河南省信阳市永和中学高三数学理上学期期末试卷含解析

河南省信阳市永和中学高三数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.不等式组表示的平面区域的面积为(

) A．7 B．5 C．3 D．14参考答案：A考点：简单线性规划．专题：不等式的解法及应用．分析：先画出满足条件的平面区域，再求出交点的坐标，根据三角形的面积公式求出即可．解答： 解：画出满足条件表示的平面区域，如图示：，∴平面区域的面积是×4×=7，故选：A．点评：本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，是一道基础题．2.已知函数f（x）=，则函数y=f（x）的零点个数为（）A．0 B．1 C．2 D．3参考答案：C【考点】函数零点的判定定理．【分析】分段解方程f（x）=0即可．【解答】解：当x≥0时，?x2﹣6x+9=0?x=3，符合题意；当x＜0时，f（x）=3x+2x单调递增，且f（﹣1）＜0，f（0）＞0，函数在（﹣1，0）上有一个零点，∴函数y=f（x）的零点个数为2，故选：C3.若直线y=x+4与圆（x+a）2+（y﹣a）2=4a（0＜a≤4）相交于A，B两点，则弦AB长的最大值为(

) A．2 B．4 C． D．2参考答案：B考点：直线与圆相交的性质．专题：计算题；直线与圆．分析：圆的圆心坐标为（﹣a，a），代入直线y=x+4，可得a=2，求出圆的半径，即可求出AB长的最大值．解答： 解：圆的圆心坐标为（﹣a，a），代入直线y=x+4，可得a=2，所以圆的半径为2，所以弦AB长的最大值为4，故选：B．点评：本题考查直线与圆的相交的性质，考查学生的计算能力，比较基础．4.已知圆x2+y2+2x﹣6y+5=0，将直线y=2x+λ向上平移2个单位与之相切，则实数λ的值为（）A．﹣7或3 B．﹣2或8 C．﹣4或4 D．0或6参考答案：B【考点】直线与圆的位置关系．【分析】根据直线平移的规律，由直线y=2x+λ向上平移2个单位得到平移后直线的方程，然后因为此直线与圆相切得到圆心到直线的距离等于半径，利用点到直线的距离公式列出关于λ的方程，求出方程的解即可得到λ的值．【解答】解：由题意知：直线2x﹣y+λ=0平移后方程为2x﹣y+λ+2=0．圆x2+y2+2x﹣6y+5=0的圆心坐标为（﹣1，3），半径为又直线与圆相切，则圆心到直线的距离等于圆的半径，即=，得λ=﹣2或8，故选B．【点评】此题考查学生掌握平移的规律及直线与圆相切时所满足的条件，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，是一道中档题．5.已知函数是定义在R上的奇函数，对都有成立，当且时，有。给出下列命题

(1)

(2)在[_2，2]上有5个零点

(3)(2013，0)是函数的一个对称中心

(4)直线是函数图象的一条对称轴则正确命题个数是

A．1

B．2

C．3

D．4

参考答案：C6.设函数，若对于任意，恒成立，则实数m的取值范围为（

）A. B. C. D.参考答案：C【分析】恒成立问题，利用分离参数法得到m＜，转为求函数在的最小值，从而可求得m的取值范围．【详解】由题意，f（x）＜﹣m+4，可得m（x2﹣x+1）＜5．∵当x∈[1，3]时，x2﹣x+1∈[1，7]，∴不等式f（x）＜﹣m+4等价于m＜．∵当x＝3时，的最小值为，∴若要不等式m＜恒成立，则必须m＜，因此，实数m的取值范围为（﹣∞，），故选：C．【点睛】本题考查恒成立问题的解法，经常利用分离参数法，转为求函数最值问题，属于中档题．7.函数的值域是（

）A.[0,1]

B.[-1,1]

C.[0,]

D.[-,1]参考答案：A略8.用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是(

)A．方程x2+ax+b=0没有实根B．方程x2+ax+b=0至多有一个实根C．方程x2+ax+b=0至多有两个实根D．方程x2+ax+b=0恰好有两个实根参考答案：A【考点】反证法与放缩法．【专题】证明题；反证法．【分析】直接利用命题的否定写出假设即可．【解答】解：反证法证明问题时，反设实际是命题的否定，∴用反证法证明命题“设a，b为实数，则方程x2+ax+b=0至少有一个实根”时，要做的假设是方程x2+ax+b=0没有实根．故选：A．【点评】本题考查反证法证明问题的步骤，基本知识的考查．9.已知函数，则下面结论正确的是（

）A．函数的最小正周期为B．C．函数的图像关于直线对称D．函数在区间上是增函数参考答案：D试题分析：由题意得，根据给定的图象可得，所以，所以，即，令，则，解得，所以函数的解析式为，当时，则，所以函数在区间上是增函数，故选D.考点：三角函数的图象与性质.10.已知双曲线的左右两个焦点分别为F1和F2，若其右支上存在一点P满足，使得△PF1F2的面积为3，则该双曲线的离心率为A. B.

C.2

D.3参考答案：B由双曲线可知，从而.故选B.二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.用数字0，1，2，3，4，5，6组成没有重复数字的四位数，其中个位、十位和百位上的数字之和为偶数的四位数共有______.参考答案：324分两大类：(1)四位数中如果有0，这时0一定排在个、十、百位任一位上，如排在个位，这时，十、百位上数字又有两种情况：①可以全是偶数；②可以全是奇数．故此时共有C32A33C41＋C32A33C41＝144(种)．(2)四位数中如果没0，这时后三位可以全是偶数，或两奇一偶．此时共有A33C31＋C32C31A33C31＝180(种)．故符合题意的四位数共有144＋180＝324(种)．12.已知，则

.参考答案：略13.已知数列中，=1，当，时，=，则数列的通项公式__________参考答案：14.（5分）已知△ABC中，∠A，∠B，∠C的对边分别为a，b，c，若a=1，2cosC+c=2b，则△ABC的周长的取值范围是．参考答案：（2，3]【考点】：余弦定理．【专题】：压轴题；解三角形．【分析】：由余弦定理求得cosC，代入已知等式可得（b+c）2﹣1=3bc，利用基本不等式求得b+c≤2，故a+b+c≤3．再由三角形任意两边之和大于第三边求得a+b+c＞2，由此求得△ABC的周长的取值范围．解：△ABC中，由余弦定理可得2cosC=，∵a=1，2cosC+c=2b，∴+c=2b，化简可得（b+c）2﹣1=3bc．∵bc≤，∴（b+c）2﹣1≤3×，解得b+c≤2（当且仅当b=c时，取等号）．故a+b+c≤3．再由任意两边之和大于第三边可得b+c＞a=1，故有a+b+c＞2，故△ABC的周长的取值范围是（2，3]，故答案为（2，3]．【点评】：本题主要考查余弦定理、基本不等式的应用，三角形任意两边之和大于第三边，属于中档题．15.已知全集等于

_______．参考答案：16.一个几何体的三视图及其尺寸如右图所示（单位：cm），则该几何体的体积是

cm3.

参考答案：略17.若在圆上有且仅有两个点到原点的距离为1，则实数的取值范围是

．参考答案：.试题分析：在圆上有且仅有两个点到原点的距离为1，圆与圆相交，两圆的圆心距，则，因此的取值范围.考点：1、圆的标准方程；2、圆与圆的位置关系.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设函数.（1）试讨论函数的单调性；（2）如果且关于x的方程有两解，，证明.参考答案：（1）由，可知.因为函数的定义域为，所以，①若时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增；②若时，当在内恒成立，函数单调递增；③若时，当时，，函数单调递减，当时，，函数单调递增.（2）要证，只需证.设，因为，所以为单调递增函数.所以只需证，即证，只需证.又，，所以两式相减，并整理，得.把代入式，得只需证，可化为.令，得只需证.令，则，所以在其定义域上为增函数，所以.综上得原不等式成立.19.从一批苹果中，随机抽取50个，其重量（单位：克）的频数分布表如下：分组（重量）频数（个）5102015(1)根据频数分布表计算苹果的重量在的频率；(2)用分层抽样的方法从重量在和的苹果中共抽取4个，其中重量在的有几个？(3)在（2）中抽出的4个苹果中，任取2个，求重量在和中各有1个的概率．参考答案：（1）苹果的重量在的频率为；（2）重量在的有个；（3）设这4个苹果中分段的为1，分段的为2、3、4，从中任取两个，可能的情况有：（1，2）（1，3）（1，4）（2，3）（2，4）（3，4）共6种；设任取2个，重量在和中各有1个的事件为A，则事件A包含有（1，2）（1，3）（1，4）共3种，所以.这个基础题，我只强调：注意格式！20.轮滑是穿着带滚轮的特制鞋在坚硬的场地上滑行的运动．如图，助跑道ABC是一段抛物线，某轮滑运动员通过助跑道获取速度后飞离跑道然后落到离地面高为1米的平台上E处，飞行的轨迹是一段抛物线CDE（抛物线CDE与抛物线ABC在同一平面内），D为这段抛物线的最高点．现在运动员的滑行轨迹所在平面上建立如图所示的直角坐标系，x轴在地面上，助跑道一端点A（0，4），另一端点C（3，1），点B（2，0），单位：米．（Ⅰ）求助跑道所在的抛物线方程；（Ⅱ）若助跑道所在抛物线与飞行轨迹所在抛物线在点C处有相同的切线，为使运动员安全和空中姿态优美，要求运动员的飞行距离在4米到6米之间（包括4米和6米），试求运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围？（注：飞行距离指点C与点E的水平距离，即这两点横坐标差的绝对值．）参考答案：【考点】抛物线的标准方程；函数与方程的综合运用．【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程．【分析】（1）设助跑道所在的抛物线方程为f（x）=a0x2+b0x+c0，由题意，助跑道一端点A（0，4），另一端点C（3，1），点B（2，0），得出方程组，由此能求出结果．（2）设飞行轨迹所在抛物线方程为g（x）=ax2+bx+c，（a＜0），由题意知，由此入手能求出g（x）有最大值，用飞行过程中距离平台最大高度，利用不等关系即可得出运动员飞行过程中距离平台最大高度的取值范围．【解答】解：（I）设助跑道所在的抛物线方程为f（x）=a0x2+b0x+c0，由题意知解得a0=1，b0=﹣4，c0=4，∴助跑道所在的抛物线方程为y=x2﹣4x+4．（II）设飞行轨迹所在抛物线方程为g（x）=ax2+bx+c，（a＜0）由题意知，得，解得∴g（x）=ax2+（2﹣6a）x+9a﹣5=a（x﹣）2+1﹣，令g（x）=1，得（x﹣）2=，∵a＜0，∴x=，当x=时，g（x）有最大值1﹣，则运动员飞行距离d=3﹣﹣3=﹣，飞行过程中距离平台最大高度h=1﹣﹣1=﹣，依题意4≤﹣≤6，得2≤﹣≤3．飞行过程中距离平台最大高度的取值范围在2米到3米之间．【点评】本题考查抛物线方程的求法，考查满足条件的实数的取值范围的求法，解题时要认真审题，仔细解答，注意等价转化思想的合理运用．21.如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠BAD=，AB=BC=AD=a，E是AD的中点，O是AC与BE的交点．将△ABE沿BE折起到如图2中△A1BE的位置，得到四棱锥A1﹣BCDE．（Ⅰ）证明：CD⊥平面A1OC；（Ⅱ）当平面A1BE⊥平面BCDE时，四棱锥A1﹣BCDE的体积为36，求a的值．参考答案：【考点】LZ：平面与平面垂直的性质；LW：直线与平面垂直的判定．【分析】（I）运用E是AD的中点，判断得出BE⊥AC，BE⊥面A1OC，考虑CD∥DE，即可判断CD⊥面A1OC．（II）运用好折叠之前，之后的图形得出A1O是四棱锥A1﹣BCDE的高，平行四边形BCDE的面积S=BC?AB=a2，运