2022-2023学年四川省成都市新都第四中学高三数学理模拟试题含解析

2022-2023学年四川省成都市新都第四中学高三数学理模拟试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.已知向量与的夹角为，，且，则（

）A． B．6 C． D．4参考答案：B由题设有，故，整理得：即，，选B.

2.若将一个质点随机投入如图所示的长方形ABCD中，其中AB=2，BC=1，则质点落在以AB为直径的半圆内的概率是（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B3.已知正项等比数列满足，与的等差中项为，则的值为（

）A．4

B．2

C．

D．参考答案：A4.多面体的三视图如图所示，则该多面体体积为（单位cm3)A.

B.

C.16

D.参考答案：B如图故

选A5.已知函数，若恒成立，则实数a的取值范围是（

）(A)

(B)(C)

(D)参考答案：B略6.已知集合A={x∈R||x|≥2}，B={x∈R|x2﹣x﹣2＜0}，则下列结论正确的是（）A．A∪B=R B．A∩B≠? C．A∪B=? D．A∩B=?参考答案：D【考点】交集及其运算．【分析】运用绝对值不等式和二次不等式的解法，化简集合A，B，分别求出A，B的交集和并集，即可判断选项的正确．【解答】解：集合A={x∈R||x|≥2}={x|x≥2或x≤﹣2}B={x∈R|x2﹣x﹣2＜0}={x|（x﹣2）（x+1）＜0}={x|﹣1＜x＜2}，则A∩B=?，A∪B={x|x＞﹣1或x≤﹣2}，对照选项，可得A，B，C均错，D正确．故选：D．7.若在的展开式中含有常数项，则正整数n取得最小值时常数项为（）A． B．﹣135 C． D．135参考答案：C【考点】二项式定理的应用．【专题】计算题．【分析】通过二项展开式的通项公式，令x的次数为0即可求得正整数n取得最小值时常数项．【解答】解：∵=，∴2n﹣5r=0，又n∈N*，r≥0，∴n=5，r=2时满足题意，此时常数项为：；故选C．【点评】本题考查二项式定理的应用，关键在于应用二项展开式的通项公式，注重分析与计算能力的考查，属于中档题．8.函数的图象在点处的切线的倾斜角为（

）A

B

C

D参考答案：B9.某农场农作物使用肥料量x与产量y的统计数据如下表：肥料最x（吨）2345产量y（吨）26394954根据上表，可得回归方程y=bx+a中的b为9.4，据此模型，预报使用肥料量为6吨时产量是(

)

A．72.0吨

B．67.7吨

C．65.5吨

D．63.6吨参考答案：C10.若复数z=（cosθ﹣）+（sinθ﹣）i是纯虚数（i为虚数单位），则tan（θ﹣）的值为（）A．7 B． C．﹣7 D．﹣7或参考答案：C【考点】复数的基本概念；二倍角的正切．【分析】复数z=（cosθ﹣）+（sinθ﹣）i是纯虚数，可得：cosθ﹣=0，sinθ﹣≠0，于是sinθ=﹣，再利用同角三角函数基本关系式、和差化积公式即可得出．【解答】解：∵复数z=（cosθ﹣）+（sinθ﹣）i是纯虚数，∴cosθ﹣=0，sinθ﹣≠0，∴sinθ=﹣，∴tanθ=﹣．则tan（θ﹣）===﹣7．故选：C．二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知数列{an}满足：a4n﹣3=1，a4n﹣1=0，a2n=an，n∈N*，则a2013=

；a2014=

．参考答案：1;0.考点：数列递推式．专题：点列、递归数列与数学归纳法．分析：根据数列之间的递推关系即可得到结论．解答： 解：∵2013=504×4﹣3，满足a4n﹣3=1∴a2013=1，∵a2014=a1007，1007=252×4﹣1，满足a4n﹣1=0∴a2014=a1007=0，故答案为：1；

0．点评：本题考查数列的递推式在解题中的合理运用，根据递推关系推导项之间的联系是解决本题的关键．12.在△ABC中，已知=2，b=2a，那么cosB的值是．参考答案：【考点】余弦定理；同角三角函数基本关系的运用；正弦定理．【专题】解三角形．【分析】利用正弦定理与余弦定理即可得出．【解答】解：∵=2，由正弦定理可得：，即c=2a．b=2a，∴==．∴cosB=．故答案为：．【点评】本题考查了正弦定理与余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．13.三视图如下的几何体的体积为

.参考答案：1由三视图知：原几何体为四棱锥，四棱锥的底面是直角梯形，上下底边长分别为2和1，高为1，四棱锥的高为2，所以该几何体的体积为。14.已知向量与的夹角为60°，，，则

.参考答案：6与的夹角为，，又，，故答案为.

15.若数列的通项公式，记，试推测_________

参考答案：16.下面求的值的伪代码中，正整数的值可以为

．

参考答案：2013,2014,2015.17.己知x，y满足约束条件的最小值是

.参考答案：

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（本小题满分13分）已知函数，（）.（Ⅰ）求函数的单调区间；（Ⅱ）求证：当时，对于任意，总有成立.参考答案：解：（Ⅰ）函数的定义域为，.当时，当变化时，，的变化情况如下表：00↘

↗

↘当时，当变化时，，的变化情况如下表：00↗

↘

↗综上所述，当时，的单调递增区间为，单调递减区间为，；当时，的单调递增区间为，，单调递减区间为.

……5分

（Ⅱ）由（Ⅰ）可知，当时，在上单调递增，；在上单调递减，且.所以时，.因为，所以，令，得.①当时，由，得；由，得，所以函数在上单调递增，在上单调递减.所以.因为，所以对于任意，总有.②当时，在上恒成立，所以函数在上单调递增，.所以对于任意，仍有.综上所述，对于任意，总有.

…13分19.已知数列{an}满足an=2an-1-2n+5，（n∈N且n≥2），a1=1，（I）若bn=an-2n+1，求证数列{bn}（n∈N*）是常数列，并求{an}的通项；（II）若Sn是数列{an}的前n项和，又cn=（-1）nSn，且{Cn}的前n项和Tn＞tn2在n∈N*时恒成立，求实数t的取值范围。参考答案：（1）由已知中数列{an}满足an=2an-1-2n+5（n∈N+且n≥2），a1=1．我们易得到an-2n+1=2[an-1-2（n-1）+1]，又由bn=an-2n+1，可得bn=2bn-1，且b1=0，进而易判断出数列{bn}（n∈N+）是常数列，即bn=0，再由bn=an-2n+1，即可给出数列{an}的通项公式；

（2）由（1）中结论，我们易得数列{an}为等差数列，进而易得到Sn的表达式，根据cn=（-1）nSn，求出对应的{cn}后，分n为奇数和偶数两种情况分别求出Tn解对应的不等式式，即可求出实数t的取值范围．

解答：解：（1）由an=2an-1-2n+5知：an-2n+1=2[an-1-2（n-1）+1]，而a1=1

于是由bn=an-2n+1，可知：bn=2bn-1，且b1=0

从而bn=0，故数列{bn}是常数列．

于是an=2n-1．（5分）

（2）Sn是{an}前n项和，则Sn=1+3+5+…+（2n-1）=n2，cn=（-1）nn2当n为奇数时，即n=2k-1，Tn=T2k-1=-12+22-32+42+…+（2k-2）2-（2k-1）2=-k（2k-1）=-当n为偶数时，Tn=T2k=T2k-1+（2k）2=．∴Tn=．由Tn＞tn2恒成立，则需＞tn2恒成立．只需n为奇数时恒成立．∴（n=1，3，5，7，），∴（n=1，3，5，7，）恒成立．而，∴t＜-1，故所需t的范围为（-∞，-1）．（13分）20.已知函数,直线是函数f(x)图像的一条对称轴。(1)求函数f(x)的解析式及单调递增区间;(2)在△ABC中，已知,求b边长参考答案：解：（1）

是函数图像的一条对称轴

，的增区间为：（2）

（方法一）在中，由余弦定理：

（方法二）由（1）知在中，由正弦定理：

21.已知圆C：x2＋y2－2x＋4y－4＝0.问是否存在斜率为1的直线，使得被圆C截得的弦为AB，且以AB为直径的圆经过原点？若存在，写出直线的方程；若不存在，说明理由．参考答案：解假设存在，设其方程为y＝x＋m，代入x2＋y2－2x＋4y－4＝0，得2x2＋2(m＋1)x＋m2＋4m－4＝0.再设A(x1，y1)，B(x2，y2)，于是x1＋x2＝－(m＋1)，.以AB为直径的圆经过原点，即直线OA与OB互相垂直，也就是kOA·kOB＝－1，所以即2x1x2＋m(x1＋x2)＋m2＝0，将x1＋x2＝－(m＋1)，，代入整理得m2＋3m－4＝0，解得m＝－4，或m＝1.故所求的直线存在，且有两条，其方程分别为x－y＋1＝0，x－y－4＝0.略22.(12分)如图，在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，AA1=AB，点E、M分别为A1B、C1C的中点，过点A1，B，M三点的平面A1BMN交C1D1于点N.（Ⅰ）求证：EM∥平面A1B1C1D1；（Ⅱ）求二面角B—A1N—B1的正切值.参考答案：解析：（Ⅰ）证明：取A1B1的中点F，连EF，C1F

∵E为A1B中点

∴EF∥BB1又∵M为CC1中点∴EF∥C1M∴四边形EFC1M为平行四边形

∴EM∥FC1

而EM平面A1B1C1D1.FC1平面A1B1C1D1.∴EM∥平面A1B1C1D1………………6分

（Ⅱ）由⑴EM∥平面A1B1C1D1

EM平面