上海市北中学高三数学理期末试题含解析

上海市北中学高三数学理期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若函数,则的值是（

）A． B．

C．

D．参考答案：C略2.执行如图所示的程序框图，会输出一列数，则这个数列的第3项是

A．870

B．30

C．6

D．3参考答案：B

【知识点】程序框图．L1解析：当N=1时，A=3，故数列的第1项为3，N=2，满足继续循环的条件，A=3×2=6；当N=2时，A=6，故数列的第2项为6，N=3，满足继续循环的条件，A=6×5=30；当N=3时，A=30，故数列的第3项为30，故选：B．【思路点拨】根据已知的框图，可知程序的功能是利用循环计算数列an的各项值，并输出，模拟程序的运行结果，可得答案．3.函数的零点个数是(

)(A)0

(B)l

(C)2

(D)4参考答案：C略4.等差数列{an}中，a1=2，a5=a4+2，则a3=（）A．4 B．10 C．8 D．6参考答案：D【考点】等差数列的通项公式．【分析】利用等差数列通项公式求出首项和公差，由此能求出a3．【解答】解：∵等差数列{an}中，a1=2，a5=a4+2，∴，解得a1=2，d=d=2，∴a3=2+2×2=6．故选：D．5.某企业拟生产甲、乙两种产品，已知每件甲产品的利润为万元，每件乙产品的利润为万元，且甲、乙两种产品都需要在、两种设备上加工．在每台设备、每台设备上加工1件甲产品所需工时分别为和，加工1件乙产品所需工时分别为和，设备每天使用时间不超过，设备每天使用时间不超过，则通过合理安排生产计划，该企业在一天内的最大利润是

(

)A．万元

B.

万元

C.万元 D.万元 参考答案：D6.P=log23，Q=log32，R=log2(log32)，则(

)A.R<Q<P

B.P<R<Q

C.Q<R<P

D.R<P<Q参考答案：A7.在直角坐标系中，直线的倾斜角是

A．

B．

C．

D．参考答案：D直线的斜截式方程为，即直线的斜率，所以，选D.8.己知定义在上的函数的导函数为，满足，，，则不等式的解集为 (A) (B) (C) (D)参考答案：B9.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．且c=4，B=45°，面积S=2，则b等于（）A．5B．C．D．25参考答案：A略10.在△ABC中,A=60，若a,b,c成等比数列，则

A.

B．

C.

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知x>0,y>0,且，则的最小值为________.参考答案：1212.以等腰直角的两个顶点为焦点，且经过第三个顶点的双曲线的离心率为

．参考答案：

略13.已知全集U=R，不等式的解集A，则

．参考答案：或略14.若函数f（x）=x﹣sin2x+asinx为R上的增函数，则实数a的取值范围是．参考答案：[﹣，]【分析】令cosx=t，通过讨论t=0的情况，再讨论t∈（0，1]的情况，分离参数，构造函数，利用函数的单调性即可求得实数a的取值范围．【解答】解：f′（x）=1﹣cos2x+acosx，若f（x）在R递增，则f′（x）≥0在R恒成立，即acosx≥cos2x﹣1=cos2x﹣在R恒成立，令cosx=t，则t∈[﹣1，1]，则at≥t2﹣在t∈[﹣1，1]恒成立，t=0时，显然成立，t∈（0，1]时，a≥t﹣，令h（x）=t﹣，显然h（t）在（0，1]递增，a≥h（x）max=h（1）=﹣，t∈[﹣1，0）时，a≤t﹣，故a≤h（x）min=h（﹣1）=，综上，a∈[﹣，]，故答案为：[﹣，]．【点评】本题考查不等式恒成立问题，解题的关键是分离参数，构造函数，利用函数的单调性求解15.设是的三边中垂线的交点,分别为角对应的边,已知,则的范围是___________．参考答案：略16.若cos2α=，则sin4α﹣cos4α=．参考答案：﹣【考点】二倍角的余弦．【专题】计算题．【分析】把所求的式子利用平方差公式化简，利用同角三角函数间的平方关系sin2α+cos2α=1进行化简，提取﹣1后再根据二倍角的余弦函数公式变形，将coc2α的值代入即可求出值．【解答】解：∵cos2α=，∴sin4α﹣cos4α=（sin2α﹣cos2α）（sin2α+cos2α）=﹣（cos2α﹣sin2α）=﹣cos2α=﹣．故答案为：﹣【点评】此题考查了同角三角函数间的基本关系，二倍角的余弦函数公式，以及平方差公式的运用，熟练掌握公式是解本题的关键．17.设向量与的夹角为，，，则等于

．参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知,是椭圆：的左右焦点，是椭圆上的两点，且都在轴上方，，设的交点为．（Ⅰ）求证：为定值；（Ⅱ）求动点的轨迹方程．参考答案：解：（I）证1：设直线所在直线的方程为，与椭圆方程联立

化简可得因为点在轴上方，所以所以同理可得：…………4分所以，所以===………………7分证2：如图2所示，延长交椭圆于,由椭圆的对称性可知：,所以只需证明为定值，设直线所在直线的方程为，与椭圆方程联立

化简可得：所以………………7分

（II）解法1：设直线，所在直线的方程为，所以点的坐标为……10分又因为，所以所以

，所以所以……………………15分解法2：如图3所示，设，则，所以

又因为,所以所以

……10分同理可得，所以

……………12分由(I)可知

……………14分所以所以动点的轨迹方程为………………15分19.如图，在多面体ABCDEF中，四边形ABCD为矩形，，均为等边三角形，，．（Ⅰ）过BD作截面与线段CF交于点N，使得平面，试确定点N的位置，并予以证明；（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，求直线BN与平面ABF所成角的正弦值．参考答案：（1）当为线段的中点时，使得平面．（2）试题分析：(1)当为线段的中点时，平面．连结AC交BD于M,连结MN.利用中位线定理即可证明,于是平面．(2)通过线面关系证得，．分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，用向量法求解即可.试题解析：（1）当为线段的中点时，使得平面．证法如下：连接，，设，∵四边形为矩形，∴为的中点，又∵为的中点，∴为的中位线，∴，∵平面，平面，∴平面，故为的中点时，使得平面．（2）过作分别与，交于，，因为为的中点，所以，分别为，的中点，∵与均为等边三角形，且，∴，连接，，则得，∵，，，∴，，∴四边形为等腰梯形．取的中点，连接，则，又∵，，，∴平面，过点作于，则，∴，．分别以，，的方向为，，轴的正方向，建立空间直角坐标系，不妨设，则由条件可得：，，，，，．设是平面的法向量，则即所以可取，由，可得，∴直线与平面所成角的正弦值为．点睛：高考对空间向量与立体几何的考查主要体现在以下几个方面：①求异面直线所成的角，关键是转化为两直线的方向向量的夹角；②求直线与平面所成的角，关键是转化为直线的方向向量和平面的法向量的夹角；③求二面角，关键是转化为两平面的法向量的夹角.建立空间直角坐标系和表示出所需点的坐标是解题的关键.20.已知二次函数对任意实数都满足，的最小值为且．令（）．（1）求的表达式；（2）若使成立，求实数的取值范围；（3）设，，证明：对、，恒有．参考答案：（Ⅱ）（）①当时，由对数函数性质，的值域为；②当时，，对，恒成立；③当时，由得，

…7分列表：—0+减极小增这时，．．综合①②③若，恒成立，则实数的取值范围为．故存在使成立，实数的取值范围为．

…………10分（Ⅲ）证明：因为对，，所以在内单调递减．于是，．

…………13分记（），则，所以函数在上是单调增函数，所以，故命题成立．

………………21.已知函数.(1)当时，求曲线在点处的切线方程;(2)求的单调区间.参考答案：(1)因为，，所以切线方程为即（2）当时，所以在区间上，在区间上，故的单调递增区间是，单调递减区间是.当时，由，可得.所以，在