=﹣sin（﹣α）=﹣．故答案为：﹣．【点评】本题考查三角函数的化简求值，考查三角函数的定义，考查诱导公式在三角函数化简求值中的应用，是基础题．13.如图，已知与相交于A，B两点，直线PQ切于P，与交于N、Q两点，直线AB交PQ于M，若MN=2，PQ=12，则PM=________________。参考答案：414.已知，若存在，满足,则称是的

一个“友好”三角形.(i)在满足下述条件的三角形中，存在“友好”三角形的是____：（请写出符合要求的条件的序号）①；②；

③.(ii)若等腰存在“友好”三角形，且其顶角的度数为___.参考答案：②；【考点】解斜三角形【试题解析】(i)对①：因为所以①不存在“友好”三角形；

对②：若，

同理：故②存在“友好”三角形；

对③：若满足，则或都不能构成三角形，故③不存在“友好”三角形。

(ii)若等腰存在“友好”三角形，则A=B，所以A+A+C=

或，分析知。

所以即

故C=．即顶角的度数为。15.．如图中的曲线为，则阴影部分面积为__________．参考答案：．16.在区间上任意取两个实数，则函数在区间上有且仅有一个零点的概率为_______________．参考答案：17.已知正数a，b的等比中项是2，且m=b+，n=a+，则m+n的最小值是

．参考答案：5【考点】基本不等式．【专题】计算题；转化思想；综合法；不等式．【分析】由题意：正数a，b的等比中项是2，得ab=4，m+n=b++a+，利用基本不等式求解．【解答】解：由题意：正数a，b的等比中项是2，得ab=4，∵m=b+，n=a+，∴m+n=b++a+．由ab=4，那么b=∴b++a+=，当且仅当a=2时取等号．所以m+n的最小值是5．故答案为：5．【点评】本题考查了“消元法”与基本不等式的性质，属于基础题．三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分12分）已知函数.（Ⅰ）求的单调区间；（Ⅱ）若曲线与有三个不同的交点，求实数的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）

------------------------------------2分令，解得或.

------------------------------------4分当时，；当时，

∴的单调递增区间为，单调递增区间为--------------6分（Ⅱ）令，即

∴

设，即考察函数与何时有三个公共点------------------------------------8分令，解得或.当时，当时，

∴在单调递增，在单调递减

----------------------9分

------------------------------------10分根据图象可得.

------------------------------------12分19.已知集合，集合．（1）当时，求；（2）若，求实数的取值范围；（3）若，求实数的取值范围．参考答案：（1）；（2）；(3).试题解析：（1）当时，（2）则得所以（3）因为①当时，即②当时，则即在时或，所以或所以综上所述的范围是考点：1、集合的并集；2、集合的交集及子集.20.已知函数有极小值．（1）求实数的值；（2）若，且对任意恒成立，求的最大值；（3）当时，证明：．参考答案：Ⅰ），令，令故的极小值为，得．

（Ⅱ）当时，令，令，，故在上是增函数由于，存在，使得．则，知为减函数；，知为增函数．又，，所以=3．

（Ⅲ）要证即证

即证，令，得

令为增函数，又，所以

是增函数，又=

．略21.设椭圆C：的左顶点为，且椭圆C与直线相切．（1）求椭圆的标准方程；（2）过点的动直线与椭圆C交于A，B两点，设O为坐标原点，是否存在常数，使得？请说明理由．参考答案：（1），（2）存在，．（1）根据题意可知，所以，······················1分由椭圆C与直线相切，联立得，消去可得：，·························3分，即，解得：或3，所以椭圆的标准方程为．···································5分（2）当过点的直线的斜率存在时，设直线的方程为，设两点的坐标分别为，，联立得，化简，所以，··········································7分所以，所以当时，；·························10分当过点的直线的斜率不存在时，直线即与轴重合，此时，所以，所以当时，；综上所述，当时，．···················12分22.设p：关于x的不等式ax＞1的解集是{x|x＜0}；q：函数的定义域为R．若p∨q是真命题，p∧q是假命题，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】复合命题的真假．【分析】根据指数函数的单调性求得命题p为真时a的取值范围；利用求出命题q为真时a的范围，由复合命题真值表知：若p∨q是真命题，p∧q是假命题，则