人教A版高中数学二同步学习讲义：第三章直线与方程3.3.1~3.3.2 含答案

学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精学必求其心得，业必贵于专精3.3。1两条直线的交点坐标3.3。2两点间的距离学习目标1。会用解方程组的方法求两条相交直线的交点坐标。2.会根据方程解的个数判定两条直线的位置关系。3。掌握两点间距离公式并会应用．知识点一直线的交点与直线的方程组解的关系思考1直线上的点与其方程Ax＋By＋C＝0的解有什么样的关系？答案直线上每一个点的坐标都满足直线方程,也就是说直线上的点的坐标是其方程的解．反之直线的方程的每一个解都表示直线上的点的坐标．思考2已知两条直线l1与l2相交，如何用代数方法求它们的交点的坐标？答案只需写出这两条直线的方程，然后联立求解．思考3由两直线方程组成的方程组解的情况与两条直线的位置关系有何对应关系？答案(1)若方程组无解，则l1∥l2；(2)若方程组有且只有一个解，则l1与l2相交；（3)若方程组有无数解，则l1与l2重合．梳理(1)两直线的交点几何元素及关系代数表示点AA(a，b)直线l1l1：A1x＋B1y＋C1＝0点A在直线l1上A1a＋B1b＋C1＝0直线l1与l2的交点是Aeq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（A1a＋B1b＋C1＝0,，A2a＋B2b＋C2＝0))(2）两直线的位置关系方程组eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（A1x＋B1y＋C1＝0，，A2x＋B2y＋C2＝0））的解一组无数组无解直线l1与l2的公共点的个数一个无数个零个直线l1与l2的位置关系相交重合平行知识点二两点间的距离已知平面上两点P1（x1,y1）,P2（x2，y2）．思考1当x1≠x2，y1＝y2时,|P1P2｜＝？答案|P1P2|＝｜x2－x1｜。思考2当x1＝x2，y1≠y2时,｜P1P2|＝？答案｜P1P2｜＝｜y2－y1｜。思考3当x1≠x2，y1≠y2时，｜P1P2｜＝？请简单说明理由．答案如图,在Rt△P1QP2中，｜P1P2|2＝｜P1Q｜2＋｜QP2｜2,所以｜P1P2|＝eq\r（x2－x12＋y2－y12).即两点P1（x1，y1),P2(x2，y2)间的距离|P1P2｜＝eq\r(x2－x12＋y2－y12).类型一两直线的交点问题eq\x（命题角度1代数法判断两直线的位置关系）例1分别判断下列直线是否相交,若相交，求出它们的交点．(1)l1：2x－y＝7和l2：3x＋2y－7＝0;(2)l1：2x－6y＋4＝0和l2：4x－12y＋8＝0；（3）l1：4x＋2y＋4＝0和l2：y＝－2x＋3.解（1)方程组eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(2x－y－7＝0,，3x＋2y－7＝0)）的解为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝3，，y＝－1.）)因此直线l1和l2相交，交点坐标为（3，－1)．（2）方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（2x－6y＋4＝0，,4x－12y＋8＝0））有无数个解,这表明直线l1和l2重合．（3)方程组eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（4x＋2y＋4＝0，,2x＋y－3＝0））无解，这表明直线l1和l2没有公共点，故l1∥l2。反思与感悟两条直线相交的判定方法方法一联立直线方程解方程组，若有一解,则两直线相交方法二两直线斜率都存在且斜率不相等方法三两直线的斜率一个存在，另一个不存在跟踪训练1直线y＝2x与直线x＋y＝3的交点坐标是________．答案(1,2）解析联立两方程得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（y＝2x,,x＋y＝3,)）解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝1，，y＝2,）)所以两直线的交点坐标为（1,2)．eq\x（命题角度2根据交点求参数的值或其范围)例2已知直线5x＋4y＝2a＋1与直线2x＋3y＝a的交点位于第四象限，则a的取值范围是________．答案(－eq\f(3，2），2）解析由eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（5x＋4y＝2a＋1，,2x＋3y＝a，）)得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f(2a＋3,7），，y＝\f(a－2,7)，))由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（\f（2a＋3,7)>0,,\f(a－2,7）<0，)）得eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1（a>－\f(3,2），，a<2.）)∴－eq\f(3,2)<a〈2。引申探究若本例中直线的方程不变，其交点改为位于第三象限,则a的取值范围又如何？解由例2得交点坐标为（eq\f(2a＋3,7)，eq\f(a－2，7）），则由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f（2a＋3，7)<0，，\f(a－2,7）<0，))得a<－eq\f（3，2）.反思与感悟解决此类问题的关键是先利用方程组的思想，联立两方程，求出交点坐标；再由点在某个象限时坐标的符号特征,列出不等式组而求得参数的取值范围．跟踪训练2若直线l1：y＝kx＋k＋2与l2：y＝－2x＋4的交点在第一象限，则实数k的取值范围是（）A．k>－eq\f(2,3) B．k〈2C．－eq\f（2,3)<k〈2 D．k〈－eq\f（2，3)或k〉2答案C解析由eq\b\lc\{\rc\（\a\vs4\al\co1(y＝kx＋k＋2，，y＝－2x＋4，））得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝\f(2－k,k＋2)，,y＝\f(6k＋4，k＋2),）)由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1（\f(2－k,k＋2）>0，，\f(6k＋4,k＋2)>0，)）得eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1(－2<k〈2，，k〈－2或k〉－\f（2，3)，））∴－eq\f(2，3）<k<2.故选C.类型二求过两条直线交点的直线方程例3求过两直线2x－3y－3＝0和x＋y＋2＝0的交点且与直线3x＋y－1＝0平行的直线方程．解方法一解方程组eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（2x－3y－3＝0，,x＋y＋2＝0，））得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝－\f（3，5)，,y＝－\f(7,5)，）)所以两直线的交点坐标为（－eq\f(3，5)，－eq\f(7,5））．又所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以所求直线的斜率为－3.故所求直线方程为y＋eq\f（7，5）＝－3(x＋eq\f（3,5)），即15x＋5y＋16＝0。方法二设所求直线方程为（2x－3y－3）＋λ(x＋y＋2)＝0，即(2＋λ）x＋(λ－3)y＋(2λ－3）＝0.（*)由于所求直线与直线3x＋y－1＝0平行，所以有eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（2＋λ×1－λ－3×3＝0，,2＋λ×－1－2λ－3×3≠0，))得λ＝eq\f（11，2）。代入（＊）式,得（2＋eq\f(11，2））x＋（eq\f(11，2）－3）y＋（2×eq\f(11，2）－3)＝0，即15x＋5y＋16＝0。引申探究本例中若将“平行”改为“垂直"，又如何求解．解设所求直线方程为（2x－3y－3)＋λ（x＋y＋2)＝0，即（2＋λ)x＋（λ－3)y＋（2λ－3)＝0，由于所求直线与直线3x＋y－1＝0垂直，3(2＋λ)＋(λ－3）×1＝0,得λ＝－eq\f(3,4)，所以所求直线方程为5x－15y－18＝0。反思与感悟求过两条直线交点的直线方程，一般是先解方程组求出交点坐标，再结合其他条件写出直线方程．也可用过两条直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2:A2x＋B2y＋C2＝0的交点的直线系方程A1x＋B1y＋C1＋λ（A2x＋B2y＋C2）＝0（不包括l2的方程)，再根据其他条件求出待定系数，写出直线方程．跟踪训练3直线l经过原点,且经过另两条直线2x＋3y＋8＝0，x－y－1＝0的交点,则直线l的方程为()A．2x＋y＝0 B．2x－y＝0C．x＋2y＝0 D．x－2y＝0答案B解析设所求直线方程为2x＋3y＋8＋λ(x－y－1)＝0，即（2＋λ）x＋(3－λ）y＋8－λ＝0，因为l过原点，所以λ＝8.则所求直线方程为2x－y＝0。类型三两点间的距离公式及其应用例4如图,已知△ABC的三顶点A(－3，1)，B（3，－3)，C（1，7)，（1）判断△ABC的形状;（2)求△ABC的面积．解(1)方法一∵｜AB｜＝eq\r(3＋32＋－3－12）＝eq\r(52），|AC｜＝eq\r（1＋32＋7－12)＝eq\r（52），又|BC｜＝eq\r(1－32＋7＋32）＝eq\r（104)，∴|AB｜2＋|AC｜2＝｜BC｜2,且｜AB｜＝｜AC|，∴△ABC是等腰直角三角形．方法二∵kAC＝eq\f(7－1，1－－3)＝eq\f(3，2），kAB＝eq\f(－3－1,3－－3）＝－eq\f（2,3),则kAC·kAB＝－1，∴AC⊥AB.又｜AC｜＝eq\r（1＋32＋7－12)＝eq\r（52），｜AB｜＝eq\r(3＋32＋－3－12)＝eq\r(52)，∴|AC|＝|AB｜，∴△ABC是等腰直角三角形．(2）S△ABC＝eq\f(1,2)｜AC|·|AB|＝eq\f（1，2)(eq\r(52）)2＝26，∴△ABC的面积为26。反思与感悟(1)判断三角形的形状，要采用数形结合的方法，大致明确三角形的形状,以确定证明的方向．（2)在分析三角形的形状时,要从两方面考虑:一是要考虑角的特征,主要考察是否为直角或等角；二是要考虑三角形的长度特征，主要考察边是否相等或是否满足勾股定理．跟踪训练4已知点A（－1，2)，B(2,eq\r(7）)，在x轴上求一点P,使|PA｜＝|PB|，并求|PA｜的值．解设P(x，0)，|PA|＝eq\r(x＋12＋－22），｜PB｜＝eq\r（x－22＋－\r(7)2)，∵|PA｜＝｜PB|，∴eq\r(x＋12＋4）＝eq\r（x－22＋7），得x＝1，∴P(1,0）,∴｜PA｜＝eq\r（1＋12＋4）＝2eq\r(2).1．已知直线l1：3x＋4y－5＝0与l2：3x＋5y－6＝0相交,则它们的交点是（）A．（－1，eq\f（1，3)) B．（eq\f（1，3)，1）C．(1，eq\f（1,3)) D．(－1,－eq\f(1，3）)答案B解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋4y－5＝0，，3x＋5y－6＝0，））得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x＝\f（1,3)，，y＝1.）)2．已知点A(－2，－1),B（a，3）,且｜AB｜＝5,则a的值为(）A．1B．－5C．1或－5D．－1或5答案C解析｜AB|＝eq\r（a＋22＋42)＝5，解得a＝1或－5.3．已知△ABC的顶点坐标为A(－1，5），B（－2，－1），C(2,3），则BC边上的中线长为________．答案eq\r(17)解析BC的中点坐标为(0，1)，则BC的中线长为eq\r（－1－02＋5－12）＝eq\r（17)。4．斜率为－2，且过两条直线3x－y＋4＝0和x＋y－4＝0交点的直线方程为________．答案2x＋y－4＝0解析设所求直线方程为3x－y＋4＋λ(x＋y－4）＝0，即(3＋λ）x＋（λ－1）y＋4－4λ＝0，∴k＝eq\f(3＋λ，1－λ）＝－2，解得λ＝5.∴所求直线方程为2x＋y－4＝0。5．点A在第四象限，A点到x轴的距离为3，到原点的距离为5，求点A的坐标．解由题意得A点的纵坐标为－3,设A（x，－3），则eq\r（x－02＋－3－02)＝5,x＝±4。又点A在第四象限,∴x＝－4(舍），∴A(4，－3）．1．方程组eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（A1x＋B1y＋C1＝0，，A2x＋B2y＋C2＝0)）有唯一解的等价条件是A1B2－A2B1≠0，亦即两条直线相交的等价条件是A1B2－A2B1≠0，直线A1x＋B1y＋C1＋λ(A2x＋B2y＋C2）＝0(λ∈R)是过直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0与l2：A2x＋B2y＋C2＝0交点的直线（不含l2）．2．两点P1（x1，y1），P2（x2，y2)间的距离公式|P1P2｜＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)与两点的先后顺序无关，其反映了把几何问题代数化的思想．课时作业一、选择题1．直线x＝1和直线y＝2的交点坐标是()A．（2,2） B．(1，1）C．（1，2） D．(2，1）答案C解析由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，，y＝2））得交点坐标为（1，2)，故选C。2．已知两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是（)A．－24 B．6C．±6 D．以上都不对答案C解析联立两条直线的方程得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(2x＋3y－k＝0,,x－ky＋12＝0，））解得x＝eq\f(k2－36，3＋2k),∵两直线交点在y轴上，∴eq\f(k2－36,3＋2k)＝0，∴k＝±6(经检验知符合题意）．3．已知直角坐标平面上连接点(－2，5）和点M的线段的中点是（1,0),那么点M到原点的距离为(）A．41 B.eq\r（41)C。eq\r(39) D．39答案B解析设M（x，y)，由题意得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（1＝\f(－2＋x,2)，，0＝\f（5＋y，2）,）)解得eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1(x＝4，，y＝－5，)）∴M(4，－5)．则M到原点的距离为eq\r(4－02＋－5－02）＝eq\r（41).4．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是（）A.eq\b\lc\（\rc\）(\a\vs4\al\co1（－\f（1，4)，\f(1,2))) B.eq\b\lc\[\rc\）（\a\vs4\al\co1（－\f（1,4),\f(1,2))）C。eq\b\lc\[\rc\］（\a\vs4\al\co1（－\f（1，4),\f（1，2）)) D。eq\b\lc\（\rc\](\a\vs4\al\co1（－\f(1，4），\f（1,2）））答案A解析直线y＝－x＋2与两坐标轴的交点为A（0,2）、B（2,0)，直线y＝kx＋2k＋1恒过定点P(－2,1)，要使两直线的交点位于第一象限，只需实数k满足：kPB<k〈kPA，即－eq\f(1,4)<k〈eq\f(1，2).5．过两直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点，并且与第一条直线垂直的直线方程是（）A．x－3y＋7＝0 B．x－3y＋13＝0C．x－3y＋6＝0 D．x－3y＋5＝0答案B解析直线3x＋y－1＝0与x＋2y－7＝0的交点为(－1，4)，与3x＋y－1＝0垂直，得斜率为eq\f(1，3），由点斜式，得y－4＝eq\f(1,3）(x＋1)，即x－3y＋13＝0,故选B。6．已知直线mx＋4y－2＝0与2x－5y＋n＝0互相垂直，垂足坐标为(1，p），则m－n＋p为（)A．24 B．20C．0 D．－4答案B解析两直线互相垂直，－eq\f(m，4）×eq\f(2,5）＝－1,m＝10,又垂足坐标为(1，p)，代入直线10x＋4y－2＝0，得p＝－2,将（1，－2）代入直线2x－5y＋n＝0，得n＝－12，所以m－n＋p＝20,故选B.7．已知△ABC的三个顶点是A(－a,0）、B(a,0)和C(eq\f（a,2),eq\f(\r（3)，2)a)，则△ABC的形状是（）A．等腰三角形 B．等边三角形C．直角三角形 D．斜三角形答案C解析∵|AB｜＝2|a|，|AC｜＝eq\r（\f（a,2）＋a2＋\f（\r(3）,2）a－02)＝eq\r（3)|a|，|BC|＝eq\r（\f（a,2）－a2＋\f(\r（3)，2)a－02)＝|a｜，∴｜AB|2＝｜AC|2＋｜BC｜2，∴△ABC为直角三角形．8．直线x＋y－1＝0上与点P（－2,3)的距离等于eq\r（2)的点的坐标是（）A．(－4,5) B．(－3,4)C．（－3，4）或(－1,2) D．（－4,5）或（0，1）答案C解析设所求点的坐标为（x0,y0),有x0＋y0－1＝0，且eq\r(x0＋22＋y0－32)＝eq\r（2),两式联立解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x0＝－3，,y0＝4)）或eq\b\lc\｛\rc\（\a\vs4\al\co1（x0＝－1,,y0＝2。））故选C。二、填空题9．过点A(4，a)和B(5,b)的直线和直线y＝x＋m平行，则|AB｜＝________。答案eq\r（2）解析因为kAB＝eq\f（b－a，5－4)＝b－a＝1，所以｜AB｜＝eq\r（5－42＋b－a2）＝eq\r（2）.10．若集合{（x,y)｜x＋y－2＝0且x－2y＋4＝0}｛（x，y)|y＝3x＋b｝，则b＝________.答案2解析首先方程组eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋y－2＝0，，x－2y＋4＝0)）的解为eq\b\lc\｛\rc\(\a\vs4\al\co1（x＝0，，y＝2，))代入直线y＝3x＋b得b＝2。11．等腰△ABC的顶点是A(3，0),底边长｜BC|＝4，BC边的中点是D（5，4)，则此三角形的腰长为________．答案2eq\r（6）解析｜BD|＝eq\f（1,2)|BC｜＝2,|AD｜＝eq\r(5－32＋4－02）＝2eq\r(5).在Rt△ADB中，由勾股定理得腰长|AB|＝eq\r（22＋2\r（5）2)＝2eq\r（6)。12．若直线l:y＝kx－eq\r（3)与直线l1：2x＋3y－6＝0的交点位于第一象限，则直线l的倾斜角α的取值范围是________．答案（30°，90°）解析直线l1：2x＋3y－6＝0过A（3，0)，B（0，2），而l过定点C(0，－eq\r(3))，由图象可知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(k〉kAC，，k〉0，））∴l倾斜角α的范围是(30°，90°)．三、解答题13．过点(3，5)作直线4x＋3y－2＝0的垂线，求垂足坐标．解设与4x＋3y－2＝0垂直的直线方程为3x－4y＋C＝0，又∵直线过