Ch参数估计演示文稿

Ch参数估计演示文稿目前一页\总数一百四十二页\编于十一点根据样本提供的信息,对总体分布的某些未知值作在本章中所讨论的总体分布为离散型或连续型的.统计推断是数理统计的基本内容之一.统计推断的形式包括两大类——参数估计与假设检验.本章介绍两种主要的参数估计方法——点估计和区间估计.目前二页\总数一百四十二页\编于十一点一、参数估计问题在数理统计中,总体的分布一般是未知的,因而的当总体时,在未知的情况下,与故的二阶原点矩中包含未知参数.数字特征往往是未知的,这些未知值通常称为参数.例如都是参数.如果已知而未知,则是参数而不是参数.目前三页\总数一百四十二页\编于十一点总体参数设总体为总体的分布为其中的称为待总体参数的取值范围称为参数空间,记作估参数.这类未知参数称为总体参数.例如当未知时,正态总体中有两个总体参数.例如,总体则相应的参数空间为目前四页\总数一百四十二页\编于十一点点估计的意义:根据样本,构造估计量由样本对总体中的未知参数进行估计称为参数估计.参数估计分为点估计和区间估计.通过样本观测值所对应的估计值作为总体参数的估计值.记作目前五页\总数一百四十二页\编于十一点区间估计的含义是:依据样本来估计未知参数的某一点估计的意义:在数轴上表示一个点.区间估计的具体实现:再由观测值范围.由样本构造两个统计量:得到具体的区间以此区间作为未知参数的区间估计.目前六页\总数一百四十二页\编于十一点下面讨论两种常用的点估计方法:矩估计和极大似然估计.

二、两种常用点估计目前七页\总数一百四十二页\编于十一点

1.矩估计矩估计的基本思想是:用样本原点矩替换同阶总体原点矩,而并不需要知道总体的具体分布.目前八页\总数一百四十二页\编于十一点矩估计的意义:如果未知参数定义设是取自总体的样本,记则称为的矩估计量.其中以样本的原点矩替换总体的原点矩.目前九页\总数一百四十二页\编于十一点定理设是取自总体的一个样本,其中未知,⑴是未知参数的矩估计;⑵是未知参数的矩估计,是未知参数的矩估计.即目前十页\总数一百四十二页\编于十一点例1设总体求总体参数的矩估计.解总体的分布为设为来自总体的样本,则由上面的说明,未知参数的矩估计为:若为观察值,则相应的估计值为目前十一页\总数一百四十二页\编于十一点例2设有一批同型号灯管,其寿命（单位:小时）服从试用矩估计方法估计的值.解设总体因由前面讨论知:设为来自总体的样本,参数为的指数分布,今随机抽取其中的11只,测得其寿命数据如下:目前十二页\总数一百四十二页\编于十一点则指数分布中的参数的矩估计为对观察值相应的估计值为对已知数据,因目前十三页\总数一百四十二页\编于十一点所以,未知参数的矩估计为:目前十四页\总数一百四十二页\编于十一点例3设总体服从参数为的几何分布,求参数的矩解因总体服从几何分布,故有概率函数:从而有:估计.目前十五页\总数一百四十二页\编于十一点设为来自总体的样本,则相应的矩估计为对观察值相应的矩估计量为目前十六页\总数一百四十二页\编于十一点例4设总体有均值及方差,现有6个随机样本的求未知参数的矩估计.解设是来自总体的样本,由于故可取相应的均值的矩估计为:观察数据为:目前十七页\总数一百四十二页\编于十一点及方差的估计为由已知数据,得相应的估计值分别为:目前十八页\总数一百四十二页\编于十一点例5设是取自于总体的一个样本,其中因因此的矩估计为目前十九页\总数一百四十二页\编于十一点密度函数为例6设是取自于总体的一个样本,的其它.求的矩估计.这里解因从而有目前二十页\总数一百四十二页\编于十一点由此得到所求参数的矩估计:目前二十一页\总数一百四十二页\编于十一点例7设一升自来水中含有的大肠杆菌个数果,从消毒过的水中随机地抽取了次,每次一升,化大肠杆菌个数/V

01234出现的次

17201021其中为未知参数.为了检查自来水消毒设备的效验得到每升水中大肠杆菌个数如下:目前二十二页\总数一百四十二页\编于十一点试估计平均每升自来水中大肠杆菌个数.解因又故相应的矩估计为又:即平均每升自来水中约有一个大肠杆菌.目前二十三页\总数一百四十二页\编于十一点

2.极大似然估计⑴极大似然估计的意义极大似然估计是求总体未知参数点估计的另一重要方一个口袋里装有黑白两种棋子，且两种棋子的比例

法.我们以下面的例子来说明极大似然估计的具体意义.为1：4，但不知道是黑：白是1：4还是白：黑是1：4。现有放回地取2次，每次1个，发现取出的2个棋子都是黑子，问是黑：白是1：4还是白：黑是1：4？目前二十四页\总数一百四十二页\编于十一点极大似然估计的意义设是来自总体的样本,总体的分布记为若有使上式取极大值,即⑴⑵为其中为待估参数,构造似然函数:目前二十五页\总数一百四十二页\编于十一点称为参数的极大似然估计量.而观察值对应的值为参数的极大似然估计值.目前二十六页\总数一百四十二页\编于十一点求极大似然估计量的方法:⑴由总体的分布构造似然函数:⑵关系式两边取对数:⑶上式两边对求导,并令其为零,即有:⑶目前二十七页\总数一百四十二页\编于十一点从中解出一般为的函数,即:⑷由此得到未知参数的极大似然估计量:⑷目前二十八页\总数一百四十二页\编于十一点例10设总体求参数的极大似然估计.解因总体总体的分布为故对样本可得似然函数为:取对数后得:目前二十九页\总数一百四十二页\编于十一点解之,得即:对求导目前三十页\总数一百四十二页\编于十一点由此得极大似然估计量为:和相应的估计值注意到这和矩估计的结果是一致的.目前三十一页\总数一百四十二页\编于十一点例11总体服从参数为的泊松分布,求的极大似然估解因总体总体的分布为故对样本可得似然函数为:计.目前三十二页\总数一百四十二页\编于十一点取对数后得对求导并令其为零,则有即目前三十三页\总数一百四十二页\编于十一点由此得参数的估计量:和对应的估计值:目前三十四页\总数一百四十二页\编于十一点例12设总体服从参数为的几何分布,求参数的极解因总体服从几何分布,故有总体分布:故对样本可得似然函数为:取对数后得:大似然估计.目前三十五页\总数一百四十二页\编于十一点对求导并令其为零,则有即有解之得:目前三十六页\总数一百四十二页\编于十一点由此得参数的估计量和估计值为目前三十七页\总数一百四十二页\编于十一点例13设总体求的极大似然估解因总体的分布为:对样本,得相应的似然函数:计.目前三十八页\总数一百四十二页\编于十一点注意到似然函数中有两个未知参数,取对数后有:分别对参数求偏导,并联立方程组:目前三十九页\总数一百四十二页\编于十一点由此得方程之解为:及:目前四十页\总数一百四十二页\编于十一点所以,参数的极大似然估计为:相应的估计值为:目前四十一页\总数一百四十二页\编于十一点例14设总体为连续型随机变量,密度函数为其它求参数的极大似然估计.解设为来自总体的样本,则似然函数为取对数后有:目前四十二页\总数一百四十二页\编于十一点上式对求导,并令其为零,则有解之得由此得估计量和估计值为目前四十三页\总数一百四十二页\编于十一点对总体未知参数的估计,存在多种方法,不同方法下三、估计量的评选标准所得到的估计量可能各不相同,由此自然产生问题:对同一个未知参数的不同估计量,究竟哪个更好点.为此建立下面的几个评选标准.目前四十四页\总数一百四十二页\编于十一点⑴无偏性设总体,总体的分布中包含未知参数若则我们自然考虑估计量与真值的偏差如何,由此需要考的分布情况.注意到是随机变量,自然会考察有估计量:察量目前四十五页\总数一百四十二页\编于十一点定义若未知参数的估计量则称该估计量是的无偏估计.若满足则称该估计量为参数的渐近（无偏）估计.⑸⑹满足且目前四十六页\总数一百四十二页\编于十一点例15设总体是来自总体的样本,则⑴当未知而已知时,的矩估计和极大似然估计都是且是的无偏估计;⑵当已知但未知时,的极大似然估计为无偏估计;目前四十七页\总数一百四十二页\编于十一点⑶当与均未知时,的极大似然估计分别为前者是无偏估计,而后者是渐近无偏估计.目前四十八页\总数一百四十二页\编于十一点例16设是来自总体的样本,其中未知,证明的矩估计为无偏估计.证因是参数的矩估计.又即是参数的无偏估计.目前四十九页\总数一百四十二页\编于十一点例17设总体已知,则的极大似然估计为的无偏估计.证因所以是的无偏估计.目前五十页\总数一百四十二页\编于十一点前面讨论的关于估计量的无偏性,它反应的是估计量与待估参数的偏离程度.但某种情况下,同一个参数的两个不同的估计量与真值的偏离值是相同的,考察下面的例子.目前五十一页\总数一百四十二页\编于十一点例18设是来自总体的容量的样本,则即均为均值的无偏估计.构造估计量目前五十二页\总数一百四十二页\编于十一点

3.估计量的有效性定义设为待估参数的无偏估计,若则称估计量比更有效.⑺目前五十三页\总数一百四十二页\编于十一点例19设是来自总体的容量的样本,则即均为均值的无偏估计.此时,构造估计量目前五十四页\总数一百四十二页\编于十一点即是比有效的估计.进一步地,我们有下面的结论.目前五十五页\总数一百四十二页\编于十一点例20设是来自总体的样本,期望为均值的无偏估计且当为无偏估计时,取所得到的估计是最有效的估计.证因存在,为非负常数,目前五十六页\总数一百四十二页\编于十一点若为无偏估计,则有反之显然.又,若为无偏估计,因目前五十七页\总数一百四十二页\编于十一点则为最小且目前五十八页\总数一百四十二页\编于十一点四、区间估计上节讨论了未知总体参数的点估计.注意到点估计仅是未知参数的一个近似估计.而真值往往又是不知道的.无论估计量如何选取,我们很难估计真值与近似值之间的误差.在实际问题中,我们不仅需要知道近似值,而且还需要知道该近似值的精确性与可靠程度.目前五十九页\总数一百四十二页\编于十一点

1.区间估计的一般意义设总体分布为其中为待估参数,是估计量,对一个较小的值和使得为通过对的控制,我们可使得相应的概率在事先控制的范围中.通过下面的例子来进一步地说明该问上式的意义是真值落在随机区间的概率目前六十页\总数一百四十二页\编于十一点题.目前六十一页\总数一百四十二页\编于十一点例21为了考察某厂生产的水泥构件的抗压强度（单位:到25个数据并由此算得（该值为水泥构件平均抗压强度平均值的点估计）.从是参数的一个较优的点估计,因此一个较为千克力/平方厘米）,随机抽取了25个样品进行测试,得历史数据中知,抗压强度其中为未知,现希望根据已知的数据得到的一个区间估计.由于目前六十二页\总数一百四十二页\编于十一点合理的区间是对应的概率为设来自总体的样本为则区间是一个随机区间.反映区间估计可靠程度的量是这个随机区间覆盖未知参数的概率:目前六十三页\总数一百四十二页\编于十一点由于其中因此上述概率其中:为:目前六十四页\总数一百四十二页\编于十一点我们希望这个概率至少为其中是近于的正数,解得这里为标准正态分布的双侧分位数.例如当取则查表得:由于目前六十五页\总数一百四十二页\编于十一点于是所以随机区间为一般把这个区间估计用分位数表达为因为它清楚地表示了这个区间估计的可靠程度（即它覆盖未知参数的概率）为目前六十六页\总数一百四十二页\编于十一点在上面问题中,由样本观察值计算得代入上式得的区间估计为目前六十七页\总数一百四十二页\编于十一点从样本观察值提供的信息,推断出以的可靠程度,把上面问题一般化,即得到区间估计的定义.保证该厂生产的水泥构件的抗压强度在（千克力/平方厘米）之间.目前六十八页\总数一百四十二页\编于十一点定义设是取自总体的样本,总体和使得则称区间为参数的双侧置信区间,称分布为其中为待估参数.对此未知参数,给定若存在两个统计量为置信水平,分别称为置信下限和上限.称为置信度.目前六十九页\总数一百四十二页\编于十一点注在一般情况下,置信上下限为随机变量,其具体意义是:对同一个参数反复使用同一个置信区间,尽管不能保证每一次都能使落在该区间内,但至少有次使得“”成立.一般取为接近于0的正数.目前七十页\总数一百四十二页\编于十一点区间估计的基本方法设总体总体的分布为其中为待估参数,⑴寻找一个较优的点估计量（一⑵以为基础,构造随机变量:在该随机变量中包含所需要的待估参数,并使得相应的置信水平般取相应的极大似然估计）目前七十一页\总数一百四十二页\编于十一点分位数容易求得;⑶设的分位数为的分位数为则有⑷变换不等式“”使其具有表达式则即为所求的估计区间.⑻在区间估计中,也有单侧的情形.目前七十二页\总数一百四十二页\编于十一点定义设是取自总体的样本,对于未使得则称区间为参数的单侧置信区间,称为置信水平,称为单侧置信下限.给定若存在统计量知参数类似可以定义单侧置信上限.目前七十三页\总数一百四十二页\编于十一点五、正态总体下未知参数的置信区间目前七十四页\总数一百四十二页\编于十一点

1.一个正态总体的情形设总体服从正态分布,求参数和的置信区间.目前七十五页\总数一百四十二页\编于十一点⑴未知时但已知如例21中的讨论,令为的极大似然估计,构造则再由标准正态分布的的分位数并且目前七十六页\总数一百四十二页\编于十一点因此由此得的双侧的置信区间为目前七十七页\总数一百四十二页\编于十一点⑼相应的单侧置信区间分别为和目前七十八页\总数一百四十二页\编于十一点例22设抽取容量为9的样本,⑴的的置信区间;⑵的的置信区间.解⑴此时查表得代入式⑽,得置信区间为:且样本均值为求目前七十九页\总数一百四十二页\编于十一点⑵置信水平为则再由⑽目前八十页\总数一百四十二页\编于十一点例21求上例中的单侧的置信区间的上限及下限.解因由式⑾,易得置信区间的上限为其具体意义是:我们可以有的把握可保证该厂生产的水泥构件的平均抗压强度至多只有（千克力/平方厘米）.目前八十一页\总数一百四十二页\编于十一点再由⑿式得置信下限为:目前八十二页\总数一百四十二页\编于十一点⑵已知未知当未知时,仍取均值的极大似然估计并构造:此时与①的建立过程相仿,得到的双侧的置信区间⒂目前八十三页\总数一百四十二页\编于十一点及单侧的置信上限和下限:⒃目前八十四页\总数一百四十二页\编于十一点⑶与均未知未知参数的极大似然估计为注意到且由此得到的双侧置信区间为⑼目前八十五页\总数一百四十二页\编于十一点而相应的单侧置信区间的上限及下限分别为:⒁目前八十六页\总数一百四十二页\编于十一点当未知时,的极大似然估计为因仿上面讨论有:目前八十七页\总数一百四十二页\编于十一点由此得到的双侧的置信区间为:⒄目前八十八页\总数一百四十二页\编于十一点再由及单侧的置信上限和下限:⒅目前八十九页\总数一百四十二页\编于十一点例22为估计一批钢索所能承受的平均张力,从中随机又张力服从正态分布,求平均张力的置信水平为的解注意到,该问题是未知的置信区间求解问题.此由式⒁,得平均张力的置信区间为:抽出10个样品作试验,由试验数据知置信区间.时查表得:目前九十页\总数一百四十二页\编于十一点目前九十一页\总数一百四十二页\编于十一点例23电动机由于连续工作时间过长而会烧坏.今随机并假定该种型号的电动机烧坏前连续工作时间取置信水平为分别求出与的双侧置地从某种型号的电动机中选取9台并测试它们在烧坏前的连续工作时间（单位：小时）,由数据得及目前九十二页\总数一百四十二页\编于十一点置信区间.因而由公式⒀得相应的置信区间为:又解先求均值的置信区间.由已知条件:目前九十三页\总数一百四十二页\编于十一点再求方差的置信区间.由得到的区间置信区间为:目前九十四页\总数一百四十二页\编于十一点总结已知未知已知未知目前九十五页\总数一百四十二页\编于十一点

2.两个正态总体的情形设是取自总体的样本,与独立,求二总体均值差的的置信区间.是取自正态总体的样本,且目前九十六页\总数一百四十二页\编于十一点若已知,怎由于是的点估计,则由于引入:则容易得到相应的置信区间为目前九十七页\总数一百四十二页\编于十一点目前九十八页\总数一百四十二页\编于十一点若而未知,则记引入则可得到置信区间为:目前九十九页\总数一百四十二页\编于十一点这里,目前一百页\总数一百四十二页\编于十一点例24甲,乙两台机床加工同一种零件,今在机床甲加假定零件长度服从正态分布,求均值差的的置信区工的零件随机抽取9件,在乙加工的零件中随机抽取6件,分别测得零件的长度（单位:）,由测量的数据可算出:间.目前一百零一页\总数一百四十二页\编于十一点解在此问题中,由此可得水平为0.95的均值差的置信区间的观察知为:目前一百零二页\总数一百四十二页\编于十一点六、部分练习解答目前一百零三页\总数一百四十二页\编于十一点8.1设是取自总体的一个样本,在下列两种情形下,求总体参数的矩估计和极大似然估计.⑴其中未知,⑵其中未知,解⑴因所以的矩估计为又似然函数为目前一百零四页\总数一百四十二页\编于十一点取对数后有求导后并令其为零,则有即有目前一百零五页\总数一百四十二页\编于十一点得到由此得到参数的极大似然估计为⑵因所以参数的矩估计目前一百零六页\总数一百四十二页\编于十一点又总体的密度函数为因而似然函数为取对数后有目前一百零七页\总数一百四十二页\编于十一点求导后并令其为零,则有由此得到参数的极大似然估计为目前一百零八页\总数一百四十二页\编于十一点8.2设某厂生产的晶体管的寿命服从指数分布今随机地抽取5只晶体管进行测试,测得它们的寿命（单位:小时）如下:试求该晶体管的平均寿命的极大似然估计值.解由上题知,参数的极大似然估计为目前一百零九页\总数一百四十二页\编于十一点所以平均寿命的极大似然估计值为目前一百一十页\总数一百四十二页\编于十一点8.3设是取自总体的一个样本,的密度函数为其它.求参数的矩估计.解因目前一百一十一页\总数一百四十二页\编于十一点即从而矩估计为目前一百一十二页\总数一百四十二页\编于十一点8.4设是取自总体的一个样本,试求与的极大似然估计.解因又概率函数为由此得到样本的似然函数为目前一百一十三页\总数一百四十二页\编于十一点取对数后有上式对求导并令其为零,则有目前一百一十四页\总数一百四十二页\编于十一点由此得到参数的极大似然估计为所以的极大似然估计为目前一百一十五页\总数一百四十二页\编于十一点而因而相应的极大似然估计为目前一百一十六页\总数一百四十二页\编于十一点8.7设是取自总体的一个样本,的分布函数为试求的矩估计和极大似然估计.解的密度函数为目前一百一十七页\总数一百四十二页\编于十一点从而矩估计为⑵似然函数为目前一百一十八页\总数一百四十二页\编于十一点取对数后有求导后有所以极大似然估计为目前一百一十九页\总数一百四十二页\编于十一点目前一百二十页\总数一百四十二页\编于十一点8.10设是取自总体的一个样本,⑴是的无偏估计;⑵不是的无偏估计;⑶是的无偏估计.试证:证:⑴所以是的无偏估计.⑵目前一百二十一页\总数一百四十二页\编于十一点所以不是的无偏估计;⑶因相互独立,由期望性质,所以是的无偏估计.目前一百二十二页\总数一百四十二页\编于十一点8.12在习题8.3中,⑴求的极大似然估计,并证明它不具有无偏性;⑵试求常数使得为的无偏估计;⑶试求的矩估计的方差;⑷试求的矩估计,并证明当时它不具有无偏性.证⑴似然函数为目前一百二十三页\总数一百四十二页\编于十一点欲使上式为最大,则可取所以参数的极大似然估计量为再求总体的分布函数:当时,分布函数目前一百二十四页\总数一百四十二页\编于十一点由此得