结构动力学第九章随机振动数学描述

第九章随机振动数学描述§9-1引言前面介绍的都是确定性振动问题。对于确定性系统，若激励是随机的，则响应也是随机的，这种问题是随机振动问题。随机激励，如：路面对车辆，风对塔架，河流对船舶随机振动的特点是：①规律事先不知道②试验条件相同，但各次测量波形不重复③不能用周期函数或其组合来描述应该指出：①一个确定性振动，不论波形怎样复杂，也不是随机振动②随机振动≠复杂振动，如初相位随机变化的简谐振动x=X0sin(ωt+φ)(φ在0～2π之间随机取值)，波形十分简单，但仍属于随机振动**常见的几种随机激励：1)固体接触面凹凸不平，如：路面，滚珠轴承，齿轮金属切削加工，……2)流体对固体表面的作用，如：船，堤坝，海洋平台，高层建筑，……**常见的几种随机激励：3)火箭燃烧放热不均匀，如：火箭发动机，化工储液罐，……4)地震或地面突变，如：地震，火炮发射，采掘机抖动，……**随机振动的利与害〔利用〕1)诊断与检验：心电图、脑电波分析，轴承、齿轮和发动机的故障诊断2)找振源、确定传递通道3)……〔危害〕对于确定性振动，只要使系统固有频率远离激励频率，就可避免共振发生但是，对于随机振动，由于激励频率是一连续分布的形式，要避免共振是困难的，只能作某些要求，如：避免在加速度0.1g以上条件下工作，或在振幅大于某个值的条件下工作等等**研究方法输入输出系统激励响应系统：机械产品，结构物，装置，零部件等，M,C,K表示激励：系统受到的随时间变化的扰动(位移、速度、力等)**研究课题有：①环境调查②响应预估③系统识别响应：系统激励作用产生的运动(位移、速度、加速度、应力等)采用概率统计的方法研究，应用傅立叶分析，把时域信号转换到频域中去考虑§9-2集合平均定常过程无限个、无限长样本{xk(t)}，随机变量{xk(t1)}无限个、无限长样本{xk(t)}，随机变量{xk(t1)}，则集合平均(t1时刻)自相关函数§9-3时间平均各态历经过程通常不可能取无限个样本，而是大量的样本函数作为随机过程的一个近似。能否用一个样本来描述该随机过程？若时间平均：等统计特性对各样本是相同的(与k无关)，则该过程称为各态历经过程，此时可用一个样本的时间平均来讨论。注意：各态历经过程一定是平稳的，但平稳过程不一定是各态历经的。而要证明一个过程是各态历经的却很难，通常假设过程是各态历经的，除非有证据证明不是。主要讨论各态历经过程和平稳过程。§9-4概率分布概率密度函数联合概率分布研究随机变量，不仅要知道它可能取得一些什么值，更重要的是要知道它取得这些值的概率，这就是随机变量的概率分布问题。关于概率分布函数、概率密度函数、联合概率分布及正态分布过程等内容请看相关书籍。注意：对各态历经过程，我们可从单个样本函数去求概率分布函数及概率密度函数等。§9-5随机变量的概率特征及其代数运算概率密度函数可以描述随机变量的特征，但在实际问题中，有时候并不需要知道随机变量的全部统计信息，或者不容易得到概率密度函数。此时，寻求随机变量的某些既重要又有代表性和确定性的信息来代替随机变量的全部统计信息是重要的。①数学期望(又称集合平均、均值、一次矩)②均方值(二次矩)③方差(二次中心矩)④相关矩(协方差)随机变量X(t1)与Y(t2)的协方差定义为：而称为互协方差系数或互相关系数若X(t)与Y(t)互相独立，则ρxy＝0但反过来若ρxy＝0，则X(t)与Y(t)不一定互相独立！特别地，若用X(t)代替Y(t)，则协方差：对各态历经过程，上述统计特性均可从一个样本信息得到。(1)自相关函数§9-6自相关函数及其特性对平稳过程，有对各态历经过程，有一般情况下Rx(τ)与τ的关系曲线如下图常见信号类型的自相关函数如右图(2)自相关函数的性质(a)平稳过程x(t)的Rx(τ)是实偶函数，即(b)(c)(d)自相关函数是有界的，且满足(e)当|τ|相当大时，有(2)自相关函数的性质(f)若随机信号x(t)由噪音信号n(t)和与之不相关的信号λ(t)组成，则有自相关函数Rx(τ)表达了数据信号波形在时间坐标移动τ前后之间的相似程度，由于各种信号的Rx(τ)的最大值都不一样，且具有量纲，故定义相关系数：ρx(τ)无量纲，且最大值为1，当ρx(τ)＝±1时，波形完全相似(完全相同或完全相反)，ρx(τ)＝0时，波形完全不相似。[注]：关于(*)式，谷口修等人的《振动工程大全》是在μx＝0的条件下定义的，而D.E.纽兰《随机振动概论》则把相关函数定义为：由回归方程而来。而(*)式可改写为：当μx＝0时，两者一致。[例]已知：随机相位正弦波(视为各态历经过程)x(t)=Asin(ωot+θ)如图(a)所示，其中ωo为常数，θ为随机变量，求自相关函数Rx(τ)。解：x(t)为各态历经过程，故可由一个样本函数求Rx(τ)～τ曲线如图(b)所示[讨论]①数据信号是周期函数时，自相关函数也是周期函数，且两者周期相同。②由自相关函数的幅值A2/2可求得周期信号的幅值，即保留了幅值信息。③若信号是由随机相位正弦波和均值为零的且不相关的噪音信号n(t)组成，则由自相关函数性质(f)可知：实际上，当τ大到一定程度时，Rn(τ)＝0，这时便可从Rxn(τ)中观察出数据信号有无周期分量。即通过自相关分析，能检测出隐藏在随机振动中的周期分量，同时能求出该周期分量的振幅A和圆频率ωo。(3)自相关函数与自协方差函数之间的关系协方差函数自协方差函数对平稳过程，有[例]某汽兄车前展桥、衣车身熄测量芝的加夜速度灿波形倚如图烟左，块自相待关函洗数如认图右毙。车子振罗动很大结，试分旧析。前桥郑的自核相关劣函数刮两个调峰值竖的时纳间间阿隔为0.贩1s，频率弯为车身闲自相旧关函籍数两燃个峰浇值的腐时间各间隔形为0.1补1s，频率择为f1与f2都与洲发动藏机频裙率相寻差很氏大，闻故判呀断不脆是由从发动捞机引尿起经过计铁算，前姻桥二自失由度耦刘合自振芹频率接身近于f1与f2改进的毁前桥成衡为二个迎单自由须度系统间，左右纪轮相互呆影响小(1)互相费关函留数两个械随机逝过程X(余t)和Y(t焦)在时宅刻t1=t，t2=t今+τ的互相豆关函数青定义为§9-常7互相叫关函忌数及慎其特妻性对平稳敞过程，勉有：对各态陶历经过导程，有膝：右图为烫典型Rxy(τ)与τ的关罢系曲辣线(2庄)互相富关函至数的最主要逃性质(a扣)一般柔情况摇下，Rxy(τ)与Ryx(τ)是不相雷同的，和且都不食是τ的实偶街函数辜，但猫有(b指)互相关怀函数Rxy(τ)是有菜界的尘，且肚有(c)对大多绸数随机赛过程，涨当|τ|相当大进时，可模认为x与y互不相粗关，有(d)互相关爽函数的蛋最大值扩一般不倘在τ＝0处(2纯)互相虎关函殊数的避主要史性质(e)互相总关函湿数Rxy(τ)与Rx(0)和Ry(0)有如下互不等式(3)应用(a攻)确定输责油管裂重纹的位较置设声汪音在甜管道唉中传拥播速享度为V(裂纹K漏油凤时发各出的诸声音)，则有由互帆相关系函数Rx1x2(τ)找出τm即可怒，而线传感研器之属间距钩离是斜已知贪的(V如何确截定？)(3食)应用(b)汽车操朴纵灵敏孙度在方栏向盘段和轮装子上致安装唇传感晕器，合记录φ(t)和θ(t绪)，求锋互相晃关Rφθ(τ)，则τm越小负越灵敢敏(3捞)应用(c)找振源凑，确定猾传递通茂道机器1对地华面测锯点y振动短影响铅的程仆度为机器2对地弓面测臂点y振动影深响的程颂度为(3皇)应用(d技)测定蛋材料催的隔煎声性膏能室内A处放久置有字噪声泰声源榴，a和b分别浸为噪剩声接趣收器蜻信号x(凶t)和y(躁t)，先在独不安装消隔声板华的情况茫下，作x(衰t)和y(t)的互相勺关分析蜡，然后愿安装隔胡声板，充作同样伴分析，追如图右辈。后者的兽互相关袍数值远受远低于殃前者，速此值越书小表明抹材料的尤隔声效总果越好。时域告分析可不容梨易看陪出：①频率裳成分②何种苏频率成粥分占优岛③各种狂频率的穴振动能辈量是多亮少§9撒-8频谱分辨析与谱吨密度(1)自功渣率谱销密度(自谱杀密度)随机过迅程样本若函数x(丸t)是无晌限持确续，任故不流满足拣绝对崖可积毛条件奋：所以x(鄙t)不能进拾行傅里宁叶变换奶以得到寒频率信崖息，此头时可考呜虑用Rx血(τ)作傅拳里叶织变换设μx＝0(可移心轴得罪到)，且破设x(酿t)中没摔有周衬期分亲量(若x(贴t)中有恋周期顶分量贪，则Rx惕(τ)也为周束期函数下，不满饥足绝对掀可积条补件，不过能进行挠傅里叶贩变换，原尽管其扣傅氏变锋换存在疑，为脉犁冲δ函数)Rx(τ)的傅披里叶江变换屈及其收逆变善换为尚：这一杆对傅柄氏变被换称料为维牙纳—辛钦公再式，记鞋为：(2随)自谱Sx(ω)的主要敌性质(b)Sx(ω)是ω的实努的非度负偶川函数(a)从性质(a)可知Sx(ω)的单位完是：均惑方值单灰位/频率单鞋位，故惩又称Sx(ω)为均哨方谱索密度放。为什么Sx(ω)称为功率谱密度？主要是根据功率或能量的概念而来，如都代表能量而x(辆t)的平件均功奋率为伞：故Sx(ω)描述了x(t)的平常均功方率在丹频域南中的轧分布汉情况素，是晕频率横尺度超上每抱单位锡间隔亚的功粒率或橡能量砍。[例](纽兰P4架4)：已知陵某平稳比随机过猫程x(t)的均方物谱密度劈燕如图(a抢)，求误自相蚊关函气数和缎均方惑值。解:(佩1)求Rx堆(τ)波形留如图(b熄)解:聋(2膜)求均方吼值若(ω2-ω1)较小，建说明谱议密度仅摘在很窄绑的频带僻内分布释，这种填随机过绸程称为笔窄带随勿机过程夹，相应粪的有宽廉带随机户过程。[例](纽兰P45～47)：白做噪声旦的自住相关参函数在前面笼的例子鲜中，如蛮果(ω1,ω2)是一个届宽广的葡频带，电则称为域宽带随透机过程蜓，其时侍间历程味是由各缝种频率星的信号适叠加而扭得，若ω1＝0,ω2＝∞，赵则这茶个谱镰称为速白噪邀声谱猪，即这是根伍据白色宋光的谱绒密度近吊似为一彻个常数翁而类比女的。实际怨上，索有即白贩噪声起的自扶相关层函数销为δ函数。上述纵结果墙也可拍由前碧面的漏结果绒中令ω1＝0,ω2→∞得到莲：当ω2→鬼∞时，除τ＝0处的遥高峰木外，越其余材为零壶，而娃此峰猜为无绣穷大绕，宽们度为抽零，待面积苦为S0，如竟图所伟示。由于白贼噪声的奸均方值为无穷于大，即因此白棒噪声仅堂仅是理衰论上的鼠概念。墨但是若踪蝶一个宽确度噪声践谱的带虽宽已大环大超过承所有感荡兴趣的稍频率时君，那么蓝这种谱吨就可视眉为白谱广。[例]已知久某随卡机过牌程的采自功挂率谱塑密度链函数捎为：解：求：跨自相铲关函兰数及洋均方感值。此式用塌了留数秒定理在急定积分寇上的应枣用(3)互功监率谱宏密度(互谱衫密度)与自谱暴密度函每数一样戏，两个耳随机过佣程的互厕谱密度袭定义为污这两个巷随机过晃程的互革相关函茶数的傅责立叶变夜换，即上述液傅里宰叶变糊换存脾在的丘条件沸是互武相关阅函数鹿绝对逝可积跳，即(4烘)过程挨导数棚的谱邀密度有时胁候在乖测量亲位移她，了俩解位浇移的享谱密易度时晒，用壤位移构计不抱很方味便，果往往幻玉采用认加速膏度计疑。这昌就涉谋及到始加速仍度随浙机过若程的昨谱密荡度与牌位移城的谱学密度件之间波的关诸系问轰题。设随机独过程x(属t)是平顿稳的铲，有另外即有：另方面：所以：这是一美个很重慢要的关御系，由拴此式可盛以从已意知的Sx(ω)求出速屡度的均僚方值等永统计特瓶征。(5架)谱密刮度单耕位的参说明Sx(ω)对ω的正链负值激都有批意义玩，所半以称刺为双涂边谱厌密度虫。但杯这只魔是从科理论哄上来她说的妹，而洞实际例测量黑时，丽只是模对正诱的频撞率而监言。若考泛虑频率摆范围从0～∞，大则需衫要将扮负频睁率范君围的杏谱密煎度折婶算到滨正频海率范宫围，蔽从而跃得到将单边思谱密习度：ω的单位为1/霞S，若朴频率聚用Hz讨(周/秒)表示悄，则