2020-2021学年北京市东城区高一（下）期末数学试卷

第1页（共1页）2020-2021学年北京市东城区高一（下）期末数学试卷一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（3分）已知复数z＝﹣2+i，则z+＝（）A．﹣4 B．﹣2 C．2i D．02．（3分）若，都是单位向量，则下列结论一定正确的是（）A．＝ B．＝1 C．∥ D．||＝||3．（3分）由随机函数RAND生成了在区间[0，1）内的随机数x，则下列运算中能将x对应到区间[a，b）的是（）A．ax+b B．bx+a C．（b﹣a）x+a D．（b﹣a）x+b4．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各条棱所在的直线中，与直线BC1异面且垂直的可以是（）A．AA1 B．BC C．A1D1 D．CD5．（3分）某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（）A．直方图中x的值为0.004 B．在被抽取的学生中，成绩在区间[60，70）的学生数为10 C．估计全校学生的平均成绩不低于80分 D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分6．（3分）设向量＝（cosα，sinβ），则“||＝1”是“α＝β”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件7．（3分）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：∁i＝“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，D3＝“点数大于5”；E＝“点数为奇数”，F＝“点数为偶数”．下列结论正确的是（）A．C1与C2对立 B．D1与D2互斥 C．D3⊆F D．E⊇（D1∩D2）8．（3分）将函数f（x）＝sin（2x﹣φ）的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则φ的值可以为（）A． B． C． D．9．（3分）若直线m⊄平面α，则下列结论一定成立的个数是（）①α内的所有直线与m异面；②α内存在唯一一条直线与m相交；③α内存在直线与m平行．A．0 B．1 C．2 D．310．（3分）一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸．已知船在静水中的速度v1的大小为|v1|＝10m/s，水流速度v2的大小为|v2|＝2m/s．设船行驶方向与水流方向的夹角为θ，若船的航程最短，则（）A． B． C． D．二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）在复平面内，复数z＝（1+i）2对应的点Z的坐标为；|z|＝．12．（4分）已知某车企从今年开始投产了A，B，C三种型号的新能源汽车，第一个月下线的台数依次为250，450，300，现用分层抽样的方法从中随机抽取20台车进行质量测试，则某一台B型号的新能源汽车被抽取的概率为．13．（4分）在△ABC中，a2＝2bc，b＝2c，则cosA＝．14．（4分）已知⊙O中弦AB＝6，则＝．15．（4分）已知α，β是平面，m是直线，从下列五个条件中选择若干个作为已知条件，能够得到m∥β的是．（填入条件的序号即可）①α∥β；②α⊥β；③m⊥α；④m∥α；⑤m⊄β．16．（4分）用一张A4纸围绕半径为rcm的石膏圆柱体包裹若干圈，然后用裁纸刀将圆柱体切为两段，如图①所示．设圆柱体母线与截面的夹角为θ（0°＜θ＜90°），如图②．将其中一段圆柱体外包裹的A4纸展开铺平，如果忽略纸的厚度造成的误差，我们会发现剪裁边缘形成的曲线是正弦型曲线，如图③．建立适当的坐标系后，这条曲线的解析式可设为f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0），若f（x）的最小正周期为2π，则r＝cm，此时，当θ＝时，可使f（x）的值域为．三、解答题：共5小题，共46分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（9分）已知tanα＝，α∈（0，），1﹣sinβ＝cos2β，β∈（，π）．（1）求tan（+α）及sinβ的值；（2）求cos（α﹣β）的值．18．（9分）为开阔学生视野，丰富学生的数学学习方式，某高校数学学院学生会创办了微信公众号《数学乐园》，设定了“数学史料”“趣题妙解”等栏目，定期发布文章．为了扩大微信公众号的影响力，后台统计了反映读者阅读情况的一些数据，其中阅读跳转率f（x）记录了在阅读某文章的所有读者中，阅读至该篇文章总量的x%时退出该页面的读者占阅读此文章所有读者的百分比．例如：阅读跳转率f（20）＝5%表示阅读某篇文章的所有读者中，阅读量至该篇文章总量的20%时退出该页面的读者占阅读此篇文章的所有读者的5%．现从“数学史料”“趣题妙解”专栏中各随机选取一篇文章．分别记为篇目A，B，其阅读跳转率的折线图如图所示．用频率来估计概率．（1）随机选取一名篇目A的读者，估计他退出页面时阅读量大于文章总量的80%的概率；（2）现用比例分配的分层随机抽样的方法，在阅读量没有达到30%的篇目B的读者中抽取6人，任选其中2人进行访谈，求这两人退出页面时阅读量都为文章总量的10%的概率；（3）请依据图中的数据，比较篇目A和篇目B的阅读情况，写出一个结论，并选择其中一个栏目提出你的优化建议．19．（9分）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车（即圆周）的直径为3米，其中心（即圆心）O到水面的距离b为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒．水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位；米），水车逆时针旋转时间为t（单位：秒）．当点P在水面上时高度记为正值；当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度记为负值．过点P向水面作垂线，交水面于点M，过点O作PM的垂线，交PM于点N．从水车与水面交于点Q时开始计时（t＝0），设∠QON＝φ，水车逆时针旋转t秒转动的角的大小记为α．（1）求h与t的函数解析式；（2）当雨季来临时，河流水量增加，点O到水面的距离减少了0.3米，求∠QON的大小（精确到1°）；（3）若水车转速加快到原来的2倍，直接写出h与t的函数解析式．（参考数据：）20．（9分）已知点O（0，0），A（2，1），B（1，2）．（1）若，求点P的坐标；（2）已知．①若点Q在直线AB：y＝﹣x+3上，试写出λ，μ应满足的数量关系，并说明你的理由；②若△QAB为等边三角形，求λ，μ的值．21．（10分）如图①，矩形ABCD中，AB＝4，AD＝2，E，F分别为AB，DC的中点．将四边形AEFD沿EF折起至四边形A1EFD1的位置，如图②．（1）求证：EF⊥平面A1EB；（2）若点A1在平面EFCB上的射影为BE的中点，求三棱锥F﹣A1BC的体积；（3）当平面A1EFD1与平面EFCB垂直时，作正方体A1D1NM﹣EFCB如图③．若平面α∥平面A1FB，且平面a截该正方体所得图形的面积为S．①若C∈α，则S＝；②S的最大值为．（直接写出结果）

2020-2021学年北京市东城区高一（下）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题：共10小题，每小题3分，共30分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（3分）已知复数z＝﹣2+i，则z+＝（）A．﹣4 B．﹣2 C．2i D．0【分析】利用复数的运算法则、共轭复数的定义直接求解．【解答】解：∵z＝﹣2+i，∴z+＝（﹣2+i）+（﹣2﹣i）＝﹣4．故选：A．【点评】本题考查复数的运算法则、共轭复数的定义等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（3分）若，都是单位向量，则下列结论一定正确的是（）A．＝ B．＝1 C．∥ D．||＝||【分析】通过单位向量模为1与＜，＞进行分析可解决此题．【解答】解：当，夹角不是0时，≠，∴A错；•＝1×1cos＜，＞＝cos＜，＞，显然不一定为1，∴B错；当，夹角不是0或π时，与不一定平行，∴C错；∵，都是单位向量，∴||＝||＝1，∴D对．故选：D．【点评】本题考查向量概念、模、数量积运算，考查数学运算能力及直观想象能力，属于基础题．3．（3分）由随机函数RAND生成了在区间[0，1）内的随机数x，则下列运算中能将x对应到区间[a，b）的是（）A．ax+b B．bx+a C．（b﹣a）x+a D．（b﹣a）x+b【分析】利用x∈[0，1），依次判断四个选项是否能将x对应到区间[a，b），即可得到答案．【解答】解：因为x∈[0，1），则ax+b∈[b，a+b），不符合题意，故选项A错误；因为x∈[0，1），则bx+a∈[a，a+b），不符合题意，故选项B错误；因为x∈[0，1），则（b﹣a）x+a∈[a，b），符合题意，故选项C正确；因为x∈[0，1），则（b﹣a）x+b∈[b，2b﹣a），不符合题意，故选项D错误．故选：C．【点评】本题考查了随机数的应用，考查了逻辑推理与运算能力，属于基础题．4．（3分）在正方体ABCD﹣A1B1C1D1各条棱所在的直线中，与直线BC1异面且垂直的可以是（）A．AA1 B．BC C．A1D1 D．CD【分析】利用异面直线的判定定理和异面直线所成角的定义，对四个选项逐一分析判断即可．【解答】解：由异面直线的判定定理可知，过平面外一点和平面内一点的直线与平面内不过该点的直线异面，直线AA1与直线BC1异面，∠B1BC1＝45°为两条直线所成的角，故选项A错误；直线BC与直线BC1相交，不是异面直线，故选项B错误；直线A1D1与直线BC1异面，∠B1C1B＝45°为两条直线所成的角，故选项C错误；直线CD与直线BC1异面，因为CD⊥平面BCC1B1，又BC1⊂平面BCC1B1，所以CD⊥BC1，故选项D正确．故选：D．【点评】本题考查了异面直线的判断，异面直线的判定定理的应用以及异面直线所成角的求解，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于基础题．5．（3分）某校组织全体学生参加了主题为“建党百年，薪火相传”的知识竞赛，随机抽取了200名学生进行成绩统计，发现抽取的学生的成绩都在50分至100分之间，进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示，下列说法正确的是（）A．直方图中x的值为0.004 B．在被抽取的学生中，成绩在区间[60，70）的学生数为10 C．估计全校学生的平均成绩不低于80分 D．估计全校学生成绩的样本数据的80%分位数约为93分【分析】根据直方图中学生成绩落在各个区间概率和为1可求得x，可判断A；根据成绩在区间[60，70）的学生的频率计算学生数，可判断B；按照频率分布直方图中平均数算法求得平均数，可判断C；按照频率分布直方图中百分位数算法计算样本数据的80%分位数，可判断D．【解答】解：由图可知（0.005+0.01+0.015+0.04+x）×10＝1，解得x＝0.03，∴A错；由图可知根据成绩在区间[60，70）的学生数为0.01×10×200＝20，∴B错；由图可知平均数为：55×0.05+65×0.1+75×0.15+85×0.3+95×0.4＝84，∴C对；由图可知样本数据的80%分位数约为：90+×10＝95，∴D错．故选：C．【点评】本题考查频率分布直方图中某个区间的频率或频数、平均数、百分位数算法，考查数学运算能力，属于基础题．6．（3分）设向量＝（cosα，sinβ），则“||＝1”是“α＝β”的（）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件 C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件【分析】由||＝1可得sinβ＝±sinα，得到α与β终边相同或关于坐标轴对称；反之由α＝β可得||＝1，再由充分必要条件的判定得答案．【解答】解：向量＝（cosα，sinβ），由||＝1，得cos2α+sin2β＝1，则，而sin，可得sinβ＝±sinα，则α与β终边相同或关于坐标轴对称；反之，若α＝β，则＝（cosα，sinα），可得||＝1．∴“||＝1”是“α＝β”的必要而不充分的条件，故选：B．【点评】本题考查充分必要条件的判定，考查向量模的求法及三角函数的求值问题，是基础题．7．（3分）抛掷一颗质地均匀的骰子，有如下随机事件：∁i＝“点数为i”，其中i＝1，2，3，4，5，6；D1＝“点数不大于2”，D2＝“点数不小于2”，D3＝“点数大于5”；E＝“点数为奇数”，F＝“点数为偶数”．下列结论正确的是（）A．C1与C2对立 B．D1与D2互斥 C．D3⊆F D．E⊇（D1∩D2）【分析】对于A，C1与C2是互斥但不对立事件；对于B，D1与D2能同时发生，不是互斥事件；对于C，由D3＝“点数大于5”，F＝“点数为偶数”，得D3⊆F；对于D，D1∩D2＝{2}，E＝“点数为奇数”，从而E⊇（D1∩D2）不成立．【解答】解：对于A，C1与C2不能同时发生，但能同时不发生，∴C1与C2是互斥但不对立事件，故A错误；对于B，D1与D2能同时发生，不是互斥事件，故B错误；对于C，∵D3＝“点数大于5”，F＝“点数为偶数”，∴D3⊆F，故C正确；对于D，∵D1∩D2＝{2}，E＝“点数为奇数”，∴E⊇（D1∩D2）不成立，故D错误．故选：C．【点评】本题考查命题真假的判断，考查互斥事件、对立事件等基础知识，是基础题．8．（3分）将函数f（x）＝sin（2x﹣φ）的图象向右平移个单位长度后，得到的图象关于y轴对称，则φ的值可以为（）A． B． C． D．【分析】直接利用三角函数图象的变换，把函数的关系式变形成正弦型函数，进一步利用图象的对称轴即可求解．【解答】解：f（x）＝sin（2x﹣θ）的图象向右平移个单位长度，得到g（x）＝sin（2x﹣﹣θ），得到的函数图象关于y轴对称，则：﹣﹣θ＝kπ+，（k∈Z），解得：θ＝﹣kπ﹣（k∈Z），当k＝﹣1时，θ＝．故选：B．【点评】本题考查的知识要点：三角函数图象的平移变换，正弦型函数性质的应用，属于基础题．9．（3分）若直线m⊄平面α，则下列结论一定成立的个数是（）①α内的所有直线与m异面；②α内存在唯一一条直线与m相交；③α内存在直线与m平行．A．0 B．1 C．2 D．3【分析】由已知可得m∥α或m与α相交，再分类分析直线m与平面α内直线的位置关系，则答案可求．【解答】解：若直线m⊄平面α，则m∥α或m与α相交．当m∥α时，α内的直线与m的位置关系是平行或异面；当m与α相交时，α内的直线与m的位置关系是相交或异面．①α内的所有直线与m异面错误；②α内存在唯一一条直线与m相交错误，当m与α平行时，α内不存在直线与m相交，当m与α相交时，α内过交点的直线都有直线m相交；③α内存在直线与m平行错误，当m与α相交时，α内不存在直线与m平行．∴结论一定成立的个数是0．故选：A．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．10．（3分）一条河流的两岸平行，一艘船从河岸边的A处出发到河对岸．已知船在静水中的速度v1的大小为|v1|＝10m/s，水流速度v2的大小为|v2|＝2m/s．设船行驶方向与水流方向的夹角为θ，若船的航程最短，则（）A． B． C． D．【分析】利用垂线段最短得到船的行驶方向，结合三角函数的知识求出夹角；【解答】解：当航线垂直于河岸时，航程最短．如图，在△ABC中，AC＝10，BC＝2，所以sin∈，所以∠BAC∈（0°，30°），故θ＝90°+∠BAC∈（90°，120°），即，故选：C．【点评】本题考查向量的加法的几何意义的应用，结合解直角三角形和三角函数知识考查，属于基础题．二、填空题：共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）在复平面内，复数z＝（1+i）2对应的点Z的坐标为（0，2）；|z|＝2．【分析】把复数z化成代数形式，可得对应的点Z的坐标，再计算|z|即可．【解答】解：z＝（1+i）2＝12+2i+i2＝2i，∴复数z＝（1+i）2对应的点Z的坐标为（0，2）；|z|＝＝2．故答案为：（0，2）；2．【点评】本题考查复数乘法运算，复数的模和几何意义，考查运算能力，属于基础题．12．（4分）已知某车企从今年开始投产了A，B，C三种型号的新能源汽车，第一个月下线的台数依次为250，450，300，现用分层抽样的方法从中随机抽取20台车进行质量测试，则某一台B型号的新能源汽车被抽取的概率为．【分析】由题意利用分层抽样的定义和特点，求出每一台车被抽取的概率，即为所求．【解答】解：A，B，C三种型号的新能源汽车，第一个月下线的台数依次为250，450，300，现用分层抽样的方法从中随机抽取20台车进行质量测试，则每一台车被抽取的概率为＝，故某一台B型号的新能源汽车被抽取的概率为，故答案为：．【点评】本题主要考查分层抽样的定义和特点，属于基础题．13．（4分）在△ABC中，a2＝2bc，b＝2c，则cosA＝．【分析】直接利用关系式的变换和余弦定理的应用求出结果．【解答】解：△ABC中，a2＝2bc，b＝2c，所以a2＝4c2，整理得a＝2c，则：cosA＝＝．故答案为：．【点评】本题考查的知识要点：关系式的变换，余弦定理的应用，主要考查学生的运算能力和数学思维能力，属于基础题．14．（4分）已知⊙O中弦AB＝6，则＝18．【分析】直接利用向量的数量积化简求解即可．【解答】解：⊙O中弦AB＝6，则＝||||cos∠OAB＝＝18．故答案为：18．【点评】本题考查向量的数量积的求法，是基础题．15．（4分）已知α，β是平面，m是直线，从下列五个条件中选择若干个作为已知条件，能够得到m∥β的是①④⑤（或②③⑤）．（填入条件的序号即可）①α∥β；②α⊥β；③m⊥α；④m∥α；⑤m⊄β．【分析】由面面平行、线面平行结合线不在平面内得结论（或由面面垂直、线面垂直结合线不在平面内得结论）．【解答】解：由α∥β，m∥α，m⊄β，可得m∥β；由α⊥β，m⊥α，m⊄β，可得m∥β．故答案为：①④⑤（或②③⑤）．【点评】本题考查空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．16．（4分）用一张A4纸围绕半径为rcm的石膏圆柱体包裹若干圈，然后用裁纸刀将圆柱体切为两段，如图①所示．设圆柱体母线与截面的夹角为θ（0°＜θ＜90°），如图②．将其中一段圆柱体外包裹的A4纸展开铺平，如果忽略纸的厚度造成的误差，我们会发现剪裁边缘形成的曲线是正弦型曲线，如图③．建立适当的坐标系后，这条曲线的解析式可设为f（x）＝Asinωx（A＞0，ω＞0），若f（x）的最小正周期为2π，则r＝1cm，此时，当θ＝30°时，可使f（x）的值域为．【分析】利用f（x）的最小正周期为2π，即为圆柱横截面周长为2π，即可求出r的值；利用值域求出CD的长，结合r的值，从而求出tanθ，即可得到答案．【解答】解：如图所示①，因为f（x）的最小正周期为2π，此时x轴长度2π，其底边AB所对应的长度为2π，AB恰好为圆柱的底面周长，则圆柱横截面周长为2π，即2πr＝2π，故r＝1cm，因为f（x）的值域为，则斜切面的最低点与最高点在y轴上对应距离为，即图②中CD的长为cm，因为r＝1cm，所以DE＝2r＝2cm，则tanθ＝，又0°＜θ＜90°，所以θ＝30°．故答案为：1；30°．【点评】本题考查了三角函数与立体几何的应用，涉及了圆柱几何特征的理解与应用，考查了空间想象能力与逻辑推理能力，属于中档题．三、解答题：共5小题，共46分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（9分）已知tanα＝，α∈（0，），1﹣sinβ＝cos2β，β∈（，π）．（1）求tan（+α）及sinβ的值；（2）求cos（α﹣β）的值．【分析】（1）根据已知条件，结合正切函数的两角和公式，以及二倍角公式，即可求解．（2）根据已知条件，结合三角函数的同角公式和余弦函数的两角差公式，即可求解．【解答】解：（1）∵tanα＝，∴＝，∵1﹣sinβ＝cos2β＝1﹣2sin2β，β∈（，π），∴．（2）∵，∴cosα＝3sinα，又∵sin2α+cos2α＝1，α∈（0，），∴，，∵，β∈（，π），∴，∴cos（α﹣β）＝cosα•cosβ+sinα•sinβ＝．【点评】本题考查了三角函数的两角和与差公式，以及二倍角公式，需要学生熟练掌握公式，属于基础题．18．（9分）为开阔学生视野，丰富学生的数学学习方式，某高校数学学院学生会创办了微信公众号《数学乐园》，设定了“数学史料”“趣题妙解”等栏目，定期发布文章．为了扩大微信公众号的影响力，后台统计了反映读者阅读情况的一些数据，其中阅读跳转率f（x）记录了在阅读某文章的所有读者中，阅读至该篇文章总量的x%时退出该页面的读者占阅读此文章所有读者的百分比．例如：阅读跳转率f（20）＝5%表示阅读某篇文章的所有读者中，阅读量至该篇文章总量的20%时退出该页面的读者占阅读此篇文章的所有读者的5%．现从“数学史料”“趣题妙解”专栏中各随机选取一篇文章．分别记为篇目A，B，其阅读跳转率的折线图如图所示．用频率来估计概率．（1）随机选取一名篇目A的读者，估计他退出页面时阅读量大于文章总量的80%的概率；（2）现用比例分配的分层随机抽样的方法，在阅读量没有达到30%的篇目B的读者中抽取6人，任选其中2人进行访谈，求这两人退出页面时阅读量都为文章总量的10%的概率；（3）请依据图中的数据，比较篇目A和篇目B的阅读情况，写出一个结论，并选择其中一个栏目提出你的优化建议．【分析】（1）利用题中折线图中的数据，由频率估计概率即可；（2）利用分层抽样的特点，得到10%抽取3人，20%的抽取3人，然后由古典概型的概率公式求解即可；（3）通过折线图的变化趋势，考虑优化A，由A的变化趋势分析建议即可．【解答】解：（1）由题中的折线图可知，随机选取一名篇目A的读者，估计他退出页面时阅读量大于文章总量的80%的概率为0.30+0.10＝0.4；（2）由折线图可知，10%和20%的阅读量和跳转率相等，则由分层抽样方法可知，在阅读量没有达到30%的篇目B的读者中抽取6人，则10%抽取3人，20%的抽取3人，从6人中任选其中2人进行访谈，果实重量在[27.5，32.5）和[47.5，52.5]内的分别有4个和3个，分别记为A1，A2，A3，A4，和B1，B2，B3，从中任取2个的取法有：A1A2，A1A3，A1A4，A2A3，A2A4，A3A4，A1B1，A1B2，A1B3，A2B1，A2B2，A2B3，A3B1，A3B2，A3B3，A4B1，A4B2，A4B3，B1B2，B1B3，B2B3，共21种取法，其中都是优质果实的取法有B1B2，B1B3，B2B3，共3种取法，则这两人退出页面时阅读量都为文章总量的10%的概率为＝；（3）由题中的折线图可以看出，A，B都随着阅读量的增加，阅读跳转率也在增加，考虑选择A进行优化．建议：A可以在阅读量50%之后进行改善，使它能更吸引读者，尤其是90%，跳转率太大，应是后期很差导致，故考虑改善A的后期，以便吸引读者．【点评】本题考查了折线图的应用，古典概率概率公式的应用，读懂统计图并能从统计图得到必要的信息是解决问题的关键，属于基础题．19．（9分）水车是一种利用水流的动力进行灌溉的工具，工作示意图如图所示．设水车（即圆周）的直径为3米，其中心（即圆心）O到水面的距离b为1.2米，逆时针匀速旋转一圈的时间是80秒．水车边缘上一点P距水面的高度为h（单位；米），水车逆时针旋转时间为t（单位：秒）．当点P在水面上时高度记为正值；当点P旋转到水面以下时，点P距水面的高度记为负值．过点P向水面作垂线，交水面于点M，过点O作PM的垂线，交PM于点N．从水车与水面交于点Q时开始计时（t＝0），设∠QON＝φ，水车逆时针旋转t秒转动的角的大小记为α．（1）求h与t的函数解析式；（2）当雨季来临时，河流水量增加，点O到水面的距离减少了0.3米，求∠QON的大小（精确到1°）；（3）若水车转速加快到原来的2倍，直接写出h与t的函数解析式．（参考数据：）【分析】（1）设f（x）＝Asin（ωt﹣φ）+h，依据题意求出各参数后可得．（2）在直角三角形AQN中计算可得．（3）由周期变为原来的一半可得．【解答】解：（1）由题意设f（x）＝Asin（ωt﹣φ）+h，则A＝R＝，T＝80，则ω＝＝＝，由题意sinφ＝＝，φ是锐角，所以φ＝，f（t）＝sin（t﹣）+h，f（0）＝sin（﹣）+h，h＝，所以f（t）＝sin（t﹣）+．（2）河水上涨0.3米，在Rt△OQN中，sin∠QON＝＝，所以∠QON＝＝36°．（3）水车转速加快到原来的2倍，则周期变为原来的一半，即T＝40，ω＝＝，所以h（t）＝sin（t﹣）+．【点评】本题考查三角函数的性质，解题中需要理清思路，属于中档题．20．（9分）已知点O（0，0），A（2，1），B（1，2）．（1