2022年湖北省荆门市掇刀区麻城中学高三数学理测试题含解析

2022年湖北省荆门市掇刀区麻城中学高三数学理测试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.若曲线在点(0,b)处的切线方程是，则(

)

A.a=－1,b=1

B.a=1,b=1

C.a=1,b=－1

D.a=－1,b=－1参考答案：B略2.已知为虚数单位，复数，则复数的虚部是 A．

B．

C．

D．参考答案：B略3.函数的定义域为R,，对任意的，都有成立，则不等式的解集为

A.(－2,+∞)

B.(－2,2)

C.(－∞,－2)

D.R参考答案：A4.设向量，，满足，，则“”是“∥”成立的（

）

A．充要条件

B．必要不充分条件

C．充分不必要条件

D．不充分也不必要条件参考答案：C5.设直线与直线A的交点为A；P，Q分别为上任意两点，点M为PQ的中点，若，则m的值为（

）A.2 B.－2 C.3 D.－3参考答案：A根据题意画出图形，如图所示；

直线与直线的交点为；为的中点，

若，则

即解得．

故选A．6.不等式的解集为

A.

B.

C.

D.

对参考答案：A原不等式等价于或，即或，所以不等式的解为，选A.7.已知函数的最小正周期是，若将其图象向右平移个单位后得到的曲线关于原点对称，则函数f（x）的图象(

) A．关于点（，0）对称B．关于直线x=对称 C．关于点（，0）对称 D．关于直线x=对称参考答案：D略8.一个几何体的三视图及其尺寸如图所示，则该几何体的体积为（）A． B． C．28 D．参考答案：A【考点】由三视图求面积、体积．【分析】由题意，几何体为棱台，上底面为直角边长为2的等腰直角三角形，下底面为直角边长为4的等腰直角三角形，高为2，即可求出体积．【解答】解：由题意，几何体为棱台，上底面为直角边长为2的等腰直角三角形，下底面为直角边长为4的等腰直角三角形，高为2，体积为=，故选A．9.下列函数在其定义域内既是奇函数又是增函数的是(

)(A)

(B)

(C)

(D)参考答案：C10.设的最大值为A

2

B

C

1

D参考答案：C解析：因为，二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.某公司对一批产品的质量进行检测，现采用系统抽样的方法从100件产品中抽取5件进行检测，对这100件产品随机编号后分成5组，第一组1～20号，第二组21～40号，…，第五组81～100号，若在第二组中抽取的编号为24，则在第四组中抽取的编号为

．参考答案：64设在第一组中抽取的号码为，则在各组中抽取的号码满足首项为，公差为的等差数列，即，又第二组抽取的号码为，即，所以，所以第四组抽取的号码为．

12.曲线y=x3﹣2x在点（1，﹣1）处的切线方程是

．参考答案：x﹣y﹣2=0【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程．【专题】计算题．【分析】根据导数的几何意义求出函数在x=1处的导数，从而得到切线的斜率，再利用点斜式方程写出切线方程即可．【解答】解：y'=﹣2+3x2y'|x=﹣1=1而切点的坐标为（1，﹣1）∴曲线y=x3﹣2x在x=1的处的切线方程为x﹣y﹣2=0故答案为：x﹣y﹣2=0【点评】本题主要考查了利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算求解能力，属于基础题．13.一条斜率为2的直线过抛物线y2=2px(p＞0)的焦点F且与抛物线交于A，B两点，A，B在y轴上的射影分别为D，C，若梯形ABCD的面积为，则p=__________．参考答案：所以则所以所以所以.14.在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，a=3，c=2，则cosC=；△ABC的面积为．参考答案：,2.【考点】三角形中的几何计算．【专题】计算题；综合法；三角函数的求值；解三角形．【分析】由=sinB，a=3，c=2，得b=a=3，由此能求出cosC，从而得到sinC，进而能求出△ABC的面积．【解答】解：在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．∵=sinB，a=3，c=2，∴b=a=3，∴cosC====，∴sinC==，∴△ABC的面积S===2．故答案为：，．【点评】本题考查三角形中角的余弦值和三角形面积的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意正弦定理、余弦定理、三角函数诱导公式的合理运用．15.随机变量的分布列如右：其中成等差数列，若，则的值是______________．参考答案：略16.在数列{an}及{bn}中，an+1=an+bn+，bn+1=an+bn﹣，a1=1，b1=1．设cn=，则数列{cn}的前2017项和为

．参考答案：4034【考点】8H：数列递推式；8E：数列的求和．【分析】由已知可得an+1+bn+1=2（an+bn），a1+b1=2，an+1bn+1=，即anbn=2n﹣1．代入cn=，求得数列{cn}为常数数列得答案．【解答】解：∵an+1=an+bn+，bn+1=an+bn﹣，a1=1，b1=1．∴an+1+bn+1=2（an+bn），a1+b1=2．∴an+bn=2n．另一方面：an+1bn+1=，∴anbn=2n﹣1．∴cn===，则数列{cn}的前2017项和S2017=2017×2=4034．故答案为：4034．17.设是定义在上且周期为2的函数，在区间上，其中．若，则的值为

．参考答案：－10

三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.如图，四边形ABCD与BDEF均为菱形，FA=FC，且．（1）求证：AC⊥平面BDEF；（2）求二面角E-AF-B的余弦值；（3）若M为线段DE上的一点，满足直线AM与平面ABF所成角的正弦值为，求线段DM的长.参考答案：解析：（1）设与相交于点，连接，∵四边形为菱形，∴，

-------------------------1分且为中点，∵，∴,

-------------------------2分又，-------------------------3分∴平面.

-------------------------4分

（2）连接，∵四边形为菱形，且，∴为等边三角形，∵为中点，∴，又，∴平面.∵两两垂直，∴建立空间直角坐标系，如图所示，-----------------5分设，∵四边形为菱形，，∴.∵为等边三角形，∴.∴，∴，设平面的法向量为，则令，得

-------------------------6分设平面的法向量为，则，令，得

------------------------7分所以

-------------------------8分又因为二面角为钝角，所以二面角的余弦值为

-------------------------9分（3）设所以

-------------10分化简得

-------------------------11分解得：

-------------------------12分所以.

-------------------------13分19.如图，菱形ABCD中，，，M是AD的中点，以BM为折痕，将折起，使点A到达点A1的位置，且平面平面BCDM，（1）求证：；（2）若K为A1C的中点，求四面体的体积．参考答案：（1）见解析（2）．【分析】（1）先在左图中证明，再结合右图，根据面面垂直的性质定理，证明平面，进而可得出结论；（2）先计算出，再由题意得到，即可得出结果．详解】（1）证明：在左图中，∵四边形是菱形，，是的中点，∴，故在右图中，，∵平面平面，平面平面，∴平面，又平面，所以.（2）解：在左图中，∵四边形是菱形，，，∴，且，在右图中，连接，则，∵为的中点，∴．【点睛】本题主要考查面面垂直的性质，以及求几何体的体积，熟记面面垂直的性质定理、以及锥体的体积公式即可，属于常考题型.20.已知函数f（x）＝|ax﹣1|﹣|2x+a|的图象如图所示．（1）求a的值；（2）设g（x）＝f（x）+f（x﹣1），g（x）的最大值为t，若正数m，n满足m+n＝t，证明：．参考答案：（1）；（2）见解析【分析】（1）由图知和，得；（2）写出的分段形式，求得函数的最大值，由展开利用基本不等式即可得证.【详解】（1）解：由，得，即.由，得，所以.（2）证明：由（1）知，所以，显然的最大值为6，即.因为，所以.因为（当且仅当，时取等号），所以.【点睛】本题主要考查了绝对值函数性质的研究，基本不等式的应用，属于中档题.21.已知函数f（x）=alnx﹣ax﹣3（a≠0）．（1）讨论f（x）的单调性；（2）若f（x）+（a+1）x+4﹣e≤0对任意x∈[e，e2]恒成立，求实数a的取值范围（e为自然常数）．参考答案：【考点】利用导数研究函数的单调性；利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】（1）先求导，再分类讨论即可得到函数的单调性；（2）令F（x）=alnx﹣ax﹣3+（a+1）x+4﹣e=alnx+x+1﹣e，从而求导F′（x）=，再由导数的正负讨论确定函数的单调性，从而求函数的最大值，从而化恒成立问题为最值问题即可．【解答】解：（Ⅰ）f′（x）=﹣a==（x＞0），当a＞0时，f（x）的单调增区间为（0，1]，单调减区间为[1，+∞）；当a＜0时，f（x）的单调增区间为[1，+∞），单调减区间为（0，1]；（Ⅱ）令F（x）=alnx﹣ax﹣3+（a+1）x+4﹣e=alnx+x+1﹣e，则F′（x）=，若﹣a≤e，即a≥﹣e，F（x）在[e，e2]上是增函数，F（x）max=F（e2）=2a+e2﹣e+1≤0，a≤（e﹣1﹣e2），无解．若e＜﹣a≤e2，即﹣e2≤a＜﹣e，F（x）在[e，﹣a]上是减函数；在[﹣a，e2]上是增函数，F（e）=a+1≤0，即a≤﹣1．F（e2）=2a+e2﹣e+1≤0，即a≤（e﹣1﹣e2），∴﹣e2≤a≤（e﹣1﹣e2）．若﹣a＞e2，即a＜﹣e2，F（x）在[e，e2]上是减函数，F（x）max=F（e）=a+1≤0，即a≤﹣1，∴a＜﹣e2，综上所述，a≤（e﹣1﹣e2）．22.如图，在四棱锥S﹣ABCD中，底面ABCD是正方形，其他四个侧面都是等边三角形，AC与BD的交点为O．（Ⅰ）求证：SO⊥平面ABCD；（Ⅱ）已知E为侧棱SC上一个动点．试问对于SC上任意一点E，平面BDE与平面SAC是否垂直？若垂直，请