导数及生活中的优化问题

生活中的优化问题一、［知识盘点］1．利用导数解决生活中的优化问题的一般步骤：分析实际问题中各个量之间的关系，建立实际问题的 ，写出实际问题中 ，根据实际问题确定 。求函数y=f(x)的 ，解方程 ，得出定义域内的实根，确定 。比较函数在 和 的函数值的大小，获得所求函数的最大(小)值。二、 ［解题初试］1．将8分为两个数之和，使两数的立方和最小，则这两个数可分为()A.2和6B.4和4C.3和5 D.以上都不对2．(2007年山东临沂)某汽车运输公司购买了一批毫华大客车投入运营，据市场分析，每辆客车运营的总利润为y(万元)与运营年数x(xeN+)满足二次函数=-(x-6)2+11，则每辆客车运营多少年报废，才能使其运营年平均利润最大？()TOC\o"1-5"\h\zA.3 B.5 C.7 D.10设底面为正三角形的直棱柱的体积为V，那么其表面积最小时，底面边长为( )A.3‘V B.32V C.34V D.2vV以长为10的线段AB为直径作半圆，则它的内接矩形面积的最大值为( )A.10 B.15 C.25 D.50某工厂需要围建一个面积为512m2的矩形堆料场，一边可以处用原有的墙壁，其它三面需要砌新的墙壁。当砌墙壁所用的材料最省时，堆料场的长和宽分别为 。某公司规定：对于小于或等于150件的订购合同，每价的售价为200元，对于多于150件的订购合同，每超过1件，则每件的售价比原来减少1元.那么订购 件的合同会使公司的收益最大.三、 ［典例精析］1、利润问题例1.某银行准备新设一种定期存款业务，经预测：存款量与存款利率的平方成正比，比例系数为k(k>0),贷款的利率为4.8%，又银行吸收的存款能全部放贷出去，试确定当存款利率定为多少时，银行可获取最大收益？［变式训练］：1.在经济学中，生产x单位产品的成本称为成本函数，记为C(x),出售x单位产品的收益称为收益函数，记为R(x)，将R(x)-C(x)称为是利润函数，并记作P(x).如果C(x)=10-6x3-0.003x2+5x+1000，那么生产多少单位产品时，边际成本Cf(x)最低？如果C(x)=50x+1000,产品的单价p=100-0.01x，那么怎样定价可使获得的利润最大？

例2．某公司是一家专做产品A的国内外销售的企业，每一批产品A上市销售40天内全部售完。该公司对第一批产品A上市后的国内外市场销售情况进行了跟踪调查，调查结果如图一、图二、图三所示，其中图一中的折线表示的是国外市场的日销售量与上市时间的关系；图二中的抛物线表示国内市场的日销售量与上市时间的关系；图三中的折线表示的是每件产品A的销售利润与上市时间的关系(国内外市场相同)。(I)分别写出国外市场的日销售量f(t)、国内市场的日销售量g(t)与第一批产品A的上市时间t的关系式；变式训练］2．某医药研究所开发一种新药，如果成年人按规定的剂量服用，据监测：服药后每毫升血液中的含药量y(微克)与时间t(小时)之间近似满足如图所示的曲线。写出服药后y与t之间的函数关系式y=(t)；据进一步测定：每毫升血液中含药量不少于0.25微克时，治疗疾病有效。①求服药一次治疗疾病有效的时间？②当“时’第二次服药’问t［乂十时’药效是否连续?

2、几何问题例3．（2006年江苏卷）请您设计一个帐篷。它下部的形状是高为1m的正六棱柱，上部的形状是侧棱长为3m的正六棱锥（如右图所示）。试问当帐篷的顶点O到底面中心O］的距离为多少时，帐篷的体积最大？ 1［变式训练］用总长14.8m的钢条作一个长方体容器的框架，如果所制作容器的底面的一边比另一边长0.5m,那么高为多少时容器的容积最大?并求出它的最大容积.例4．某地政府为科技兴市,欲将如图所示的一块不规则的非农业用地建成一个矩形的高科技工业区.已知AB丄BCOA/BC且AB=BC=2AO=4km，曲线段OC是以点O为顶点且开口向右的抛物线的一段,如果要使矩形的相邻两边分别落在AB,BC上,且一个顶点落在曲线段OC上，问应如何规划才能使矩形工业园区的用地面积最大?并求出最大的用地面积（精确到此0.1km2）.［变式训练］4．甲方是一农场，乙方是一工厂.由于乙方生产须占用甲方的资源，因此甲方有权向乙方索赔以弥补经济损失并获得一定净收入，在乙方不赔付甲方的情况下，乙方的年利润x（元）与年产量t（吨）满足函数关系x=2000vt.若乙方每生产一吨产品必须赔付甲方s元（以下称s为赔付价格），（1） 将乙方的年利润w（元）表示为年产量t（吨）的函数，并求出乙方获得最大利润的年产量；（2） 甲方每年受乙方生产影响的经济损失金额y=0.00212（元），在乙方按照获得最大利润的产量进行生产的前提下，甲方要在索赔中获得最大净收入，应向乙方要求的赔付价格s是多少？例5.甲、乙两个工厂，甲厂位于一直线河岸的岸边A处，乙厂与甲厂在河的同侧，乙厂位于离河岸40km的B处，乙厂到河岸的垂足D与A相距50km,两厂要在此岸边合建一个供水站C,从供水站到甲厂和乙厂的水管费用分别为每千米3a元和5a元，问供水站C建在岸边何处才能使水管费用最省？［变式训练］一火车锅炉每小时消耗煤的费用与火车行驶的速度的立方成正比，已知当速度为每小时20千米时，每小时消耗的煤的费用为40元，至于其它费用则每小时需要200元，问火车的速度多大才能使火车从甲城开往乙城的总费用最省（已知火车的最高速度为每小时100千米）？例6. （2007年山东济宁一中）A、B两队进行某项运动的比赛，以胜三次的一方为冠军，设在每次比赛中A胜的概率为p，B胜的概率为q（p+q=1,p>0.q>0），又A得冠军的概率为P,冠军的概率为Q,决定冠军队的比赛次数为N.（1） 求使P－p为最大的p值；（2） 求使N的期望值为最大的p值及期望值。［变式训练］（2006年福建卷）统计表明，某种型号的汽车在匀速行驶中每小时的耗油量y（升）关于行驶速度x（千米/小时）的函数解析式可以表示为：13y= x3-x+8（0<x<120）.已知甲、乙两地相距100千米。12800080（I） 当汽车以40千米/小时的速度匀速行驶时，从甲地到乙地要耗油多少升？（II） 当汽车以多大的速度匀速行驶时，从甲地到乙地耗油最少？最少为多少升?［能力提升］1.（2006湖北黄冈）设气球以每秒100cm3的常速注入气体，假设气体压力不变，那么当气球半径为10cm时，气球半径增加的速度为（）12C. cm/sD. cm/s2n3n2．内接于半径为5的半圆的周长最大的矩形的边长为（ ）A.5和15 B.空5和40‘5 C.4和7 D.以上都不对223.某公司在甲、乙两地销售一种品牌车，利润（单位：万元）分别为L1=5.06x－0.15x2和L2=2x,其中x为销售量（单位：辆）•若该公司在这两地共销售15辆车，则能获得的最大利润为 （ ）A.45.606万元 B.45.6万元C.45.56万元D.45.51万元某工厂生产某种产品，固定成本为20000元，每生产1件正品，可获利200元，每生产1件次品损失100元。已知总收益P与年产量x（件）的函数关系是400x一—x2（0<x<400） …、，十.一一、.亠—亠„R（x）眾 2 ，则总利润最大时，每年应生产的产品件数为（ ）80000（x>400）A.100 B.150 C.200 D.3005.（2006年江苏启东）用边长为45cm的正方形铁皮做一个无盖的铁盒时，在铁皮的四各截去一个面积相等的小正方形然后把四边折起，就能焊成铁盒，若所做的铁盒容积最大则在四角截去的小正方形的边长为（）A.6 B.8 C.10 D.126.强度分别为a=&b=1的两个光源A、B间的距离为d=3，在连结两光源的线段AB上,距光源A为 点处照明强度最小（照明强度与光强度成正比， || 与光源距离的平方成反比）。在如图所示的电路中，已知电源的内阻为r，电动势为E.当外电阻R为 时，才能使电功率最大，最大值为 。 一R― 8某厂生产某种电子元件，如果生产出1件正品，可获利200元， 生产出1件次品则要损失100元。已知该厂制造电子元件过程中次品率P与生产量x（件）3x的函数关系是P=交（xeN+）,为了获得最大利润，该厂的日生产量应定为 件。4x+322某厂生产某种产品x件的总成本c（x）=1200+—x2（万元），已知产品单价的平方与75产品件数x成反比，生产100件这样的产品单价为50万元，则产量定为 件时总利润最大。（2006年山东东营）一艘轮船在航行中的燃料费和它的速度的立方成正比，已知在速度为每小时10公里时的燃料费是每小时6元，而其他与速度无关的费用是每小时96元，问此轮船以何种速度航行时，能使行驶每公里的费用总和最小？如图,把边长为a的正六边形纸板剪去相同的六个角，做成一个底面为正六边形的无盖直六棱柱的盒子(不计接缝),要使所做成的盒子体积最大，问如何裁剪？烟囱向其周围地区散落烟尘千成环境污染，已知落在地面某处的烟尘浓度与该处到烟囱的距离的平方成反比，而与该烟囱喷出的烟尘量成正比。现有A、B两座烟囱相距20km,其中B烟囱喷出的烟尘量是A烟囱喷出烟尘量的8倍，试求出两座烟囱连线上的一点C，使该点的烟尘浓度最低。［仿真训练］一．选择题f(x)与g(x)是定义在R上的可导函数，则广(x)=g，(x)是f(x)=g(x)的()A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件(2006年四川卷)曲线y=4x-x3在点(-1,-3)处的切线方程是( )C.y=x-4D.y=x-2A.y=C.y=x-4D.y=x-23.4.曲线y=3.4.曲线y=x3+3x2+6x—10的切线中，斜率最小的切线方程是(A.3x+y－10=0 B.3x－y－11=0C.x=－1函数y=ax2+c在区间(0,+x內单调递增，则a、c应满足(A.aV0且c=0C.aVO且c^0)D.不存在)B.a>0且c是任意数D.aV0且c是任意实数5.函数f(x)=x3—ax2—bx+a2在x=1时,有极值10,则a、b的值为a=3,a=-4a=-4,a=-4A.或B.或b=-3b=11b=1b=11C.<a=-1D.以上皆错6.(2006年东营)设函数f(x)6.(2006年东营)设函数f(x)在定义域内可导，y=f(x)的图象如图1所示，则导函数y=f，(x)7．已知f(x)=2x3－6x2+a(a是常数)在［－2，2］上有极大值是3，那么在［－2，2］上f(x)的最小值是()A.—5B.—11C.—29D.—378.抛物线y2=2x与直线y=x-4所围起的面积为()A 16A.厂18B.—C.18D.1633TOC\o"1-5"\h\z9•设函数y=\x(1-t)dt有极值，则极值点为( ).0Ax=1 .B.x=2 C.(l,T D.(2,1)(2006年海淀区)函数y=xsinx+cosx在下面哪个区间内是增函数( )A.(-)B.(n,2n)C.(埜，竺) D.(2n,3n)2222(2007年山东省实验中学)已知f(x)=2X3-6x2+m(m为常数)在［-2,2］上有最大值3，那么此函数在［－2，2］上的最小值为 ( )A.-5 B.-11 C.-29 D.-37(2007年广东徐闻一中)如果函数y=x2+ax-1在区间［0,3］上有最小值一2,那么a的值是()A.±2 B.-卫 C.—2 D.±2或33二.填空题TOC\o"1-5"\h\z(2006年福建卷)已知直线x-y-1=0与抛物线y=ax2相切，则a= .函数y=x4—8x2+2在［一1,3］上的最大值为 .3某物体做直线运动,其运动规律是 t的单位是秒,s的单位是米),则它在4t秒末的瞬时速度为 .已知函数f(x)=x3-3bx+3b在［1,2］上恒正，则实数b的取值范围是 .三.解答题已知二次函数f(x)满足：①在x=1时有极值；②图象过点(0,-3),且在该点处的切线与直线2x+y=0平行.(1)求f(x)的解析式；2)求函数g(x)=f(x2)的单调递增区间.

18.已知函数f(x)=-―x3+2ax2-3a2x+b(0<a<1)的极大值为亠。38求实数b的值；当xgR时，