吉林省四平市第五中学高二数学理上学期期末试卷含解析

吉林省四平市第五中学高二数学理上学期期末试卷含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.存在性命题“存在实数使x2＋1<0”可写成A．若x∈R，则x2＋1<0

B．?x∈R，x2＋1<0C．?x∈R，x2＋1<0

D．以上都不正确参考答案：C略2.下列抽样实验中，适合用抽签法的是（）A．从某工厂生产的3000件产品中抽取600件进行质量检验B．从某工厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验C．从甲、乙两厂生产的两箱（每箱15件）产品中抽取6件进行质量检验D．从某厂生产的3000件产品中抽取10件进行质量检验参考答案： B【考点】收集数据的方法．【分析】如果总体和样本容量都很大时，采用随机抽样会很麻烦，就可以使用系统抽样；如果总体是具有明显差异的几个部分组成的，则采用分层抽样；从包含有N个个体的总体中抽取样本量为n个样本，总体和样本容量都不大时，采用随机抽样．【解答】解：总体和样本容量都不大，采用抽签法．故选：B．3.如图：在平行六面体中，为与的交点。若，，则下列向量中与相等的向量是（

）A

B

C

D

参考答案：A略4.抛物线的焦点坐标为

（

）A．

B.

C.

D.参考答案：B略5.已知的定义域为，为的导函数，且满足，则不等式的解集

(

)A．(0,1) B．(1,+∞) C．(1,2) D．(2,+∞)参考答案：D6.设是“复数是纯虚数”的（

）A．充分不必要条件

B．必要不充分条件

C.充要条件

D．既不充分也不必要条件参考答案：B7.若随机变量X的分布列如下表，且EX=6.3，则表中a的值为（）X4a9P0.50.1bA．5 B．6 C．7 D．8参考答案：C【考点】CG：离散型随机变量及其分布列．【分析】由题意知：0.5+0.1+b=1，解得b=0.4，从而4×0.5+0.1a+9×0.4=6.3，由此能求出a．【解答】解：由题意知：0.5+0.1+b=1，解得b=0.4，∵EX=6.3，∴4×0.5+0.1a+9×0.4=6.3，解得a=7．故选：C．8.不等式的解集是（）A．（﹣3，﹣2）（0，+∞） B．（﹣∞，﹣3）（﹣2，0） C．（﹣3，0） D．（﹣∞，﹣3）（0，+∞）参考答案：A【考点】其他不等式的解法．【专题】不等式的解法及应用．【分析】原不等式等价于＞0．把各个因式的根排列在数轴上，用穿根法求得它的解集．【解答】解：不等式等价于

＞0．如图，把各个因式的根排列在数轴上，用穿根法求得它的解集为（﹣3，﹣2）∪（0，+∞），故选A．【点评】本题主要考查分式不等式的解法，体现了等价转化的数学思想，属于中档题．9.用反证法证明命题“设为实数，则方程至少有一个实根”时，要做的假设是(

)A．方程没有实根

B．方程至多有一个实根C．方程至多有两个实根

D．方程恰好有两个实根参考答案：A10.若，则实数x的值为

(

)A．4

B．1

C．4或1

D．其它参考答案：C二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.若的展开式中项的系数为20，则的最小值为

.参考答案：212.已知实数a，b满足，，则的最小值为

．参考答案：13.下图是某算法的程序框图，则程序运行后输出的结果是________．参考答案：10略14.在等差数列{an}中，，，则公差d=__________．参考答案：2【分析】利用等差数列的性质可得，从而．【详解】因为，故，所以，填．【点睛】一般地，如果为等差数列，为其前项和，则有性质：（1）若，则；（2）且；（3）且为等差数列；（4）为等差数列.15.抛物线上各点与焦点连线的中点的轨迹方程是_______参考答案：16.已知，，则

.参考答案：

17.过点且被点M平分的双曲线的弦所在直线方程为

参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.已知函数f（x）=ax2+x﹣a，a∈R．（1）若函数f（x）有最大值，求实数a的值；（2）当a=﹣2时，解不等式f（x）＞1．参考答案：【考点】3W：二次函数的性质；74：一元二次不等式的解法．【分析】（1）利用二次函数的性质求解即可．（2）通过求解不等式推出结果即可．【解答】解：（1）函数f（x）=ax2+x﹣a，a∈R．函数f（x）有最大值，可得a＜0，f（﹣）=，即：，解得a=﹣2，或a=﹣．（2）当a=﹣2时，解不等式f（x）＞1，﹣2x2+x+2＞1，即2x2﹣x﹣1＞0，解得x∈（，1）．19.已知圆C:,直线l：.（1）若直线且被圆C截得的弦长为，求直线的方程；（2）若点P是直线l上的动点，PA、PB与圆C相切于点A、B,求四边形PACB面积的最小值.参考答案：解：（1）因为直线，所以直线的斜率为1，设直线方程为，因为截得弦长为，所以圆心C到直线的距离为，即，解得，所以直线方程为：或.--------5分（2）,因为,所以当取得最小值时四边形PACB的面积最小。，所以当PC取最小值时，PA取得最小值，，所以略20.已知函数．（Ⅰ）若a=0，求曲线y=f（x）在点（1，f（1））处的切线方程；（Ⅱ）若?x∈（﹣2，0），f（x）≤0恒成立，求实数a的取值范围；（Ⅲ）当a＞0时，讨论函数f（x）的单调性．参考答案：【考点】6B：利用导数研究函数的单调性；6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（Ⅰ）求出函数的导数，计算f′（1），f（1）的值，求出切线方程即可；（Ⅱ）问题转化为在（﹣2，0）恒成立，令（﹣2＜x＜0），根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可；（Ⅲ）求出函数的导数，通过讨论a的范围，求出函数的单调区间即可．【解答】解：（Ⅰ）当a=0时，f'（x）=（x+1）ex，∴切线的斜率k=f'（1）=2e，又f（1）=e，y=f（x）在点（1，e）处的切线方程为y﹣e=2e（x﹣1），即2ex﹣y﹣e=0．（Ⅱ）∵对?x∈（﹣2，0），f（x）≤0恒成立，∴在（﹣2，0）恒成立，令（﹣2＜x＜0），，当﹣2＜x＜﹣1时，g'（x）＜0，当﹣1＜x＜0时，g'（x）＞0，∴g（x）在（﹣2，﹣1）上单调递减，在（﹣1，0）上单调递增，∴，故实数a的取值范围为．（Ⅲ）f'（x）=（x+1）（ex﹣a）．令f'（x）=0，得x=﹣1或x=lna，①当时，f'（x）≥0恒成立，∴f（x）在R上单调递增；②当时，lna＜﹣1，由f'（x）＞0，得x＜lna或x＞﹣1；由f'（x）＜0，得lna＜x＜﹣1．∴f（x）单调递增区间为（﹣∞，lna），（﹣1，+∞）；单调减区间为（lna，﹣1）．③当时，lna＞﹣1，由f'（x）＞0，得x＜﹣1或x＞lna；由f'（x）＜0，得﹣1＜x＜lna．∴f（x）单调增区间为（﹣∞，﹣1），（lna，+∞），单调减区间为（﹣1，lna）．综上所述：当时，f（x）在R上单调递增；当时，f（x）单调增区间为（﹣∞，lna），（﹣1，+∞），单调减区间为（lna，﹣1）；当时，f（x）单调增区间为（﹣∞，﹣1），（lna，+∞），单调减区间为（﹣1，lna）．21.如图，在四棱锥中，底面为直角梯形，,平面⊥底面，为的中点，是棱上的点，，

,．（I）求证：平面⊥平面；（II）若二面角为30°，设,试确定的值.参考答案：（I）∵AD//BC，BC=AD，Q为AD的中点，∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ．

∵∠ADC=90°

∴∠AQB=90°

即QB⊥AD．又∵平面PAD⊥平面ABCD

且平面PAD∩平面ABCD=AD，

∴BQ⊥平面PAD．

∵BQ平面PQB，∴平面PQB⊥平面PAD．…………6分另证：AD//BC，BC=AD，Q为AD的中点，

∴四边形BCDQ为平行四边形，∴CD//BQ．∵∠ADC=90°

∴∠AQB=90°．

∵PA=PD，

∴PQ⊥AD．

∵PQ∩BQ=Q，

∴AD⊥平面PBQ．

∵AD平面PAD，∴平面PQB⊥平面PAD．……9分（II）∵PA=PD，Q为AD的中点，

∴PQ⊥AD．∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD=AD