理论力学课件五

第十三章动量矩定理1§13–1动量矩§13–2动量矩定理§13–3刚体定轴转动微分方程§13–4刚体对轴的转动惯量§13–5质点系相对于质心的动量矩定理·刚体平面运动微分方程习题课第十三章动量矩定理2动力学质点质点系动量定理：动量的改变—外力（外力系主矢）若当质心为固定轴上一点时，vC=0，则其动量恒等于零，质心无运动，可是质点系确受外力的作用。动量矩定理建立了质点和质点系相对于某固定点（固定轴）的动量矩的改变与外力对同一点（轴）之矩两者之间的关系。质心运动定理：质心的运动—外力（外力系主矢）3动力学§13-1动量矩一．质点的动量矩质点对点O的动量矩：矢量质点对轴z

的动量矩：代数量正负号规定与力对轴矩的规定相同对着轴看：顺时针为负逆时针为正4质点对点O的动量矩与对轴z的动量矩之间的关系：二．质点系的动量矩质系对点O动量矩：质系对轴z动量矩：动力学kg·ｍ2/s。动量矩度量物体在任一瞬时绕固定点(轴)转动的强弱刚体动量矩计算：1．平动刚体平动刚体对固定点（轴）的动量矩等于刚体质心的动量对该点（轴）的动量矩。53．平面运动刚体平面运动刚体对垂直于质量对称平面的固定轴的动量矩，等于刚体随同质心作平动时质心的动量对该轴的动量矩与绕质心轴作转动时的动量矩之和。动力学2．定轴转动刚体定轴转动刚体对转轴的动量矩等于刚体对该轴转动惯量与角速度的乘积。6动力学解：[例1]滑轮A：m1，R1，R1=2R2，I1

滑轮B：m2，R2，I2；物体C：m3

求系统对O轴的动量矩。7§13-2动量矩定理一．质点的动量矩定理两边叉乘矢径,有左边可写成质点对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一点之矩。这就是质点对固定点的动量矩定理。

动力学故：8将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得上式称质点对固定轴的动量矩定理，也称为质点动量矩定理的投影形式。即质点对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点上的力对同一轴之矩。动力学称为质点的动量矩守恒。若则常矢量9运动分析：。动力学由动量矩定理即微幅摆动时，并令，则解微分方程,并代入初始条件则运动方程，摆动周期解：将小球视为质点。受力分析；受力图如图示。[例2]单摆已知m，l，t=0时=0，从静止开始释放。求单摆的运动规律。10注：计算动量矩与力矩时，符号规定应一致（本题规定逆时针转向为正）质点动量矩定理的应用：

在质点受有心力的作用时。质点绕某心（轴）转动的问题。动力学11二．质点系的动量矩定理左边交换求和与导数运算的顺序，而一质点系对固定点的动量矩定理动力学对质点系，有对质点Mi：12质点系对任一固定点的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一点之矩的矢量和（外力系的主矩）。动力学将上式在通过固定点O的三个直角坐标轴上投影，得:13上式称为质点系对固定轴的动量矩定理。即质点系对任一固定轴的动量矩对时间的导数，等于作用在质点系上所有外力对同一固定轴之矩的代数和（外力系对同一轴的主矩）。质点系的动量矩守恒

当时，常矢量。当时，常量。动力学定理说明内力不会改变质点系的动量矩，只有外力才能改变质点系的动量矩。14解:取整个系统为研究对象，受力分析如图示。运动分析：v=ｒ动力学由动量矩定理：[例3]已知:

15解：系统的动量矩守恒。猴A与猴B向上的绝对速度是一样的,均为。动力学[例4]已知：猴子A重=猴子B重，猴B以相对绳速度上爬，猴A不动，问当猴B向上爬时，猴A将如何动？动的速度多大？（轮重不计）16

§13-3刚体定轴转动微分方程对于一个定轴转动刚体代入质点系动量矩定理，有—刚体定轴转动微分方程解决两类问题：已知作用在刚体的外力矩，求刚体的转动规律。已知刚体的转动规律，求作用于刚体的外力（矩）。但不能求出轴承处的约束反力，需用质心运动定理求解。动力学17

特殊情况：若,则恒量，刚体作匀速转动或保持静止。若常量，则=常量，刚体作匀变速转动。将与比较，刚体的转动惯量是刚体转动惯性的度量。动力学18§13-4刚体对轴的转动惯量一．定义：若刚体的质量是连续分布，则刚体的转动惯量是刚体对某轴转动惯性大小的度量，它的大小表现了刚体转动状态改变的难易程度。转动惯量恒为正值，国际单位制中单位kg·m2。动力学19

１．积分法（具有规则几何形状的均匀刚体可采用）[例1]匀质细直杆长为l,质量为m。

求：对z轴的转动惯量；对z'轴的转动惯量。动力学二．转动惯量的计算解：202.回转半径由所定义的长度称为刚体对z轴的回转半径。对于均质刚体，仅与几何形状有关，与密度无关。对于几何形状相同而材料不同（密度不同）的均质刚体，其回转半径是相同的。在机械工程设计手册中，可以查阅到简单几何形状或已标准化的零件的转动惯量和回转半径。书中列出几种常见均质刚体的，以供参考。动力三学213.平行三移轴三定理同一三个刚三体对三不同三轴的三转动三惯量三一般三是不三相同三的。刚体三对某三轴的三转动三惯量三等于三刚体三对通三过质三心且三与该三轴平三行的三轴的三转动三惯量三，加三上刚三体的三质量三与两三轴间三距离三的平三方之三乘积三。动力三学22证明：设三质量三为m的刚三体，三质心三为C，动力三学例如，对于例1中均质细杆z'轴的转动惯量为刚体三对通三过质三心轴三的转三动惯三量具三有最三小值。23当物三体由三几个三规则三几何三形状三的物三体组三成时三，可三先计三算每三一部三分(物体)的转三动惯三量,然后三再加三起来三就是三整个三物体三的转三动惯三量。三若三物体三有空三心部三分,要把三此部三分的三转动三惯量三视为三负值三来处三理。动力三学4．计三算转三动惯三量的三组合三法解：[例2]钟摆：均质直杆m1,l；均质圆盘：m2,R。求IO

。24[例3]提升三装置三中，三轮A、B的重三量分三别为P1、P2,半径三分别三为r1、r2,可视三为均三质圆三盘;物体C的重量为P3;轮A上作三用常三力矩M1。求物体C上升三的加三速度三。取轮B连同三物体C为研三究对三象补充运动学条件化简(1三)得：化简(2)得：动力三学解:取轮A为研三究对三象25§1三3-三5质点三系相三对于三质心三的动三量矩三定理刚体三平面三运动三微分三方程一．三质点三系动三量矩质点三系相三对于三质心三和固三定点三的动三量矩三定理三，具三有完三全相三似的三数学三形式三，而三对于三质心三以外三的其三它动三点，三一般三并不三存在三这种三简单三的关三系。动力三学二．三质点三系相三对质三心的三动量三矩定三理质点三系相三对于三质心三的动三量矩三的改三变，三只与三作用三在质三点系三上的三外力三有关三，而三与内三力无三关。26三．三刚体三平面三运动三微分三方程设有三一平三面运三动刚三体具三有质三量对三称平三面，三力系可以三简化三为该三平面三内的三一个三力系三。取三质量三对称三平面三为平三面图三形S，质心三一定三位于S内。动力三学取质心C为动系原点，则此平面运动可分解为随质心C的平动(xC,yC)绕质心C的平动（）可通过质心运动定理和相对质心的动量矩定理来确定。27写成投影三形式或上式三称为平面三运动三微分三方程。动力三学28[例4]质量三为m半径三为R的均三质圆三轮置三放于三倾角三为的斜三面上三，在三重力三作用三下由三静止三开始三运动三。设三轮与三斜面三间的三静、三动滑三动摩三擦系三数为f、f´，不计三滚动三摩阻三，试三分析三轮的三运动三。动力三学解：取三轮为三研究三对象三。受力三分析三如图三示。运动三分析三：取三直角三坐标三系Ox三yaC三y=0，aC三x=aC，一般三情况三下轮三作平三面运三动。根据三平面三运动三微分三方程三，有由式得三，两式三中含三有三三个未三知数aC、F、，需补三充附三加条三件。291．设接触面绝对光滑。因为轮由静止开始运动，故＝0，轮沿斜面平动下滑。2．设接触面足够粗糙。轮作纯滚动，所以可解得动力三学3．设轮与斜面间有滑动，轮又滚又滑。F=f´N，可解得轮作纯滚动的条件：表明：当时，解答3适用；当时，解答2适用；f=0时解答1适用。30一．三基本三概念1．动三量矩：物三体某三瞬时三机械三运动三强弱三的一三种度三量。2．质三点的三动量三矩：3．质三点系三的动三量矩：4．转三动惯三量：物三体转三动时三惯性三的度三量。对于三均匀三直杆三，细三圆环三，薄三圆盘三（圆三柱）三对过三质心三垂直三于质三量对三称平三面的三转轴三的转三动惯三量要三熟记三。动力三学第十三三章三动三量矩三定理三习题三课315．刚三体动三量矩三计算平动三：定轴三转动三：平面三运动三：二．三质点三的动三量矩三定理三及守三恒1．质三点的三动量三矩定三理2．质三点的三动量三矩守三恒若，则常矢量。若，则常量。动力三学32三．三质点三系的三动量三矩定三理及三守恒1．质三点系三的动三量矩三定理动力三学2．质三点系三的动三量矩三守恒若，则常矢量若，则常量四．三质点三系相三对质三心的三动量三矩定三理33五．刚体定轴转动微分方程和刚体平面运动微分方程

1．刚体定轴转动微分方程2．刚体平面运动微分方程或动力三学34六．三动量三矩定三理的三应用应用三动量三矩定三理，三一般三可以三处理三下列三一些三问题三：（三对单三轴传三动系三统尤三为方三便）动力三学1．已三知质三点系三的转三动运三动，三求系三统所三受的三外力三或外三力矩三。2．已三知质三点系三所受三的外三力矩三是常三力矩三或时三间的三函数三，求三刚体三的角三加速三度或三角速三度的三改变三。3．已三知质三点所三受到三的外三力主三矩或三外力三矩在三某轴三上的三投影三代数三和等三于零三，应三用动三量矩三守恒三定理三求角三速度三或角三位移三。35七．三应用三举例[例1]均质三圆柱三，半三径为r，重量三为Q，置圆三柱于三墙角三。初三始角三速度0，墙面三、地三面与三圆柱三接触三处的三动滑三动摩三擦系三数均三为f'，滚阻三不计三，求三使圆三柱停三止转三动所三需要三的时三间。解：选三取圆三柱为三研究三对象三。(注意三只是三一个三刚体)受力三分析三如图三示。运动三分析三：质三心C不动三，刚三体绕三质心三转动三。动力三学根据刚体平面运动微分方程补充方程：36将式代入、两式，有将上三述结三果代三入式三，有解得：补充方程：Dy三na三mi三cs37[例2]两根三质量三各为8三kg的均三质细三杆固三连成T字型三，可三绕通三过O点的三水平三轴转三动，三当OA处于三水平三位置三时,T形杆三具有三角速三度=4三ra三d/三s。求该三瞬时三轴承O的反三力。解：选T字型三杆为三研究三对象三。受力三分析三如图三示。动力三学由