结构动力学讲义三

第二章（续）

单自由度系统的振动5/17/20231先考虑冲量荷载作用于系统的响应。§1.2单自由度系统一般动荷载作用下

的受迫振动1、瞬时冲量

5/17/20232设体系在时处于静止状态，然后施加瞬时冲量。(在时间内作用荷载，其冲量。体系将产生初速度，但初位移仍为零。在时作用瞬时冲量所引起的动力响应为：5/17/20233如果在时作用有瞬时冲量，则在以后任一时刻的动力响应为：5/17/202342、无阻尼Duhamel积分任意的一般性荷载，在时刻的荷载强度为在一短时间间隔范围内作用这荷载，则会在结构上产生一个短持续时间的冲量，冲量导致的响应：5/17/20235表示在的整个响应时程范围内微分冲量的微分响应，不是时间间隔内的变化。整个荷载时程可看作由一系列瞬时冲量组成，每一个脉冲将产生一个如式所示的微分响应。对线性弹性体，总响应为荷载作用时间的全部微分响应的叠加，即对下式进行积分。5/17/20236特点：计算任意形式的动力荷载作用下无阻尼单自由度体系的动力响应。无阻尼体系的杜哈梅（Duhamel）积分自由振动、瞬态在荷载变化很不规则时，计算可能需要利用数值积分来进行。如果初始位移和初始速度不为零，则总位移为:强迫振动、稳态5/17/20237写成：式中：卷积积分（convolutionintegral）单位脉冲响应意义：表示在时，在一个单位大小“1”的脉冲作用下，结构体系的动力响应。（pulseresponsefunction）

5/17/20238有阻尼体系在一般动力荷载下的响应的杜哈梅积分。当时，微分冲量引起的动力响应为3、有阻尼杜哈梅积分

有阻尼：无阻尼：5/17/20239在整个荷载作用时间内对这些微分响应求和，则有阻尼体系的振动响应为:有阻尼体系对单位脉冲的动力响应为:5/17/2023104、杜哈梅积分的数值计算1)荷载函数是可积的，则结构的动力响应可利用下式进行计算。2）对于许多实际情况，如果荷载的变化规律是用一系列离散数据表示（如试验数据），此时的响应计算就必须借助于数值分析方法。有阻尼：无阻尼：5/17/202311无阻尼体系的动力响应积分表达式：杜哈梅积分的数值计算，实质上就是对上式进行数值积分。其中：5/17/202312考虑等时间增量，令

三种基本数值计算近似方法，其求和表达式为：1）简单求和法：

讨论积分项5/17/2023132）梯形法则：

3）辛普森（Simpson）法则：

对于辛普森法则，式中必须是偶数。5/17/202314

目的：计算一系列相继时刻的响应，其中两相邻时刻的间隔为（用辛普森法则时为）。为了获得整个响应历程特征，把方程写成增量形式：1）简单求和法：

5/17/2023152）梯形法则：

3）辛普森法则：

其中，表示在时刻所得到的和。同理，积分项可用相同的方法进行计算。5/17/202316注：数值积分解答的精确度与计算中选择和微小时段有关，一般可取小于系统自振周期的十分之一，便可得到较好的结果。因此，无阻尼体系动力响应的数值解：同理，也可求得有阻尼体系动力响应。5/17/202317单自由度系统如图所示三角形冲击荷载F(t)试求该系统的动力位移和动力系数，已知系统的初位移和初速度均为零。

例2-5：5/17/202318冲击荷载作用的时间很短，在系统产生最大位移之前，阻尼因素所吸收的能量很少，因此，冲击荷载作用下的计算，一般不计阻尼的影响。解：将荷载F(t)代入杜哈梅（Duhamel）积分，得5/17/202319为了求最大动力位移，由y(t)对时间求导等于零来达到最大位移的时间tm，即即，则可得最大动力位移：动力系数：

5/17/202320应该指掠出，上禽式必须妨满足时才秤成立瓶，即，解此不述等式得踪蝶，这就说狂明：当时，最第大动力支位移发刚生在时段内笛，上式惨应用有沟效；当最大钉动力掠位移笼发生柄在时的自由车振动状态嫌下。时，双则5/拾4/胖20炕2321为了求时的闹动力煌位移载，先赢求和速牲度时的树位移将其炼带入毫自由昂振动翅方程厚得此自由疏振动的肚幅值为蜘：5/4阔/20班2322动力惕系数挥：动力解系数党只与下表列钻出不同坑值时的脊动力系纱数。有关爆，即京只与历有净关t1/T0.1250.200.250.3710.400.500.751.001.502.000.390.660.731.001.051.201.421.551.691.762.00表剩不同值时鬼的动这力系倡数表5/4此/20兔2323图示水布塔，受她爆炸荷断载F(t)作用绸。设校水塔督质量，刚度芒系数和初速第度均为傻零，阻仔尼比积分干法求陕动力拨位移流。例2-售5:，已知茂初位移，试用付数值5/4牛/20义2324水塔时的自扫振频丧率和锹周期筛分别肯为解:取微小煎时段，约毒相当得于水愤塔自妨振。为书简便主清楚醉起见您将计探算过目程列周期的1/2蓬0表显示炊。详细济过程哗参见沸课本佳。5/4拴/20消2325§2传.8阻尼理尖论与阻爸尼比的棋量测1、关于浇粘滞阻过尼理论原的讨论阻尼是结纸构体叨系的骗重要符特性界之一史。单自警由度叠体系黎，按钢照粘农滞阻碑尼理恩论建挺立了易体系的自缝由振动勾和强迫胜振动方替程：5/4掌/20稠2326在简谐纵荷载锄作用下拘，设结乡丰构的稳拍态响应酿为：相应的削速度为见：粘滞阻概尼的阻载尼力为紫：因此：5/4研/20舰2327表示阻孤尼力怖和太位移浮之间吼呈椭圆型关系戏。阻尼力达和位归移贯都随时懂间变化喷，在一却周期内做惧的总稀功可塘以看聋成是究在各棍个时掩间微帐量讽上所做功旗的总筹和。时间妥增加推时链相应的惜位移增崇量为粥，故毁总功为制：等于象椭圆爸所包欲围的恶面积堂。5/暴4/津20渴2328用牙表示粘轰滞阻尼搂振动一盛个周期白时的能容量耗散惨，通常示称为耗夺能，即粘滞阻赚尼理论军的耗能予和外加撤荷载的辽频率成勺正比，颂振动越素快，每虽周耗散侍的能量响越大。实验闭结果凶表明：对于茎许多结享构振动撕一个周车期的耗棉能与频粥率无关貌，即耗鸭能与振与动的快乡丰慢无关狱。5/鸣4/甩20恨2329利用粘汪滞阻尼嚼理论分肝析结构慨振动的彻结果，教并不能扒与实验坚结果很静好地吻骂合，尤趴其是在嫌能量耗门散机理只上表现痒出与实裳验结论笨的不一雁致性。但是，粘推滞阻返尼理舒论使慈体系迹的振伐动微雀分方袄程保交持为哥线性乌，计舍算简后便，程因此技仍然序得到引广泛日应用共。5/帆4/均20暂23302、阻尼称比的量梦测多数得情况普下，惕结构孙的质坟量和极刚度剃可以租较容贩易地肉用物荡理方墨法进竞行分味析与奴计算吴，通常榜不可浴能用文计算晕的方教法来驴确定拴阻尼足系数嘱。许脏多结仪构体追系的记阻尼派必须仙直接私用试验的方胸法来妇量测侍。用实测政结果计狱算结构扒阻尼的乱几个主斑要方法匹。5/4弄/20猾2331a）自由幕振动按衰减歉法自由振湿动衰减绸试验：最撑简单辉且最寺常用击的方江法方法：用任能意手段逝使一个帽体系产集生自由时振动后懂，阻尼丸比可用摧相隔浩周后量牌得的两壤个位移鹿幅值的筹比来确禾定。求解：如果树是在蚀任一时趟刻的振区动幅值际，而缺为周后的春幅值，鬼则阻尼悼比：5/4街/20难2332为对数涝衰减率弄，沿和笔分别为巷无阻尼侍和有阻掩尼时的施固有频盐率。一般帜阻尼蹄比都打小于0.2，不考糊虑阻尼寒引起的扬频率变烦化。自由振冠动方法狂的主要渗优点：所哑需仪勒器设挽备少预，可要用任篮何简辉便的伶方法茅产生饥振动锋。5/4丧/20会2333典型的位频率响舟应曲线昌如图所难示。b)共振放同大法在结构懒上作用矩包括共投振频率诵在内的开一系列床较密分喷布频率妥的简谐罪荷载翠，然浴后分析露振幅与华荷载频摄率之间稍的关系盗曲线，那即结构添频率响屈应曲线军。5/汤4/业20坦2334任意给拾定频率惊的动力放喇大系数是该财频率翠的响盗应幅能值与恢零频煎率(静止扁状态)响应幅娘值的比泄值。阻尼比与共振批时的毅动力注放大它系数是紧密对相关的号。当静姑响应虫和共莲振响聪应幅辈值分胖别用封和税表断示时们，阻局尼比谜为：在实际城加载时咐，施加屠准确的业共振频晴率比较档困难，而普确定最辜大响应炕幅值逃则比贵较方便粘。5/寇4/尖20洪2335阻尼拾比：忽略洗了阻止尼对琴频率忧的影盛响，堂对于犬一般验的结构而吃言，绒引起隔的误疼差很朝小。优缺善点：所车需仪旱器也鲁很简炒单，升但是签，大巡寿多数赵加载劝体系弊不能凉在零兵频率步时工恳作，摧因此哲在产方生静惊位移俱时可嚼能会小出现良困难砍。5/4费/20肌2336c)半功率坐谱法半功昨率法：利用每阻尼比阴对结构岁动力响埋应曲线煤有很大候影响，盲根据曲诊线的变平化特性明来分析春结构阻巩尼比。方法：阻慨尼比写由响抖应减得小到共时弱的频淡率来抵确定壶，在育此频坐率下仓输入助为共刊振功兼率的社一半愧。5/4舒/20贸2337式（2－52）确访定的悄响应脏幅值爸为式录（2－97）所计咽算的共避振振幅矿的5/4环/20水2338将方胀程两概边平垦方，翼求得轰频率糕比为屯：得两丑个半进功率销频率予为纯：5/笼4/飞20瓜2339阻尼比狸等于这禾两个半许功率频屯率差值斜的一半。在共煌振响透应幅劈燕值的卖处作期一条悄切割脉响应叼曲线膜的水滔平线箭，此笋线与幅曲线饲相交赛的两廉个频初率间停的差待值，渴即为赴阻尼枣比的胞两倍榜。优点在于可课以避免利量测结猾构静响跟应，但病需要得撞到较高际精度的卧共振响夏应曲线匆。5/4袜/20团2340等效元粘滞闭阻尼另比实际帽结构诉并非冰粘滞届阻尼项体系坐假咐设体渗系为型一个坡等效厉粘滞添阻尼掘（equ币iva撒len疯tv疑isc谎ous谜da艇mpi松ng）体系培。试验裹结果晴表明，结恢构在付振动踩时，鲜阻尼骡因素垫所起籍影响乳的大博小主慈要取敌决于宪耗能领的数路值，胀与一丑个周痰期内胳形成扇能量贸损耗借的具传体过袄程无妹显著柏关系远。建立门等效束粘滞队阻尼拘比的加计算由理论径。利用凝粘滞厅阻尼扔体系善简化叮的计钻算结器论5/4斯/20见2341假设等猛效粘滞聚阻尼体旺系一个算振动周矩期内所绿损耗的面能量正鹊好与实腊际结构味在一个谱振动周殊期内所善损耗的姐能量相切等，且薯两者具候有相等智的位移斗振幅值档。5/欲4/扒20射2342实线表示实鹊际结构汤的滞回革曲线（hy江st俊er功et士ic剪c辨ur环ve），包押围面积样为孟：虚线所表示歌的椭圆希为等效差的滞回傻曲线，栽包围的沫面积为嗽；碗两者面宰积相等布，并有惕相同的规位移振吵幅A。等效粘奴滞阻尼丸体系中斥的阻尼怜常数和捧阻尼比分别为鹅等效阻约尼常数惊和普等效阻朵尼比炭。5/4腹/20烛2343于是在简谐货荷载作技用下发馋生共振面时，惯镰性力和贡弹性力浩等值反