2020-2021学年北京市丰台区高二（上）期末数学试卷

第1页（共1页）2020-2021学年北京市丰台区高二（上）期末数学试卷一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）已知A（2，），B（1，0），则直线AB的倾斜角为（）A． B． C． D．2．（4分）过点（1，2）且与直线x+2y﹣9＝0平行的直线方程是（）A．2x﹣y＝0 B．2x﹣y﹣3＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x+2y﹣4＝03．（4分）已知等比数列{an}满足a1＝﹣1，a4＝8，则a7等于（）A．32 B．﹣32 C．64 D．﹣644．（4分）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B＝“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（）A．互斥 B．相互对立 C．相互独立 D．相等5．（4分）已知平面α，β的法向量分别为＝（﹣1，2，4），＝（x，﹣1，﹣2），若α⊥β，则x的值为（）A．10 B．﹣10 C． D．6．（4分）已知圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8y+7＝0，则圆C1与圆C2的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．内切 D．外切7．（4分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，D是BC的中点，若＝，＝，＝，则等于（）A．﹣++ B．﹣+﹣ C．﹣ D．8．（4分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，点M在抛物线C上，点N在准线l上，且MN⊥l．若|MF|＝8，∠MFN＝60°，则p的值为（）A．8 B．4 C．2 D．19．（4分）已知等差数列{an}是无穷数列，若a1＜a2＜0，则数列{an}的前n项和Sn（）A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值10．（4分）已知点M在椭圆上运动，点N在圆x2+（y﹣1）2＝1上运动，则|MN|的最大值为（）A． B． C．5 D．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）椭圆+y2＝1的离心率是．12．（4分）已知圆（x+3）2+（y﹣1）2＝r2（r＞0）与x轴相切，则r＝．13．（4分）已知直线x﹣y+2＝0与圆x2+y2＝3交于A，B两点，则|AB|＝．14．（4分）对于数列{an}，若点都在函数f（x）＝2x的图象上，则数列{an}的前4项和S4＝．15．（4分）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为；C的焦点到其渐近线的距离为．16．（4分）如果数列{an}满足（k为常数），那么数列{an}叫做等比差数列，k叫做公比差．给出下列四个结论：①若数列{an}满足，则该数列是等比差数列；②数列{n⋅2n}是等比差数列；③所有的等比数列都是等比差数列；④存在等差数列是等比差数列．其中所有正确结论的序号是．三、解答题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（9分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M为AA1的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面MCD1；（Ⅱ）求平面MCD1与平面C1CD1夹角的余弦值．18．（9分）已知等差数列{an}满足a2＝4，a3+a4＝17．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足b1＝2，再从①bn+1＝2bn；②2bn+1＝bn；③bn+1＝﹣bn这三个条件中任选一个作为已知，求数列{an+bn}的前n项和Tn．19．（8分）2020年是我国5G网络建设的加速之年．截至2020年底，中国已建成全球最大的5G网络．为了切实推动移动网络质量提升，不断改善用户体验，中国信通院受工信部委托，定期在全国范围内开展重点场所移动网络质量专项测评．其中一项测评内容是在每座受测城市中挑选一条典型路段，以评估当地5G网络发展水平．其中5座受测城市的5G综合下载速率（单位：Mbps）数据如表：城市路段5G综合下载速率（单位：Mbps）福州五四路708.92广州大学城外/中/内环817.13哈尔滨红军街630.34杭州环城东路882.60成都二环高架916.02（Ⅰ）从以上5座城市中随机选取2座城市进行分析，求选取的2座城市“5G综合下载速率”都大于800Mbps的概率；（Ⅱ）甲、乙两家5G网络运营商分别从以上5座城市中随机选取1座城市考察（甲、乙的选取互不影响），求甲、乙两家运营商中恰有1家选取的城市“5G综合下载速率”大于800Mbps的概率．20．（10分）已知椭圆过点A（﹣2，0），且a＝2b．（Ⅰ）求椭圆ω的方程；（Ⅱ）设O为原点，过点C（1，0）的直线l与椭圆ω交于P，Q两点，且直线l与x轴不重合，直线AP，AQ分别与y轴交于M，N两点．求证：|OM|•|ON|为定值．

2020-2021学年北京市丰台区高二（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一、选择题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项．1．（4分）已知A（2，），B（1，0），则直线AB的倾斜角为（）A． B． C． D．【分析】先求出直线AB的斜率，由此能求出直线AB的倾斜角．【解答】解：∵A（2，），B（1，0），∴直线AB的斜率k＝＝，∴直线AB的倾斜角为．故选：B．【点评】本题考查直线的倾斜角的求法，考查斜率计算公式、直线的倾斜角等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．2．（4分）过点（1，2）且与直线x+2y﹣9＝0平行的直线方程是（）A．2x﹣y＝0 B．2x﹣y﹣3＝0 C．x+2y﹣5＝0 D．x+2y﹣4＝0【分析】设过点M（1，2）且与直线x+2y﹣9＝0平行的直线方程为x+2y+a＝0，把M（1，2）代入能求出结果．【解答】解：设过点M（1，2）且与直线x+2y﹣9＝0平行的直线方程为：x+2y+a＝0，把M（1，2）代入，得a＝﹣5．∴过点M（1，2）且与直线x+2y﹣9＝0平行的直线方程为x+2y﹣5＝0．故选：C．【点评】本题考查直线方程的求法，考查直线与直线平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．3．（4分）已知等比数列{an}满足a1＝﹣1，a4＝8，则a7等于（）A．32 B．﹣32 C．64 D．﹣64【分析】根据等比数列的性质即可求出．【解答】解：等比数列{an}满足a1＝﹣1，a4＝8，则a1a7＝a42，则a7＝﹣64，故选：D．【点评】本题考查了等比数列的性质，考查了运算能力，属于基础题．4．（4分）抛掷两枚质地均匀的硬币，设事件A＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B＝“第二枚硬币反面朝上”，则A与B的关系为（）A．互斥 B．相互对立 C．相互独立 D．相等【分析】根据题意，分析事件A、B的关系，即可得答案．【解答】解：根据题意，事件A＝“第一枚硬币正面朝上”，事件B＝“第二枚硬币反面朝上”，两个事件可以同时发生，也可以都不发生，A事件发生与否对B事件没有影响，是相互独立事件，故选：C．【点评】本题考查基本事件，涉及互斥、对立事件的定义，属于基础题．5．（4分）已知平面α，β的法向量分别为＝（﹣1，2，4），＝（x，﹣1，﹣2），若α⊥β，则x的值为（）A．10 B．﹣10 C． D．【分析】由α⊥β可得平面α，β的法向量的数量积为0，即可求解x值．【解答】解：因为α⊥β，所以平面α，β的法向量垂直，即⊥，所以•＝0，因为＝（﹣1，2，4），＝（x，﹣1，﹣2），所以•＝﹣x﹣2﹣8＝0，解得x＝﹣10．故选：B．【点评】本题主要考查空间向量的数量积运算，考查向量垂直与数量积的关系，考查平面的法向量，属于基础题．6．（4分）已知圆C1：x2+y2＝1与圆C2：x2+y2﹣8y+7＝0，则圆C1与圆C2的位置关系是（）A．相离 B．相交 C．内切 D．外切【分析】根据题意，由圆的方程得到两个圆的圆心和半径，求出圆心距，再判断位置关系．【解答】解：根据题意，圆C1：x2+y2＝1，圆心为（0，0），半径r＝1，圆C2：x2+y2﹣8y+7＝0，即x2+（y﹣4）2＝9，圆心为（0，4），半径R＝3，圆心距|C1C2|＝4＝R+r，两圆外切，故选：D．【点评】本题考查圆与圆的位置关系，涉及圆的一般方程，属于基础题．7．（4分）如图，在三棱锥O﹣ABC中，D是BC的中点，若＝，＝，＝，则等于（）A．﹣++ B．﹣+﹣ C．﹣ D．【分析】由D为BC的中点，可得＝（+），将＝﹣，＝﹣代入即可得出．【解答】解：因为D为BC的中点，所以＝（+），又＝﹣，＝﹣，所以＝[（﹣）+（﹣）]＝﹣++＝﹣++．故选：C．【点评】本题主要考查了空间向量及其线性运算，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．8．（4分）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，点M在抛物线C上，点N在准线l上，且MN⊥l．若|MF|＝8，∠MFN＝60°，则p的值为（）A．8 B．4 C．2 D．1【分析】设抛物线的准线与x轴的交点为D，画出图象，利用抛物线的定义以及直角三角形的性质即可求解．【解答】解：设抛物线的准线与x轴的交点为D，如图所示：由抛物线的定义可得|NM|＝|MF|＝8，又∠MFN＝60°，所以三角形MFN为等边三角形，所以∠MNF＝60°，且|NF|＝8，所以∠FND＝30°，则在直角三角形FND中，sin，所以p＝4，故选：B．【点评】本题考查了抛物线的定义以及直角三角形的性质，涉及到等边三角形的应用，属于基础题．9．（4分）已知等差数列{an}是无穷数列，若a1＜a2＜0，则数列{an}的前n项和Sn（）A．无最大值，有最小值 B．有最大值，无最小值 C．有最大值，有最小值 D．无最大值，无最小值【分析】先判断公差d＞0，再根据前n项和公式即可求出．【解答】解：等差数列{an}是无穷数列，若a1＜a2＜0，则公差d＝a2﹣a1＞0，Sn＝na1+d＝n2+（a1﹣）n，其对称轴为n＝＞0，开口向上，故有最小值，无最大值，故选：A．【点评】本题考查了数列的函数特征，考查了运算求解能力，属于基础题．10．（4分）已知点M在椭圆上运动，点N在圆x2+（y﹣1）2＝1上运动，则|MN|的最大值为（）A． B． C．5 D．【分析】由椭圆的参数方程可设点M的坐标为（3cosθ，3sinθ），θ∈[0，2π），然后求出已知圆的圆心A和半径r，则|MN|的最大值转化为求出|AM|+r的最大值即可求解．【解答】解：由椭圆的参数方程可设点M的坐标为（3cosθ，3sinθ），θ∈[0，2π），由已知圆的方程可得圆的圆心为A（0，1），半径为r＝1，则|AM|＝＝，当3sinθ﹣1＝0即sin时，|AM|，此时|MN|，故选：B．【点评】本题考查了椭圆的方程以及圆的性质，考查了学生的运算以及转化能力，属于中档题．二、填空题共6小题，每小题4分，共24分．11．（4分）椭圆+y2＝1的离心率是．【分析】由椭圆的方程可得a2，b2，可得c＝，再利用离心率计算公式即可得出．【解答】解：由椭圆的方程可得a2＝9，b2＝1，∴a＝3，c＝＝．∴＝．故答案为：．【点评】本题考查了椭圆的标准方程及其性质，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．12．（4分）已知圆（x+3）2+（y﹣1）2＝r2（r＞0）与x轴相切，则r＝1．【分析】根据题意，由圆的标准方程分析圆的圆心和半径，又由圆与x轴相切可得r的值，即可得答案．【解答】解：根据题意，圆（x+3）2+（y﹣1）2＝r2（r＞0），其圆心为（﹣3，1），半径为r，若该圆与x轴相切，则r＝1，故答案为：1．【点评】本题考查圆的标准方程，涉及圆的切线的性质，属于基础题．13．（4分）已知直线x﹣y+2＝0与圆x2+y2＝3交于A，B两点，则|AB|＝2．【分析】根据题意，由圆的方程可得圆心坐标以及圆的半径，求出圆心到直线的距离，进而求出|AB|．【解答】解：根据题意，圆x2+y2＝3的圆心为（0，0），半径r＝，圆心到直线x﹣y+2＝0的距离d＝＝，则|AB|＝2×＝2，故答案为：2．【点评】本题考查直线与圆的位置关系，涉及弦长的计算，属于基础题．14．（4分）对于数列{an}，若点都在函数f（x）＝2x的图象上，则数列{an}的前4项和S4＝30．【分析】代入点的坐标，推出数列的通项公式，然后求数列{an}的前4项和S4．【解答】解：由点都在函数f（x）＝2x的图象上，可得an＝2n，所以数列{an}的前4项和S4＝a1+a2+a3+a4＝2+4+8+16＝30．故答案为：30．【点评】本题考查数列与函数的关系，数列求和，是基础题．15．（4分）已知双曲线，则C的右焦点的坐标为（2，0）；C的焦点到其渐近线的距离为1．【分析】由c＝，可得到焦点坐标；写出双曲线的渐近线方程后，由点到直线的距离公式，可得焦点到其渐近线的距离．【解答】解：依题意知，a＝，b＝1，且焦点在x轴上，∴c＝＝2，∴右焦点的坐标为（2，0），双曲线的渐近线方程为x±y＝0，不妨取右焦点（2，0）到渐近线x﹣y＝0的距离，则距离d＝＝1．故答案为：（2，0）；1．【点评】本题考查双曲线的几何性质，包含焦点坐标、渐近线方程等，考查学生的运算求解能力，属于基础题．16．（4分）如果数列{an}满足（k为常数），那么数列{an}叫做等比差数列，k叫做公比差．给出下列四个结论：①若数列{an}满足，则该数列是等比差数列；②数列{n⋅2n}是等比差数列；③所有的等比数列都是等比差数列；④存在等差数列是等比差数列．其中所有正确结论的序号是①③④．【分析】利于题中给出的等比差数列的定义，即数列{an}满足（k为常数），结合等差数列和等比数列的定义以及通项公式对各个选项进行逐一分析判断，即可得到答案．【解答】解：根据题意，数列{an}满足，则，所以数列是等比差数列，故选项①正确；对于数列{n⋅2n}，则＝﹣＝＝不是常数，所以数列{n⋅2n}不是等比差数列，故选项②错误；由等比数列的定义可知，an＝an﹣1q，所以＝q﹣q＝0，所以所有的等比数列都是等比差数列，故选项③正确；设等差数列为{an}，公差为d，所以＝＝，当d＝0时，则＝0，所以存在等差数列是等比差数列，故选项④正确．故选：①③④．【点评】本题考查了新定义问题，以新定义为载体考查了数列知识的应用，解题的关键是正确理解题意，结合所学过的数列的相关概念、公式、定理等知识进行研究．三、解答题共4小题，共36分．解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程．17．（9分）如图，已知正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，M为AA1的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面MCD1；（Ⅱ）求平面MCD1与平面C1CD1夹角的余弦值．【分析】（Ⅰ）如图建立空间直角坐标系A﹣xyz．求出平面MCD1的法向量为，，计算，即可证明A1B∥平面MCD1．（Ⅱ）利用平面MCD1的法向量，平面C1CD1的法向量为，结合空间向量的数量积求解平面MCD1与平面C1CD1夹角的余弦值即可．【解答】（Ⅰ）证明：如图建立空间直角坐标系A﹣xyz．因为正方体ABCD﹣A1B1C1D1的棱长为2，A（0，0，0）是A（0，0，0）的中点，所以A（0，0，0），C（2，2，0），D（0，2，0），M（0，0，1），D1（0，2，2），A1（0，0，2），B（2，0，0），，，设平面MCD1的法向量为＝（x，y，z），则即，令y＝1，则z＝﹣2，x＝﹣2，所以＝（﹣2，1，﹣2），因为，所以，因为A1B⊄平面MCD1，所以A1B∥平面MCD1．（Ⅱ）解：由（Ⅰ）知，平面MCD1的法向量＝（﹣2，1，﹣2），又平面C1CD1的法向量为，设平面MCD1与平面C1CD1的夹角为θ，则cosθ＝＝＝，所以平面MCD1与平面C1CD1夹角的余弦值为．【点评】本题考查向量法求解直线与平面平行的方法，二面角的平面角的求法，考查空间想象能力，逻辑推理能力以及计算能力．18．（9分）已知等差数列{an}满足a2＝4，a3+a4＝17．（Ⅰ）求数列{an}的通项公式；（Ⅱ）若数列{bn}满足b1＝2，再从①bn+1＝2bn；②2bn+1＝bn；③bn+1＝﹣bn这三个条件中任选一个作为已知，求数列{an+bn}的前n项和Tn．【分析】（Ⅰ）由题设求得数列{an}的首项a1与公差d，即可求得其通项公式；（Ⅱ）先由所选条件求得bn，然后由（Ⅰ）中求得的an求得an+bn，再利用分组求和法求得其前n项和Tn即可．【解答】解：（Ⅰ）设等差数列{an}的公差为d．由，可得．解得a1＝1，d＝3，所以an＝a1+（n﹣1）d＝3n﹣2；（Ⅱ）选①：由b1＝2，bn+1＝2bn可得bn≠0，，所以{bn}是等比数列，公比q＝2，所以，所以Tn＝（a1+a2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+an）+（b1+b2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+bn）＝＝；选②：由b1＝2，2bn+1＝bn可得bn≠0，，所以{bn}是等比数列，公比，所以，所以Tn＝（a1+a2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+an）+（b1+b2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+bn）＝＝；选③：由b1＝2，bn+1＝﹣bn可得bn≠0，，所以{bn}是等比数列，公比q＝﹣1，所以．所以Tn＝（a1+a2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+an）+（b1+b2+⋅⋅⋅⋅⋅⋅+bn）＝＝．【点评】本题主要考查等差、等比数列的定义及基本量的计算、分组求和法在数列求和中的应用，属于中档题．19．（8分）2020年是我国5G网络建设的加速之年．截至2020年底，中国已建成全球最大的5G网络．为了切实推动移动网络质量提升，不断改善用户体验，中国信通院受工信部委托，定期在全国范围内开展重点场所移动网络质量专项测评．其中一项测评内容是在每座受测城市中挑选一条典型路段，以评估当地5G网络发展水平．其中5座受测城市的5G综合下载速率（单位：Mbps）数据如表：城市路段5G综合下载速率（单位：Mbps）福州五四路708.92广州大学城外/中/内环817.13哈尔滨红军街630.34杭州环城东路882.60成都二环高架916.02（Ⅰ）从以上5座城市中随机选取2座城市进行分析，求选取的2座城市“5G综合下载速率”都大于800Mbps的概率；（Ⅱ）甲、乙两家5G网络运营商分别从以上5座城市中随机选取1座城市考察（甲、乙的选取互不影响），求甲、乙两家运营商中恰有1家选取的城市“5G综合下载速率”大于800Mbps的概率．【分析】（Ⅰ）5座城市中“5G综合下载速率”大于800Mbps的有3座，设为A1，A2，A3，“5G综合下载速率”不大于800Mbps的有2座，设为B1，B2．随机选取2座城市，利用列举法能求出选取的2座城市“5G综合下载速率”都大于800Mbps的概率．（Ⅱ）设甲选取的城市“5G综合下载速率”大于800Mbps为事件C，乙选取的城市“5G综合下载速率”大于800Mbps为事件D，恰有1家运营商选取的城市“5G综合下载速率”大于800Mbps为事件N．推导出，由＝，能求出甲、乙两家运营商中恰有1家选取的城市“5G综合下载速率”大于800Mbps的概率．【解答】解：（Ⅰ）5座城市中“5G综合下载速率”大于800Mbps的有3座，设为A1，A2，A3，“5G综合下载速率”不大于800Mbps的有2座，设为B1，B2．随机选取2座城市所有可能为：A1A2，A1A3，A1B1，A1B2，A2A3，A2B1，A2B2，A3B1，A3B2，B1B2，共10种．其中2