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文档简介
关于无穷积分的性质与收敛判别第1页,课件共38页,创作于2023年2月一、无穷积分的性质第2页,课件共38页,创作于2023年2月第3页,课件共38页,创作于2023年2月证极限的柯西准则,此等价于收敛的充要条件是:(无穷积分收敛的柯西准则)无穷积分定理11.1第4页,课件共38页,创作于2023年2月性质1为任意常数,则即根据反常积分定义,容易导出以下性质1和性质2.第5页,课件共38页,创作于2023年2月性质2第6页,课件共38页,创作于2023年2月h(x)在任意[a,u]上可积,且证因为收敛,由柯西准则的必要性,例1,f(x),g(x),若第7页,课件共38页,创作于2023年2月再由柯西准则的充分性,第8页,课件共38页,创作于2023年2月若无穷积分以下定理可用来判别一般函数无穷积分的收敛性.何有限区间[a,u]上可积,性质3
(绝对收敛的无穷积分必收敛)若
f在任第9页,课件共38页,创作于2023年2月因此再由柯西准则的充分性,又对任意证由柯西准则的必要性,对因第10页,课件共38页,创作于2023年2月收敛的无穷积分不一定是绝对收敛的.例2的收敛性.判别解由于第11页,课件共38页,创作于2023年2月二、非负函数无穷积分的收敛判别法引理(非负函数无穷积分的判别法)设定义在
上的非负函数f
在任何收敛的充要条件是:第12页,课件共38页,创作于2023年2月证设增函数的收敛判别准则,
从而F(u)是单调递增的由单调递第13页,课件共38页,创作于2023年2月非负函数
f,g在任何有限区间[a,u]上可积,且定理11.2(比较判别法)
设定义在上的两个存在满足第14页,课件共38页,创作于2023年2月证
由非负函数无穷积分的判别法,第二个结论是第一个结论的逆否命题,因此也成立.第15页,课件共38页,创作于2023年2月例3判别的收敛性.解显然第16页,课件共38页,创作于2023年2月设f(x),g(x)是上的非负连续函数.证例4证由于第17页,课件共38页,创作于2023年2月推论1设非负函数f和g在任何[a,u]上可积,且第18页,课件共38页,创作于2023年2月证
即第19页,课件共38页,创作于2023年2月第20页,课件共38页,创作于2023年2月推论2设f是定义在上的非负函数,在任何限区间[a,u]上可积.推论3设f是定义在上的非负函数,在任何有说明:
推论3是推论2的极限形式.第21页,课件共38页,创作于2023年2月例5
讨论的收敛性(k>0).解(i)第22页,课件共38页,创作于2023年2月Ex1解所给广义积分收敛.Ex2解根据柯西极限审敛法
,所给广义积分发散.第23页,课件共38页,创作于2023年2月Ex3解根据柯西极限审敛法
,所给广义积分发散.第24页,课件共38页,创作于2023年2月第25页,课件共38页,创作于2023年2月证Ex6:
用比较审敛法证明:即收敛.第26页,课件共38页,创作于2023年2月Ex7解所以所给广义积分收敛.第27页,课件共38页,创作于2023年2月三、一般函数无穷积分的判别法狄利克雷判别法和阿贝尔判别法.定理11.3(狄利克雷判别法)证故第28页,课件共38页,创作于2023年2月使得因此,由柯西准则,第29页,课件共38页,创作于2023年2月证[证法1]定理11.4(阿贝尔判别法)由
g的单调性,用积分第二中值定理,对于任意的使得第30页,课件共38页,创作于2023年2月由柯西准则,第31页,课件共38页,创作于2023年2月[证法2]由狄利克雷判别法收敛,所以第32页,课件共38页,创作于2023年2月例6的收敛性.收敛.解由狄利克雷判别法推知另一方面,第33页,课件共38页,创作于2023年2月狄利克雷判别法条件,是收敛的;第34页,课件共38页,创作于2023年2月类似可证:第35页,课件共38页,创作于2023年2月当x→+∞时,被积
函数即使不趋于0,
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