常用微分公式

常用微分公式常用微分公式15/15~1-3~常用微分公式常用微分公式§1-3微分公式(甲)基本函数的微分公式

(1)eq\f(dxn,dx)=nxn1，nN。(2)。

(3)eq\f(dc,dx)=0，其中c为常数。(4)(sinx)/=cosx(5)(cosx)/=sinx

另一种表示：(xn)/=nxn1=eq\f(1,n)(c)/=0

证明：

(2)设a为f(x)=定义域中的任意点，

则f/(a)=eq\f(f(x)f(a),xa)

==

==eq\f(1,n)()=eq\f(1,n)()

(4)设a为任意实数，f(x)=sinx

eq\f(f(x)f(a),xa)=eq\f(sinxsina,xa)=

计算f/(a)=eq\f(f(x)f(a),xa)=()=cosa。

(1)(3)(5)自证

(乙)导数的四则运算

(1)f(x)与g(x)为可微分的函数。f(x)+g(x)为可微分的函数。

且eq\f(d,dx)(f(x)+g(x))=eq\f(d,dx)(f(x))+eq\f(d,dx)(g(x))成立。

另一种表示：(f(x)+g(x))/=f/(x)+g/(x)

证明：令h(x)=f(x)+g(x)，设a为h(x)定义域中的任一点

h/(a)=eq\f(h(x)h(a),xa)=

=(eq\f(f(x)f(a),xa)+eq\f(g(x)g(a),xa))=(eq\f(f(x)f(a),xa))+(eq\f(g(x)g(a),xa))

=f/(a)+g/(a)

例：求？

推论：eq\f(dx,d)(f1(x)+f2(x)+...+fn(x))=

(2)设f(x)为可微分的函数。cf(x)为可微分的函数。

且eq\f(d,dx)(cf(x))=ceq\f(df(x),dx)，特别c=1时，eq\f(d,dx)(f(x))=eq\f(df(x),dx)。

(3)，另一种表示：(f(x)g(x))/=f/(x)g/(x)

(4)eq\f(d,dx)(c1f1(x)+c2f2(x)+...+cnfn(x))=c1eq\f(d,dx)(f1(x))+c2eq\f(d,dx)(f2(x))+...+cneq\f(d,dx)(fn(x))

例如：(1)eq\f(d,dx)(anxn+an1xn1+...+a1x+a0)

(2)(3x52x3+4)/=？

(5)f(x)，g(x)为可微分的函数。f(x)g(x)为可微分的函数。

且eq\f(d,dx)(f(x)g(x))=eq\f(d,dx)(f(x))g(x)+f(x)eq\f(d,dx)(g(x))

另一种表示：(f(x)g(x))/=f/(x)g(x)+f(x)g/(x)

证明：

例如：试求

下面我们要推导例2的一般情形：

(a)=

(b)(逐次轮流微分)

(c)如果，则可得例如：试求的导数。

证明。(6)若f(x)，g(x)在x=a可微分，且，

则。

因此可得：若f(x)=1，则(eq\f(1,g(x)))/=例如：试求的导函数。

例如：求(eq\f(1,x2+x+1))/=？

例如：设为负有理数，证明。

结论：若设r为有理数，则。求下列各函数的导函数：

(1)(x2+2x)(x2+3x+2)(2)(x2)3(x21)(3)(x2+x+1)(4x3+x4)(x+3)

(3)eq\f(3,x3+2x+1)(4)eq\f((x+1)2,(x1)3)

Ans：(1)4x3+15x2+16x+4(2)(x2)2(5x24x3)

(3)(2x+1)(4x3+x4)(x+3)+(x2+x+1)(12x2+1)(x+3)+(x2+x+1)(4x3+x4)

(4)eq\f(3(3x2+2),(x3+2x+1)2)(5)eq\f((x+1)(x+5),(x1)4)

请利用(sinx)/=cosx，(cosx)/=sinx的结果证明：

(tanx)/=sec2x，(secx)/=secxtanx

试求下列的导函数：

(1)x36x2+7x11(2)(x3+3x)2(2x+1)(3)(x+1)(2x2+2)(3x2+x+1)(4)(2x3+x+1)5

Ans：(1)3x212x+7(2)2(x3+3x)(3x2+3)(2x+1)+2(x3+3x)

(3)(2x2+2)(3x2+x+1)+(x+1)(4x)(3x2+x+1)+(x+1)(2x2+2)(6x+1)

(4)5(2x3+x+1)4(6x2+1)

求下列各函数的导函数。

(1)f(x)=eq\f(x3+x+1,2x2+x+3)(2)f(x)=eq\f(3x,x2+3x+1)(3)f(x)=eq\f(1,4x3+3x2+2x+1)(4)f(x)=eq\f(1,x3+2x+1)

Ans：(1)eq\f(2x4+2x3+7x24x+2,(2x2+x+3)2)(2)eq\f(3x2+3,(x2+3x+1)2)

(3)eq\f(1,(4x3+3x2+2x+1)2)(12x2+6x+2)(4)eq\f(3x22,(x3+2x+1)2)证明，

(丙)连锁法则

(1)合成函数：

(a)设，则。

，

所以为x的函数。

(b)

(2)连锁法则：既然为x的函数，我们就可以讨论

例：设，则

利用，可得

=

上式并不是巧合，一般的情形亦是如此。

定理：(连锁法则ChainRule)

若f(x),g(y)都是可微分的函数，则合成函数亦可微分，

而且。

求？一般情形：，f(x)可微分，求=?

求f(x)=sin2x的导函数。Ans：2sinxcosx求下列函数的导函数：

(1)

(2)

(3)

Ans：(1)3tan2xsec2x(2)5csc5xcot5x(3)

设n为正整数而f(x)为可微分的函数，试用连锁律去计算(f(x))n的导函数。

Ans：n(f(x))n1f/(x)求eq\f(d,dx)(=？Ans：eq\f(1,5)(4x3+6x1)Ans：求下列各小题y/

(1)(2)(3)

(4)(5)

Ans：(1)(2)(3)(4)(5)计算下列各小题：

(1)(xeq\r(2x1))/=？Ans：eq\f(3x1,\r(2x1))

(2)eq\f(d,dx)(eq\f(2x+1,\r(3x5)))=？Ans：eq\f(6x23,2\r(3x5)(3x5))

(3)求f(x)=eq\f(\r(x2+1),3x+1)的导函数。Ans：f/(x)=eq\f(x3,(3x+1)2\r(x2+1))设可微函数f(x)满足f(eq\f(x1,x+1))=x，则f/(0)=？Ans：2试求？试求的导函数。Ans：求f(x)=的导函数。Ans：f/(x)=，求f/(3)=？设y=(x+eq\r(1+x2))10，试求eq\f(dy,dx)=？Ans：eq\f(10,\r(1+x2))(x+eq\r(1+x2))10

求斜率为2，而与曲线y=f(x)=eq\f(1,3)x3eq\f(1,2)x2+eq\f(1,3)相切之直线方程式。

Ans：4x2y+3=0，2xy3=0求过曲线y=f(x)=eq\f(1,3)x3+x22的点，而斜率最小的切线方程式。

Ans：y+eq\f(4,3)=(1)(x+1)求通过y=x33x24x1上x=1处之切线与法线方程式。

Ans：7x+y=0，x7y50=0函数f(x)=eq\f(x21,x2+x+1)的图形上以(0,1)为切点的切线斜率为。Ans：1设拋物线y=ax2+bx+c与直线7xy8=0相切于点(2,6)，而与直线xy+1=0相切，

求a,b,c之值。Ans：a=3,b=5,c=4(85日大自然)

直角坐标上，给定一曲线：y=x33x2，自点P(2,5)向所作的切线方程式。

Ans：3x+y1=0，15x4y50=0

过原点且与曲线y=x33x21相切之直线方程式。Ans：y=3x，y=eq\f(15,4)x。设拋物线y=ax2+bx+c过点(1,1)，且与直线xy=3相切于(2,1)。求a,b,c之值

Ans：a=3，b=11，c=9设a,b,c为实数，已知二曲线y=x2+ax+b与y=x3+c在点A(1,2)处相切，L为两曲线在A点的公切线，试求(1)a,b,c(2)求L的方程式。

Ans：(1)a=5，b=2，c=1(2)3x+y1=0

拋物线：y=p(x)的对称轴平行于y轴，且与x轴交于点(2,0)，并在x=1时与函数y=x4+1的图形相切，试求p(x)=？Ans：p(x)=6x2+16x8求y=x33x，y=x33x+32两曲线的公切线方程式。Ans：9xy+16=0

综合练习(1)，求eq\f(dy,dx)=?(2)，求f/(eq\f(1,2))=？(3)f(x)=x3(x3+5x)10，求f/(x)

Ans：(1)(2)eq\f(4\r(3),9)(3)求下列各函数的导函数：(1)(2)(3)

Ans：(1)(2)

(3)试求下列个函数的导函数：(1)(2)(3)(4)(5)(6)

(7)(8)

Ans：(1)(2)(3)(4)

(5)(6)0(7)(8)(1)设，若f/(1)=2，则a=?

(2)设，则f/(2)=?Ans：(1)2(2)eq\f(13\r(5),10)设，，求=?