第六章期权合约演示文稿

第六章期权合约演示文稿2023/5/17目前一页\总数一百零九页\编于十八点优选第六章期权合约目前二页\总数一百零九页\编于十八点6.1

期权市场概述一、期权的定义 金融期权（Option）又称选择权，实质上是一种权利的有偿使用，是指赋予其购买者在规定期限内按双方约定的价格（简称协议价格或执行价格）购买或出售一定数量某种金融资产（称为潜含金融资产或标的资产）的权利的合约。2023/5/17目前三页\总数一百零九页\编于十八点二、期权的基本特点（1）期权交易是这种权利的交易。（2）权利和义务是不对称的。（3）风险与收益是不对称的。“零和博弈”（4）期权合约买方支付期权费；出售方必须交纳保证金。（5）期权的价格是期权费。期权费视期权种类、期限、标的资产价格的易变程度不同而不同。2023/5/17目前四页\总数一百零九页\编于十八点三、期权的分类

（１）按期权买者的权利划分，期权可分为看涨期权、看跌期权和双向期权。（２）按期权买者执行期权的时限划分，期权可分为欧式期权和美式期权。

（3）按交易场所的不同期权可分为场内期权与场外期权。2023/5/17目前五页\总数一百零九页\编于十八点

（4）根据标的资产性质不同期权分为现货期权和期货期权。

（5）根据期权的复杂程度和使用范围，可以将期权分为普通期权和奇异期权。

（6）根据期权的应用可以将期权分为金融期权和实物期权。2023/5/17目前六页\总数一百零九页\编于十八点6.2期权价格的特性

一、期权价格的构成期权价格等于期权的内在价值加上时间价值。

１，内在价值内在价值是指期权持有者立即行使该期权合约所赋予的权利时所能获得的总收益。看涨期权的内在价值为max{S-X,0}看跌期权的内在价值为max{X-S,0}2023/5/17目前七页\总数一百零九页\编于十八点

按照有无内在价值，期权可呈现三种状态：实值期权、虚值期权和平价期权。把Ｓ>Ｘ（S<X）时的看涨(跌)期权称为实值期权；把Ｓ＝Ｘ的看涨（跌）期权称为平价期权；把S<X（Ｓ>Ｘ）时的看涨(跌)期权称为虚值期权；2023/5/17目前八页\总数一百零九页\编于十八点2，期权的时间价值

期权的时间价值（TimeValue）是指在期权有效期内标的资产价格波动为期权持有者带来收益的可能性所隐含的价值。显然，标的资产价格的波动率越高，期权的时间价值就越大。X时间价值图6.1看涨期权时间价值与|S-X|的关系Ｓ到期日时间价值5432102023/5/17目前九页\总数一百零九页\编于十八点ATM期权费变动曲线OTMITMXIVTVTVTV0标的资产市价S期权费图6.2看涨期权的期权费、内在价值、时间价值的关系2023/5/17目前十页\总数一百零九页\编于十八点二、期权价格的影响因素（一）标的资产的市场价格与期权的协议价格对于看涨期权而言，标的资产的价格越高、协议价格越低，看涨期权的价格就越高。对于看跌期权而言，标的资产的价格越低、协议价格越高，看跌期权的价格就越高。2023/5/17目前十一页\总数一百零九页\编于十八点

（二）期权的有效期

对于美式期权而言，由于它可以在有效期内任何时间执行，有效期越长，多头获利机会就越大，而且有效期长的期权包含了有效期短的期权的所有执行机会，因此有效期越长，期权价格越高。对于欧式期权而言，由于它只能在期末执行，有效期长的期权就不一定包含有效期短的期权的所有执行机会。这就使欧式期权的有效期与期权价格之间的关系显得较为复杂。

2023/5/17目前十二页\总数一百零九页\编于十八点

但在一般情况下（即剔除标的资产支付大量收益这一特殊情况），由于有效期越长，标的资产的风险就越大，空头亏损的风险也越大，因此即使是欧式期权，有效期越长，其期权价格也越高，即期权的边际时间价值（MarginalTimeValue）为正值。

我们应注意到，随着时间的延长，期权时间价值的增幅是递减的。这就是期权的边际时间价值递减规律。

2023/5/17目前十三页\总数一百零九页\编于十八点（三）标的资产价格的波动率

标的资产价格的波动率是用来衡量标的资产未来价格变动不确定性的指标。由于期权多头的最大亏损额仅限于期权价格，而最大盈利额则取决于执行期权时标的资产市场价格与协议价格的差额，因此波动率越大，对期权多头越有利，期权价格也应越高。

在定价时，波动性只能通过人们对未来的价格波动程度的估计求得，主要有两种方法：历史波动法和隐含波动法。2023/5/17目前十四页\总数一百零九页\编于十八点（四）无风险利率

从比较静态的角度看。无风险利率越高，看跌期权的价值越低；而看涨期权的价值则越高。从动态的角度看，当无风险利率提高时，看涨期权价格下降，而看跌期权的价格却上升。2023/5/17目前十五页\总数一百零九页\编于十八点（五）标的资产的收益由于标的资产分红付息等将减少标的资产的价格，而协议价格并未进行相应调整，因此在期权有效期内标的资产产生收益将使看涨期权价格下降，而使看跌期权价格上升。

2023/5/17目前十六页\总数一百零九页\编于十八点期权价格的影响因素

变量欧式看涨欧式看跌美式看涨美式看跌标的资产的市价＋－＋－期权协议价格－＋－＋期权的有效期？？＋＋波动率＋＋＋＋无风险利率？？？？标的资产的收益－＋－＋注：＋：互补关系：－：抵消关系；？：关系不明确。2023/5/17目前十七页\总数一百零九页\编于十八点三、期权价格的上、下限（一）期权价格的上限1.看涨期权价格的上限

对于美式和欧式看涨期权来说，标的资产价格就是看涨期权价格的上限：

其中，c代表欧式看涨期权价格，C代表美式看涨期权价格，S代表标的资产价格。（下同）（6.1）2023/5/17目前十八页\总数一百零九页\编于十八点2.看跌期权价格的上限

美式看跌期权价格（P）的上限为X：

其中，r代表T时刻到期的无风险利率，t代表现在时刻。（6.2）欧式看跌期权的上限为：（6.3）2023/5/17目前十九页\总数一百零九页\编于十八点（二）期权价格的下限

1.欧式看涨期权价格的下限（1）无收益资产欧式看涨期权价格的下限

我们考虑如下两个组合：组合A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金组合B：一单位标的资产2023/5/17目前二十页\总数一百零九页\编于十八点由于期权的价值一定为正，因此无收益资产欧式看涨期权价格下限为：

在T时刻，组合A的价值为：

由于，因此，在t时刻组合A的价值也应大于等于组合B，即:

或组合B的价值为ST。（6.4）2023/5/17目前二十一页\总数一百零九页\编于十八点（2）有收益资产欧式看涨期权价格的下限（6.5）

我们只要将上述组合A的现金改为，其中D为期权有效期内资产收益的现值，并经过类似的推导，就可得出有收益资产欧式看涨期权价格的下限为：2023/5/17目前二十二页\总数一百零九页\编于十八点2.欧式看跌期权价格的下限（1）无收益资产欧式看跌期权价格的下限

考虑以下两种组合：组合C：一份欧式看跌期权加上一单位标的资产

在T时刻，组合C的价值为：max（ST，X），组合D的价值为X。组合D：金额为的现金

2023/5/17目前二十三页\总数一百零九页\编于十八点

由于组合C的价值在T时刻大于等于组合D，因此组合C的价值在t时刻也应大于等于组合D，即：

由于期权价值一定为正，因此无收益资产欧式看跌期权价格下限为：（6.6）2023/5/17目前二十四页\总数一百零九页\编于十八点（2）有收益资产欧式看跌期权价格的下限（6.7）

我们只要将上述组合D的现金改为就可得到有收益资产欧式看跌期权价格的下限为：

2023/5/17目前二十五页\总数一百零九页\编于十八点练习题：

4个月期不支付股利股票的欧式看涨期权当前的价格为5美元，股票价格为64美元，执行价格为60美元，预期1个月后将发放股利0.8美元，无风险年利率为12%。对套利者而言，存在什么机会？2023/5/17目前二十六页\总数一百零九页\编于十八点五、提前执行美式期权的合理性

（一）提前执行无收益资产美式期权的合理性

1.看涨期权

由于现金会产生收益，而提前执行看涨期权得到的标的资产无收益，再加上美式期权的时间价值总是为正的，因此我们可以直观地判断提前执行无收益资产的美式看涨期权是不明智的。因此，C=c（6.8）2023/5/17目前二十七页\总数一百零九页\编于十八点

根据（6.4），我们可以得到无收益资产美式看涨期权价格的下限：

（6.9）2023/5/17目前二十八页\总数一百零九页\编于十八点是否提前执行无收益资产的美式看跌期权，主要取决于期权的实值额（X-S）、无风险利率水平等因素。一般来说，只有当S相对于X来说较低，或者r较高时，提前执行无收益资产美式看跌期权才可能是有利的。美式看跌期权的下限为：2,看跌期权2023/5/17目前二十九页\总数一百零九页\编于十八点（二）提前执行有收益资产美式期权的合理性

1.看涨期权

由于提前执行有收益资产的美式期权可较早获得标的资产，从而获得现金收益，而现金收益可以派生利息，因此在一定条件下，提前执行有收益资产的美式看涨期权有可能是合理的。由于存在提前执行更有利的可能性，有收益资产的美式看涨期权价值大于等于欧式看涨期权，其下限为：2023/5/17目前三十页\总数一百零九页\编于十八点2.看跌期权

由于提前执行有收益资产的美式看跌期权意味着自己放弃收益权，因此收益使美式看跌期权提前执行的可能性变小，但还不能排除提前执行的可能性。由于美式看跌期权有提前执行的可能性，因此其下限为：2023/5/17目前三十一页\总数一百零九页\编于十八点

所谓看涨期权与看跌期权之间的平价关系是指看涨期权的价格与看跌期权的价格，必须维持在无套利机会的均衡水平的价格关系上。如果这一关系被打破，则在这两种价格之间，就存在无风险的套利机会，而套利者的套利行为又必将这种不正常的价格关系拉回到正常水平。下面我们仍然用无套利均衡分析法来推导这一关系。六、看涨期权与看跌期权之间的平价关系

2023/5/17目前三十二页\总数一百零九页\编于十八点（一）欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系

1.无收益资产的欧式期权

考虑如下两个组合：

组合B：一份有效期和协议价格与看涨期权相同的欧式看跌期权加上一单位标的资产组合A：一份欧式看涨期权加上金额为的现金2023/5/17目前三十三页\总数一百零九页\编于十八点

在期权到期时，两个组合的价值均为max(ST,X)。由于欧式期权不能提前执行，因此两组合在时刻t必须具有相等的价值，即：

这就是无收益资产欧式看涨期权与看跌期权之间的平价关系（Parity）。

如果式（6.10）不成立，则存在无风险套利机会。套利活动将最终促使式（6.10）成立。（6.10）2023/5/17目前三十四页\总数一百零九页\编于十八点套利机会

市场情况：某投资者刚刚获得如下股票欧式期权的报价，股票市场价格为31美元，3个月期无风险年利率为10％，看涨期权和看跌期权的执行价格都是30美元，3个月后到期。3个月期欧式看涨期权和欧式看跌期权的价格分别为3美元和2.25美元。策略：1，购买看涨期权；2，出售看跌期权；3，卖空一股股票。2023/5/17目前三十五页\总数一百零九页\编于十八点结果：这个策略给出的初始现金流为：31.00－3.00＋2.25＝30.25美元。将这笔资金按无风险利率投资3个月，3个月末本息和为30.25e0.1*0.25=31.02美元。在3个月末，有如下两种可能：1，如果股票价格大于30美元，该投资者执行看涨期权。即按照30美元价格购买一份股票，将空头平仓，则可获利＝31.02－30＝1.02美元。2，如果股票价格小于30美元，该投资者的对手执行看跌期权。即按照30美元价格购买一份股票，将空头平仓，则可获利＝31.02－30＝1.02美元。2023/5/17目前三十六页\总数一百零九页\编于十八点2.有收益资产欧式期权（6.11）

在标的资产有收益的情况下，我们只要把前面的组合A中的现金改为，我们就可推导有收益资产欧式看涨期权和看跌期权的平价关系：2023/5/17目前三十七页\总数一百零九页\编于十八点（二）美式看涨期权和看跌期权之间的关系

1.无收益资产情形2.有收益资产情形2023/5/17目前三十八页\总数一百零九页\编于十八点一、Black-Scholes期权定价公式（一）Black-Scholes模型的假设条件(1)期权的标的资产是股票，其现行价格为S。这种资产可以被自由买卖；(2)期权是欧式看涨期权，在期权有效期内其标的资产不存在现金股利的支付。其协定价格为X，期权期限为T（以年表示）；

6.3期权的定价原理2023/5/17目前三十九页\总数一百零九页\编于十八点(3)市场不存在交易成本和税收，所有证券均完全可以分割；(4)市场不存在无风险的套利机会；(5)市场提供了连续交易的机会;(6)存在着一个固定的、无风险的利率，投资者可以以此利率无限制地借入或贷出；(7)期权的标的股票的价格遵循几何布朗运动，呈对数正态分布。2023/5/17目前四十页\总数一百零九页\编于十八点

这就是著名的Black-Scholes微分分程，它适用于其价格取决于标的证券价格S的所有衍生证券的定价。

2023/5/17目前四十一页\总数一百零九页\编于十八点（二）Black-Scholes欧式看涨期权定价公式（6.12）2023/5/17目前四十二页\总数一百零九页\编于十八点由欧式看涨期权与看跌期权的平价关系，我们很容易推算出具有相同标的资产、相同到期日和相同执行价格的欧式看跌期权的价格。2023/5/17目前四十三页\总数一百零九页\编于十八点例6.1

考虑一种期权，有效期为6个月，股票价格为42美元，期权的执行价格为40美元，无风险年利率为10％，波动率为每年20％。即S=42，X＝40，2023/5/17目前四十四页\总数一百零九页\编于十八点并且因此，若该期权为欧式看涨期权，它的价格为：又因为N（0.7693）＝0.7791，N（0.6278）=0.7349所以c=4.762023/5/17目前四十五页\总数一百零九页\编于十八点二、波动率的确定方法

例6.2

假设一只股票当前的价格为30元，6个月期国债的年利率为3％，一投资者购买一份执行价格为35元的6个月后到期的看涨期权，假设在6个月内股票不派发红利。问题：他要支付多少期权费？由题设知：S=30，X＝35，但还需要知道一个无法直接得到的变量：波动率2023/5/17目前四十六页\总数一百零九页\编于十八点解题步骤：（1）波动率的计算方法一：从股票的历史交易数据中计算波动率。

假设在过去n周里的第t周股票收盘价为St，第t-1周的收盘价为St－1，则第t周的股票复利收益率为那么，周收益率的标准差可用下面的公式计算其中：表示这n周里的股票收益率的均值。上式得到了周收益率的标准差作为周波动率的估计值。由历史的股价数据，设计算得到此股票的周波动率为0.045。2023/5/17目前四十七页\总数一百零九页\编于十八点我们取n＝50周，即1年的交易周数，可得年波动率或：方法二：把实际的市场期权价格代入B－S公式而计算出的波动率即隐含波动率。交易员通常从交易活跃的期权中计算隐含波动率，然后利用计算出的隐含波动率来估算基于同样股票的不太活跃的期权的价格。更常见的是，可以同时得到基于同样股票的几种不同期权的几个隐含波动率，然后对这些隐含波动率进行恰当的加权平均就可以计算出该股票的综合隐含波动率。2023/5/17目前四十八页\总数一百零九页\编于十八点投资者可以通过对比当前市场的波动率与期权的隐含波动率的大小来进行期权交易。如果认为实际的市场波动率高于隐含波动率，那么当前的期权价格被低估了，可以买进期权。反之可以卖出期权。（2）计算N（d1）和N(d2)先计算：2023/5/17目前四十九页\总数一百零九页\编于十八点然后查正态分布累积概率表，得到和（3）计算期权价格C2023/5/17目前五十页\总数一百零九页\编于十八点三、B-S公式的基本推广（一）有收益资产欧式期权的定价公式（6.12）式是针对无收益资产欧式期权的，对于标的资产在期权到期日之前产生收益的情况，我们下面分两种情况给予简单分析。2023/5/17目前五十一页\总数一百零九页\编于十八点1，标的资产产生已知收益的情况

假设标的资产将在时刻产生已知现值为I的收益，且。这时，标的资产的价值可分解为两个部分：发生在时刻的已知收益的现值部分和产生收益后到T时刻时标的资产的价值的现值部分。其中后一部分是有风险的，记为于是我们可以直接利用（6.12）

式来定价了，只要用来代替S即可，

2023/5/17目前五十二页\总数一百零九页\编于十八点2，标的资产产生已知收益率的情况我们假定在任何时间段dt，标的资产都产生收益qSdt，这等价于在每一刻都将剩余股票价值的比例为qdt的部分分走。以连续复利计算，意味着在期权到期日，还剩下原来资产价值的。所以，在现在时刻t，标的资产的价值由两部分组成：比例为的部分作为收益在到期日T之前发放，剩下比例为的部分是一单位标的资产在到期日T的价值的现值。2023/5/17目前五十三页\总数一百零九页\编于十八点我们可用来代替S，得到Black-Scholes偏微分方程的解2023/5/17目前五十四页\总数一百零九页\编于十八点

（二）期货看涨期权的定价公式如果标的资产为各种期货合约的话，上述期权定价公式必须做相应修正，因为现货期权与期货期权有着不同的交易规则。为此，我们设F为期货价格，表示期货价格的波动率，其他符号与上述相同，则只要期货价格和标的资产价格一样遵循几何布朗运动的话，就有2023/5/17目前五十五页\总数一百零九页\编于十八点（三）美式期权价格的近似解

假定标的资产在时刻t1有收益，这里t＜t1＜T。美式看涨期权的多头要么在临近时刻t1执行期权，要么在到期日时刻T执行期权。因此，这个美式看涨期权的价值可以近似地看作两个欧式看涨期权中较大的那一个。这两个欧式看涨期权是

1）时刻t1到期的欧式看涨期权，标的资产无收益；

2）时刻T到期的欧式看涨期权，标的资产在时刻t1产生现值为I的收益2023/5/17目前五十六页\总数一百零九页\编于十八点二、二叉树定价法

在很多情形中，我们无法得到期权价格的解析解，这时，人们经常采用数值方法为期权定价，其中包括二叉树方法、蒙特卡罗模拟和有限差分方法。蒙特卡罗方法的实质是模拟标的资产价格在风险中性世界中的随机运动，预测期权的平均回报，并由此得到期权价格的一个概率解。有限差分方法将标的变量满足的偏微分方程转化成差分方程来求解，具体的方法包括隐性有限差分法、显性有限差分法等。2023/5/17目前五十七页\总数一百零九页\编于十八点（一）单步二叉树定价法

1，一个简单案例例6.3假设某只股票当前的市场价格为20元。投资者预期3个月后股价有可能是22元，也有可能是18元。再假设该股票不分红利，投资者打算对3个月后以21元执行价格买入股票的欧式看涨期权进行估值。我们知道，若到期时股票价格为22元，期权的价值为1元；若股票价格为18元，期权的价值将是0。如图6.3所示2023/5/17目前五十八页\总数一百零九页\编于十八点图6.3股票价格与期权价格变动示意图

182022C10在无套利假设下，二叉树期权定价法的基本思路是：首先，以某种方式构造一个只包含股票和期权的无风险证券组合；其次，根据到期日的股票和期权价格得出组合的价值；再次，利用无风险组合的收益率只能是无风险收益率，得出构造该组合的初始成本，于是得出该期权的价格。2023/5/17目前五十九页\总数一百零九页\编于十八点我们首先假设无风险证券组合里包含一个股股票多头头寸和一单位看涨期权的空头头寸。根据假设，3个月后市场只会出现两种可能结果：股票价格要么上升到22元要么下降到18元。如果股票价格上升到22元，期权的价值为1元，则组合的总价值为；如果股票价格下降到18元，期权的价值为0，则组合的总价值为。因为组合为无风险证券组合，到期日的价值是确定的。这意味着即2023/5/17目前六十页\总数一百零九页\编于十八点因此，0.25股股票多头和一单位看涨期权空头就组成一个无风险的证券组合。在期权到期日，组合的价值总是=4.5元。根据无套利均衡原理，组合的现值为由于当前的股价已知为20元，假设期权的价格为C，则该组合当前的价值为2023/5/17目前六十一页\总数一百零九页\编于十八点2，一般结论设看涨期权的标的资产的现行价格为S，在期权到期日，标的资产的价格要么上涨至现价的u倍，要么下跌至现价的d倍。这里u>1、d<1，如图6.4所示。

再设当前欧式看涨期权的价值为c、执行价格为X，在标的资产价格的上述两种变化下，其价值分别为、。如图6.5所示。2023/5/17目前六十二页\总数一百零九页\编于十八点SuSdS图6.4标的资产价格变动

C图6.5

单期看涨期权的价值变动

显然2023/5/17目前六十三页\总数一百零九页\编于十八点为确定唯一的未知量c，我们构造如下的一个投资组合：（a）以价格c卖出一份看涨期权；（b）买入h份标的资产。其中h为套期保值比率，其大小是要保证该投资组合成为一个无风险的投资组合。也就是说，不管市场如何变化，该投资组合在到期日是的价值是确定的。建立组合的初始成本是购买股票的成本hS减去卖出期权收到的期权费c，即。而标的资产价格上涨时，该投资组合的最终价值为；当价格下跌时，该投资组合的最终价值为。2023/5/17目前六十四页\总数一百零九页\编于十八点因为该投资组合为无风险投资组合。从而有：

即（6.13）如果期权的有效期限里的无风险利率为r，则以该组合的当前价值进行无风险投资到期权到期日的收益应和该投资组合的最终价值相等，即有

2023/5/17目前六十五页\总数一百零九页\编于十八点从而再将h代入，得（6.14）其中（6.15）在市场无套利机会存在的前提下，一定有

，从而。另外，还可以看出，只与标的资产价格的上涨或下跌幅度有关，而与某一时刻标的资产价格的大小无关。

2023/5/17目前六十六页\总数一百零九页\编于十八点例6.4

接着例6.3（如图6.3所示），已知u=1.1，d=0.9，r=0.1，T-t=0.25，Cu=1，Cd=0。由（6.15）式，我们得出由（6.14）式，我们得出

2023/5/17目前六十七页\总数一百零九页\编于十八点（三）风险中性概率如果我们将（6.15）式中的p解释为标的资产价格上升的概率，于是1-p就是标的资产价格下降的概率，则标的资产在T时刻的预期值由下式给出再将（6.15）式中的p代入上式，化简得2023/5/17目前六十八页\总数一百零九页\编于十八点（6.15）式的p就是的风险中性概率，而（6.14）式可以表述为：在风险中性世界里，期权的价值就是其未来预期值按无风险利率贴现的值。根据风险中性假设，风险中性世界里的无套利均衡价格也是真实世界里的均衡价格。因而，上述的二叉树定价法就等价于风险中性定价法。在二叉树定价中也没有用到标的资产价格上升和下降的概率。当然，这并不意味期权定价与标的资产价格上升和下降的概率无关，事实上，标的资产价格未来上升和下降的概率已经包含在标的资产价格中了。2023/5/17目前六十九页\总数一百零九页\编于十八点

我们可以把一年分成4个3个月，或者12个1个月，或者365天……每一个时点上都对应一个单步二叉树，然后做和单步二叉树定价法相同的工作：建立不同的无风险资产组合或利用风险中性定价法求不同状态下期权的收益，再从最终的结点一步一步逆推，最后计算出初始状态下期权的价格。二、多步二叉树定价法2023/5/17目前七十页\总数一百零九页\编于十八点我们先将二叉树从单步推广到两步，然后再推广到多步情形。设标的资产的现价为S，每一期间均可能上涨至原来的u倍，或下跌至原来的d倍。这样，在期权的有效期限内，看涨期限的价值及其变动如图6.6所示：（一）两步二叉树定价法2023/5/17目前七十一页\总数一百零九页\编于十八点SuSdSu2SudSd2S图6.6两步二叉树中的标的资产价格与期权价格变动

C2023/5/17目前七十二页\总数一百零九页\编于十八点由图很容易得到：

我们将期权到期时标的资产价格的三种可能价位与看涨期权的三种可能价值对应起来，由前面同样的方法，可以求出：

2023/5/17目前七十三页\总数一百零九页\编于十八点在求出Cu和Cd之后，我们可用相同的方法求出C，即

（6.16）

这就是两步二叉树定价公式。

例6.5

假设一只不分红股票，其当前的市场价格为20元，在二叉树中的任一步之间，股价要么上涨10%要么下跌10%。我们假设二叉树中每一步的时间长度为3个月，市场的无风险利率为10%。现在我们对执行价格为21元的欧式看涨期权估值。2023/5/17目前七十四页\总数一百零九页\编于十八点图6.7标的股票价格与期权价格变动示意图20221824.219.816.2C3.20.00.02023/5/17目前七十五页\总数一百零九页\编于十八点由题设知，u=1.1，d=0.9，r=0.1，由（6.15）式，我们得出将上述所有参数代入（6.16）式，可得执行价格为21元的欧式看涨期权的价值为2023/5/17目前七十六页\总数一百零九页\编于十八点按同样的方法，我们可以把两期的二叉树模型扩展到多期的情况。随着期数的增加，股价变化的可能范围越来越大，越来越接近于实际情况，所以二叉树模型的准确性也越来越高。若将期权的到期期限分割成n个小期间，则结果为（二）多步二叉树定价法

（6.17）2023/5/17目前七十七页\总数一百零九页\编于十八点根据中心极限定理，当n趋向于无穷大时，二项式分布将逼近正态分布。因此，只要u、d及p选择得当，则二项式（二叉树）定价模型与Black-Scholes定价模型的结果就趋向于一致了。

，且k、n-k分别为n个期间标的资产价格上涨、下跌的次数，其他符号同上。这就是完整的二叉树定价公式。式中，

2023/5/17目前七十八页\总数一百零九页\编于十八点二叉树定价法的优点在于比较直观，而且它具有很大的灵活性，不管标的资产价格服从何种分布，它都能适用。在实际应用二叉树定价法时，还有两个需要注意的问题：首先，时间步的选择。一般将时间区间分成30步就可以得到较为理想的结果。其次，参数的确定。一般采用的u、d及p值使得二叉树模型近似于实际中价格的对数正态分布。三、二叉树定价法在实际中的运用2023/5/17目前七十九页\总数一百零九页\编于十八点

如果我们定义为单步时间长度，为标的资产价格的波动率，通过简单计算可以得到

（6.18）（6.19）（6.20）2023/5/17目前八十页\总数一百零九页\编于十八点

例6.6

假设一只不分红股票，其当前的市场价格为20元，波动率为每年40%，市场的无风险利率为10%。该股票2个月期的欧式看涨期权的执行价格为21元，求其价值。为了构造二叉树，我们把期权有效期分为两段，每段一个月（等于0.0833年）。根据（6.18）～（6.20）式，可以算出2023/5/17目前八十一页\总数一百零九页\编于十八点据此可以画出该股票和看涨期权在期权有效期内的二叉树图，如图6.8所示2022.2517.8224.9715.88C3.970.00.0图6.8标的股票价格与看涨期权价格变动示意图

2023/5/17目前八十二页\总数一百零九页\编于十八点此时，，则由（9.15）式，可得欧式看涨期权的价值为2023/5/17目前八十三页\总数一百零九页\编于十八点如果其他条件不变，但该期权为看跌期权，我们也可以画出看跌期权在期权有效期内的二叉树图，如图6.9所示C0.001.005.12图6.9看跌期权价格变动示意图

2023/5/17目前八十四页\总数一百零九页\编于十八点此时，，则由（9.15）式，可得欧式看跌期权的价值为本题只用到两步二叉树定价法，不论看涨期权还是看跌期权的计算价格与实际值都有一定的误差。如果把期权的有效期限分成更多的时间区间，步数就会增多，计算会更复杂，但得出的期权价值会更精确。2023/5/17目前八十五页\总数一百零九页\编于十八点6.4期权投资和交易策略一、单个标的资产与单个期权的组合期权策略单个标的资产和单个期权可能组成许多不同的期权组合策略。这些策略的损益状态如图6-10所示，其盈亏曲线可以直接由构成这个组合的各种资产的盈亏曲线叠加而来。2023/5/17目前八十六页\总数一百零九页\编于十八点图6-10单个资产与单个期权的各种组合期权策略的损益图

2023/5/17目前八十七页\总数一百零九页\编于十八点（一）牛市差价期权

牛市差价期权（Bull

Spread）是指当买入期权的执行价低于卖出期权的执行价时的组合期权策略，这里两个期权的标的资产和到期日均相同。它有两种实现方式，一是购买执行价（K1）较低的看涨期权同时出售执行价（K2）较高的看涨期权，二是购买执行价较低的看跌期权同时出售执行价较高的看跌期权，如图6-11所示。二、差价期权策略2023/5/17目前八十八页\总数一百零九页\编于十八点（a）由看涨期权构造的牛市差价期权(b)由看跌期权构造的牛市差价期权图6-11牛市差价期权策略的损益图2023/5/17目前八十九页\总数一百零九页\编于十八点0000总盈利卖出看涨期权的盈利买入看涨期权的盈利资产价格范围表6-1看涨期权所构造的牛市差价的收益2023/5/17目前九十页\总数一百零九页\编于十八点

若考虑期权费，该差价策略同时限定了最大盈利额和最大亏损额。设执行价格低的期权费为C1，执行价格高的期权费为C2（C2＜C1），该交易策略的最大盈利为最大损失为2023/5/17目前九十一页\总数一百零九页\编于十八点

在多头看涨期权的执行价不变的条件下，空头看涨期权的执行价越高，牛市差价交易策略越激进，风险越大；在空头看涨期权的执行价不变的条件下，多头看涨期权的执行价越低，牛市差价交易策略越激进，风险越大；在看涨期权的执行价之差不变的条件下，执行价越高，牛市差价交易策略越激进，风险越大。2023/5/17目前九十二页\总数一百零九页\编于十八点（二）熊市差价期权

熊市差价期权（bearspread）是指当买入期权的执行价高于卖出期权的执行价时的期权组合策略，这里两个期权的到期日和标的资产也相同。在这类期权组合中又分看涨期权的熊市差价和看跌期权的熊市差价，如图6-12所示。（a）由看涨期权构造的牛市差价期权(b)由看跌期权构造的牛市差价期权图6-12熊市差价期权策略的损益图2023/5/17目前九十三页\总数一百零九页\编于十八点假定执行价格为K1和K2，且K1<K2，表6-2显示了不同情况下，熊市差价策略实现的收益状态。总盈利卖出看涨期权的盈利买入看涨期权的盈利资产价格范围表6-2看涨期权所构造的熊市差价的收益2023/5/17目前九十四页\总数一百零九页\编于十八点

类似地，构造熊市差价策略的主要原因包括：①预期价格下跌但下跌幅度不大，这时构造熊市差价期权比直接买入看跌期权成本低，相应收益降低；②卖出看涨期权投机于上升预期，同时通过买入一份执行价格较高的看涨期权进行风险管理。比较牛市和熊市差价策略可以看出，对于同类期权而言，凡“买低卖高”的即为牛市差价策略，而“买高卖低”的即为熊市差价策略，这里的“低”和“高”是指期权的执行价格。2023/5/17目前九十五页\总数一百零九页\编于十八点

（三）蝶式差价期权蝶式差价期权(ButterflySpreads)是由三种不同执行价格、相同到期日的期权组合而成，其中三种期权的执行价格成等差数列。其具体策略是购买执行价格最高和最低的期权各一份，同时出售两份执行价格处于中间的期权，这样就建立了一个蝶式差价期权。2023/5/17目前九十六页\总数一百零九页\编于十八点（a）由看涨期权构造的蝶式差价期权(b)由看跌期权构造的蝶式差价期权图6-13蝶式差价期权策略的损益图

2023/5/17目前九十七页\总数一百零九页\编于十八点蝶式差价期权可以分解为一个牛市差价期权与一个熊市差价期权。进一步来看，如果投资者认为股价将呈窄幅波动，那么可以考虑这种采用策略。

总盈利看涨期权空头的盈利第二个看涨期权多头的盈利第一个看涨期权多头的盈利资产价格范围表6-3看涨期权所构造的蝶式差价的收益

2023/5/17目前九十八页\总数一百零九页\编于十八点