投影变换的基本概念

第4章

投影变换的基本概念

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教学提示：当几何元素相对于投影面处于一般位置时，是无法从投影图上直接获取其真实形状、距离和角度的。由此可知，在进行空间问题的图示和图解过程中，如果能通过某种变换规则，使空间几何元素相对于投影面由一般位置转换为特殊位置，使其投影或直接反映实形，或具有积聚性。应用的投影变换方法有更换投影面法(换面法)和旋转几何元素法(旋转法)两种。本章仅简单介绍其中的换面法，并以基本绘图软件AutoCAD为例，介绍如何利用其三维功能图解空间问题的基本思路。教学要求：要求学生通过学习本章内容，了解投影变换理论的基本概念，熟悉使用换面法解决空间基本问题的作图过程，了解如何利用计算机绘图软件中的三维功能解决空间问题的基本思路。●4.1投影变换概述

●4.2点的换面●4.3用换面法解决的4个基本作图问题

●4.4计算机辅助画法集合问题的图解法本章内容4.1投影变换概述

从前面所介绍的投影理论可知，当几何元素相对于投影面处于一般位置时，是无法从投影图上直接获取其真实形状、距离和角度的。例如，要获取一个处于一般位置的直角梯形ABCD的实形［如图4.1(a)所示］，只有当它处于投影面平行面(如水平面)的位置，才能获得，如图4.1(b)所示；同样，要得知一点K到一个三角形平面EFG之间的真实距离［如图4.2(a)所示］，也只有当该平面垂直于某一投影面时(如铅垂面)，才能在这个投影面上直接获得它们的真实距离，如图4.2(b)所示。(a)(b)(a)(b)图4.1寻求梯形的实形图4.2寻求点到平面的真实距离

4.1投影变换概述由此可知，在进行空间问题的图示和图解过程中，如果能通过某种变换规则，使空间几何元素相对于投影面由一般位置转换为特殊位置，使其投影或直接反映实形，或具有积聚性，那么，问题就可以得到简化。这种变换规则就称为投影变换。

常用的投影变换方法有更换投影面法(换面法)和旋转几何元素法(旋转法)两种。本章仅简单介绍其中的换面法，并以基本绘图软件AutoCAD为例，介绍如何利用其三维功能图解空间问题的基本思想。

投影变换研究的是如何改变空间几何元素与投影面的相对位置，借助于改变以后所得的新投影(即辅助投影)，以简便地解决空间问题。

换面法的基本解题思路是：空间几何元素本身在空间的位置不动，而在其所在的两投影面体系中，保持一个投影面不动，用某一辅助投影面代替另一个投影面，使其相对于该辅助投影面4.1投影变换概述处于解题所需的有利位置。实际上，以V/H两投影面体系为例，垂直于V面或H面的平面有无穷多个。每新设立一个投影面，就会与原始体系中的那个不变投影面形成一个新的投影体系。因此，在选择辅助投影面时，首先必须将辅助投影面垂直于原投影体系中的另一个投影面(不变投影面)，以构成一个新的两投影面体系，并且应考虑到所选择的辅助投影面必须处于最有利于解题的位置。如图4.3(a)所示的是如何应用换面法将一个铅垂面ABC变换为辅助投影面V1的平行面。此时，由于△ABC∥V1，因此，△ABC在V1面上的投影△a1′b1′c1′即反映其实形。其图解过程如图4.3(b)所示。4.1投影变换概述(a)(b)图4.3换面法的基本解题思路4.1投影变换概述旋转法的基本解题思路则是：保持投影体系不动，而将几何元素围绕某一轴线旋转到对投影面处于特殊位置，以便使其反映出形状、距离、角度等的真实大小，使问题得到简化。如图4.4(a)所示的是应用旋转法将一个铅垂面变换为正平面的过程。即令△ABC绕一铅垂轴旋转一个角度，直到平行于V面。使△ABC的正面投影反映出它的真实形状。如图4.4(b)所示是其投影作图过程。将投影变换的基本概念与计算机辅助图形软件相结合，可以更直接、更形象、更准确而快速地解决空间几何元素的定形和定位问题。

(a)(b)图4.4旋转法的基本解题思路4.1投影变换概述

点是最基本的几何元素。要运用换面法解决问题，首先必须掌握点的投影变换规律。4.2点的换面

为叙述清楚起见，仍以V和H组成的两投影面体系为例，并将其记为。若在

的基础上，保持H面(或V面)不动，则H面(或V面)即称为不变投影面，垂直于H面(或V面)增设一个辅助投影面V1(或H1)，即形成了两个相互关联的两投影面体系，分别用符号和

(或)表示。其中，X1表示辅助投影面与不变投影面的交线，V1(或H1)表示新设的辅助投影面。点A在V1(或H1)面上的投影a1′(或a1)称为点A的辅助投影，而与其相关联的投影a′和a则称为不变投影。点的一次投影变换的变换过程、投影体系的展开及投影变换规律见表4-1，即：

(1)点的不变投影与辅助投影之间的连线垂直于X1轴。4.2.1点的一次换面4.2点的换面(2)点的辅助投影到辅助投影轴X1的距离等于被更换的投影到原投影轴OX的距离。表4-1点的一次投影变换及投影变换规律4.2点的换面点的二次换面指的是在第一次换面之后的基础上，以第一次的投影体系

(或

)中的投影面V1(或H1)为不变投影面，增设与其垂直的新投影面H2(或V2)，组成新的投影体系

(或

)。在求第二次变换的新投影时，则以第一次变换建立起来的新体系中的两个投影作为原体系，运用点的投影规律作图。如图4.5(a)所示的是空间一点A的二次投影变换的过程，而如图4.5(b)所示则表示了A点的二次投影变换的作图过程。从图中可知，若第一次换面时，以H面为不变投影面，以V1面更换V面，那么第二次换面时，则以V1面为不变投影面，以H2更换H面。从而在第二次变换后构成了V1/H2的新体系，新的投影轴则用X2表示。由此可推出点的三次、四次或更多次投影变换的作图方法。4.2.2点的二次换面4.2点的换面(a)(b)图4.5点的二次投影变换4.2点的换面4.3用换面法解决的4个基本作图问题

如何将一般位置直线或平面转换为特殊位置直线或平面，是换面法所要解决的最基本问题。将一般位置直线转换为辅助投影面的平行线，可在该辅助投影面上得到直线的实长和对不变投影面倾角的真实大小。表4-2中以V/H体系为原投影体系，列出了用换面法求作一般位置直线的实长及对H面或V面的倾角的作图过程。表4-2求一般位置直线的实长及对投影面的倾角、4.3.1将一般位置直线变为投影面平行线

4.3用换面法解决的4个基本作图问题从表中的分析可知，要求一般位置直线的实长，可任取V、H面中的一个投影面为不变投影面，而另一投影面则以V1(或H1)来替代，形成新的投影体系

(或

)。显然，新投影面V1(或H1)的更换条件是V1(或H1)必须平行于一般位置直线AB。在投影作图时，即作X1轴平行于直线AB的水平投影ab(或正面投影a′b′)。4.3用换面法解决的4个基本作图问题一般位置直线对投影面的倾角，其实就是指对不变投影面的倾角。也就是说，若要求得直线对H面的倾角，则H面必须设为不变投影面，用V1面更换V面。这时，直线在V1面上的投影a1′b1′与X1轴的夹角即为的真实大小。同理，要求得直线对V面的倾角，则V面必须设为不变投影面，而用H1面更换H面。直线在H1面上的投影a1b1与X1轴的夹角即为的真实大小。4.3用换面法解决的4个基本作图问题4.三3.三2将投三影面三平行三线变三换为三投影三面垂三直线在许三多空三间距三离问三题的三求解三过程三中，三将一三般位三置直三线转三换为三投影三面平三行线三或投三影面三垂直三线，三可使三问题三得到三简化三。而三由于三投影三体系三中投三影面三之间三的两三两垂三直特三点，三以及三正投三影法三的投三影特三性，三要将三一般三位置三直线三转换三为投三影面三垂直三线，三是不三可能三直接三达到三目的三的。三必须三首先三将其三转换三为投三影面三平行三线，三然后三再进三行连三续的三第二三次换三面，三才能三将其三转换三为投三影面三垂直三线(读者三可自三行证三明)。因三此，三将投三影面三平行三线变三换为三投影三面垂三直线三的问三题，三是换三面法三的基三本作三图问三题之三一。如图4.三6(三a)所示三的是三将一三条水三平线AB变换三为辅三助投三影面V1的垂三直线三的空三间转三换过三程。三从图三中可三知，三由于三辅助三投影三面V1垂直三于水三平线AB，而AB又平三行于H面，三因此V1面必三定垂三直于三不变三投影三面H。换三面后三，直三线AB垂直三于V1面，三其投三影在V1面上三积聚三为一三点。三如三图4.三6(三b)所示三为投三影变三换的三作图三过程三。作三图时三，首三先在三适当三位置三上作X1轴垂三直于AB的水三平4.三3用换三面法三解决三的4个基三本作三图问三题投影ab，再三应用三投影三变换三规律三作出三其辅三助投三影a1′b1′(a1′b1′积聚三为一三点)。如三图4.三6(三c)所示三是将三一般三位置三直线三转换三为投三影面三垂直三线的三投影三作图三过程三。该三过程三分两三步进三行，三经历三了两三次连三续换三面。三第一三次换三面将三直线三转换三为辅三助投三影面V1的平三行线三，第三二次三换面三才将三直线三转换三为辅三助投三影面H2的垂三直线三，读三者可三自行三练习三，并三进行三分析三对比三。4.三3用换三面法三解决三的4个基三本作三图问三题(a三)三(三b)三(c三)图4.三6将直三线变三换为三投影三面垂三直线4.三3用换三面法三解决三的4个基三本作三图问三题将一三般位三置平三面变三换为三投影三面垂三直面三，可三在辅三助投三影面三上求三得该三平面三对不三变投三影面三的倾三角的三真实三大小三。换三句话三说，三当所三作的三辅助三投影三面同三时垂三直于三给定三的一三般位三置平三面P和原三体系三中的三某一三不变三投影三面时三，则三平面P与不三变投三影面三在辅三助投三影面三上的三投影三积聚三为两三条直三线，三它们三之间三的夹三角即三为两三平面三之间三二面三角的三真实三大小三，亦三即该三平面P对不三变投三影面三的倾三角的三真实三大小三，如三图4.三7所示三。表4-三3所示三为求三作一三般位三置平三面对V、H面的三倾角三、三的三作图三方法三及投三影特三性，三至于三求作三一般三位置三平面三对W面的三倾角三的问三题，三读者三可自三行推三导。4.三3.三3将一三般位三置平三面变三换为三投影三面垂三直面4.三3用换三面法三解决三的4个基三本作三图问三题图4.三7求作三一般三位置三平面三对投三影面三倾角三的解三题思三路4.三3用换三面法三解决三的4个基三本作三图问三题表4-三3用换三面法三求一三般位三置平三面对三投影三面的三倾角4.三3用换三面法三解决三的4个基三本作三图问三题将投三影面三垂直三面变三换为三投影三面平三行面三，可三在辅三助投三影面三上得三到该三平面三的实三形。如图4.三8(三a)所示三，欲三求作三铅垂三面△AB三C的实三形，三必须三作辅三助投三影面V1平行三于△AB三C。显三然，三此时V1也同三时垂三直于H面，三并与H面组三成了三一个三新的三投影三体系X1，△AB三C则转三换成三了该三体系三中的三正平三面。三作图三时首三先作X1轴平三行于三△AB三C的水三平积三聚性三投影ab三c，然三后应三用投三影变三换规三律求三出△AB三C各顶三点的三辅助三投影a1′、b1′、c1′，最三后连三成△a1′b1′c1′。如三图4.三8(三b)所示三。显然三，若三需求三作一三般位三置平三面的三实形三，需三经过三两次三连续三换面三。首三先将三给定三的一三般位三置平三面转三换为三辅助三投影三体系I的垂三直面三，再三以此三为基三础进三行连三续的三第二三次换三面，三将其三转换三为辅三助投三影体三系II的平三行面三，如三图4.三9所示三。4.三3.三4将投三影面三垂直三面变三换为三投影三面平三行面4.三3用换三面法三解决三的4个基三本作三图问三题(a三)三(b三)图4.三8求铅三垂面AB三C的实三形三图4.三9求一三般位三置平三面的三实形CA三D-三3D技术三在现三代化CA三D软件三中十三分普三及。三用计三算机三辅助三图解三画法三几何三问题三，同三样是三建立三在正三投影三的理三论基三础上三，但三其解三题过三程只三需两三大步三骤：三首先三对工三程设三计及三表达三中的三画法三几何三问题三进行三空间三分析三并进三行实三体建三模，三实现三计算三机可三视化三；然三后在三三维三环境三下的三实体三模型三上直三接求三解及三表达三，从三而使三得求三解过三程直三观形三象，三易于三掌握三和分三析，三可大三大提三高设三计和三作图三的精三度和三速度三，也三更适三合于三现代三化无三图纸三设计三、表三达和三制造三的生三产方三式。三为了三说明三问题三，本三节介三绍的三计算三机辅三助图三解体三系仍三建立三在Au三to三CA三D-三3D技术三之上三。4.三4计算三机辅三助画三法几三何问三题的三图解三法使用Au三to三CA三D-三3D技术三求解三画法三几何三空间三问题三的计三算机三辅助三工具三主要三有以三下3个：三①用三户坐三标系UC三S；②三点的三过滤三；③三查询三工具三。1.用户三坐标三系UC三S用户三坐标三系UC三S是一三种三三维坐三标系三。前三面已三经提三到，三在Au三to三CA三D中设三置的三世界三坐标三系、三柱面三坐标三系、三球面三坐标三系及三用户三坐标三系等4种三三维坐三标系三中，三系统三默认三的坐三标系三是世三界坐三标系三。要改三变当三前坐三标系三的方三式可三使用三用户三坐标三系UC三S命令三来实三现。三使用三这一三功能三，可三将三三维空三间直三角坐三标系三的原三点和三方向三按解三题需三要方三便灵三活地三进行三平移三、旋三转等三多方三位的三坐标三变换三，并三在新三确定三的空三间直三角坐三标系三中以XO三Y平面三为基三面作三图。UC三S的调三用方三法有三多种三：(1三)命令三行输三入：UC三S↙，可三在命三令行三出现三如图4.三10的提三示。4.三4.三1求解三画法三几何三问题三的主三要工三具4.三4计算三机辅三助画三法几三何问三题的三图解三法(2三)三UC三S工具三栏的三调用三：“视图”下拉三菜单/工具三栏/U三CS，可三调出三如图4.三11所示三的UC三S工具三栏。图4.三10三UC三S命令三行图4.三11三UC三S工具三栏4.三4计算三机辅三助画三法几三何问三题的三图解三法该命三令的三常用三选项三及作三用见三表4-三4表4-三4三U三CS命令三的常三用选三项说三明4.三4计算三机辅三助画三法几三何问三题的三图解三法4.三4计算三机辅三助画三法几三何问三题的三图解三法4.三4计算三机辅三助画三法几三何问三题的三图解三法2.点的三过滤这一三功能三可以三在确三定直三线的三两个三端点三时，三从前三一点P1(x1，y1，z1)中取三出1个或2个方三向的三坐标三值作三为下三一点三的P2(x2，y2，z2)坐标三值。4.三4计算三机辅三助画三法几三何问三题的三图解三法1)过滤三一个三坐标过滤三点的三一个三坐标三，一三般用三于绘三制XO三Y平面三中的三直线三问题三。如三要绘三制如三图4.三12三(a三)所示三的平三面图三形，三则当三绘制三到直三线DE时，三欲由D点向三左画三水平三线至E点，三由于A点与E点的x值相三同(即xE=xA但yE三yA)，此三时则三可在三输入E点坐三标后三，先三输入“.x”，回三车，三在“于(即需三要相三比较三的点)”提示三下选三择A点，三意在E点与A点的x值相三同，三然后三，在“需要YZ”的提三示下三输入“0”，回三车即三得E点。三绘制三过程三如图4.三12三(b三)所示三，其三命令三执行三过程三如图4.三13所示三。在三实际三操作三过程三中，三同时三打开三窗口三下方“状态三栏”中的“极轴”、“对象三捕捉”和“对象三追踪”状态三，即三可快三速实三行过三滤一三个坐三标的三操作三，如三图4.三12三(c三)所示三。4.三4计算三机辅三助画三法几三何问三题的三图解三法(a三)三(三b)三(c三)图4.三12过滤三点的三一个三坐标4.三4计算三机辅三助画三法几三何问三题的三图解三法图4.三13过滤三一个三坐标三的命三令执三行过三程2)过滤三两个三坐标过滤三点的三两个三坐标三，一三般是三指在XY三Z空间三直角三坐标三系中三绘制三直线三时，三直线三后一三端点三的三三个坐三标值三中，三要求三有两三个坐三标与三前一三端点三的相三同而三第三三个不三同。4.三4计算三机辅三助画三法几三何问三题的三图解三法【例4.三1】如图4.三14三(a三)所示三，要三求过三点A作一三直线AB垂直三于平三面P(B为垂三足，三此问三题也三可理三解为三求作三空间三点A向一三般位三置平三面P作投三影)。分析三：要求三直线AB⊥平面P，则三相对三于P面来三说，A、B两点三的x、y坐标三值相三等而z值不三等。三若设三置一三个新三的空三间直三角坐三标系三，使三其XO三Y面“贴在”P面上三，则A、B两点三的坐三标应三分别三为：A(x1，y1，z1)，B(x2，y2，0)。其三中，x2=三x1，y2=三y1。这三时，三再利三用点三的过三滤工三具确三定B点。作图三步骤三：①三坐标三系转三换。三使用UC三S命令三中的“3点UC三S”命令三将三空间三直角三坐标三系的XY平面三贴于三平面P上，三如图4.三14三(b三)所示三。②三应用三过滤三功能三确定三垂足B。调三用直三线命三令和“节点三捕捉”命令三，在“指定三第一三点”提示三下选三择点A，然三后在“指定三下一三点”提示三下输三入“.x三y”并回三车。4.三4计算三机辅三助画三法几三何问三题的三图解三法(a三)三(b三)三(c三)图4.三14过滤三两个三坐标图4.三15表明三了过三滤两三个坐三标时三的命三令执三行过三程。4.三4计算三机辅三助画三法几三何问三题的三图解三法图4.三15过滤三两个三坐标三的命三令执三行过三程3.查询三工具这是三最直三接的三一种三设计三工具三。当三实体三建模三完成三后，三在“查询”命令三的子三菜单三中(如图4.三16所示)，可三以直三接查三询指三定对三象的三距离三、面三积、三点坐三标的三精确三数值三及坐三标位三置和三方位三，还三可确三定实三体的三质量三特性三，如三实体三的质三量、三体积三、边三界框三的大三小和三坐标三、实三体的三质心三、惯三性矩三、旋三转半三径及三主力三矩与三质心三的X-Y-Z方向三等。三这对三于工三程抽三象问三题中三的点三到直三线、三两平三行直三线、三两平三行平三面之三间的三距离三等几三何量三定量三问题三的精三确求三解，三对于三工程三实际三问题三中零4.三4计算三机辅三助画三法几三何问三题的三图解三法件部三件的三质量三特性三的确三定及三力学三设计三，都三具有三直接三、准三确、三高效三的功三能，三如图4.三16所示三。图4.三16查询三命令4.三4计算三机辅三助画三法几三何问三题的三图解三法在例4.三1中，三如要三求出AB的实三际长三度，三即点A到平三面P的垂三直距三离，三则可三使用“查询”命令三中的三子命三令“距离(D)”，按三照命三令行三中的三提示三，分三别选三择A点和B点，三即可三得知三其距三离值三为79三.0三24三1。例4.三1还可三以用“列表三显示”的方三法直三接查三询。三例如三在某三平面P上画三了一三个多三边形三后，三使用“工具/查询/列表三显示(L三)”命令三可直三接查三看到三该多三边形三的所三有信三息。三按命三令行三提示三选择三该多三边形三，即三可弹三出一三个Au三to三CA三D文本三窗口三，其三中不三仅列三表显三示出三了该三多边三形各三顶点三的坐三标、三周长三和面三积，三还可三记录三作图三的全三部过三程，三如图4.三17所示三。单位三：m4.三4计算三机辅三助画三法几三何问三题的三图解三法图4.三17列表三显示(L三IS三T)查询4.三4计算三机辅三助画三法几三何问三题的三图解三法4.三4.三2求解三空间三几何三问题三的基三本方三法以画三法几三何的三空间三分析三为思三维主三线，三综合三应用三以上三三个三主要三基本三工具三，即三可构三成以三下基三本求三解方三法。1.坐标三变换利用UC三S命令三，建三立坐三标变三换的三概念三。设三计时三可以三根据三画法三几何三问题三中空三间分三析的三结果三，将三当前三的空三间直三角坐三标系三进行三平移三、旋三转，三以实三现画三法几三何中三将一三般位三置几三何量三变为三特殊三位置三几何三量，三再配三合查三询及三尺寸三标注三等其三他工三具，三即可三解决三直线三的实三长、三平面三的实三形等三定形三问题三；直三线与三直线三、直三线与三平面三、平三面与三平面三之间三的夹三角等三问题三，如三图4.三18所示三。4.三4计算三机辅三助画三法几三何问三题的三图解三法图4.三18点与三直线三向平三面P进行三投影2.直线三的投三影利用“点的三过滤”功能三以及三与UC三S坐标三变换三的配三合，三即可三实现三在计三算机三三维三环境三下将三空间三直线三向任三一平三面的三投影三，并三可使三一系三列画三法几三何空三间问三题迎三刃而三解。三如图4.三18所示三，4.三4计算三机辅三助画三法几三何问三题的三图解三法在作三出空三间直三线AB对平三面P的投三影ab后，三即可三引申三出“点到三平面三的距三离”、“直线三与平三面的三交点”、“直线三与平三面的三夹角”等问三题的三求解三。同理三，在三作出三空间三平面AB三C对平三面P的投三影后三，两三平面三的交三线及三二面三角等三问题三也就三随之三得到三了解三答，三分别三如图4.三19和图4.三20所示三。从三而对三空间三问题三实现三空间三直接三求解三。图4.三19平面三的投三影及三其引三申出三的交三线问三题三图4.三20平面三的投三影及三其引三申出三的二三面角三问题4.三4计算三机辅三助画三法几三何问三题的三图解三法【例4.三2】用基三于Au三to三CA三D的计三算机三辅助三图解三法，三求△AB三C对XO三Y投影三面的三夹角(如图4.三20所示)。空间三分析三：这三是一三个求三解二三面角三的空三间几三何问三题。三如图4.三22所示三，要三求出三两平三面间三夹角三，必三须作三出第三三个三平面P，使三其同三时垂三直于三已知三的两三平面三。而三该两三平面三与平三面P的交三线AD与DE的夹三角，三即为三所求三的二三面角三。图4.三21求△AB三C对XO三Y投影三面的三夹角图4.三22图解三分析4.三4计算三机辅三助画三法几三何问三题的三图解三法解题三步骤三：(1三)调用UC三S用户三坐标三系。(2三)坐标三转换三：调三用UC三S工具三栏中三的“3点UC三S”命令三，将三空间三直角三坐标三系的XO三Y面“贴在”题目三所给三的XO三Y平面三上，三如图4.三23三(a三)所示三。(3三)作一三平面三垂直三于两三已知三平面三，即三：①三用点三的过三滤功三能，三过A点作AE⊥XO三Y平面三，如三图4.三23三(b三)所示三；②三使用“直线”命令三和“垂直三捕捉”辅助三工具三，过E点向CB作垂三线ED，再三连接AD，则三△AE三D即为三△AB三C和XO三Y面的三公垂三面，三如图4.三23三(c三)所示三。(4三)再次三使用UC三S工具三栏中三的“3点UC三S”命令三，将