§8.10 离散时间系统的频率响应特性

§8.10离散时间系统的频率一、离散系统频响特性的定义二、频响特性的几何确定法返回一．离散系统频响特性的定义正弦序列作用下系统的稳态响应

系统对不同频率的输入，产生不同的加权，这就是系统的频率响应特性。由系统函数得到频响特性

离散时间系统在单位圆上的z变换即为傅氏变换，即系统的频率响应特性:输出与输入序列的幅度之比：幅频特性：相频特性输出对输入序列的相移例8-10-1·H(ejw)即h(n)的DTFT·

ejw为周期函数，所以H(ejw)为周期函数，其周期为2p。通过本征函数透视系统的频响特性h(n)为稳定的因果系统设输入x(n)=ejnw为本征函数

H(ejw)则对输入序列的加权，体现了系统对信号的处理功能。

H(ejw)

是H(z)

在单位圆上的动态变化，取决于系统的特性。单位圆上离散系统（数字滤波器）的分类返回二．频响特性的几何确定法几点说明·位于z=0处的零点或极点对幅度响应不产生作用，因而在z=0处加入或去除零极点，不会使幅度响应发生变化，但会影响相位响应。·当ejw点旋转到某个极点(pi)附近时，如果矢量的长度Bi最短，则频率响应在该点可能出现峰值。

·若极点pi越靠近单位圆，Bi愈短，则频率响应在峰值附近愈尖锐；

·若极点pi落在单位圆上，Bi=0，则频率响应的峰值趋于无穷大。·零点的作用与极点相反。小结3.因ejw是周期为2p的周期函数，所以系统的频响特性H(ejw)也为周期为2p的周期函数。

4.|H(ejw)|是关于w的偶函数，j(w)

是关于w的奇函数。2.系统的频率响应就是系统函数在单位圆上随w

而动态变化的情况，影响输出的幅度与相位。返回1.

系统的频响特性：幅频特性，输出与输入序列的幅度之比：相频特性，输出对输入序列的相移例8-10-2例8-10-3例8-10-1已知离散时间系统的框图如图所示，求系统频率响应特性。解：系统的差分方程设系统为零状态的，方程两边取z变换系统函数系统的频率响应特性频率响应特性曲线图(1)幅频特性曲线图(2)相频曲线幅频特性相频特性返回例8-10-2求下图所示一阶离散系统的频率响应。系统函数为了保证该系统稳定，要求|a1|<1解：差分方程频响特性幅频特性相频特性（教材例8-22）返回教材例8-22中的图8-19(b)、(c)、(d)、(e)分别给出了0<a1<1时的系统零、极点图与h(n),|H(ejw)|,j

(w)的波形图。说明：1.为了保证该系统稳定，要求|a1|<1；

2.若0<a1<1,则系统呈“低通”特性；

3.若-1<a1<0,则系统呈“高通”特性；

4.若a1=0,则系统呈“全通”特性；例8-10-3求图（a）所示二阶离散系统的频率响应。该系统的差分方程为

系统函数写作

若a1,a2为实系数，且a12+4a2<0,则H(z)含有一对共轭极点，令它们是（教材例8-23）对此因果系统，H(z)的收敛域应为|z|³r容易求得r,q与系数a1,a2的关系为得到:

于是H(z)可写成可见H(z)除一对共轭极点外，还在z=0点有一个零点，如图(b)所示。若把H(z)展成部分分式，得其中

对H(z)进行逆变换，单位样值响应为

如图(c)所示,若r<1极点位于单位圆内，h(n)为衰减型，此系统是稳定的。

根据H(z)的零极点分布，通过几何方法可以大致估计出频率响应的形状，如图(d)所示。返回

此例