数字信号处理课件

1.数学工具多微积分，概率统计，随机过程，高等代数，数值分析，积分变换，复变函数等。2.要求基础强网络理论、信号与系统是本课程的理论基础。3.与其它学科密切相连与最优控制、通信理论、故障诊断、计算机、微电子技术不可分，又是人工智能、模式识别、神经网络等新兴学科的理论基础之一。绪论六、本课程的特点绪论七、讲授内容与参考书1.课程内容纲要离散时间信号与系统（时域）ch1序列的变换域分析（傅立叶变换、z变换）ch2离散傅立叶变换ch3快速傅立叶变换ch4FIR滤波器设计ch7IIR滤波器设计ch6数字滤波器基本结构ch5绪论第1章时域离散信号与时域离散系统1.1引言(复习)

1.2时域离散信号(复习)

1.3时域离散系统(复习)1.4时域离散系统的输入输出描述法（选修）1.5模拟信号数字处理方法(重点讲解)习题课一、信号二、信号分类三、连续时间信号或模拟信号四、离散时间信号与数字信号五、模拟信号与数字信号的关系1.1引言本节主要内容：一、信号二、信号分类信号是传递信息的函数,它可表示成一个或几个独立变量的函数。如：f(x)、f(t)和f(x,y)等。依载体：电信号、磁信号、声信号等。依变量个数：一维、二维、多维（矢量）信号依周期性：周期信号和非周期信号。依是否为确定函数：确定信号和随机信号。依能量或功率是否有限：能量信号和功率信号。在连续时间范围内定义的信号,幅值为连续的信号称为模拟信号,连续时间信号与模拟信号常常通用。三、连续时间信号或模拟信号例：用电压或电流去模拟其它物理量，如声音、温度、压力、图象等所得到的信号。四、离散时间信号与数字信号nx(-2)x(-1)x(0)x(1)x(2)x(n)-2-1012时间为离散变量的信号称作离散时间信号,而时间和幅值都离散化的信号称作为数字信号。离散时间信号与数字信号的关系？五、模拟信号与数字信号的关系

D/A变换

A/D变换模拟信号数字信号模拟信号经A/D变换得数字信号；数字信号经D/A变换得模拟信号。1.2时域离散信号本节主要内容：一、常用的典型序列二、序列的运算1.单位抽样序列(单位冲激)

1-2-1012n1-2-101mn一、常用的典型序列...0123-1nu(n)2.单位阶跃序列3.矩形序列a为实数,当4.实指数序列5.复指数序列其中，ω0为数字角频率。6.正弦型序列如果正弦序列是由模拟信号xa(t)采样得到的，那么：xa(t)=sin(Ωt)

xa(t)|t=nT=sin(ΩnT)

x(n)=sin(ωn)数字频率ω与模拟角频率Ω之间的关系为：

ω=ΩT

定义：如果存在一个最小的正整数N，满足：7.周期序列则序列x(n)为周期性序列，N为周期。上式中，数字频率是π/4，由于n取整数，可以写成下式：

上式表明周期为8的周期序列，也称正弦序列,如下图所示:例：设x(n)=Asin(ω0n+φ)那么x(n+N)=Asin(ω0(n+N)+φ)=Asin(ω0n+ω0N+φ)如果x(n+N)=x(n)则要求N=(2π/ω0)k，式中k与N均取整数，且k的取值要保证N是最小的正整数，满足这些条件，正弦序列才是以N为周期的周期序列。具体正弦序列有以下三种情况：(1)当2π/ω0为整数时，k=1，正弦序列是以2π/ω0为周期的周期序列。下面讨论一般正弦序列的周期性。(2)2π/ω0不是整数，是一个有理数时设2π/ω0=P/Q，式中P、Q是互为素数的整数，取k=Q,那么N=P，则正弦序列是以P为周期的周期序列。(3)2π/ω0是无理数，任何整数k都不能使N为正整数，因此，此时的正弦序列不是周期序列。思考题：周期信号经等间隔采样是否还为周期信号？答案为不一定。1.移位当m为正时，

x(n-m)表示依次右移m位；

x(n+m)表示依次左移m位。二、序列的运算-1012x(n)11/21/41/8...-2n例：1/21/41/81x(n+1)n0-1-21

2.翻褶(折迭)

如果有x(n),则x(-n)是以n=0为对称轴将x(n)加以翻褶的序列。例：...-2-10121/81/41/21x(-n)n-1012x(n)11/21/41/8...-2n3.和两序列的和是指同序号(n)的序列值逐项对应相加得一新序列。4.乘积是指同序号(n)的序列值逐项对应相乘。5.累加设某一序列为x(n),则x(n)的累加序列y(n)定义为：即表示n以前的所有x(n)的和。6.尺度变换（1）抽取：x(n)x(mn),m为正整数。例如，

m=2，

x(2n)，相当于两个点取一点；以此类推。x(2n)131/4-101nx(n)1231/21/4-2-1012n（2）插值：x(n)x(n/m),m为正整数。例如，m=2，x(n/2)，相当于两个点之间插一个点，以此类推。x(n)121/2-101nx(n/2)121/2-2-1012n。。1.3时域离散系统本节主要内容：一、线性系统二、移不变系统三、线性时不变系统输入与输出之间的关系四、系统的因果性和稳定性1.3时域离散系统设时域离散系统的输入为x(n)，经过规定的运算（或一个系统），系统输出序列用y(n)表示。设运算关系用T［·］表示，输出与输入之间关系用下式表示：其框图如图所示：

*加权信号和的响应=响应的加权和。*先运算后系统操作=先系统操作后运算。

一、线性系统满足叠加原理的系统称为线性系统。如果系统具有：

那么该系统就是线性系统，即线性系统具有均匀性和迭加性。如果T[x(n)]=y(n),

则T[x(n-m)]=y(n-m),

满足这样性质的系统称作移不变系统。即系统参数不随时间变化的系统，亦即输出波形不随输入加入的时间而变化的系统。二、移不变系统三、线性时不变系统输入与输出之间的关系设系统的输入x(n)=δ(n)，系统输出y(n)的初始状态为零，定义这种条件下系统输出称为系统的单位取样响应，用h(n)表示。换句话说，单位取样响应即是系统对于δ(n)的零状态响应。用公式表示为：1.线性移不变系统具有移不变特性的线性系统。2.单位抽样响应h(n)线性移不变系统

h(n)x(n)y(n)3.卷积和y(n)=x(n)*h(n)推导过程：卷积的计算方法：公式法：直接利用卷积公式计算，此时要确定求和区间的上限和下限。图解法：翻转、移位、相乘和求和四个过程。3.卷积和(2)结合律4.线性移不变系统的性质(1)交换律(3)对加法的分配律h1(n)+h2(n)x(n)y(n)h1(n)

h2(n)⊕y(n)x(n)

1.因果系统

定义：某时刻的输出只取决于此刻以及以前时刻的输入的系统称作因果系统。四、系统的因果性和稳定性线性移不变因果系统的充要条件为：

h(n)=0，n<02.稳定系统定义：有界的输入产生有界的输出系统。线性移不变稳定系统的充要条件是：1.4时域离散系统的输入输出描述法由于本节内容在信号与系统的离散部分进行了系统的学习，这里就不重复介绍了。1.5模拟信号数字处理方法本节主要内容：一、抽样定理及A/D变换器二、将数字信号转换成模拟信号在绪论中已介绍了数字信号处理技术相对于模拟信号处理技术的许多优点，因此人们往往希望将模拟信号经过采样和量化编码形成数字信号，再采用数字信号处理技术进行处理；处理完毕，如果需要，再转换成模拟信号，这种处理方法称为模拟信号数字处理方法。其原理框图如下图所示：1.5模拟信号数字处理方法x(t)抗混叠滤波器A/D转换器x(n)y(n)y(t)数字信号处理器D/A转换器低通滤波器

①将输入信号x(t)进行抗混叠滤波，滤掉高于折叠频率的分量，以防止信号频谱的混叠；

②经采样和A/D转换器，将滤波后的信号转换为数字信号x(n)；

③数字信号处理器对x(n)进行处理，得数字信号y(n)；

④经D/A转换器，将y(n)转换成模拟信号；

⑤经低通滤波器，滤除高频分量，得到平滑的模拟信号y(t)。

各模块的功能：一、抽样定理及A/D变换器P(t)T对模拟信号进行抽样可以看作一个模拟信号通过一个电子开关S。设电子开关每隔周期T合上一次，每次合上的时间为τ<<T，在电子开关输出端得到其采样信号1.抽样实际抽样：t0tT为脉冲序列…理想抽样：tt…（冲激序列）下面讨论抽样信号的频谱特性理想抽样演示我们知道在傅里叶变换中，两信号在时域相乘的傅里叶变换等于两个信号傅里叶变换的卷积。2.抽样信号的频谱特性设：直接可求得：2.抽样信号的频谱特性上式表明采样信号的频谱是原模拟信号的频谱沿频率轴，每间隔采样角频率Ωs重复出现一次，或者说采样信号的频谱是原模拟信号的频谱以Ωs为周期，进行周期性延拓而成的。设xa(t)是带限信号，最高截止频率为Ωc，其频谱Xa(jΩ)如图所示：对带限信号的抽样满足Ωc≤Ωs/2时,原来频谱和各次延拓分量的频谱不重叠,如下图所示：由上图可知，用一截止频率为的低通滤器对滤波可以得因此，要想抽样后能不失真的还原出原信号，抽样频率必须大于等于两倍原信号最高频率分量。即这就是奈奎斯特抽样定理。3.抽样定理常称为折叠频率但如果信号的最高频率Ωc超过Ωs/2,则各周期延拓分量产生频谱的交集,将无法不失真的还原出原来的连续信号，即产生了“混叠失真”，如下图所示：4.A/D转换器的基本原理A/D转换器包括三个基本功能：抽样抽样保持量化与编码其框图如下所示：例如：模拟信号xa(t)=sin(2πft+π/8))，式中f=50Hz，选采样频率fs=200Hz，将t=nT代入Xa(t)中，得到采样数据：当n=…0，1，2，3，…时，得到序列x(n)如下：x(n)={…0.382683,0.923879,-0.382683,-0.923879…}如果抽样信号或通过一理想低通滤波器就可恢复信号或。理想低通滤波器：T,0,T0二、将数字信号转换成模拟信号1.抽样的恢复（1）理想低通滤波器的冲激响应h(t)由抽样信号恢复原来的连续时间信号的过程的数学原理：内插函数（2）

低通滤波器(filter)的输出输出=原信号抽样点的值与内插函数乘积和。在抽样点mT上，其值为1;其余抽样点上，其值为0，这保证了各抽样点上信号值不变。（3）

内插函数的特性：(m-2)T(m-1)TmT(m+1)T(m+2)T1（a）在抽样点上，信号值不变；（b）抽样点之间的信号则由各抽样函数波形的延伸叠加而成。（4）

说明输出信号T2T3T2.D/A转换器的基本原理D/A转换器的框图如下：由时域离散信号xa(nT)恢复模拟信号的过程是在采样点内插的过程。理想低通滤波的方法是用h(t)函数作内插函数，还可以用一阶线性函数作内插。零阶保持器是将前一个采样值进行保持，一直到下一个采样值来到，再跳到新的采样值并保持，因此相当于进行常数内插。零阶保持器的单位冲激函数h(t)以及输出波形如下图所示。图:零阶保持器的输出波形其幅度特性和相位特性如图所示。由该图看到零阶保持器是一个低通滤波器，能够起到将时域离散信号恢复成模拟信号的作用。图中虚线表示理想低通滤波器的幅度特性。零阶保持器的幅度特性与其有明显的差别，主要是在|Ω|>π/T区域有较多的高频分量，表现在时域上，就是恢复出的模拟信号是台阶形的。因此需要在D/AC之后加平滑低通滤波器，滤除多余的高频分量，对时间波形起平滑作用，这也就是在模拟信号数字处理框中，最后加平滑滤波的原因。虽然这种零阶保持器恢复的模拟信号有些失真，但简单、易实现，是经常使用的方法。图:零阶保持器的频率特

例1:证明y(n)=ax(n)+b(a和b是常数)，所代表的系统是非线性系统。根据题意可得：y1(n)=T［x1(n)］=ax1(n)+by2(n)=T［x2(n)］=ax2(n)+b

y(n)=T［x1(n)+x2(n)]=ax1(n)+ax2(n)+b所以：y(n)≠y1(n)+y2(n)

因此，该系统不是线性系统。因为T[x(n)]=y(n)=3x(n)+4

所以T[x(n-m)]=3x(n-m)+4

又y(n-m)=3x(n-m)+4

所以T[x(n-m)]=y(n-m)

因此，y(n)=3x(n)+4是移不变系统.

例2：分析y(n)=3x(n)+4是不是移不变系统.注意：在判断系统是否为线性或移不变系统时，首先要确定系统的输入是什么.例3：图解法求：翻转.以m=0为对称轴，折迭h(m)得到h(-m)，对应序号相乘，相加得y(0)；移位一个单元，对应序号相乘，相加得y(1)；重复步骤2，得y(2)至y(5),过程如下图所示。 x(m)01231/213/2m得

y(1)0mh(-m)=h(0-m)-2-1翻褶0mh(1-m)-11位移1对应相乘，逐个相加得y(0)-1012345y(n)n1/23/235/23/2公式法求解见教材P11h1(n)x(n)y(n)h2(n)w(n)例4：已知两线性移不变系统级联，其单位抽样响应分别为

当输入

时，求输出。例5：设线性时不变系统的单位取样响应，式中a是实常数，试分析该系统的因果稳定性。由于n<0时，h(n)=0，所以系统是因果系统。只有当|a|<1时：因此系统稳定的条件是|a|<1第3章时域离散信号和系统的频域分析3.1引言3.2序列的傅立叶变换的定义及性质(复习)3.3周期序列的离散傅立叶级数及傅立叶变换表达式3.4时域离散信号的傅立叶变换与模拟信号傅立叶变换之间的关系3.5利用Z变换分析信号和系统的频域特性(复习)习题课3.1引言我们知道信号和系统的分析方法有两种，即时域分析方法和频域分析方法。在模拟领域中，信号一般用连续变量时间t的函数表示，系统则用微分方程描述。为了在频域进行分析，用拉普拉斯变换和傅里叶变换将时间域函数转换到频率域。而在时域离散信号和系统中，信号用序列表示，其自变量仅取整数，非整数时无定义，而系统则用差分方程描述。频域分析是用Z变换或傅里叶变换这一数学工具。其中傅里叶变换指的是序列的傅里叶变换，它和模拟域中的傅里叶变换是不一样的，但都是线性变换，很多性质是类似的。3.1引言本章学习序列的傅里叶变换和Z变换，以及利用Z变换分析系统和信号频域特性。本章学习内容是本书也是数字信号处理这一领域的基础。3.2序列的傅里叶变换的定义及性质本节主要内容：一、序列傅里叶变换的定义二、序列傅里叶变换的性质一、序列傅里叶变换的定义为序列x(n)的傅里叶变换，可以用FT(FourierTransform)缩写字母表示。1.定义2.FT成立的充分必要条件序列x(n)满足绝对可和的条件，即满足下式：

为求FT的反变换，用

乘FT式两边，并在[-π,π]内对ω进行积分，得到:3.FT的反变换序列傅里叶变换对：FT存在的充分必要条件:序列x(n)满足绝对可和.

如果引入冲激函数，一些绝对不可和的序列，例如周期序列，其傅里叶变换可用冲激函数的形式表示出来，这部分内容在后面介绍。4.总结二、序列傅里叶变换的性质FT的周期性FT的线性FT的时移与频移FT的时域卷积定理FT的频域卷积定理FT的帕斯瓦尔定理M为整数因此序列的傅里叶变换是频率ω的周期函数，周期是2π。这样X(ejω)可以展成傅里叶级数，其实定义式已经是傅里叶级数的形式，x(n)是其系数。1.FT的周期性在FT的定义式中，n取整数，因此下式成立：二、序列傅里叶变换的性质2.线性那么设式中a,b为常数

二、序列傅里叶变换的性质3.时移与频移设X(ejω)=FT［x(n)］，那么：二、序列傅里叶变换的性质4.时域卷积定理设y(n)=x(n)*h(n),

则：

Y(e

jω)=X(e

jω)·H(e

jω)该定理说明，两序列卷积的FT，服从相乘关系。对于线性时不变系统输出的FT等于输入信号的FT乘以单位脉冲响应FT。因此求系统的输出信号，可以在时域用卷积公式计算，也可以在频域求出输出的FT，再作逆FT求出输出信号。二、序列傅里叶变换的性质5.频域卷积定理设y(n)=x(n)·h(n)，则:二、序列傅里叶变换的性质6.帕斯维尔(Parseval)定理

帕斯维尔定理告诉我们，信号时域的总能量等于频域的总能量。要说明一下，这里频域总能量是指|X(ejω)|2在一个周期中的积分再乘以1/(2π)。二、序列傅里叶变换的性质7.FT的对称性二、序列傅里叶变换的性质(1)时域对称性

共轭对称:设序列满足下式：则称为共轭对称序列。共轭对称序列的性质将用其实部与虚部表示将上式两边n用-n代替，并取共轭，得到：对比上面两公式，左边相等，因此得到：结论：共轭对称序列实部是偶函数，而虚部是奇函数。共轭反对称序列的性质用同样的方法可得出共轭反对称序列实部是奇函数，而虚部是偶函数。共轭反对称:设序列满足下式：则称为共轭反对称序列。对于一般序列可用共轭对称与共轭反对称序列之和表示，即:x(n)=xe(n)+xo(n)

xe(n)，xo(n)

可以分别用原序列x(n)求出:

上式是如何得到的呢？(2)频域函数X(ejω)的对称性

同样有下面公式满足：共轭对称部分共轭反对称部分即用ω取代n(3)傅立叶变换的对称性序列分成实部和虚部傅立叶变换xr(n)和xi(n)都是实数序列。有共轭对称性，它的实部是偶函数，虚部是奇函数。具有共轭反对称性质，实部是奇函数，虚部是偶函数。结论：序列分成实部与虚部两部分，实部对应的FT具有共轭对称性，虚部和j一起对应的FT具有共轭反对称性。

序列分成共轭对称部分和共轭反对称部分傅立叶变换结论：序列的共轭对称部分xe(n)对应着FT的实部，而序列的共轭反对称部分xo(n)对应着FT的虚部。(4)利用傅立叶变换对称性分析实因果序列h(n)的对称性因为h(n)是实序列，其FT只有共轭对称部分，共轭反对称部分为零。因此实序列的FT的实部是偶函数，虚部是奇函数，用公式表示为：

h(n)=he(n)+ho(n)he(n)=1/2［h(n)+h(-n)］

ho(n)=1/2［h(n)-h(-n)］因为h(n)是实因果序列，按照上面两式he(n)

和ho(n)可以用下式表示：

实因果序列分别用和表示为:本节主要内容：3.3周期序列的离散傅里叶级数

及傅里叶变换表示式一、周期序列的离散傅里叶级数二、周期序列的傅里叶变换表示式一、周期序列的离散傅里叶级数设是以N为周期的周期序列，由于是周期性的，可以展成傅里叶级数式中是傅里叶级数的系数。下面求系数：

将上式两边乘以，并对n在一个周期N中求和。令，可表示成是周期为N的周期函数。也是一个以N为周期的周期序列，称为的离散傅里叶级数，用DFS(DiscreteFourierSeries)表示。上式中，k和n均取整数，当k或者n变化时，

l取整数。所以：令同样得到:上式表明将周期序列分解成N次谐波，第k个谐波频率为，k=0,1,2…N-1，幅度为。基波分量的频率是2π/N，幅度是。一个周期序列可以用其DFS表示它的频谱分布规律。总结：DFS对注意DFS和序列FT变换对的区别在模拟系统中，，其傅里叶变换是在Ω=Ω0处的单位冲激函数，强度是2π，即：二、周期序列的傅里叶变换表示式周期序列的傅立叶变换表达式：其推导过程见教材P38表2.3.2基本序列的傅里叶变换3.4时域离散信号的傅里叶变换与模

拟信号傅里叶变换之间的关系我们知道模拟信号xa(t)的一对傅里叶变换式用下面公式描述：这里t与Ω的域均在±∞之间。从模拟信号幅度取值考虑，在第一章中遇到两种信号，即连续信号和采样信号，它们之间的关系用(1.5.2)式描述，重写如下：

采样信号和连续信号xa(t)，它们的傅里叶变换之间的关系，由采样定理(1.5.5)式描述，重写如下：

下面我们研究如果时域离散信号x(n)，是由对模拟信号xa(t)采样产生的，即在数值上有下面关系式成立：

x(n)=xa(nT)

注意上面式中n取整数，否则无定义。x(n)的一对傅里叶变换用(2.2.1)式和(2.2.4)式表示，重写如下：

X(ejω)与Xa(jΩ)之间有什么关系，数字频率ω与模拟频率Ω之间有什么关系，这在模拟信号数字处理中，是很重要的问题。为分析上面提出的问题，我们从(2.4.3)式开始研究。将t=nT代入(2.4.2)式中，得到:令

，

代入上式后，再将Ω′用Ω代替，得到：式中，因为r和n均取整数，e-j2πrn=1，交换求和号和积分号得到：在第一章中曾得到结论，如果序列是由一模拟信号取样产生，则序列的数字频率ω与模拟信号的频率Ω成线性关系如下：式中T是采样周期T=1/fs，将上式代入得到：和下式对比：可得：

ω=ΩT

表示序列的傅里叶变换X(ejω)和模拟信号xa(t)的傅里叶变换Xa(jΩ)之间的关系式：结论：序列的傅里叶变换和模拟信号的傅里叶变换之间的关系，与采样信号、模拟信号各自的FT之间的关系一样，都是Xa(jΩ)以周期Ωs=2π/T进行周期延拓，频率轴上取值的对应关系用下式表示：

和抽样信号的FT对比：

ω=ΩTΩ和ω的关系：我们知道：Ωs=2π/T，其中Ωs为采样频率，它所对应的数字角频率为ω=ΩST=2πΩs2πΩ？可以用以下公式来计算：3.5利用Z变换分析信号和系统

的频域特性本节主要内容：一、传输函数与系统函数二、用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性三、利用系统的极零点分布分析系统的频率特性设系统初始状态为零，输出端对输入为单位脉冲序列δ(n)的响应，称为系统的单位脉冲响应h(n)，对h(n)进行傅里叶变换得到H(ejω)一般称H(ejω)为系统的传输函数，它表征系统的频率特性。一、传输函数与系统函数设h(n)的Z变换为H(z)，一般称H(z)为系统的系统函数，它表征了系统的复频域特性。对N阶差分方程进行Z变换，得到系统函数的一般表示式如果H(z)的收敛域包含单位圆|z|=1，H(ejω)与H(z)之间关系如下式：因果(可实现)系统其单位脉响应h(n)一定满足当n<0时，h(n)=0，那么其系统函数H(z)的收敛域一定包含∞点，即∞点不是极点，极点分布在某个圆的圆内，收敛域在某个圆外。系统稳定要求，对照Z变换定义，系统稳定要求收敛域包含单位圆。如果系统因果且稳定，收敛域包含∞点和单位圆，那么收敛域可表示为

r<|z|≤∞，0<r<1二、用系统函数的极点分布分析系统的因果性和稳定性将H(z)式因式分解，得到: 式中A=b0/a0，cr是H(z)的零点，dr是其极点。A参数影响传输函数的幅度大小，影响系统特性的是零点cr和极点dr的分布。三、利用系统的极零点分布分析系统的频率特性下面我们采用几何方法研究系统零极点分布对系统频率特性的影响。设系统稳定，将z=ejω，得到传输函数：设N=M，可得到：将上式重写如下：在z平面上，ejω-cr用向量表示，ejω-dr用向量表示，如右图所示：将和表示式代入下式：将它们用极坐标表示：系统的幅度特性:系统的相位特性:下图表示具有一个零点和二个极点的频率特性。结论：极点附近的频率出现峰值，极点越接近单位圆，峰值就越尖锐。在零点附近的频率出现低谷，当零点在单位圆上时，该零点就是传输零点。零原点处的零极点不影响系统的幅度特性。

题0：设X(ejω)和Y(ejω)分别是x(n)和y(n)的傅里叶变换，试求下面序列的傅里叶变换：(1)x*(n)(2)x(2n)

2.已知

1,|ω|<ω0 0，ω0<|ω|≤π

求X(ejω)的傅里叶反变换x(n)。X(ejω)=

10.若序列h(n)是实因果序列，其傅里叶变换的实部如下式：

HR(ejω)=1+cosω

求序列h(n)及其傅里叶变换H(ejω)。

22.设线性时不变系统的系统函数H(z)为 ，a为实数 (1)在z平面上用几何法证明该系统是全通网络，即|H(ejω)|=常数。

(2)参数a如何取值，才能使系统因果稳定?并画出其极零点分布及收敛域。

例1:设x(n)=RN(n)，求x(n)的FT设N=4，幅度与相位随ω变化曲线如图1所示。例图1：

R4(n)的幅度与相位曲线例2:试分析x(n)=ejωn的对称性将x(n)的n用-n代替，再取共轭得到：

x*(-n)=ejωn

因此x(n)=x*(-n),x(n)是共轭对称序列。如展成实部与虚部，得到

x(n)=cosωn+jsinωn

由上式表明，共轭对称序列的实部确实是偶函数，虚部是奇函数。?例3:已知求其偶函数

和奇函数

。

直接由公式得到：例3:函数波形图例1:设x(n)=R4(n)，将x(n)以N=8为周期进行周期延拓，得到如图2.3.1(a)所示的周期序列，求序列的DFS。其幅度特性如下图所示。图：幅度特性例2：求图中周期序列的FT。解题思路：将前面中得到代入公式中得到：对比上图

(b)(c)，对于同一个周期信号，其DFS和FT分别取模的形状是一样的，不同的是FT用单位冲激函数表示(用带箭头的竖线表示)。因此周期序列的频谱分布用其DFS或者FT表示都可以，但画图时应注意单位冲激函数的画法。例3：令，

2π/ω0为有理数，求其FT。将用欧拉公式展开上式表明的FT，是在ω=±ω0处的单位冲激函数，强度为π，且以2π为周期进行延拓，如图所示。例题：设xa(t)=cos(2πf0t)，f0=50Hz以采样频率fs=200Hz对xa(t)进行采样，得到采相信号和时域离散信号x(n)，求xa(t)和的傅里叶变换以及x(n)的FT。Xa(jΩ)是Ω=±2πf0处的单位冲激函数，强度为π，如图下图所示：以fs=200Hz对xa(t)进行采样得到采样信号，按照(1.5.2)式，与xa(t)的关系式为：的傅里叶变换用(1.5.5)式确定，即以Ωs=2πfs为周期，将Xa(jΩ)周期延拓形成，得到：抽样信号的傅里叶变换

如下图所示：将采样信号转换成序列x(n)，用下式表示：

x(n)=xa(nT)=cos(2πf0nT)按照(2.4.7)式，得到x(n)的FT，实际上只要将Ω=ω/T=ωfs代入中即可。序列的傅里叶变换将fs=200Hz，f0=50Hz，代入上式，求括弧中公式为零时的ω值，ω=2πk±π/2，因此X(ejω)用下式表示：序列的傅里叶变换三种频谱的对比例1：已知分析其因果性和稳定性.H(z)的极点为z=a，z=a-1，(1)收敛域a-1<|z|≤∞，对应的系统是因果系统，但由于收敛域不包含单位圆，因此是不稳定系统。单位脉冲响应h(n)=(an-a-n)u(n)，这是一个因果序列，但不收敛。(2)收敛域0≤|z|＜a,对应的系统是非因果且不稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=(a-n-an)u(-n-1)，这是一个非因果且不收敛的序列。(3)收敛域a<|z|<a-1，对应的系统是一个非因果系统，但由于收敛域包含单位圆，因此是稳定系统。其单位脉冲响应h(n)=a|n|，这是一个收敛的双边序列，如图所示。图：例1图示由H(z)=z-1，极点为z=0，幅度特性

|H(ejω)|=1,相位特性φ(ω)=-ω，频响如下图所示：

例题：已知H(z)=z-1，分析其频率特性。用几何方法也容易确定，当ω=0转到ω=2π时，极点矢量的长度始终为1。由系统差分方程得到系统函数为：

系统极点z=b，零点z=0，当B点从ω=0逆时旋转时，在ω=0点由于极点矢量长度最短，形成波峰。在ω=π时形成波谷。z=0处零点不影响频响。极零点分布及幅度特性如图所示。例题：设一阶系统的差分方程为

y(n)=by(n-1)+x(n)

用几何法分析其幅度特性。

H(z)的极点为z=0，这是一个N阶极点，它不影响系统的频响。零点有N个，由分子多项式的根决定。

例题：已知H(z)=1-z-N，试定性画出系统的幅频特性。

N个零点等间隔分布在单位圆上，设N=8，极零点分布如图2.7.5所示。当ω从零变化到2π时，每遇到一个零点，幅度为零，在两个零点的中间幅度最大，形成峰值。幅度谷值点频率为：ωk=(2π/N)k,k=0,1,2,…(N-1)。一般将具有如图所示的幅度特性的滤波器称为梳状滤波器。4.1引言4.2有限长序列离散傅里叶变换（DFT）4.3离散傅里叶变换的性质4.4频域采样理论

4.5DFT的应用举例习题课第4章离散傅里叶变换4.1

引言本节主要内容：一、傅立叶变换的几种形式二、傅里叶变换形式的归纳4.1

引言DFT是分析有限长序列的重要工具，是现代信号处理的桥梁。DFT解决了频域离散化的问题，在信号处理的理论上有重要意义。DFT实现了多种快速算法，在信号实时处理的运算方法方面起核心作用，使谱分析、卷积运算、相关运算都可以通过DFT在计算机上实现。一、傅立叶变换的几种形式傅立叶变换实质上是在以时间为自变量的“信号”和以频率为自变量的频谱之间建立某种变换关系，所以当自变量“时间”或“频率”取连续值或离散值时，就会形成不同形式的傅立叶变换对。傅氏变换的几种形式：连续时间、连续频率——傅立叶变换连续时间、离散频率——傅立叶级数离散时间、连续频率——序列的傅立叶变换离散时间、离散频率——离散傅立叶变换/级数1.连续时间、连续频率的傅氏变换时域：连续、非周期←→频域：非周期、连续00t2.连续时间、离散频率傅里叶变换0t------0时域：连续、周期←→频域：非周期、离散Tp为时域周期，Ω0为频域相邻谱线之间的角频率间隔，k为谐波序号3.离散时间、连续频率的傅氏变换时域：离散、非周期←→频域：周期、连续T为时域取样间隔，Ωs为频域的周期x(n)T-T0T2Tt------0

0123kx(nT)=x(n)t0T2T…12…NnNT4.离散时间、离散频率的傅氏变换时域：离散、周期←→频域：周期、离散结论：由上述分析可知，一个域的离散，会在另一个域产生周期延拓，要想在时域和频域都是离散的，那么两域必须都是周期的。二、傅里叶变换形式的归纳时间函数

频率函数

连续和非周期非周期和连续连续和周期非周期和离散离散和非周期周期和连续离散和周期周期和离散讨论在四种傅立叶变换中，只有第四种适合于在计算机上运算。第四种变换对，称为周期序列的离散傅氏级数（DFS）。这一变换对是针对有限长序列或周期序列才存在的。周期序列取其主值区间[0,N-1]可以得到有限长序列。有限长序列也可以通过周期延拓得到周期序列。4.2有限长序列离散傅里叶变换本节主要内容：一、DFT的定义二、DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系一、DFT的定义前面我们讨论的周期序列实际上只有有限个序列值有意义，因而它和有限长序列有着本质的联系。下面将根据周期序列和有限长序列之间的关系，由周期序列的离散傅里叶级数表示式推导得到有限长序列的离散频域表示，即离散傅里叶变换（DFT）。设x(n)为有限长序列，长度为N，即x(n)只在n=0到N-1点上有值，其他n时，x(n)=0。即：

为了引用周期序列的概念，我们把它看成周期为N的周期序列的一个周期，而把看成x(n)的以N为周期的周期延拓，即表示成:

这个关系可以用下图来表示。通常把的第一个周期n=0到n=N-1定义为“主值区间”，故x(n)是 的“主值序列”，即主值区间上的序列。而称为x(n)的周期延拓。对不同r值x(n+rN)之间彼此并不重叠，故上式可写成:

用((n))N表示(nmodN)，其数学上就是表示“n对N取余数”，或称“n对N取模值”。令0≤n1≤N-1,m为整数

则n1为n对N的余数。

例如,是周期为N=9的序列，则有：

同理频域的周期序列和有限长序列X(k)的关系如下：我们再看DFS与IDFS表达式：总结：和的关系如下：

这两个公式的求和都只限定在n=0到N-1和k=0

到N-1的主值区间进行，它们完全适用于主值序列x(n)与X(k)，因而我们可以得到有限长序列的离散傅里叶变换的定义:0≤k≤N-1

0≤n≤N-1长度为M的有限长序列的N点DFT定义（M≤N）:二、DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系设序列x(n)的长度为N，其相应的变换分别为：比较上面二式可得关系式:表明序列x(n)的N点DFT是x(n)的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样。表明序列X(k)为x(n)的傅立叶变换在区间[0,2π]上的N点等间隔采样。显而易见，DFT的变换区间长度N不同，表示对X(ejω)在区间［0,2π］上的采样间隔和采样点数不同，所以DFT的变换结果也不同。关系演示图4-2:X(k)与X(ejω)的关系4.3离散傅里叶变换的性质本节主要内容：一、线性二、圆周/循环移位三、圆周卷积四、共轭对称性五、DFT的共轭对称性

本节讨论DFT的一些性质，它们本质上和周期序列的DFS概念有关，而且是由有限长序列及其DFT表示式隐含的周期性得出的。以下讨论的序列都是N点有限长序列，用DFT［·］表示N点DFT，且设:DFT［x1(n)］=X1(k)DFT［x2(n)］=X2(k)4.3离散傅里叶变换的性质一、线性式中，a,b为任意常数。该式可根据DFT定义证明。

1.定义一个长度为N的有限长序列x(n)的圆周移位定义为：

y(n)=x((n+m))NRN(n)

我们可以这样来理解上式所表达的圆周移位的含义。首先，将x(n)以N为周期进行周期延拓得到周期序列;再将加以移位得：二、圆周/循环移位然后，再对移位的周期序列 取主值区间（n=0到N-1）上的序列值，得x((n+m))NRN(n)。所以，一个长度为N得有限长序列x(n)的圆周移位序列y(n)仍然是一个长度为N的有限长序列.从上图可以看出，由于是周期序列的移位，当我们只观察0≤n≤N-1这一主值区间时，某一采样从该区间的一端移出时，与其相同值的采样又从该区间的另一端循环移进。因而，可以想象x(n)是排列在一个N等分的圆周上，序列x(n)的圆周移位，就相当于x(n)在此圆周上旋转，如上图的（e）、（f）、(g)所示，因而称为圆周移位。2.时域圆周移位定理设x(n)是长度为N的有限长序列，y(n)为x(n)圆周移位，即

则圆周移位后的DFT为：

证：利用周期序列的移位性质加以证明。

再利用DFS和DFT关系

这表明，有限长序列的圆周移位在离散频域中引入一个和频率成正比的线性相移，而对频谱的幅度没有影响。

3.频域圆周移位定理

对于频域有限长序列X(k)，也可看成是分布在一个N等分的圆周上，所以对于X(k)的圆周移位，利用频域与时域的对偶关系，可以证明以下性质：

若

则:

这就是调制特性。它说明时域序列的调制等效于频域的圆周移位。

三、圆周卷积设x1(n)和x2(n)都是长度为N的有限长序列（0≤n≤N-1），且有：若

则

一般称式所表示的运算为x1(n)和x2(n)的N点圆周卷积，用下面符号表示：N下面说明其计算方法。

N圆周卷积利用上面公式，求和变量为m,n为参变量。先将x2(m)周期化，形成x2((m))N，再反转形成x2((-m))N，取主值序列则得到x2((-m))NRN(m)，通常称之为x2(m)的圆周反转。对x2(m)的圆周反转序列圆周右移n，形成x2((n-m))NRN(m)，当n=0,1,2,…,N-1时，分别将x1(m)与x2((n-m))NRN(m)相乘，并在m=0到N-1

区间内求和，便得到圆周卷积y(n)。注意圆周卷积和线性卷积的区别。图4-3:圆周卷积过程示意图①②③⑤④⑥

四、共轭对称性设x*(n)为x(n)的共轭复序列，则：DFT［x*(n)］=X*(N-k)0≤k≤N-1

且X(N)=X(0)

证0≤k≤N-1这里利用了因为X(k)的隐含周期性，故有X(N)=X(0)。

用同样的方法可以证明五、DFT的共轭对称性

1.有限长共轭对称序列和共轭反对称序列为了区别于傅里叶变换中所定义的共轭对称(或共轭反对称)序列，下面用xep(n)和xop(n)分别表示有限长共轭对称序列和共轭反对称序列，则二者满足如下定义式：当N为偶数时，将上式中的n换成N/2-n可得到：图3.2.3：共轭对称与共轭反对称序列示意图

如同任何实函数都可以分解成偶对称分量和奇对称分量一样，任何有限长序列x(n)都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和，即

x(n)=xep(n)+xop(n),0≤n≤N-1(3.2.11)

将上式中的n换成N-n，并取复共轭，再将(3.2.9)式和(3.2.10)式代入得到

x*(N-n)=x*ep(N-n)+x*op(N-n)=xep(n)-xop(n)(3.2.12)根据上面两个式子可得：

xep(n)=1/2［x(n)+x*(N-n)］

(3.2.13)

xop(n)=1/2［x(n)-x*(N-n)］

(3.2.14)

2.DFT的共轭对称性

(1)如果x(n)=xr(n)+jxi(n)

其中

xr(n)

=Re［x(n)=1/2［x(n)+x*(n)］

jxi(n)=jIm［x(n)=1/2［x(n)-x*(n)］

由(3.2.7)式和(3.2.13)式可得：

DFT［xr(n)］=1/2DFT［x(n)+x*(n)］

=1/2［X(k)+X*(N-k)］

=Xep(k)由(3.2.7)式和(3.2.14)式得：

DFT［jx

i(n)］=1/2DFT［x(n)-x

*(n)］

=1/2［X(k)-X*(N-k)］

=Xop(k)由DFT的线性性质即可得

X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k)(3.2.16)

其中

Xep(k)=DFT［xr(n)］,X(k)的共轭对称分量

Xop(k)=DFT［jxi(n)］,X(k)的共轭反对称分量x(n)=xr(n)+jxi(n)X(k)=Xep(k)+Xop(k)DFT

(2)如果x(n)=xep(n)+xop(n)，0≤n≤N-1

其中

xep(n)=1/2［x(n)+x*(N-n)］,x(n)的共轭对称分量

xop(n)=1/2［x(n)-x*(N-n)］,x(n)的共轭反对称分由(3.2.8)式得

DFT［xep(n)］=1/2DFT［x(n)+x*(N-n)］

=1/2［X(k)+X*(k)］

=Re［X(k)］

DFT［xop(n)］=1/2DFT［x(n)-x*(N-n)］

=1/2［X(k)-X*(k)］

=jIm［X(k)］因此

X(k)=DFT［x

(n)］=XR(k)+jXI(k)其中

XR(k)=Re［X(k)］=DFT［xep(n)］

jXI(k)=jIm［X(k)］=DFT［xop(n)］x(n)=xep(n)+xop(n)X(k)=XR(k)+jXI(k)DFT（3）设x(n)是长度为N的实序列且X(k)=DFT［x(n)］，则：

(a)X(k)=X*(N-k),0≤k≤N-1(3.2.19)(b)如果x(n)=x(N-n)，则X(k)实偶对称，即

X(k)=X(N-k)(3.2.20)(c)如果x(n)=-x(N-n)，则X(k)纯虚奇对称，即

X(k)=-X(N-k)(3.2.21)

利用DFT的共轭对称性，通过计算一个N点DFT，可以得到两个不同实序列的N点DFT。设x1(n)和x2(n)为两个实序列，构成新序列x(n)如下：

x(n)=x1(n)+jx2(n)对x(n)进行DFT，得到

X(k)=DFT［x(n)］=Xep(k)+Xop(k)由性质可得到：

Xep(k)=DFT［x1(n)］=1/2［X(k)+X*(N-k)］

Xop(k)=DFT［jx2(n)］=1/2［X(k)-X*(N-k)］

所以：

X1(k)=DFT［x1(n)］=1/2［X(k)+X*(N-k)］

X2(k)=DFT［x2(n)］=-j1/2［X(k)-X*(N-k)］4.4频域采样理论本节主要内容：一、频域抽样理论二、频域内插公式复习：时域抽样定理奈奎斯特抽样定理：要想抽样后能够不失真的还原出原信号，则抽样频率必须大于两倍信号谱的最高频率。经采样所得离散序列的频谱是原模拟信号频谱的周期延拓，周期为。恢复连续信号xa(t)的抽样内插公式:DFT与序列傅里叶变换、Z变换的关系有限长序列x(n)的DFT的X(k)序列的各点值=x(n)的Z变换后在单位圆上N等分抽样的各点处所得的Z变换值,即：X(k)也可以看作序列x(n)的傅里叶变换X(ejω)在区间［0,2π］上的N点等间隔采样，其采样间隔为ωN=2π/N，即：问题引入：怎样实现对频域抽样呢？由Z变换与DFT的关系,知道：x(n)的离散傅里叶变换X(k)序列值和x(n)的Z变换在单位圆N个等分点上的抽样值相等,这就是说实现了频域的抽样,便于计算机计算而提出的.是否任何一序列都能用频域抽样的办法去逼近呢?其限制条件是什么?设任意序列x(n)的Z变换为：

且X(z)收敛域包含单位圆(即x(n)存在傅里叶变换)。在单位圆上对X(z)等间隔采样N点得到：一、频域抽样理论取主值区间

将X(k)看成长度为N的有限长序列xN(n)的DFT，即：xN(n)=IDFT［X(k)］，0≤n≤N-1下面推导xN(n)和原序列x

(n)的关系。思路：代入得由DFT与DFS的关系可知，X(k)是xN(n)以N为周期的周期延拓序列的离散傅里叶级数系数的主值序列，即:式中

如果序列x(n)的长度为M，则只有当频域采样点数N≥M时，才有xN(n)=IDFT［X(k)］=x(n)

即可由频域采样X(k)恢复原序列x(n)，否则产生时域混叠现象。这就是所谓的频域采样定理。m=n+rN,r为任意整数

其他m

频域抽样，时域产生周期延拓！频域采样定理结论1.长度为M的有限长序列,频域抽样不失真的条件：频域抽样点数N要大于或等于序列长度M,即满足N≥M.此时可得到：2.表明长度为N(或小于N)的有限长序列可用它的Z变换在单位圆上的N个均分点上的抽样值精确地表示.抽样后序列能否无失真恢复原时域信号?有限长序列非有限长序列

长度为M，当频域抽样不够密，即N<M,以N为周期延拓造成混叠，不能无失真恢复原信号。

长度为<=N，可利用其Z变换在单位圆上的N个均分点上的抽样值精确地表示。时域周期延拓必然造成混叠现象，因而一定会产生误差。当n增加时信号衰减得越快，或抽样越密（即抽样点数N越大），则误差越小例子：频域抽样：看一个矩形序列，频域抽样是指对时域已是离散，频域仍是连续信号。现在频域上进行抽样处理，使其频域也离散化。分析：频域抽样，按N=5点，频域抽样，时域延拓相加……,时域延拓的周期等于频域的抽样点数N=5，由于N=M，所以时域延拓恰好无混叠现象。按N=4时进行抽样，由于N=4，而序列长度为M=5，N<M,时域延拓后产生混叠现象。（原信号为红色，延拓取主值区间后的恢复信号为兰色。）混叠N个频域抽样X(k)能不失真的还原出长度为N的有限长序列

x(n)。那么用N个X(k)也一定能完整地表示出X(z)以及频率响应(即内插公式)。过程很简单,先把N个X(k)作IDFT得到x(n),再把x(n)作Z变换便得到X(z)。从频域抽样不失真条件可以知道：

下面推导用频域采样X(k)表示X(z)的内插公式和内插函数。设序列x(n)长度为M，在频域0~2π之间等间隔采样N点，N≥M，则有：式中

二、内插公式将它代入X(z)式子中，得到

由于WN-Nk=1，因此

这就是用N个频率采样X(k)来表示X(z)的内插公式。它可表示为:

现在来讨论频率响应，即求单位圆上z=ejω的Z变换。由式（3.6.5）可得而可将Φk(ejω)表示成更为方便的形式:

式中：

这样式（3.6.6）又可改写为

在以后章节中，我们将会看到，频率采样理论为FIR滤波器的结构设计，以及FIR滤波器传递函数的逼近提供了又一个有力的工具。4.5DFT的应用举例本节主要内容：一、用DFT计算线性卷积二、用DFT对信号进行谱分析DFT及FFT在数字滤波、功率谱分析、仿真、系统分析、通讯理论方面有广泛的应用。归结起来,有两个大方面,一是计算线性卷积、线性相关；二是用DFT(FFT)作为连续傅里叶变换的近似.FFT并不是什么新的变换,只是DFT在计算机上的一种快速算法，虽实际中广泛使用的是FFT,但其应用的理论基础仍是DFT.通过考察计算线性卷积(相关)和连续傅里叶逼近这两种DFT应用,就可以说我们建立了一般FFT应用的基本理论基础.4.5DFT的应用举例一、用DFT计算线性卷积思路：循环卷积-------------DFT乘积线性卷积-------------FT乘积如何用DFT计算线性卷积？------线性卷积和循环卷积的关系?0≤k≤L-1则由时域循环卷积定理有:

Y(k)=DFT［y(n)］=X1(k)X2(k),0≤k≤L-11.用DFT计算循环卷积

设：由此可见，循环卷积既可在时域直接计算，也可以按照图所示的计算框图在频域计算。由于DFT有快速算法FFT，当N很大时，在频域计算的速度快得多，因而常用DFT(FFT)计算循环卷积。图:用DFT计算循环卷积

2.线性卷积和循环卷积之间的关系在实际应