北京物资贸易学校高二数学理联考试卷含解析

北京物资贸易学校高二数学理联考试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知不等式对任意的恒成立的x的取值集合为A，不等式对任意的恒成立的m取值集合为B，则有（

）A. B. C. D.参考答案：D【分析】将转化为的一次不等式求得集合A;分离参数，解出m的范围即可求得集合B,即可判断集合间的关系求解【详解】令，则关于的一次函数必单调，则，解得或，即又对任意的恒成立又单调递减，故，故，即综上故选：D．【点睛】本题考查集合间的关系，不等式恒成立问题，考查分离参数法的运用，考查一次函数的单调性，解题的关键是求出函数的最大值2.如图，一个盛满水的三棱锥容器，不久发现三条侧棱上各有一个小洞，且知，若仍用这个个容器盛水，则最多可盛水的体积是原来的

A.

B.

C.

D.

参考答案：C3.函数的单调增区间是（）A．（0，e） B．（﹣∞，e） C．（e﹣1，+∞） D．（e，+∞）参考答案：A【考点】利用导数研究函数的单调性．【分析】求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间即可．【解答】解：函数的定义域是（0，+∞），y′=，令y′＞0，解得：0＜x＜e，故函数在（0，e）递增，故选：A．4.若函数,则该函数在上是

(

)

单调递减无最小值

单调递减有最小值

单调递增无最大值

单调递增有最大值参考答案：A略5.我国古代数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米1534石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得254粒内夹谷28粒，则这批米内夹谷约为（）A．134石 B．169石 C．338石 D．1365石参考答案：B【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用．【分析】根据254粒内夹谷28粒，可得比例，即可得出结论．【解答】解：由题意，这批米内夹谷约为1534×≈169石，故选：B．6.抛物线的焦点到准线的距离是（

）．A.

B.

C.

D.参考答案：B略7.已知集合，则

( )A.A∩B=φ

B.A∪B=R

C.B?A

D.A?B参考答案：B由或，，解出A后可用数轴法将A、B画在数轴上，可得，则B项正确，其他选项错误。故本题正确答案为B。8.直线和圆交于两点，则的中点坐标为（

）A

B

C

D

参考答案：D略9.不等式组所表示的平面区域的面积等于A. B. C. D.参考答案：C【分析】在坐标平面中画出可行域，求出直线与直线的交点后可求面积.【详解】不等式组对应的可行域如图所示：由得到，两条直线的纵截距分别为和，故不等式组对应的可行域的面积为，故选C.【点睛】平面区域面积的计算，关键是确定区域是由什么图形确定的，如果是规范图形，则利用面积公式计算，如果不是规范图形，则需要把其分割成规范图形分别计算．10.在复平面内，复数（是虚数单位）对应的点位于（

） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限参考答案：D略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.假定一个家庭有两个小孩，生男、生女是等可能的，在已知有一个是女孩的前提下，则另一个小孩是男孩的概率是

．参考答案：12.平面上一机器人在行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=﹣1的距离相等，若机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，则k的取值范围是

．参考答案：k＜﹣1或k＞1【考点】抛物线的简单性质．【分析】由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，利用判别式，即可求出k的取值范围．【解答】解：由抛物线的定义可知，机器人的轨迹方程为y2=4x，过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y2=4x，可得k2x2+（2k2﹣4）x+k2=0，∵机器人接触不到过点P（﹣1，0）且斜率为k的直线，∴△=（2k2﹣4）2﹣4k4＜0，∴k＜﹣1或k＞1．故答案为：k＜﹣1或k＞1．13.函数f（x）的定义域为R，周期为4，若f（x﹣1）为奇函数，且f（1）=1，则f（7）+f（9）=

．参考答案：1【考点】3L：函数奇偶性的性质；3Q：函数的周期性．【分析】由已知中f（x﹣1）为奇函数，可得f（﹣1）=0，结合函数f（x）的定义域为R，周期为4，且f（1）=1，则f（7）+f（9）=f（﹣1）+f（1），进而得到答案．【解答】解：由f（x﹣1）为奇函数，知f（﹣1）=0，又∵函数f（x）的定义域为R，周期为4，f（1）=1，∴f（7）+f（9）=f（﹣1）+f（1）=1，故答案为：114.设分别为双曲线的左右焦点，若在双曲线的右支上存在一点满足：①是以为底边的等腰三角形；②直线与圆相切，则此双曲线的离心率为

参考答案：略15.已知函数，函数有四个零点，则实数k的取值范围是______．参考答案：【分析】将问题转化为与有四个不同的交点的问题；画出图象后可知，当与在和上分别相切时，两切线斜率之间的范围即为所求的范围，利用导数几何意义和二次函数的知识分别求解出两条切线斜率，从而得到所求范围.【详解】有四个零点等价于与有四个不同的交点当时，，当时，；当时，即在上单调递减，在上单调递增

当时，，此时由此可得图象如下图所示：恒过，由图象可知，直线位于图中阴影部分时，有四个不同交点即临界状态为与两段图象分别相切当与相切时，可得：当与相切时设切点坐标为，则又恒过，则即，解得：

由图象可知：【点睛】本题考查利用函数零点个数求解参数范围的问题，其中还涉及到导数几何意义的应用、二次函数的相关知识.解决零点问题的常用方法为数形结合的方法，将问题转化为曲线与直线的交点问题后，通过函数图象寻找临界状态，从而使问题得以求解.16.命题“若a，b都是偶数，则a+b是偶数”的否命题是．参考答案：若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数【考点】21：四种命题．【分析】欲写出它的否命题，须同时对条件和结论同时进行否定即可．【解答】解：条件和结论同时进行否定，则否命题为：若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．故答案为：若a，b不都是偶数，则a+b不是偶数．17.在复平面上，复数对应的点到原点的距离为_________.参考答案：.【分析】由题,先对复数进行化简,可得在复平面中对应的点,可求得到原点的距离.【详解】因为在复平面中对应的点为所以到原点的距离为故答案为【点睛】本题考查了复数的知识，化简复数是解题的关键，属于基础题.三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.设复数z=lg（m2﹣2m﹣2）+（m2+3m+2）i，问当m为何值时：（1）z是实数？（2）z是纯虚数？参考答案：【考点】A2：复数的基本概念．【分析】（1）要使复数z为实数，需要满足，解得m即可．（2）要使复数z是纯虚数，需要满足，解得m即可．【解答】解：（1）要使复数z为实数，需要满足，解得m=﹣1或﹣2．∴当m=﹣1或﹣2时，z是实数．（2）要使复数z是纯虚数，需要满足，解得m=3．∴当m=3时，z是纯虚数．【点评】本题考查了复数分别为实数、纯虚数的充要条件，属于基础题．19.某财经频道报道了某地建筑市场存在违规使用未经淡化海砂的现象．为了研究使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关，某大学实验室随机抽取了60个样本，得到了相关数据如下表：

混凝土耐久性达标混凝土耐久性不达标总计使用淡化海砂25t30使用未经淡化海砂s1530总计402060

（Ⅰ）根据表中数据，求出s，t的值，利用独立性检验的方法判断，能否在犯错误的概率不超过1%的前提下认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关？（Ⅱ）若用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，现从这6个样本中任取2个，则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是多少？参考数据：P（K2≥k0）0.100.0500.0250.0100.001k02.7063.8415.0246.63510.828

参考公式：．参考答案：（Ⅰ）,能；（Ⅱ）.试题分析：（Ⅰ）由图易知，然后由已知数据，利用公式得通过查表可知能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关；（Ⅱ）由图可知使用淡化海砂的样本中混凝土耐久性达标与不达标的比例为25:5，即5:1.从而知这6个样本中“混凝土耐久性达标”的为5，混凝土耐久性不达标”的为1.再计算从这6个样本中任取2个的基本事件总数，以及取出的2个样本混凝土耐久性都达标的对立事件数，再利用古典概率的公式即可得到所求概率.试题解析：（Ⅰ）(2分)假设：是否使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标无关，由已知数据可求得：因此，能在犯错误的概率不超过1%的前提下，认为使用淡化海砂与混凝土耐久性是否达标有关．(6分)（Ⅱ）用分层抽样的方法在使用淡化海砂的样本中抽取了6个，其中应抽取“混凝土耐久性达标”的为“混凝土耐久性不达标”的为1．“混凝土耐久性达标”的记为“混凝土耐久性不达标”的记为．从这6个样本中任取2个，共有可能，设“取出的2个样本混凝土耐久性都达标”为事件，它的对立事件为“取出的2个样本至少有一个混凝土耐久性不达标”，包含（），（），（），（），（）共5种可能，所以.则取出的2个样本混凝土耐久性都达标的概率是.(12分)考点：1.独立性检验；2.古典概率.20.（13分）已知椭圆和圆，左顶点和下顶点分别为，，是椭圆的右焦点．（1）点是曲线上位于第二象限的一点，若的面积为，求证：；（2）点和分别是椭圆和圆上位于轴右侧的动点，且直线的斜率是直线斜率的倍，证明:直线恒过定点．参考答案：（本题满分14分）解:（1）设曲线上的点，且，由题意，∵△APF的面积为，∴，解得，即∴，∴AP⊥OP．（2）设直线BM的斜率为k，则直线BN的斜率为2k，又两直线都过点，∴直线BM的方程为，直线BN的方程为．由得，解得，即．得，解得，即．直线MN的斜率，∴直线MN的方程为，整理得，，∴直线MN恒过定点．略21.在平面直角坐标系xOy中，已知动圆S过定点，且与定圆Q：相切，记动圆圆心S的轨迹为曲线C．（1）求曲线C的方程；（2）设曲线C与x轴，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，点M，N为椭圆C上相异的两点，其中点M在第一象限，且直线AM与直线BN的斜率互为相反数，试判断直线MN的斜率是否为定值．如果是定值，求出这个值；如果不是定值，说明理由；（3）在（2）条件下，求四边形AMBN面积的取值范围．参考答案：解：（1）设圆S的半径为R，∵点在圆内，且两圆相切∴设，，∴，∴圆心S的轨迹为以P，Q为焦点，长轴长为6的椭圆．……1分∴，，∴，，∴，∴曲线C的方程为．………………3分（2）由（1）可知设AM的斜率为k,则直线AM方程为，直线BN方程为由，得M点坐标为…………5分由，得……7分所以MN的斜率……9分（3）设MN的方程为，由，得则…………11分A到直线MN的距离分别为…………12分B到直线MN的距离分别为…………13分所以四边形AMBN面积……15分又，所以四边形AMBN面积的取值范围是．…………16分

22.(14分)已知各项均为正数的数列{}的前n项和满足，且.（1）求{}的通项公式.（2）设数列{}满足，并记为{}的前n项和，求证：参考答案：（Ⅰ）解：由，解得a1＝1或a1＝2，又a1＝S1＞1，因此a1＝2.

-------------1分又，

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