湖南省长沙市育红中学高三数学理上学期期末试题含解析

湖南省长沙市育红中学高三数学理上学期期末试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.下列各式中值为的是 （

） A． B． C． D．参考答案：B因为，选B.2.已知、是平面向量，如果||=3，||=4，|+|=2，那么|﹣|=（）A． B．7 C．5 D．参考答案：A【考点】平面向量数量积的运算．【分析】根据条件对两边平方，从而可求出，这样即可求出的值，进而求出的值．【解答】解：根据条件：==4；∴；∴=9﹣（﹣21）+16=46；∴．故选：A．3.如图所示，两个非共线向量，的夹角为θ，M、N分别为OA与OB的中点，点C在直线MN上，且=x+y（x，y∈R），则x2+y2的最小值为（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】点到直线的距离公式；平面向量坐标表示的应用．【分析】法一：特殊值法，当θ=90°，||=||=1时，建立直角坐标系，得x+y=，所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1，由M、N分别为OA与OB的中点，可得x+y=，下同法一【解答】解法一：特殊值法，当θ=90°，||=||=1时，建立直角坐标系，∴=x+y得x+y=，所以x2+y2的最小值为原点到直线的距离的平方；解法二：因为点C、M、N共线，所以，有λ+μ=1，又因为M、N分别为OA与OB的中点，所以=∴x+y=原题转化为：当x时，求x2+y2的最小值问题，∵y=∴x2+y2==结合二次函数的性质可知，当x=时，取得最小值为故选B4.若的展开式中第3项的二项式系数为28，则展开式中所有项的系数之和为（

）

A、

B、

C、

D、参考答案：C5.某几何体的三视图如右图（其中侧视图中的圆弧是半圆），则该几何体的表面积为（

）A.

B.

C.

D.参考答案：A略6.中国古代数学著作《算法统宗》中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚疼减一半，六朝才得到其关，要见次日行里数，请公仔细算相还．”其大意为：“有一个人走了378里路，第一天健步行走，从第二天起脚疼每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问第二天走了？”根据此规律，求后3天一共走多少里（）A．156里 B．84里 C．66里 D．42里参考答案：D【考点】8B：数列的应用．【分析】由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列{an}，其中q=，S6=378．利用等比数列的通项公式与求和公式即可得出．【解答】解：由题意可得：此人每天所走的路形成等比数列{an}，其中q=，S6=378．则=378，解得a1=192．后3天一共走了a4+a5+a6==192××=42．故选：D．【点评】本题考查了等比数列的通项公式与求和公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．7.已知几何体的三视图如图所示，则这个几何体的体积是

（

）参考答案：B8.若是两条不同的直线，是三个不同的平面，则下列说法中正确的是（）A．∥∥

B．∥C．∥∥

D．∥∥参考答案：C9.定义在上的函数满足，，已知,则是的（

）条件．A．充分不必要

B．必要不充分

C．充分必要

D．既不充分也不必要参考答案：C10.已知△ABC的三边长为a，b，c，满足直线ax+by+2c=0与圆x2+y2=4相离，则△ABC是（）A．直角三角形 B．锐角三角形C．钝角三角形 D．以上情况都有可能参考答案：C【考点】J9：直线与圆的位置关系；GZ：三角形的形状判断．【分析】由题意可得，圆心到直线的距离＞2，即c2＞a2+b2，故△ABC是钝角三角形．【解答】解：∵直线ax+by+2c=0与圆x2+y2=4相离，∴圆心到直线的距离＞2，即c2＞a2+b2，故△ABC是钝角三角形，故选C．【点评】本题主要考查直线和圆的位置关系，点到直线的距离公式的应用，属于基础题．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.计算_____________________.参考答案：-2012.如图是一个算法流程图，则输出的b的值为_______．参考答案：8【分析】根据程序框图，写出每次运行结果，利用循环结构计算并输出b的值．【详解】第1步：a＞10不成立，a＝a＋b＝2，b＝a－b＝1；第2步：a＞10不成立，a＝a＋b＝3，b＝a－b＝2；第3步：a＞10不成立，a＝a＋b＝5，b＝a－b＝3；第4步：a＞10不成立，a＝a＋b＝8，b＝a－b＝5；第5步：a＞10不成立，a＝a＋b＝13，b＝a－b＝8；第6步：a＞10成立，退出循环，输出b＝8.故答案为：8【点睛】本题考查循环结构的程序框图，对循环体每次循环需要进行分析并找出内在规律，属于基础题．13.如图，点P在椭圆上，F1、F2分别是椭圆的左、右焦点，过点P作椭圆右准线的垂线，垂足为M，若四边形为菱形，则椭圆的离心率是

参考答案：略14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别是a，b，c，设S为△ABC的面积，S=（a2+b2﹣c2），则C的大小为

．参考答案：【考点】余弦定理．【分析】根据正弦定理关于三角形面积的公式结合余弦定理化简题中的等式，可得sinC=cosC．再由同角三角函数的基本关系，得到tanC=，结合C∈（0，π）可得C=，得到本题答案．【解答】解：∵△ABC的面积为S=absinC，∴由S=（a2+b2﹣c2），得（a2+b2﹣c2）=absinC，即absinC=（a2+b2﹣c2）∵根据余弦定理，得a2+b2﹣c2=2abcosC，∴absinC=×2abcosC，得sinC=cosC，即tanC==∵C∈（0，π），∴C=故答案为：15.在，内角,,的对边分别为，若，且，则＝

参考答案：16.若的展开式中第三项是常数项，则=

，且这个展开式中各项的系数和为

参考答案：答案:6,117.已知为奇函数，

．参考答案：6本题考查抽象函数求值问题，难度中等。由题知，，，所以。三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分14分）已知首项大于的等差数列的公差，且．（1）求数列的通项公式；（2）若数列满足：，，，其中．①求数列的通项；②是否存在实数，使得数列为等比数列？若存在，求出的值；若不存在，请说明理由．参考答案：（1）（2）①

②1【知识点】单元综合

（1）数列的首项，公差，，，

2，

整理得解得或（舍去）．因此，数列的通项．（2）①，

．

令，则有，．当时，，．因此，数列的通项．

②，，，

若数列为等比数列，则有，即，解得或．

当时，，不是常数，数列不是等比数列，当时，，，数列为等比数列．所以，存在实数使得数列为等比数列．

【思路点拨】，则，，

．求出通项，当时，，不是常数，数列不是等比数列，当时，，，数列为等比数列．所以，存在实数使得数列为等比数列．

19.已知四棱锥中平面，且，底面为直角分别是的中点．（1）求证：//平面；（2）求截面与底面所成二面角的大小；（3）求点到平面的距离．参考答案：解法1：以为原点，以分别为建立空间直角坐标系，由，分别是的中点，可得：，∴，………2分设平面的的法向量为，则有：令，则，

……………3分∴，又平面∴//平面

……………4分（2）设平面的的法向量为，又则有：令，则，

…………6分又为平面的法向量，

∴，又截面与底面所成二面角为锐二面角，∴截面与底面所成二面角的大小为

…………8分（3）∵，∴所求的距离………12分解法2：（1）//

………………1分

………………2分又平面，平面,

∴//平面

…………4分（2）易证：，，由（1）可知四点共面

，………………6分所以：，所以：

故截面与底面所成二面角的大小为…………8分

（3）…10分…12分20.（本小题满分12分）设、是函数图象上的两点，且，点P的横坐标为．（Ⅰ）求证：P点的纵坐标为定值，并求出这个定值；（Ⅱ）若，求；（Ⅲ）记Tn为数列的前n项和，若对一切

都成立，试求a的取值范围．参考答案：（Ⅰ）证：，∴P是P1P2的中点

（Ⅱ）解：由(1)知，，，相加得

(n-1个1)

（Ⅲ）

，当且仅当n=4时，取“=”，因此，21.如图，在正中，点,分别在边上,且，相交于点,求证：（1）四点共圆；（2）．

参考答案：证明：（I）在中，由知：≌，即．所以四点共圆；---5分（II）如图，连结．在中，,,由正弦定理知由由四点共圆知，,所以---10分22.（12分）某农产品去年各季度的市场价格如下表：季度第一季度第二季度第三季度第四季度每吨售价（单位：元）195.5200.5204.5199.5今年某公司计划按去年各季度市场价格的“平衡价”（平衡价是这样的一个量：与上年各季度售价差比较，与各季度售价差的平方和最小）收购该种农产品，并按每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购万吨，政策