人教A版高中数学二同步学习讲义：第三章直线与方程3.1.1 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3。1.1倾斜角与斜率学习目标1。理解直线的斜率和倾斜角的概念。2。理解直线倾斜角的唯一性及直线斜率的存在性.3。了解斜率公式的推导过程,会应用斜率公式求直线的斜率．知识点一直线的倾斜角思考1在平面直角坐标系中,只知道直线上的一点，能不能确定一条直线呢？答案不能．思考2在平面直角坐标系中，过定点P的四条直线如图所示，每条直线与x轴的相对倾斜程度是否相同?答案不同．梳理(1）倾斜角的定义①当直线l与x轴相交时,取x轴作为基准，x轴正向与直线l向上方向之间所成的角α叫做直线l的倾斜角．②当直线l与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0°.(2)直线的倾斜角α的取值范围为0°≤α<180°.（3)确定平面直角坐标系中一条直线位置的几何要素是：直线上的一个定点以及它的倾斜角，二者缺一不可．知识点二直线的斜率与倾斜角的关系思考1在日常生活中,我们常用“eq\f（升高量,前进量）”表示“坡度”，图(1）（2）中的坡度相同吗？答案不同,因为eq\f（3，2）≠eq\f（2，2）.思考2思考1中图的“坡度"与角α，β存在等量关系吗?答案存在,图（1）中，坡度＝tanα，图(2）中，坡度＝tanβ。梳理(1)直线的斜率把一条直线的倾斜角α的正切值叫做这条直线的斜率,斜率常用小写字母k表示,即k＝tanα。（2)斜率与倾斜角的对应关系图示倾斜角（范围)α＝0°0°<α〈90°α＝90°90°<α<180°斜率(范围）k＝0k>0不存在k<0知识点三过两点的直线的斜率公式直线过两点P1（x1，y1)，P2(x2,y2），其斜率k＝eq\f（y2－y1，x2－x1)(x1≠x2）．类型一直线的倾斜角例1设直线l过原点,其倾斜角为α，将直线l绕坐标原点沿逆时针方向旋转40°，得直线l1,则直线l1的倾斜角为（)A．α＋40°B．α－140°C．140°－αD．当0°≤α<140°时为α＋40°，当140°≤α〈180°时为α－140°答案D解析根据题意，画出图形，如图所示：因为0°≤α〈180°,显然A，B，C未分类讨论，均不全面，不合题意．通过画图（如图所示)可知:当0°≤α<140°时，l1的倾斜角为α＋40°；当140°≤α〈180°时，l1的倾斜角为40°＋α－180°＝α－140°.故选D.反思与感悟(1)解答本题要注意根据倾斜角的概念及倾斜角的取值范围解答．(2)求直线的倾斜角主要根据定义来求,其关键是根据题意画出图形，找准倾斜角，有时要根据情况分类讨论．跟踪训练1已知直线l向上方向与y轴正向所成的角为30°，则直线l的倾斜角为．答案60°或120°解析有两种情况：①如图（1)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为60°，即直线l的倾斜角为60°。②如图（2)，直线l向上方向与x轴正向所成的角为120°，即直线l的倾斜角为120°.类型二直线的斜率例2经过下列两点的直线的斜率是否存在？如果存在，求其斜率，并确定直线的倾斜角α。（1）A（2，3），B(4,5)；(2)C（－2,3)，D(2，－1）；（3)P(－3,1），Q（－3,10)．解（1）存在．直线AB的斜率kAB＝eq\f(5－3，4－2)＝1,即tanα＝1,又0°≤α〈180°，所以倾斜角α＝45°。（2）存在．直线CD的斜率kCD＝eq\f（－1－3，2－－2)＝－1，即tanα＝－1，又0°≤α<180°，所以倾斜角α＝135°。（3)不存在．因为xP＝xQ＝－3，所以直线PQ的斜率不存在，倾斜角α＝90°.反思与感悟（1）利用斜率公式求直线的斜率应注意的事项①运用公式的前提条件是“x1≠x2”，即直线不与x轴垂直，因为当直线与x轴垂直时，斜率是不存在的；②斜率公式与两点P1，P2的先后顺序无关，也就是说公式中的x1与x2，y1与y2可以同时交换位置．（2)在0°≤α<180°范围内的一些特殊角的正切值要熟记。倾斜角α0°30°45°60°120°135°150°斜率k0eq\f(\r（3），3）1eq\r(3)－eq\r（3）－1－eq\f(\r（3)，3)跟踪训练2如图所示,直线l1，l2，l3都经过点P（3，2)，又l1，l2，l3分别经过点Q1(－2，－1),Q2（4，－2），Q3（－3，2)，计算直线l1，l2,l3的斜率，并判断这些直线的倾斜角是锐角还是钝角．解设k1，k2，k3分别表示直线l1，l2，l3的斜率．由于Q1，Q2，Q3的横坐标与P点的横坐标均不相等,所以k1＝eq\f（－1－2，－2－3)＝eq\f（3，5），k2＝eq\f（－2－2,4－3)＝－4，k3＝eq\f（2－2，－3－3)＝0.由k1>0知，直线l1的倾斜角为锐角；由k2<0知,直线l2的倾斜角为钝角；由k3＝0知，直线l3的倾斜角为0°。类型三直线的倾斜角、斜率的应用eq\x（命题角度1三点共线问题)例3如果三点A(2,1），B（－2，m）,C(6,8）在同一条直线上，求m的值．解kAB＝eq\f(m－1,－2－2）＝eq\f（1－m,4），kAC＝eq\f（8－1,6－2）＝eq\f(7，4），∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kAC，即eq\f(1－m,4）＝eq\f（7，4)，∴m＝－6.反思与感悟斜率是反映直线相对于x轴正方向的倾斜程度的．直线上任意两点所确定的方向不变，即同一直线上任何不同的两点所确定的斜率相等，这正是利用斜率相等可证点共线的原因．跟踪训练3已知倾斜角为90°的直线经过点A（2m，3），B(2,－1),则m的值为（）A．0B．1C．2D．3答案B解析由题意可得2m＝2，解得m＝1。eq\x(命题角度2数形结合法求倾斜角或斜率范围）例4直线l过点P(1,0），且与以A（2,1)，B（0，eq\r(3）)为端点的线段有公共点，求直线l的斜率和倾斜角的范围．解如图所示．∵kAP＝eq\f(1－0,2－1)＝1，kBP＝eq\f(\r(3）－0，0－1)＝－eq\r(3），∴k∈（－∞，－eq\r（3）]∪[1,＋∞），∴45°≤α≤120°。反思与感悟(1）由倾斜角(或范围）求斜率（或范围)利用定义式k＝tanα（α≠90°)解决．(2)由两点坐标求斜率运用两点斜率公式k＝eq\f（y2－y1，x2－x1）(x1≠x2）求解．(3）涉及直线与线段有交点问题常利用数形结合及公式求解．跟踪训练4已知A（3,3），B（－4,2）,C（0，－2）．若点D在线段BC上(包括端点)移动,求直线AD的斜率的变化范围．解如图所示．当点D由B运动到C时,直线AD的斜率由kAB增大到kAC，所以直线AD的斜率的变化范围是eq\b\lc\［\rc\］（\a\vs4\al\co1（\f(1，7)，\f(5，3))）.1．对于下列命题:①若α是直线l的倾斜角,则0°≤α〈180°;②若k是直线的斜率，则k∈R；③任一条直线都有倾斜角，但不一定有斜率；④任一条直线都有斜率，但不一定有倾斜角．其中正确命题的个数是（)A．1B．2C．3D．4答案C解析①②③正确．2．若经过A(m,3),B(1,2）两点的直线的倾斜角为45°，则m等于（)A．2B．1C．－1D．－2答案A解析tan45°＝eq\f（2－3,1－m)，得m＝2.3．若三点A（2，3）,B(3,2),C(eq\f（1，2），m）共线，则实数m的值为．答案eq\f(9，2)解析设直线AB，BC的斜率分别为kAB，kBC，则由斜率公式，得kAB＝eq\f(3－2,2－3)＝－1，kBC＝eq\f(m－2，\f(1，2）－3）＝－eq\f(2,5）(m－2)．∵A，B，C三点共线，∴kAB＝kBC，即－1＝－eq\f（2,5)(m－2)，解得m＝eq\f(9,2).4．经过A（m,3)，B(1,2)两点的直线的倾斜角α的取值范围是．(其中m≥1)答案(0°,90°］解析当m＝1时，倾斜角α＝90°,当m>1时,tanα＝eq\f(3－2，m－1）〉0，∴0°<α<90°，故0°<α≤90°.5．已知交于点M(8,6）的四条直线l1，l2，l3，l4的倾斜角之比为1∶2∶3∶4，又知l2过点N(5,3），求这四条直线的倾斜角．解l2的斜率为eq\f(6－3，8－5)＝1，∴l2的倾斜角为45°，由题意可得：l1的倾斜角为22。5°，l3的倾斜角为67.5°，l4的倾斜角为90°.直线的斜率和倾斜角反映了直线的倾斜程度,二者紧密相连，如下表：直线情况平行于x轴垂直于x轴α的大小0°0°<α〈90°90°90°〈α<180°k的范围0k〉0不存在k<0k的增减情况k随α的增大而增大k随α的增大而增大课时作业一、选择题1．下列说法中正确的是（）A．一条直线和x轴的正方向所成的正角，叫做这条直线的倾斜角B．直线的倾斜角α的取值范围是［0°，180°］C．和x轴平行的直线的倾斜角为180°D．每一条直线都存在倾斜角，但并非每一条直线都存在斜率答案D解析倾斜角是直线向上方向与x轴的正方向所成的角，故选项A不正确;直线的倾斜角的取值范围是［0°，180°)，故选项B不正确;当直线与x轴平行时，倾斜角为0°，故选项C不正确．2．已知l1⊥l2，直线l1的倾斜角为60°，则直线l2的倾斜角为（）A．60°B．120°C．30°D．150°答案D解析两直线垂直时，它们的倾斜角相差90°，由l1的倾斜角为60°知，l2的倾斜角为150°。3．若直线过坐标平面内两点（1，2），（4,2＋eq\r（3）），则此直线的倾斜角是（）A．30°B．45°C．60°D．90°答案A解析由题意知k＝eq\f(2＋\r(3)－2，4－1）＝eq\f(\r（3)，3),∴直线的倾斜角为30°。4．已知直线l的斜率的绝对值等于eq\r（3)，则直线l的倾斜角为（）A．60° B．30°C．60°或120° D．30°或150°答案C解析由题意知｜tanα|＝eq\r（3)，即tanα＝eq\r(3)或tanα＝－eq\r(3）,∴直线l的倾斜角为60°或120°。5．下列各组中，三点能构成三角形的三个顶点的为(）A．（1,3)、（5,7）、(10，12） B．（－1,4）、（2,1)、（－2,5)C．(0,2）、(2，5）、(3，7) D．(1，－1）、(3,3）、（5,7)答案C解析A、B、D三个选项中三点均共线．6.若图中直线l1、l2、l3的斜率分别为k1、k2、k3，则(）A．k1<k2〈k3B．k3〈k1〈k2C．k3〈k2<k1D．k1<k3<k2答案D解析由题图可知，k1〈0,k2>0，k3>0,且l2比l3的倾斜角大．∴k1〈k3<k2.7．一条直线l与x轴相交，其向上的方向与y轴正方向所成的角为α（0°<α<90°)，则其倾斜角为(）A．α B．180°－αC．180°－α或90°－α D．90°＋α或90°－α答案D解析如图所示，当l方向向上的部分在y轴左侧时，倾斜角为90°＋α；当l方向向上的部分在y轴右侧时，倾斜角为90°－α.故选D.8．已知直线l过点A(1，2）,且不过第四象限，则直线l的斜率k的最大值是(）A．2B．1C.eq\f（1,2)D．0答案A解析如图，kOA＝2，kl′＝0，只有当直线落在图中所示位置时才符合题意，故k∈[0，2]．故直线l的斜率k的最大值为2。二、填空题9．若三点A(2,2），B(a,0)，C（0,b)(ab≠0)共线，则eq\f(1，a）＋eq\f（1,b）的值等于．答案eq\f（1，2)解析由于A，B，C三点共线,所以此直线的斜率既可用A,B两点的坐标表示,也可用A,C两点的坐标表示，于是有eq\f(2,2－a）＝eq\f(2－b，2），由此可得a＋b＝eq\f（1,2)ab，两边同时除以ab，得eq\f（1,a)＋eq\f(1，b）＝eq\f(1,2）。10．已知点A(1,2），若在坐标轴上有一点P，使直线PA的倾斜角为135°，则点P的坐标为．答案（3，0）或(0,3)解析由题意知kPA＝－1，若P点在x轴上,则设P(m,0)，则eq\f(0－2,m－1)＝－1，解得m＝3；若P点在y轴上,则设P（0，n），则eq\f（n－2，0－1)＝－1，解得n＝3，故P点的坐标为(3，0)或（0,3）．11．若经过点A（1－t，1＋t）和点B（3，2t）的直线的倾斜角为钝角,则实数t的取值范围是．答案(－2,1）解析由题意知，kAB＝eq\f(2t－1＋t,3－1－t)＝eq\f(t－1，t＋2)。因为直线的倾斜角为钝角，所以kAB＝eq\f(t－1,t＋2)〈0,解得－2<t〈1。12．若直线l经过A(2,1），B（1，m2)(m∈R）两点，则直线l的倾斜角的取值范围为．答案[0°，45°]∪(90°，180°）解析直线l的斜率k＝eq\f(m2－1，1－2）＝1－m2≤1。若l的倾斜角为α,则tanα≤1。又∵α∈[0°，180°），当0≤tanα≤1时，0°≤α≤45°；当tanα<0时，90°<α<180°.∴α∈[0°，45°］∪(90°，180°)．三、解答题13．已知坐标平面内两点M（m＋3,2m＋5），N(m－2，1）．(1）当m为何值时，直线MN的倾斜角为锐角？(2）当m为何值时，直线MN的倾斜角为钝角？（3)直线MN的倾斜角可能为直角吗？解（1）若倾斜角为锐角,则斜率大于0，即k＝eq\f（2m＋