2022-2023学年四川省乐山市三洞镇博爱中学高二数学理月考试题含解析

2022-2023学年四川省乐山市三洞镇博爱中学高二数学理月考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设等差数列{an}的前n项和为Sn，若a1=﹣11，a3+a7=﹣6，则当Sn取最小值时，n等于（）A．9 B．8 C．7 D．6参考答案：D【考点】89：等比数列的前n项和；84：等差数列的通项公式．【分析】根据等差数列的性质化简a3+a7=﹣6，得到a5的值，然后根据a1的值，利用等差数列的通项公式即可求出公差d的值，根据a1和d的值写出等差数列的通项公式，进而写出等差数列的前n项和公式Sn，配方后即可得到Sn取最小值时n的值．【解答】解：由等差数列的性质可得a3+a7=2a5=﹣6，解得a5=﹣3．又a1=﹣11，设公差为d，所以，a5=a1+4d=﹣11+4d=﹣3，解得d=2．则an=﹣11+2（n﹣1）=2n﹣13，所以Sn==n2﹣12n=（n﹣6）2﹣36，所以当n=6时，Sn取最小值．故选D．2.首项为－24的等差数列从第10项起开始为正数，则公差d的取值范围是

A．d＞

B．d＜3

C.≤d＜3 D.＜d≤3参考答案：D3.不相等的三个正数a、b、c成等差数列，并且x是a、b的等比中项，y是b、c的等比中项，则x2、b2、y2三数()A.成等比数列而非等差数列B.成等差数列而非等比数列C.既成等差数列又成等比数列D.既非等差数列又非等比数列参考答案：B由已知条件，可得由②③得代入①，得＝2b，即x2＋y2＝2b2.故x2、b2、y2成等差数列，故选B.4.若a＜b＜0，则下列不等式不成立是（）A．＞ B．＞ C．|a|＞|b| D．a2＞b2参考答案：A【考点】不等式的基本性质．【分析】利用不等式的基本性质即可得出．【解答】解：∵a＜b＜0，∴﹣a＞﹣b＞0，∴|a|＞|b|，a2＞b2，即，可知：B，C，D都正确，因此A不正确．故选：A．5.若圆与圆外切，则m=A．21

B．19

C．9

D．－11参考答案：C6.若函数f（x）=x3+ax﹣2在区间（1，+∞）内是增函数，则实数a的取值范围是（）A．[﹣3，+∞） B．（﹣3，+∞） C．[0，+∞） D．（0，+∞）参考答案：A【考点】6A：函数的单调性与导数的关系．【分析】由已知，f′（x）=3x2≥0在[1，+∞）上恒成立，可以利用参数分离的方法求出参数a的取值范围．【解答】解：f′（x）=3x2+a，根据函数导数与函数的单调性之间的关系，f′（x）≥0在[1，+∞）上恒成立，即a≥﹣3x2，恒成立，只需a大于﹣3x2的最大值即可，而﹣3x2在[1，+∞）上的最大值为﹣3，所以a≥﹣3．即数a的取值范围是[﹣3，+∞）．故选A．7.△ABC的内角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a、b、c成等比数列，且c=2a，则cosB=（）A． B． C． D．参考答案：B【考点】余弦定理；等比数列．【专题】计算题．【分析】根据等比数列的性质，可得b=a，将c、b与a的关系结合余弦定理分析可得答案．【解答】解：△ABC中，a、b、c成等比数列，则b2=ac，由c=2a，则b=a，=，故选B．【点评】本题考查余弦定理的运用，要牢记余弦定理的两种形式，并能熟练应用．8.已知全集,则M=(

)A、{2，3}

B、{1，2，3，4}

C、{1，2，3，6} D、{-1，2，3，4}参考答案：D略9.在空间四边形ABCD各边AB、BC、CD、DA上分别取E、F、G、H四点，如果EF、GH相交于点P，那么（）A．点P必在直线AC上 B．点P必在直线BD上C．点P必在平面DBC内 D．点P必在平面ABC外参考答案：A【考点】平面的基本性质及推论．【专题】计算题．【分析】由EF属于一个面，而GH属于另一个面，且EF和GH能相交于点P，知P在两面的交线上，由AC是两平面的交线，知点P必在直线AC上．【解答】解：∵EF属于一个面，而GH属于另一个面，且EF和GH能相交于点P，∴P在两面的交线上，∵AC是两平面的交线，所以点P必在直线AC上．故选A．【点评】本题考查平面的基本性质及其推论，是基础题．解题时要认真审题，仔细解答．10.等差数列，的前项和分别为，，若，则（

）A．

B．

C．

D．参考答案：B二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知函数f（x）=x3+3ax2+3x+1，当x∈[2，+∞），f（x）≥0恒成立，则实数a的取值范围是．参考答案：[﹣，+∞）【考点】6E：利用导数求闭区间上函数的最值．【分析】问题等价于x++≥﹣3a．令g（x）=x++，根据函数的单调性求出g（x）的最小值，从而求出a的范围即可．【解答】解：x∈[2，∞），f（x）≥0，即x3+3ax2+3x+1≥0，即x++≥﹣3a．令g（x）=x++，则g'（x）=，下面我们证g'（x）≥0在x∈[2，∞）恒成立，也即x3﹣3x﹣2≥0在x∈[2，∞）上恒成立，令h（x）=x3﹣3x﹣2，则h'（x）=3x2﹣3=3（x+1）（x﹣1），易知h'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，∴h（x）在x∈[2，∞）上为增函数，∴h（x）≥h（2）=0，也就是x3﹣3x﹣2≥0在x∈[2，∞）上恒成立，∴g'（x）≥0在x∈[2，∞）上恒成立，g（x）在x∈[2，∞）为增函数，∴g（x）的最小值为g（2）=，﹣3a≤g（2）=，解得a≥﹣，故答案为：[﹣，+∞）．12.

参考答案：3013.如图，在边长为2正方体ABCD-A1B1C1D1中，E为BC的中点，点P在正方体表面上移动，且满足，则点B1和满足条件的所有点P构成的图形的面积是_______.参考答案：.【分析】点满足，且在正方体的表面上，所以点只能在面、面、面、面内。【详解】取，的中点分别为，连结，由于，所以四点共面，且四边形为梯形，因为，所以面，因为点在正方体表面上移动，所以点的运动轨迹为梯形，如图所示：因为正方体的边长为2，所以，所以梯形为等腰梯形，所以。【点睛】本题以动点问题为背景，考查空间中线面、线线位置关系、面积的求解运算，解题的关键在于确定点的运动轨迹。14.设的个位数字是

参考答案：

7

略15.设圆圆.点A，B分别是圆C1，C2上的动点，P为直线上的动点，则的最小值为_________.参考答案：【分析】在直接坐标系中，画出两个圆的图形和直线的图象，根据圆的性质，问题就转化为|PC1|+|PC2|﹣R﹣r＝|PC1|+|PC2|﹣7的最小值，运用几何的知识，作出C1关于直线y＝x对称点C，并求出坐标，由平面几何的知识易知当C与P、C2共线时，|PC1|+|PC2|取得最小值，最后利用两点问题距离公式可以求出最小值.【详解】可知圆C1的圆心（5，﹣2），r＝2，圆C2的圆心（7，﹣1），R＝5，如图所示：对于直线y＝x上的任一点P，由图象可知，要使|PA|+|PB|的得最小值，则问题可转化为求|PC1|+|PC2|﹣R﹣r＝|PC1|+|PC2|﹣7的最小值，

即可看作直线y＝x上一点到两定点距离之和的最小值减去7，又C1关于直线y＝x对称的点为C（﹣2，5），由平面几何的知识易知当C与P、C2共线时，|PC1|+|PC2|取得最小值，即直线y＝x上一点到两定点距离之和取得最小值为|CC2|∴|PA|+|PB|的最小值为＝﹣7．【点睛】本题考查了求定直线上的动点分别到两个圆上的动点的距离之和最小值问题，考查了数形结合思想，利用圆的几何性质转化是解题的关键，利用对称思想也是本题解题的关键.16.(坐标系与参数方程)在已知极坐标系中，已知圆与直线相切，则实数

。参考答案：2或817.设函数的导数为，则数列的前项和是______________参考答案：三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.（1）≥1；（2）解关于的不等式（其中）．

参考答案：解答：（1）∵≥0≥0

x＞3或x≤－

∴不等式的解集为∪(3,+∞)（2）时，解集为；时，解集为时，解集为

略19.某中学开设甲、乙、丙三门选修课，学生是否选修哪门课互不影响.已知某学生只选修甲的概率为0.08，只选修甲和乙的概率是0.12，至少选修一门的概率是0.88，用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积.（1）记“函数为上的偶函数”为事件A，求事件A的概率；（2）求的分布列和数学期望.参考答案：（1）设学生选修设甲、乙、丙三门课的概率分别为，则由条件可得解得．用表示该学生选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积，则或．∵记“函数为上的偶函数”为事件A，∴；（2）随机变量的取值有或，由（1）知，故，∴的分布列为.20.如图，在三棱柱ABC-A1B1C1中，D、E分别是AC、BB1的中点.（Ⅰ）证明：BD∥平面AEC1；（Ⅱ）若这个三棱柱的底面是等边三角形，侧面都是正方形，求二面角的余弦值.参考答案：（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）取的中点，连接、，证明四边形为平行四边形，可得出，再利用直线与平面平行的判定定理可证明出平面；（Ⅱ）取、的中点、，连接、，证明出平面以及，然后以点为坐标原点，、、所在直线分别为轴、轴、轴建立空间直角坐标系，计算出平面和平面的法向量，利用空间向量法求出二面角的余弦值.【详解】（Ⅰ）证明：取的中点为，连接、.、分别为、的中点，，且，为的中点，且.

且，四边形为平行四边形，.平面，平面，平面；（Ⅱ）解：设的中点为，连接，为等边三角形，∴侧面都是正方形，，，、平面且，平面，平面，，，平面.取中点为，连接，则.以为原点，以、、分别为、、轴建立空间直角坐标系，如图.设，则、、，，，设平面的法向量为，则，令，得，取平面的法向量为.则，结合图形可知，二面角为锐角，其余弦值为.【点睛】本题考查直线与平面平行的判定，考查二面角的求解，证明直线与平面平行，常用以下三种方法：①利用中位线平行证明线线平行；②证明四边形为平行四边形，利用对边平行得出线线平行；③证明面面平行，由面面平行得出线面平行.21.设条件p：“|x﹣a|≤1”，条件q：“（x﹣2）（x﹣3）≤0”（1）当a=0时，判断p是q的什么条件；（2）若p是q的必要不充分条件，求实数a的取值范围．参考答案：【考点】二次函数的性质；必要条件、充分条件与充要条件的判断．【分析】（1）将a=0代入，分别求出条件p，q对应的x的范围，根据充要条件的定义，可得答案；（