分式与二次根式习题库含解析

分式与二次根式习题库含解析

目录

1——分式与二次根式一巩固练习（基础）

2——分式与二次根式一知识讲解（基础）

3——分式与二次根式一巩固练习（提高）

4——分式与二次根式一巩固练习（提高）

一、中考数学分式与二次根式一巩固练习（基础）

【巩固练习】

一、选择题

X

1.下列各式与>相等的是（)

兰y+2孙x+y

2-----------

A.yB.x+2C.VD.2x

3a-41

2.（2015-泰安）化简：（a+^ba-F）的结果等于（）

a-2a-3

A.a-2B.a+2C.D.a-2

x2-l

3.若分式x+1的值是0,贝Ux为（)

A.0B.1C.-1D.±1

4.下列计算正确的是（）

叵巫=亚巾=

A.返-血=0B1

3

6-V2

C.(2+⑹(2-指)=1D

V2

5.在实施“中小学生蛋奶工程”中，某配送公司按上级要求,

每周向学校配送鸡蛋10000个，鸡蛋用甲、乙两种不同规格的包装

箱进行包装，若单独使用甲型包装箱比单独使用乙型包装箱可少用

10个，每个甲型包装箱比每个乙型包装箱可多装50个鸡蛋，设每个

甲型包装箱可装x个鸡蛋，根据题意下列方程正确的是（）

10000100001000010000

A.X—x+50：=[0B.x-50—X=10

10000100001000010000

C.X—x-50=]0D.x+50—X=10

V—-XT——--

6.函数.x—3中自变量X的取值范围是（)

A.x<2B.x=3C.x<2且xW3D.xW2且xW3

二、填空题

7.（2014春-张家港市校级期末）下列分式中，不属于最简分

式的，请在括号内写出化简后的结果，否则请在括号内打

42xx-11-x

①云②x?+l③x?-l④xT⑤

2,,2

a+b

a+b.

122

8.化简苏-9机+3的结果是.

9.某同学步行前往学校时的行进速度是6千米/时，从学校返回

时行进速度为4千米/时，那么该同学往返学校的平均速度是

千米/时，

、佟g,4ab,\ja2+b2,£

10.在2中，是最简二次根式的有个.

11.若最简二次根式xGZ与2屈多是同类二次根式，则x的值

为

12.(1)把亚化简的结果是

(2)估计的运算结果应在之间.(填整数)

三、解答题

13.(2015・南京)计算：(屋-匕2-屋-ab)+a+b.

■\/5+1a，+/+。+1

14.(1)已知：“"二-,求彳的值.

(2)已知：V2S7-V15-X2=2,求AS，+J15-』的值.

15.在“情系海啸”捐款活动中，某同学对甲、乙两班捐款情况

进行统计，得到如下三条信息.

信息1：甲班共捐款300元，乙班共挡捐款232元.

4

信息2：乙班平均每人捐款钱数是甲班平均每人捐款钱数的二.

信息3：甲班比乙班多2人.

请根据以上三条信息，求出甲班平均每人捐款多少元.

y=yjx2-4+J"-，+x+8,疵6+),&一2的值

16.已知.2+x

【答案与解析】

一、选择题

1.【答案】C；

xy_x_

【解析】化简丁=7.

2.【答案】B；

a(a-3)+3a-4a-2-1(a+2)(a-2)a-3

【解析】a-3・a-2=a-3・a-2=a+2.故

选B.

3.【答案】B；

x2-*4l=0,

<

【解析】分式的值为0,则卜+1*°，解得x=l.

4.【答案】A；

【解析】根据具体选项，应先进行化简，再计算.A选项中,

78-72=272-72=VI

3百-2—0

B选若可化为-3=?，C选项逆用平方差公式可求得

(2+代(2-75)=4-5=-1,而D选项应将分子、分母都乘正，得

逑m=3岳1

2.故选A.

5.【答案】B；

【解析】设每个甲型包装箱可装x个鸡蛋,

1000010000

x-50—x=]0.

故选B.

6.【答案】A；

【解析】2-x20,，xW2,3不在xW2的范围内.

二、填空题

7.【答案】X,V,X,X,V；

42

【解析】①2x=x；

2x

②H是最简分式；

x-1X-1]

③J-l=(X-1)(x+1)=x+l；

1-X

④xT=-1；

22

a+b

⑤a+b是最简分式；

只有②⑤是最简分式.故答案为：X,J,X,X,V.

2

8.【答案】m-3；

【解析】找到最简公分母为(m+3)(m-3),再通分.]

9.【答案】4.8；

【解析】平均速度=总路程+总时间，设从学校到家的路程为s,

2s24s24s24,。

----=------=——=—=4.8

££3s+2s5s5

则46

10.【答案】3；

—,y[ab,\Ja2+b~

【解析】2是最简二次根式.

11.【答案】-1；

【解析】根据题意得x+3=3x+5,解得x=-L

8百

12.【答案】(1)3.(2)3和4；

22

725-7=1(25+7)(25-7).2x18=84

[解析](1)历一“27-

a*、，+6=2+6,因为1〈石<2,，3<2+百V4.

(2)丫2

三、解答题

13.【答案与解析】

-1________3

解：(a2_y_a2-ab)。a+b

_______2_______]a+b

=[(a+b)(a-b)-a(a-b)]Xa

_______2a____________a+b______a+b

=[a(a+b)(a-b)-a(a+b)(a-b)]Xa

2a-(a+b)&+b

=a(a+b)(a-b)Xa

1

~2

=a・

14.【答案与解析】

2^/5+3y/5+3

a=--------,a+1=--------

(1),:22.••。2=。+1

“5+o'+d~a'+(Q+1)a'+Q，/(Q+1)

原式二a，=〃6二*=。6=/二]

⑵•;(A/25-X2-A/15-X2)•(A/25-X2+J15-/)=]0

V25-x2+V15-X2=3=5

2.

15.【答案与解析】

4

设甲班平均每人捐款x元,则乙班平均每人捐款§x元.

300232〜

——=^—+2

%九c

根据题意，得5，解这个方程得—5.

经检验，x=5是原方程解.

答：甲班平均每人捐款5元.

16.【答案与解析】

尤2-420,

4-X2^0,.\x=2,

2+xWO,

由二次根式的定义及分式性质，得

=92旧=工血-疝

22

二、中考数学分式与二次根式一知识讲解（基础）

【考纲要求】

1.了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，

会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关

系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程;

2.利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次

根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算.

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、分式的有关概念及性质

1.分式

A

设A、B表示两个整式.如果B中含有字母，式子》就叫做分式.注

意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.

2.分式的基本性质

A_A_A^M

B=BxM，B=（M为不等于零的整式）.

3.最简分式

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公

因式，要进行约分化简.

要点诠释：

分式的概念需注意的问题：

（1）分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，

而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；

A

（2）分式五中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母,

但B中必须含有字母且不为0；

（3）判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根

据它的原有形式进行判断.

A

（4）分式有无意义的条件：在分式8中，

①当BW0时，分式有意义；当分式有意义时，BW0.

②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0.

③当BW0且A=0时，分式的值为零.

考点二、分式的运算

1.基本运算法则

分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下：

bcb±c

(1)加减运算a±a=a

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.

a_ad±bc

bd；

异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同

分母分式的加减法则进行计算.

ac_ac

(2)乘法运算

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积

作为积的分母.

acadad

(3)除法运算Vd=b'7=^

两个分式相除，把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.

a

(4)乘方运算(E)-(分式乘方)

分式的乘方，把分子分母分别乘方.

2.零指数。°=13。0).

3.负整数指数"W3「为正整物

4.分式的混合运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.

5.约分

把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约

分.

6.通分

根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这

一过程称为分式的通分.

要点诠释：

约分需明确的问题：

(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个

因式，使约分前后分式的值相等；

(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程

与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因

式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次嘉的积.

通分注意事项：

(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数

的最小公倍数与所有因式的最高次嘉的积.

(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分

式中的分母丢掉.

(3)确定最简公分母的方法：

最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；

最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次第的积.

考点三、分式方程及其应用

1.分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

2.分式方程的解法

解分式方程的关键是去分母，即方程两边都乘以最简公分母将分

式方程转化为整式方程.

3.分式方程的增根问题

验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须验

根.验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0,

如果为0,即为增根，不为0,就是原方程的解.

4.分式方程的应用

列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复

杂一些.解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量

关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确

列出方程，并进行求解.另外，还要注意从多角度思考、分析、解决

问题，注意检验、解释结果的合理性.

要点诠释：

解分式方程注意事项：

(1)去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；

(2)解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带

入到最简公分母中，看它是否为0,如果为0,即为增根，不为0,

就是原方程的解.

列分式方程解应用题的基本步骤：

(1)审一一仔细审题，找出等量关系；

(2)设——合理设未知数；

(3)列一一根据等量关系列出方程;

(4)解一一解出方程；

(5)验一一检验增根；

(6)答一一答题.

考点四、二次根式的主要性质

]y/a>0(a>0).

2(G)=a(a>0).

==|a|=[a2°)

31-。(。v。).

4.积的算术平方根的性质：箍3瓜aNO,

JI=^(a>0,b>0)

5.商的算术平方根的性质：^

6.若”>心0,则—>扬.

要点诠释：

(而尸与痂的异同点：

(1)不同点：(疝2与厢表示的意义是不同的，(6)2表示一个

正数a的算术平方根的平方，而而表示一个实数a的平方的算术平

方根；在(疝2中心0,而右中a可以是正实数，0,负实数.但(疝2

与值都是非负数，即(心g。.因而它的运算的结果是有

rr_IIfa(a)0)

差别的，(如""(a")，而"一一[-虱北。)

⑵相同点：当被开方数都是非负数，即心。时，(疝2=.；

a<0时，(的2无意义，

而"=-a.

考点五、二次根式的运算

1.二次根式的乘除运算

(1)运算结果应满足以下两个要求：①应为最简二次根式或有理

式；②分母中不含根号.

(2)注意知道每一步运算的算理；

2.二次根式的加减运算

先化为最简二次根式，再类比整式加减运算，明确二次根式加减

运算的实质；

3.二次根式的混合运算

(1)对二次根式的混合运算首先要明确运算的顺序，即先乘方、

开方，再乘除，最后算加减，如有括号，应先算括号里面的；

(2)二次根式的混合运算与整式、分式的混合运算有很多相似之

处，整式、分式中的运算律、运算法则及乘法公式在二次根式的混合

运算中也同样适用.

要点诠释：

怎样快速准确地进行二次根式的混合运算.

1.明确运算顺序，先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号先

算括号里面的；

2.在二次根式的混合运算中，原来学过的运算律、运算法则及乘

法公式仍然适用;

3.在二次根式的混合运算中，如能结合题目特点，灵活运用二次

根式的性质，选择恰当的解题途径，往往能收到事半功倍的效果.

（1）加法与乘法的混合运算，可分解为两个步骤完成，一是进行

乘法运算，二是进行加法运算，使难点分散，易于理解和掌握.在运

算过程中，对于各个根式不一定要先化简，可以先乘除，进行约分,

达到化简的目的，但最后结果一定要化简.

（m+目*"区

例如@27J，没有必要先对丫27进行化简，使计算繁琐，

可以先根据乘法分配律进行乘法运算，

［户+0xV6=J—x6+7276=-+273

（'27）V273通过约分达到化简目的；

（2）多项式的乘法法则及乘法公式在二次根式的混合运算中同样

适用.

如：（6+0）（/一/w可一（可利用了平方差公式.

所以，在进行二次根式的混合运算时，借助乘法公式，会使运算

简化.

【典型例题】

类型一、分式的意义

C1.使代数式后有意义的》的取值范围是（）

11

X丰—X牛一

A.B.2c.XN0且2D.一切实数

【答案】C；

x>0।

【解析】解不等式组〔2xT#°得且""故选配

【点评】代数式有意义，就是要使代数式中的分式的分母不为零;

代数式中的二次根式的被开方数是非负数，即需要正中的转。；分

母中的2x-l*o.

举一反三：

【高清课程名称：分式与二次根式高清ID号：399347

关联的位置名称(播放点名称)：例1】

-2_9

【变式】当X取何值时，分式X2-X-12有意义?值为零?

【答案】

X*2-*9

当X2—X—12#0时，分式由一二12有意义,即xw-3且丑4时，分式

X2-9

---12有意义.

X2-9

当％2_9=0且/一尤一12工。时，分式？7_]2值为零,

x2-9

解得m±3,且x>3,x，4,即m3时，分式冠」一12值为零.

类型二、分式的性质

02.已知上=\求下列各式的值.

21尤2

XH———

(1)*(2)x4+x2+l.

【答案与解析】

x+—=4\x+—=42

(1)因为无，所以l何

2

f+2+±=16X+J-=14

即月.所以£

x4+X2+1X4X21,1

^=x2+—+1=14+1=15

(2)fXX

.2-1

所以V+尤2+广运

【点评】观察(1)和已知条件可知，将已知等式两边分别平方再整

理，即可求出⑴的值;对于(2),直接求值很困难，根据其特点和已知

条件,能够求出其倒数的值，这样便可求出(2)的值.

举一反三：

111ba

---1---=-------,---1---

【变式】已知。ba+b求a匕的值.

]_11a+b1

【答案】由"+g=a+。'得ab

所以(a+〃)2即a2+h2=-ab

22

_b___a—_a___+_f_e—_-_a__b—_].

所以Qbabab.

类型三、分式的运算

X2-1・x2+x

93.(2015・眉山)计算：x2-2x+l,产

【答案与解析】

X2-1.x2+x(x+1)(x-1)X-]]

2

X2-2X+1X-1=(X-1)•X(x+1)=X.

【点评】异分母分式相加减，先根据分式的基本性质进行通分,

转化为同分母分式，再进行相加减.在通分时，先确定最简公分母，

然后将各分式的分子、分母都乘以分母与最简公分母所差的因式.运

算的结果应根据分式的基本性质化为最简形式.

举一反三：

【高清课程名称：分式与二次根式高清ID号：399347

关联的位置名称（播放点名称）：例2】

x~2X2-9

【变式】（2015-宁德）化简：X2-4X+4.

x_2（x+3）（x-3）

【答案】解：原式=:■・（x-2）2

x-3

=x-2.

类型四、分式方程及应用

34.如果方程》-22r有增根，那么增根是.

【答案与解析】

因为增根是使分式的分母为零的根，由分母》-2=°或2-x=°可

得x=2.所以增根是x=2.

答案：％=2

【点评】使分母为0的根是增根.

@5.为创建“国家卫生城市”,进一步优化市中心城区的环境，

德州市政府拟对部分路段的人行道地砖、花池、排水管道等公用设施

全面更新改造，根据市政建设的需要，须在60天内完成工程.现在

甲、乙两个工程队有能力承包这个工程.经调查知道：乙队单独完成

此项工程的时间比甲队单独完成多用25天，甲、乙两队合作完成工

程需要30天，甲队每天的工程费用2500元，乙队每天的工程费用

2000元.

(1)甲、乙两个工程队单独完成各需多少天？

(2)请你设计一种符合要求的施工方案，并求出所需的工程费

用.

【答案与解析】

(1)设甲工程队单独完成该工程需x天，则乙工程队单独完成

该工程需(x+25)天.

3030,

----1-----------1

根据题意得：xX+25.

方程两边同乘以x(x+25),得30(x+25)+30x=x(x+25),

即x2-35x-750=0.

解之，得xl=50,x2=-15.

经检验，xl=50,x2=-15都是原方程的解.

但x2=-15不符合题意，应舍去.

.•.当x=50时，x+25=75.

答：甲工程队单独完成该工程需50天，则乙工程队单独完成该

工程需75天.

(2)此问题只要设计出符合条件的一种方案即可.

方案一：由甲工程队单独完成.(

所需费用为：2500X50=125000(元).

方案二：由甲乙两队合作完成.

所需费用为：(2500+2000)X30=135000(元).

【点评】本题考查分式方程在工程问题中的应用.分析题意，找

到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键.工程问题的

基本关系式：工作总量=工作效率X工作时间.

(1)如果设甲工程队单独完成该工程需X天，那么由“乙队单

独完成此项工程的时间比甲队单独完成多用25天“，得出乙工程队单

独完成该工程需(x+25)天.再根据“甲、乙两队合作完成工程需要

30天”，可知等量关系为：甲工程队30天完成该工程的工作量+乙工

程队30天完成该工程的工作量=1.

(2)首先根据(1)中的结果，排除在60天内不能单独完成该

工程的乙工程队，从而可知符合要求的施工方案有两种：方案一：由

甲工程队单独完成;方案二：由甲乙两队合作完成.针对每一种情况，

分别计算出所需的工程费用.

举一反三：

【变式】莱芜盛产生姜，去年某生产合作社共收获生姜200吨,

计划采用批发和零售两种方式销售.经市场调查，批发每天售出6

吨.

(1)受天气、场地等各种因素的影响，需要提前完成销售任务.在

平均每天批发量不变的情况下，实际平均每天的零售量比原计划增加

了2吨，结果提前5天完成销售任务.那么原计划零售平均每天售出

多少吨？

(2)在(1)的条件下，若批发每吨获得利润为2000元，零售

每吨获得利润为2200元，计算实际获得的总利润.

【答案】

（1）设原计划零售平均每天售出X吨.

2002001

-5

根据题意，得6+尤6+（尤+2）,

解得xl=2,x2=-16.

经检验，x=2是原方程的根，x=-16不符合题意，舍去.

答：原计划零售平均每天售出2吨.

200

=20(天)

(2)6+2+2

实际获得的总利润是:2000X6X20+2200X4X20=416000（元）.

类型五、二次根式的定义及性质

06.当x取何值时，瓦荷+3的值最小？最小值是多少？

【答案与解析】

••19x+1N0,

*

•••J9x+1+323，

.•.当9x+l=0,即'时，匹"3有最小值，最小值为3.

【点评】解决此类问题一定要熟练掌握二次根式的非负性，即6

20（a，0）.

由二次根式的非负性可知标即5开的最小值为0,因为

3是常数，

所以反7T+3的最小值为3.

类型六、二次根式的运算

【高清课程名称：分式与二次根式高清ID号：399347

关联的位置名称（播放点名称）：例3】

'+佐.""一明+3次

▼••丁！男"：9

【答案与解析】

原式二（4尺2五+6伪+2正

=2百+2.

【点评】本题主要考查的是二次根式的混合运算，在进行此类运

算时一般先把二次根式化为最简二次根式的形式后再运算.

三、中考数学分式与二次根式一巩固练习（提高）

【巩固练习】

一、选择题

1.（2015春・合水县期末）二次根式R、/、炳5、V40x\

中，最简二次根式有（）个.

A.1个B.2个C.3个D.4个

（x+l）（x-2）

2.分式（*-2）（》-1）有意义的条件是（）

A.xW2B.xWlC.xWl或xW2D.xWl且xW2

x+2

3.使分式户等于0的x的值是（）

A.2B.-2C.±2D.不存在

4.计算（3+1严"&T严3的结果是（）

A.1B.-lC.V2+1D.V2-1

5.小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑

自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到

30分钟.设小玲步行的平均速度为x米/分，根据题意，下面列出的

方程正确的是（）

28002800_302800理=3。

A.X4xB.4xX

28002800.28002800.

------=30

C.X5xD.5xX

3

6.化简/+衣甲,乙两同学的解法如下：

33（店--J5-J2

甲：•3+应=（而+"）（的_"）

3区+"）（有"•返）=有一、历

乙：■+-=（的+"）'

对他们的解法，正确的判断是（）

A.甲、乙的解法都正确B.甲的解法正确,

乙的解法不正确

C.乙的解法正确，甲的解法不正确D.甲、乙的解法都

不正确

二、填空题

ah

7.若a2-6a+9与|b-l|互为相反数，则式子石。+（a+b）

的值为.

2011

8.若m=e015T,则M-2/-2011加的值是

[a_4a_m—叵曰=正

9.下列各式：①得=的；②口=百；③卤=?；④

=—J6ab（a>0,栏0）.

3。其中正确的是（填序号）.

凶-3

10.当x=时，分式X+3的值为0.

11.（1）若Q-E=（x+y）2,贝产7的值为

⑵若x+y=5,孙=3,则V>心的值为

12.（2015-科左中旗校级一模）观察下列等式：

1_________&_]

①加+1=（V2+I）（V2_1）=72-1

1__________册-近_________

②万丽=（盯+&）（V3~V2）=V3-V2

1__________脑一炳_______

③《+小（V4+V3）（V4-V3）=V4-V3

回答下列问题：

]

（1）化简：神工展；（n为正整数）

（2）利用上面所揭示的规律计算：

11111

1+V2+V2+V3+V3+V4+…+V2008+V2009+V2009+V2010

三、解答题

%+1=3.

13.（1）已知X，求尤4-k+1的值.

x-\——

(2)已知厂7-5》+1=0和XHO,求x的值.

14.(2015春・东莞期末)设a=^G,b=2,c=V6.

(1)当a有意义时，求x的取值范围.

(2)若a、b、c为RtZ\ABC三边长，求x的值.

15.一项工程，甲、乙两公司合做，12天可以完成，共需付工

费102000元；如果甲、乙两公司单独完成此项公程，乙公司所用时

间甲公司的1.5倍，乙公司每天的施工费比甲公司每天的施工费少

1500元.

(1)甲、乙公司单独完成此项工程，各需多少天？

(2)若让一个公司单独完成这项工程，哪个公司施工费较少？

16.阅读下列材料，然后回答问题.在进行二次根式化简时，我

5[22

们有时会碰上如耳'”丁百丁一样的式子，其实我们可以将其进一步

化简.

5=5x6=5八

73-3.(―)

[2_12x3_y[6

(二)

2_2X(G-1)_2(6-1)="]

V3+1-(^+1)(73-1)-(>^)2-12--一.(三)

以上这种化简的步骤叫做分母有理化.

2

6+1还可以用以下方法化简：

（）（）

23-1（百yd6+1痒1V3-1.

6+1-g+1-V3+1V3+1(四);

(1)请用不同的方法化简

2

①参照（三）式得后+心=;

2

②参照（四）式得面+百=;

1111

----------1---------------1---------------!­•••-!--------------------------

（2）化简G+1V5+V3V7+V5y/2n+\+y/2n-l

【答案与解析】

一、选择题

L【答案】C；

【解析】二次根式小、阮、倔、4踵、V40x\g+y2中,

最简二次根式有'质、皿、V7手共3个.故选：C.

2.【答案】D；

【解析】分式有意义，贝！|x-2w0且x-lxO.

3.【答案】D；

【解析】令》+2=°得"=-2,而当》=一2时，X2-4=0,所以该分

式不存在值为0的情形.

4.【答案】D；

【解析】本题可逆用公式(ab)m=ambm及平方差公式，将原式

化为

[(V2+1)(72-I)]20'2(V2-D=V2-1.

故选D.

5.【答案】A；

【解析】设小玲步行的平均速度为x米/分，则骑自行车的速度

驷一幽=3。

为4x米/分，依题意，得工©.

故选A.

6.【答案】A；

【解析】甲是分母有理化了，乙是把3化为（石+/）（石-夜）了.

二、填空题

2

7.【答案】35

【解析】由已知得“2-6〃+9=（。-3）2=0且|。-1|=。，解得“=35=1,

再代入求值.

8.【答案】0；

【解析】此题主要考查了二次根式的化简，得出m=标+1,

以及

M-24*-2011加=加3s_i）2_20⑵是解决问题的关键.

2011

•;m=V2012-1=V2012+1,

•nr,-2m4-201lw3=nr'（m2一2机一2011）=病[（m-l）2-2012]=0

••，

故答案为：0.

9.【答案】③④；

【解析】提示：①仑°,4°；②q，a无意义.

10.【答案】3；

【解析】由N-3=°得》=±3.当x=3时，x+3=6，°,当x=—3时,

x+3=—3+3=0

所以当》=3时，分式的值为0.

一

11.【答案】（1）2；（2）3；

【解析】（1）由知x=l,，（x+y）2=0,，y=-1,

x-y=2.

;x+y=5,肛=3,x>0,y>0,原式='+'Jxy=—百.

（2）yx孙3

12.【答案】，而-Vn；

1_Yn+1-《_______

【解析】（1）Vn+1-Vn（Vn+1-Vn）（Vn+1+Vn^=Vn+l-Vn；

故答案为：Vn+1~Vn；，2010-1

1111]

（2）1+V2+V2+V3fV3+V4+•••+V2008+V2009+V2009+V2010

=42-1+V3~V2+V4-V3+—+V2009-V2008+V2010-V2009

=V2010-l

三、解答题

13.【答案与解析】

（1）因为所以用/除所求分式的分子、分母.

_]_]_]_2

工，+4一（"广2:316

原式XX

x1—5u

（2）由d一5%+1=°和，提.x,

=(52-2)2-2

=527

14.【答案与解析】

解：(1);a有意义,

.•.8-x20,

，xW8；

(2)方法一：分三种情况：

①当a2+b2=c2,即8-x+4=6,得x=6,

②当a2+c2=b2,即8-x+6=4,得x=10,

(3)当b2+c2=a2,即4+6=8-x,得x=-2,

又：xW8,

；.x=6或-2；

方法二：•.•直角三角形中斜边为最长的边，c>b

.•.存在两种情况，

①当a2+b2=c2,即8-x+4=6,得x=6,

②当b2+c2=a2,即4+6=8-x,得x=-2,

x=6或-2.

15.【答案与解析】

(1)设甲公司单独完成此工程x天，则乙公司单独完成此项工

程1.5x天,

1+-L=-L

根据题意，得XL5x12,解之得，x=20,

经检验知x=20是方程的解且符合题意，1.5x=30,

答：甲乙两公司单独完成此工程各需要20天，30天.

(2)设甲公司每天的施工费y元，则乙公司每天的施工费

(y-1500)元,

根据题意，得12(y+y-1500)=102000,解之得，y=5000.

甲公司单独完成此工程所需施工费：20X5000=100000(元)，

乙公司单独完成此工程所需施工费：30X(5000-1500)=105000

(元)，

故甲公司的施工费较少.

16.【答案与解析】

2_2(^-V3)r-_r-

(1)①行+6-(0+6)(指-6)一”

2=5-3=(6)2-(6)2_(6+g)(6一6)=反r-

②后耳.瓦耳一段0一—~^7^-77

1111

(2)6+1亚+币币+非J2.+1+J2”-1-

-(^-1+V5-A/3+V7-

2

6+…+J2”+1-+

2.

四、中考数学分式与二次根式一知识讲解(提高)

【考纲要求】

1.了解分式的概念，会利用分式的基本性质进行约分和通分，

会进行分式的加、减、乘、除、乘方运算；能够根据具体问题数量关

系列出简单的分式方程，会解简单的可化为一元一次方程的分式方程;

2.利用二次根式的概念及性质进行二次根式的化简，运用二次

根式的加、减、乘、除法的法则进行二次根式的运算.

【知识网络】

【考点梳理】

考点一、分式的有关概念及性质

1.分式

A

设A、B表示两个整式.如果B中含有字母，式子石就叫做分式.注

意分母B的值不能为零，否则分式没有意义.

2.分式的基本性质

A_AxMA_A^M

B=BxM'B=(M为不等于零的整式).

3.最简分式

分子与分母没有公因式的分式叫做最简分式.如果分子分母有公

因式，要进行约分化简.

要点诠释：

分式的概念需注意的问题：

(1)分式是两个整式相除的商，其中分母是除式，分子是被除式，

而分数线则可以理解为除号，还含有括号的作用；

A

(2)分式五中，A和B均为整式，A可含字母，也可不含字母,

但B中必须含有字母且不为0；

(3)判断一个代数式是否是分式，不要把原式约分变形，只根

据它的原有形式进行判断.

A

(4)分式有无意义的条件：在分式B中，

①当BW0时，分式有意义；当分式有意义时，BW0.

②当B=0时，分式无意义；当分式无意义时，B=0.

③当BWO且A=0时，分式的值为零.

考点二、分式的运算

1.基本运算法则

分式的运算法则与分数的运算法则类似,具体运算法则如下：

bcb±c

(1)加减运算a±a=a

同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.

白+c_ad±be

bdbd；

异分母的分式相加减，先通分，化为同分母的分式，然后再按同

分母分式的加减法则进行计算.

ac_ac

(2)乘法运算方“bd，

两个分式相乘，把分子相乘的积作为积的分子，把分母相乘的积

作为积的分母.

acadad

(3)除法运算厂］=

两个分式相除,把除式的分子和分母颠倒位置后再与被除式相乘.

a0及

(4)乘方运算修)一力”(分式乘方)

分式的乘方，把分子分母分别乘方.

2.零指数

3.负整数指数…「为正整物

4.分式的混合运算顺序

先算乘方，再算乘除，最后加减，有括号先算括号里面的.

5.约分

把一个分式的分子和分母的公因式约去，这种变形称为分式的约

分.

约分需明确的问题：

(1)对于一个分式来说，约分就是要把分子与分母都除以同一个

因式，使约分前后分式的值相等；

(2)约分的关键是确定分式的分子和分母的公因式，其思考过程

与分解因式中提取公因式时确定公因式的思考过程相似；在此，公因

式是分子、分母系数的最大公约数和相同字母最低次寨的积.

6.通分

根据分式的基本性质，异分母的分式可以化为同分母的分式，这

一过程称为分式的通分.

通分注意事项：

(1)通分的关键是确定最简公分母；最简公分母应为各分母系数

的最小公倍数与所有因式的最高次寨的积.

(2)不要把通分与去分母混淆，本是通分，却成了去分母，把分

式中的分母丢掉.

(3)确定最简公分母的方法：

最简公分母的系数，取各分母系数的最小公倍数；

最简公分母的字母，取各分母所有字母因式的最高次第的积.

要点诠释：

分式运算的常用技巧

(1)顺序可加法：有些异分母式可加，最简公分母很复杂，如果

采用先通分再可加的方法很繁琐.如果先把两个分式相加减,把所得

结果与第三个分式可加减,顺序运算下去，极为简便.

(2)整体通分法：当整式与分式相加减时，一般情况下，常常把分

母为1的整式看做一个整体进行通分,依此方法计算，运算简便.

(3)巧用裂项法：对于分子相同、分母是相邻两个连续整数的积

的分式相加减，分式的项数是比较多的，无法进行通分，因此，常用

1___1_

分式〃(〃+1)-“〃+1进行裂项.

(4)分组运算法：当有三个以上的异分母分式相加减时，可考虑

分组，原则是使各组运算后的结果能出现分子为常数，且值相同或为

倍数关系，这样才能使运算简便.

(5)化简分式法：有些分式的分子、分母都异常时如果先通分，

运算量很大.应先把每一个分别化简，再相加减.

(6)倒数法求值(取倒数法).

(7)活用分式变形求值.

(8)设k求值法(参数法)

(9)整体代换法.

(10)消元代入法.

考点三、分式方程及其应用

1.分式方程的概念

分母中含有未知数的方程叫做分式方程.

2.分式方程的解法

解分式方程的关键是去分母，即方程两边都乘以最简公分母将分

式方程转化为整式方程.

3.分式方程的增根问题

(1)增根的产生：分式方程本身隐含着分母不为。的条件，当把

分式方程转化为整式方程后，方程中未知数允许取值的范围扩大了，

如果转化后的整式方程的根恰好使原方程中分母的值为0,那么就会

出现不适合原方程的根--增根；

(2)验根：因为解分式方程可能出现增根，所以解分式方程必须

验根.验根的方法是将所得的根带入到最简公分母中，看它是否为0,

如果为0,即为增根，不为0,就是原方程的解.

4.分式方程的应用

列分式方程解应用题与列一元一次方程解应用题类似，但要稍复

杂一些.解题时应抓住“找等量关系、恰当设未知数、确定主要等量

关系、用含未知数的分式或整式表示未知量”等关键环节，从而正确

列出方程，并进行求解.另外，还要注意从多角度思考、分析、解决

问题，注意检验、解释结果的合理性.

要点诠释：

解分式方程注意事项：

(1)去分母化成整式方程时不要与通分运算混淆；

(2)解完分式方程必须进行检验，验根的方法是将所得的根带

入到最简公分母中，看它是否为0,如果为0,即为增根，不为0,

就是原方程的解.

列分式方程解应用题的基本步骤：

(1)审一一仔细审题，找出等量关系；

(2)设一一合理设未知数；

(3)列一一根据等量关系列出方程；

(4)解一一解出方程；

(5)验一一检验增根；

(6)答一答题.

考点四、二次根式的主要性质

]4a>0(tz>0).

2(G)=a(a>0)

(a-0)

3(。<0).

4.积的算术平方根的性质：疝=&•扬(。20,020)；

、口=旦心0>b>0)

5.商的算术平方根的性质：也加

6.若。>/0,则右>扬.

要点诠释：

(M2与标的异同点：

(1)不同点：(向2与在表示的意义是不同的，(向2表示一个

正数a的算术平方根的平方，而而表示一个实数a的平方的算术平

方根；在(向2中心0,而右中a可以是正实数，0,负实数.但(向2

与小7都是非负数，即(向％0,Go.因而它的运算的结果是有

「2"山』。叱°)

差别的，(疝=a(a"),而l-a(KO)

(2)相同点：当被开方数都是非负数，即a“时，(指尸=。；

。<。时，(相2无意义,

而4^=~a.

考点五、二次根式的运算

1.二次