高数常系数非齐次线性微分方程演示文稿

高数常系数非齐次线性微分方程演示文稿目前一页\总数十八页\编于二十点优选高数常系数非齐次线性微分方程目前二页\总数十八页\编于二十点二阶常系数线性非齐次微分方程:根据解的结构定理,其通解为非齐次方程特解齐次方程通解求特解的方法根据

f(x)的特殊形式,的待定形式,代入原方程比较两端表达式以确定待定系数.①—待定系数法目前三页\总数十八页\编于二十点一、

为实数,设特解为其中为待定多项式,代入原方程,得为m

次多项式.(1)若

不是特征方程的根,则取从而得到特解形式为Q(x)为

m次待定系数多项式目前四页\总数十八页\编于二十点(2)若是特征方程的单根

,为m

次多项式,故特解形式为(3)若

是特征方程的重根

,是m

次多项式,故特解形式为小结对方程①,此结论可推广到高阶常系数线性微分方程.即即当是特征方程的k重根时,可设特解目前五页\总数十八页\编于二十点代入方程即可确定系数：从而确定特解.特解的形式为将

目前六页\总数十八页\编于二十点提示因为f(x)Pm(x)ex3x1

0不是特征方程的根

所以非齐次方程的特解应设为

y*b0xb1

把它代入所给方程得

例1

求微分方程y2y3y3x1的一个特解

解

齐次方程y2y3y0的特征方程为r22r30

[b0xb1]2[b0xb1]3[b0xb1]3b0x2b03b1

2b03b0x3b13b0x2b03b13x1

提示3b03

2b03b11

目前七页\总数十八页\编于二十点

例2

求微分方程y5y6yxe2x的通解

解

齐次方程y5y6y0的特征方程为r25r

60

其根为r12

r23

提示齐次方程y5y6y0的通解为YC1e2xC2e3x

因为f(x)Pm(x)exxe2x

2是特征方程的单根

所以非齐次方程的特解应设为

y*x(b0xb1)e2x

把它代入所给方程得2b0x2b0b1x

提示2b01

2b0b10因此所给方程的通解为目前八页\总数十八页\编于二十点二、第二步求出如下两个方程的特解分析思路:第一步将f(x)转化为第三步利用叠加原理求出原方程的特解第四步分析原方程特解的特点目前九页\总数十八页\编于二十点第一步利用欧拉公式将f(x)变形目前十页\总数十八页\编于二十点第二步求如下两方程的特解是特征方程的k重根(k=0,1),故等式两边取共轭:为方程③的特解.②③设则②有特解:目前十一页\总数十八页\编于二十点第三步求原方程的特解利用第二步的结果,根据叠加原理,原方程有特解:原方程

均为

m

次多项式.目前十二页\总数十八页\编于二十点第四步分析因均为

m

次实多项式.本质上为实函数,目前十三页\总数十八页\编于二十点小结:对非齐次方程则可设特解:其中为特征方程的

k

重根(k=0,1),上述结论也可推广到高阶方程的情形.目前十四页\总数十八页\编于二十点例4.的一个特解

.解:本题特征方程故设特解为不是特征方程的根,代入方程得比较系数,得于是求得一个特解目前十五页\总数十八页\编于二十点例5.的通解.

解:特征方程为其根为对应齐次方程的通解为比较系数,得因此特解为代入方程:所求通解为为特征方程的单根,因此设非齐次方程特解为目前十六页\总数十八页\编于二十点内容小结为特征方程的k(＝0,1,2)重根,则设特解为为特征方程的k(＝0