【2021】浙江高考数学二轮复习：专题二2第2讲三角恒等变换与解三角形

第2讲三角恒等变换与解三角形利用三角恒等变换化简、求值［核心提炼］.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)sin(a±B)=sinacosB±cosasinB；(2)cos(a±B)=cosacosB干sinasinB；tana±tanB(3)tan(a±B)= .1+tanatanB.二倍角的正弦、余弦、正切公式(1)sin2a=2sinacosa；(2)cos2a=cos2a—sin2a=2cos2a—1=1—2sin2a；(3)tan2a(3)tan2a=2tana1—tan2a［典型例题］(1)已知cos(0—^^j+sin0=4|3,则sin(。+7n^)的值是( )A.BB.A.BB.5C.D.4-J35(2)若sin2a=乎,sin(B—a)=10，且a£了，冗,BGn,，则a+B的值是( )【解析】(1)因为cos(e--6^+sinB='F,3 36+,sin所以卓也即用sin'3 36+,sin所以卓也即用sin'+n|=手,所以sinl,所以sin16+~6J=—sin(6+-6J=—5.故选C.(2)因为a£I,n，所以2a£-y,2n I l__n三

彳T__n三

彳T_,所以cos2a=—^5^,又3金，于是cos(§—a)=—310。,所以cos(a+3)=cos[2a+(§—a)]=cos2acos(§—a)—sin2asin(§—a)=—^5^X述)—5X1010【答案】（1）C求I解国珞三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是述)—5X1010【答案】（1）C求I解国珞三角函数恒等变换“四大策略”(1)常值代换：特别是“1”的代换，1=sin2®+cos2e=tan450等；(2)项的分拆与角的配凑：如sin2a+2cos2a=(sin2a+cos2a)+cos2a,a=(a-§)+§等；⑶降次与升次：正用二倍角公式升次，逆用二倍角公式降次;（4）弦、切互化：一般是切化弦.［对点训练］1.x%. %（2021・杭州市高三模拟）函数f（%）=3sm2cos2+4cos22（%£R）的最大值等于（ ）A.B.C.D.解析：选B.因为f(%)=3sin2cos%+4cos223 5f3,,4 『=2sm%+2cos%+2=2gsm%+5C0Sxj+221=2sin(%+p)+2,- 4其中sinp=5,3cos④=5,2.2.C.所以函数f%）的最大值为2.(2021・浙江五校联考)已知3tan了+tan2-=1,sinB=3sin(2a+§)，贝Utan(a+§)=B.D.解析：选B.因为sin3=3sin(2a+§)所以sin[(a+§)—a]=3sin[(a+§)+a]

所以sin(«+/?)cosa—cos(«+/?)sina=3sin(«+/?)-cosa+3cos(a+£)sina,所以2sin(«+£)cosa=-4cos(«+/?)sina,.. ,sin(a+£)4sina-2^=-2tanM又因为3tan"+tan22=14sina-2^=-2tanM又因为3tan"+tan22=1所以Stan"=1—tan2—,a所以tan(所以tan(a+£)=-2tana=—3.＞所以tana= =~za31—tan223.（202L宁波诺丁汉大学附中高三期中检测）若sin（n+%）+cos（n+%）=2，贝Usin2%=1+tan%

sin%cos(寸解析：sin(n+%)+cos(n+%)=—sin%—cos%=2,即sin即sin%+cos1

%=—2,两边平方得：sin2%+2sin%cos%+cos2%=4,一, 1一， 3即1+sin2%=4,则sin2%=—4,1+tan%sin%cosQ—1+tan%sin%cosQ—~4-^一五.(*.)2sin%(cos%+sin%)V2

sin%cosV2

sin%cos%2也 2\-2 8\'2sin2%. 3答案：—48\12

3利用正、余弦定理解三角形［核心提炼］.正弦定理及其变形在^ABC中，在^ABC中，sinAsinBsinC=2R（R为^ABC的外接圆半径）.变形：a=2RsinA,sinA=a,a:b:c=sinA:sinB:sinC等.2R.余弦定理及其变形在△A5C中，成=历+。2—2Z?ccosA；变形：Z?2+变形：Z?2+C2—«2=2Z?CC0SA,cosA=历+。2-42

2bc.三角形面积公式S匕abc=2absinC=2bcsinA=]acsinB.［典型例题］(1)(2021・高考浙江卷)在^ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,c.若a=\：7b=A=60°,贝UsinB=,c=.(2)在4ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,仁已知b+c=2acosB.①证明：A=2B；②若cosB=3，求cosC的值....2Xt工【解】(1)因为a=、"，b=2,A=60°,所以由正弦定理得sinB=2a—= q-=^^-.21由余弦定理a2=b2+c2—2bccosA可得c2—2c—3=0,所以c=3.故填：7 3.(2)①证明：由正弦定理得sinB+sinC=2sinAcosB,故2sinAcosB=sinB+sin(A+B)=sinB+sinAcosB+cosAsinB，于是sinB=sin(A—B).又A,B£(0,口)，故0VA—BVn,所以B=n—(A—B)或B=A一B,因此A=n(舍去)或A=2B,所以A=2B.2一君②由cosB=3得sinB=3,cos2B=2cos2B—1=—9,故cosA=—1,sinA=罕,, , 22cosC=—cos(A+B)=—cosAcosB+sinAsinB=27.名师点评正、余弦定理的适用条件“已知两角和一边”或“已知两边和其中一边的对角”应利用正弦定理.“已知两边和这两边的夹角”或“已知三角形的三边”应利用余弦定理.

［对点训练］(2021-高考浙江卷)在^ABC中，/ABC=90°,AB=4,BC=3,点D在线段AC上.若ZBDC=45°,贝UBD=,cosZABD=.解析：在RtAABC中，易得AC=5,sinC=AB^=4.在△BCD中，由正弦定理得BD=AC5.笑八.XsinZBCD=Wx4=12^2,sinZDBC=sin[n-(ZBCD+ZBDC)]=sin(ZBCD+sinNBDC 25 52ZBDC)=sinNBCDcosNBDC+cosNBCDsinNBDC=4Xg+3X申=亲.又ZABD+J乙J乙 JLUZDBC=n2，所以cosNABD=sinNDBC=率.答案:竽爷（2021-义乌高三月考）在4ABC中，内角A,B,C对应的三边长分别为a,b,c,且满足c(bcosA—2J=b2—a2.⑴求角B的大小；（2）若BD为AC边上的中线，cosA=7,BD=工詈求^ABC的面积.解：（1）因为c（bcosA—z］=b2—a2,即2bccosA—ac=2(b2—a2),所以b2+c2—a2—ac=2(b2—a2),所以a2+c2—b2=ac,cosB=；,B=于(2)法一：在三角形ABD中，由余弦定理得(当29)2=c2+(b2—2c-bcosA,129 b21所以 =c2+1一7bc,①,八..，一.一 4-,,3在三角形ABC中，由已知得sinA=亍，.. . . 5-...''3所以sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB=^4-,由正弦定理得c=7b.②由①由①，②解得b=7,c=5.所以SyBc=TocsinA=10>/3.法二：延长BD到E,DE=BD,连接AE，在△ABE中，NBAE=2n，BE2=AB2+AE2—2-AB•AE•cosNBAE,因为AE=BC,129=c2+a2+a•c,①4-...'13由已知得，sinNBAC=7,5-、/3所以sinC=sin(A+B)= ,c_sinNACB_5a=sinNBAC=8.②由①②解得c=5,a=8,S =ic•a,sinNABC=10\'3.△ABC2解三角形中的最值(范围)问题［典型例题］(1)在4ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,仁已知2ccosB=2a—b.①求角C的大小；②若CA—2CB=2,求4ABC面积的最大值.(2)(2021・杭州市高考数学二模)在4ABC中，内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若msinA=sinB+sinC(m£R).①当m=3时，求cosA的最小值；②当A=n3-时，求m的取值范围.【解】(1)①因为2ccosB=2a—b,所以2sinCcosB=2sinA—sinB=2sin(B+C)—sinB,化简得sinB=2sinBcosC,因为sinB十0,所以cosC=2.因为0VC＜口，所以C=£.

②取bc的中点，贝ij(Ca—2矗=iDa1=2.在、ADC中，AD2=AC2+CD2—2AC•CDcosC,即有4=历+©—a次拜—a=a,所以abW8,当且仅当a=4,b=2时取等号.... 1 33 一所以S^ABC=2absinC=4abW2小,所以△ABC面积的最大值为2Tl(2)①因为在^ABC中msinA=sinB+sinC,当m=3时，3sinA=sinB+sinC,由正弦定理可得3a=b+c,再由余弦定理可得cosA=cosA=2bcb2+c2—a2b2+c2—9(b+c)22bc829(b2+c2)—9829(b2+c2)—9bc2bc79,当且仅当b=c时取等号，7故cosA的最小值为9.②当A=37时，可得¥m=sinB+sinC,J 乙故m=苧sinB+早sinC空沮(2n.3sinB+3sin3-B手sinB+手(奈osB+|sinB率inB+cosB+乎sinB=a/3sinB+cosB=2sin^B+,所以sin

所以sin所以2sin(5+6-J£(1,2],所以m的取值范围为(1,2].名师点评(1)求最值的一般思路由余弦定理中含两边和的平方(如a2+b2-2abcosC=c2)且a2+b2三2ab，因此在解三角形中，若涉及已知条件中含边长之间的关系，且与面积有关的最值问题，一般利用S=2absinC型面积公式及基本不等式求解，有时也用到三角函数的有界性.(2)求三角形中范围问题的常见类型①求三角形某边的取值范围.②求三角形一个内角的取值范围，或者一个内角的正弦、余弦的取值范围.③求与已知有关的参数的范围或最值.［对点训练］1.在△ABC中，AC•AB=1AC—AB1=3,则4ABC面积的最大值为( )D.3-回解析：选B.设角A,B,C所对的边分别为a,b,c,因为AC•AB=IAC-AB1=3,所以bccosA=a=3.b2+c2-a2 93cosA又c0sA= 2bc 三1-2bc=1-F-,所以cosA三5所以0<sinAW=21,以^ABC的面积S=2bcsinA=2tanAW2X*^_3j_21故△ABC面积的最大值为3『.2.2.(202L浙江“七彩F日光”联盟联考)已知a,b,c分别为△ABC的内角A,B,C所对的边，其面积满足S”“=1a2,则唬的最大值为()

△ABC4 b+2++2解析：选C.根据题意，有S△ABC=4a2=2bcsinA,

c应用余弦定理，可得b2+c2—2bccosA=2bcsinA,令t=b,于是12+1—21cosA=21sinA.于是21sinA+21cosA=12+1,所以2\12sin(A+：)=t+；，从而t+；W2y2解得t的最大值为%巧+1.（2021-浙江绍兴一中模拟）在^ABC中，a,b,c分别为角A,B,C的对边，且满足b2+c2-a2=bc.⑴求角A的值；（2）若a="，记△ABC的周长为y,试求y的取值范围.解：（1）因为b2+c2—a2=bc,所以由余弦定理得cosA=党3=1,2bc 2因为A因为A£(0,n),所以a=-3.(2)由a=\i13,n一一A=不及正弦定理，bcsinBsinCsinA J3T=2(2)由a=\i13,n一一A=不及正弦定理，bcsinBsinCsinA J3T=2,得b=2sinB,c=2$出[/一bJ，其中B£[0,jnJ,所以周长y=\；3+2sinB+2sin[B^=3sinB+、/3cosB+'-'./3=2\'3sin^B+()+---3,L2n)n(n由于B£(0,-J,得B+y£匕,从而周长yG（2\3,3、。］.专题强化训练1.已知sin}]—aj=cos^-6+aJ,贝Ucos2a=( )A.B.-1C.D.0解析：选D.因为sin—a=cos fas

12c°

以所a-gsina=孝cosa-|sina,即G-坐)sina=—(i—90s口,所以tana=cosa=—1,所以cos2a=cos2a-sin2cos2a—sin2a 1—tan2aa=~； ~~~= z~~7=0.sin2a+cos2a tan2a+1(202L高考全国卷1)已知函数f(x)=2cos2x—sin2x+2,则( )A.B.f(x)的最小正周期为

f(A.B.f(x)的最小正周期为

f(x)的最小正周期为n,n,C.D.f(x)的最小正周期为2f(x)的最小正周期为2最大值为3最大值为4最大值为3,最大值为4TOC\o"1-5"\h\z3 33 5解析：选8.易知f(x)=2cos2x—sin2x+2=3cos2x+1=2(2cos2x—1)+2+1=2cos2x+2,则f(x)的最小正周期为n,当x=kn(k£Z)时，f(x)取得最大值，最大值为4.(202L台州市高考一模)在^ABC中，内角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知a=1,L 32b—-33c=2acosC,sinC=%，则△ABC的面积为( )解析：选C.因为2b—、..：3c=2acosC,所以由正弦定理可得2sinB—\'3sinC=2sinAcosC,所以2sin(A+C)—\1r3sinC=2sinAcosC,所以2cosAsinC=\；3sinC,所以cos所以cosA=；,所以A=30°,… v13… v13因为sinC=2,所以C=60°或120°.A=A=30°,C=60,B=90°,a=1,所以4ABC的面积为2X1X2Xg=手，A=30°,C=120°,B=30°C=120°,B=30°a=1,所以△ABC的面积为1X1X1X\/3^34,故选C.4.在△ABC中三个内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若Saabc=2\'3,a+b=6,△ABCacosB+acosB+bcosA=2coscC，则c=()C.4B.2V3D.3v3解析：选B.因为acosB解析：选B.因为acosB＋bcosAsinAcosB＋sinBcosAsin(A＋B)sinCsin(A＋B)=1,所以2cosC=1,所以C="3.又S△ABC=243则2absinC=2寸3,所以ab=8.因为a+b=6,所以c2=a2+b2—2abcosC=(a+b)2—2ab—ab=(a+b)2—3ab=62—3*8=12,所以c=1,所以5.公元前6世纪,古希腊的毕达哥拉斯学派研究过正五边形和正十边形的作图,发现了

TOC\o"1-5"\h\z黄金分割均为，这一数值也可以表示为机=2sinl8°,若机2+〃=4,则;^ ~(^ -=( )2cos227—1A.8 B.4C.2 D.1解析：选C.因为m=2sin18°,若m2+n=4,则n=4—m2=4—4sin2l8°=4(1—sin2l8°)=4cos2l8°,所以 mjn 2sin18° 4cos218° 4sin18°cos1802sin36°以2cos227°—1 cos54° sin36°sin36° 2（2021・杭州市高三期末检测）设点P在^ABC的BC边所在的直线上从左到右运动，设△ABP与^ACP的外接圆面积之比为九当点P不与B,C重合时（A.人先变小再变大B.当M为线段BC中点时，入最大C.A先变大再变小D.入是一个定值解析：选D/殳^ABP与^ACP的外接圆半径分别为rr2,则之「=2r=则2r1sinZAPB，2r2sinZAPC，因为/APB+ZAPC=180°,所以sinZAPB=sinZAPC,所以r1_ABr2=所以r1_ABr2=AC，7.（2021・福州市综合质量检测）已知若sin2(a+y)=3sin2B,=()解析：选D.设A=a+B+Y,B=a—B+Y，则2(a+Y)=A+B,20=A-B,因为sin2(a+Y)=3sin20,所以sin(A+B)=3sin(A—B),

R]3sinAcos5+cosAsinB=3(sinAcosB—cosAsinB),即2cosAsinB=sinAcosB,所以tanA=2tanB,tanA-一tan5=2,故iD.8.（2021•咸阳二模）已知△A5C的三个内角A,B,R]3sinAcos5+cosAsinB=3(sinAcosB—cosAsinB),即2cosAsinB=sinAcosB,所以tanA=2tanB,tanA-一tan5=2,故iD.8.（2021•咸阳二模）已知△A5C的三个内角A,B,。的对边分别为a,Z?c，且名+福=2c2,sinA(1—cosC)=sinBsinC,b=6,AB边上的点M满足AM=2MB,过点M的直线与射线CA,CB分别交于P,Q两点，则MP2+MQ2的最小值是（）363738D.39解析：选A.由正弦定理，知b2sin2A+sin2B=2c2,即2=2sin2。，所以sinC=1，C=~2，所以sinA(1—cosC)=sinBsinC,以A=B="4.以C为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，则M（2,即sinA=sinB,所4),设ZMPC=0,则Mp2+MQ2=磊+帚=(sin20+cos2⑺心+熹）=20+4tan20+磊三36,当且仅当tan0=立时等号成立，即Mp2+MQ2的最小值为36.9.已知2cos2x+sin2%=Asin(①x+q)+b(A>0),则A=,b=解析：由于2cos2x+sin2x=1+cos2x+sin2x=、①sin(2x+"4)+1，所以A='-.^，b=1.答案：V2110.若a£(0,口，cosG—a^=25/2cos2a,贝|sin2a=.解析：由已知得"2(cosa+sina)=2\'2(cosa—sina>(cosa+sina)，所以cosa+sina=0或cosa—sina=4，由cosa+sina=0得tana=—1，因为a£(0，n)，所以cosa+sina=0不满足条件；由cosa—sina=；，两边平方得1—sin2a=16，

所以sin2a=77答案：16(2021・金丽衢十二校联考二模)在^ABC中，内角A、B、C所对的边分别为a、b、c,acosB=bcosA,4S=2a2—c2,其中S是^ABC的面积，则C的大小为.解析：△ABC中，acosB=bcosA,所以sinAcosB=sinBcosA,所以sinAcosB—cosAsinB=sin(A—B)=0,所以A=B，所以a=b;又^ABC的面积为S=2absinC,乙且4S=2a2—c2,所以2absinC=2a2—c2=a2+b2—c2,所以sin所以sinC=a2+b2-c2—2ab—=cosC所以C=/n答案：了（2021・绍兴市一中高三期末检测）△ABC中，D为线段BC的中点，AB=2AC=2,tanZCAD=sinZBAC,则UBC=sinNCAD ,sinNCAD解析：由正弦定理可知sinNBAD=2,又tanNCAD=sinNBAC，则cosNCAD=sin(ZCAD+ZBAD),利用三角恒等变形可化为cosNBAC=2,据余弦定理BC=ACL+2+AB2—2^AC•AB•cosNBAC=\jl+4—2=\：3.答案：的(2021•惠州第一次调研)已知a,b,c是^ABC中角A,B,C的对边，a=4,b£(4,6),sin2A=sinC,则c的取值范围为.解析：由.4=.c,得.4=c，所以c=8cosA，因为16=b2+c2—2bccosA,所sinAsinCsinAsin2A16—b2 (4—b)(4+b) 4+b以16—b2=64cos2A—16bcos2A，又bW4,所以cos2A=-777= 77 =~T~,64—16b 16(4—b) 16所以c2=64cos2A=64X=16+4b.因为b£(4,6)所以c2=64cos2A=64X答案：(4-：2,2-,110)（202L绍兴市一中期末检测）设4ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c且acos⑴求角A的大小；（2）若a=3,求4ABC的周长l的取值范围.解：（1）由acosC—2c=b得：sinAcosC—|sinC=sinB,又sinB=sin(A+C)=sinAcosC+cosAsinC,所以2$出C=—cosAsinC,因为sinC丑0,所以cosA=—2,又0VAVn,“、一2n＞所以A=-3~.asinBl 一(2)由正弦定理得：b=sina=2\'3sinB,c=2\，3smC,l=a+b+c=3+2\：3(sinB+sinC)=3+2-,,'3[sinB+sin(A+B)]=3+2\''3(jsinB+?cosB^=3+2\'3sin(B+g,因为A=23n，所以B£(0,1J,” ,n(n 2nA所以B+了£[J，—,所以sin(B+3£(号，1,则^ABC的周长l的取值范围为(6,3+2-,13 ].(202L湖州模拟)在^ABC中，角A,B,C所对的边分别为a,b,如已知3亩A+sinB+sinC)(sinB+sinC—sinA)=3sinBsinC.(1)求角A的值；(2)求一\j3sinB—cosC的最大值.解：(1)因为(sinA+sinB+sinC)(sinB+sinC—sinA)=3sinBsinC,由正弦定理，得(a+b+c)(b+c—a)=3bc,

所以b2+c2—a2