分类31点直线与圆的位置关系(含解析)

31点直线与圆的位置关系（含解析）

一、选择题

1.（2020•内蒙古通辽，T7,3分）如图，PA,P8分别与。相切于A,8两点，ZP=72°,

则NC=（）

A.108°B.72°C.54°D.36°

【考点】MC：切线的性质；M5：圆周角定理

【专题】67：推理能力；55A：与圆有关的位置关系

【分析】连接。4、OB,根据切线的性质得到NPAO=90。，NP8O=90。，求出NA08,

根据圆周角定理解答即可.

【解答】解：连接OA、OB,

PA,P8分别为。的切线，

OAVPA,OBLPB,

APAO=90°,APBO=90°,

乙AOB=3600-ZPAO-NPBO-NP=360°-90°-90°-72°=108°,

由圆周角定理得，ZC=-ZAOB=54°,

2

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解

题的关键.

2.（2020•山东济宁，TI0,3分）如图，在&4BC中，点。为A4BC的内心，NA=60。，CD=2,

83=4.则AOBC的面积是（）

A.46B.2百C.2D.4

【考点】KFt角平分线的性质；Ml-.三角形的内切圆与内心

【专题】67：推理能力；559：圆的有关概念及性质；66：运算能力

【分析】过点3作8"，C。于点”.由点。为AABC的内心，44=60。，得NBOC=120。,

则乙8。"=60。，由5£>=4,求得BH,根据三角形的面积公式即可得到结论.

【解答】解：过点8作BHLCO于点

点。为A48C的内心，NA=60。，

ZDBC+ZDCB=-（ZABC+ZACB）=-（180°-ZA）,

22

ZfiDC=90°+-ZA=90°+-x60°=120°,

22

则ZBDH=60°,

BD=4,

:.DH=2,BH=20,

CD=2,

：.AOBC的面积=」CD8”,x2x2^=2^,

22

故选：B.

【点评】本题考查了三角形内心的相关计算，熟练运用含30。角的直角三角形的性质是解题

的关键.

1.（2020哈尔滨，T5,3分）如图，AB为。的切线，点A为切点，OB交。于点C,

点。在。上，连接4）、CD,OA,若NAOC=35。，则NA8O的度数为（）

A.25°B.20°C.30°D.35°

【考点】MC,切线的性质；M5：圆周角定理

【专题】55A：与圆有关的位置关系；67：推理能力

【分析】根据切线的性质和圆周角定理即可得到结论.

【解答】解：43为圆。的切线，

AB±OA,B[JZOAB=90°,

ZADC=35°,

NAOB=2ZADC=70°,

ZABO=90°-70°=20°.

故选：B.

【点评】此题考查了切线的性质，以及圆周角定理，熟练掌握切线的性质是解本题的关键.

1.（2020湖南湘西州，T8,4分）如图，PA.尸3为圆。的切线，切点分别为A、B,PO

交45于点C,P。的延长线交圆。于点。.下列结论不一定成立的是（）

A.为等腰三角形

B.Afi与尸£＞相互垂直平分

C.点A、3都在以P。为直径的圆上

D.PC为的边AB上的中线

【考点】KJ：等腰三角形的判定；KG：线段垂直平分线的性质；MC：切线的性质

【专题】55C：与圆有关的计算；67：推理能力

【分析】根据切线的性质即可求出答案.

【解答】解：（A）PA.P3为圆。的切线，

:.PA=PB,

.•.ABBA是等腰三角形，故A正确.

（B）由圆的对称性可知：ABVPD,但不一定平分,

故3不一定正确.

（C）连接OB、0A,

PA,为圆。的切线，

:.Z013P=Z0AP=90°,

.♦.点A、B、P在以OP为直径的圆上，故C正确.

（D）及3Q4是等腰三角形，PD_LAB,

..PC为的边AB上的中线，故£>正确.

故选：B.

【点评】本题考查切线的性质，解题的关键是熟练运用切线的性质，本题属于中等题型.

1.（2020宁夏，T6,3分）如图，等腰直角三角形A8C中，ZC=90°,AC=>/2,以点C

为圆心画弧与斜边A3相切于点。，交AC于点E,交BC于点、F,则图中阴影部分的面积

是（）

【考点】MC：切线的性质；KW：等腰直角三角形；MO：扇形面积的计算

【专题】55C：与圆有关的计算；64：几何直观

【分析】连接C。，利用切线的性质和等腰直角三角形的性质求出CO的值，再分别计算出

扇形ECF的面积和等腰三角形ACB的面积，用三角形的面积减去扇形的面积即可得到阴影

部分的面积.

【解答】解：连接C。，如图,

是圆C的切线，

CDA.AB,

MBC是等腰直角三角形，

AB=72AC=>/2XV2=2,

:.CD=-AB=\,

2

图中阴影部分的面积=SM；C-S扇腕8

2360

=1--.

4

故选：A.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连

过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了扇形的面积和等腰直角三角形的性质.

2.L（3分）（2020•通辽）如图，PA,P8分别与O相切于A,B两点，/尸=72。，则/C=（

72°C.54°D.36°

【考点】MC：切线的性质；M5：圆周角定理

【专题】67：推理能力；55A：与圆有关的位置关系

【分析】连接。A、OB,根据切线的性质得到N//O=90。，NPBO=90。，求出NAO8,

根据圆周角定理解答即可.

【解答】解：连接。A、OB,

PA,PB分别为。的切线，

OA1PA,OB1PB,

ZPAO=90°,NPBO=90°,

ZAOB=3600-ZPAO-NPBO-NP=360°-90°-90°-72°=108°,

由圆周角定理得，ZC=-ZAOB=54°,

2

故选：C.

【点评】本题考查的是切线的性质、圆周角定理，掌握圆的切线垂直于经过切点的半径是解

题的关键.

3.1.（2020湖南永州，T7,4分）如图，己知P4,PB是。的两条切线，A,B为切点、,

线段。P交。于点给出下列四种说法：

①%=必；

②OP_LA8：

③四边形OAP8有外接圆；

④M是AAOP外接圆的圆心.

B

A.1B.2C.3D.4

【考点】MC-.切线的性质；M4：三角形的外接圆与外心

【专题】30：圆的有关概念及性质31：点直线与圆的位置关系；

【分析】利用切线长定理对①进行判断;利用线段的垂直平分线定理的逆定理对②进行判断;

利用切线的性质和圆周角定理可对③进行判断；由于只有当NAPO=30。时，OP=2QA,此

时,则可对④进行判断.

【解答】解：PA,PB是。的两条切线，A,B为切点、,

：.PA=PB,所以①正确；

OA=OB,PA=PB,

二OP垂直平分A3,所以②正确；

PA,PB是。的两条切线，A,6为切点，

OA±PA,OB±PB,

ZOAP=ZOBP=90°,

.•.点A、B在以OP为直径的圆上，

.•.四边形。APB有外接圆，所以③正确；

只有当ZAPO=30°时，OP=204,此时PM=OM,

••・加是不一定为AAO尸外接圆的圆心，所以④错误.

B

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连

过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了切线长定理

4.1.（2020•甘肃天水T,5,4分）如图所示，PA.P8分别与。相切于A、8两点，

点C为。上一点，连接4C、BC,若NP=70。，则NAC8的度数为（）

p<\o.

B

A.50°B.55°C.60°D.65°

【考点】MC：切线的性质；M5：圆周角定理

【专题】64：几何直观：55A：与圆有关的位置关系

【分析】连接OA、0B,如图，根据切线的性质得,OBVPB,则利用四边形内

角和计算出NAOB=110。，然后根据圆周角定理得到ZACB的度数.

【解答】解：连接。A、OB,如图，

24、PB分别与。相切于A、8两点，

OA±PA,OBLPB,

ZOAP=NOBP=90°,

ZAOB+ZP=180°,

NP=70°,

ZA6>B=110°,

ZACB=-ZAOB=55°.

2

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径；若出现圆的切线，必连

过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了圆心角定理.

1.（2020南京,T6,2分）如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，P与x轴、y轴

都相切，且经过矩形AOBC的顶点C,与BC相交于点。.若P的半径为5,点A的坐标

是（0,8）.则点。的坐标是（）

C.(10,2)D.(10,3)

【考点】LB-.矩形的性质；MC-.切线的性质；D5：坐标与图形性质

【专题】67：推理能力；556：矩形菱形正方形；55A：与圆有关的位置关系；55C：与

圆有关的计算；531：平面直角坐标系

【分析】设。与无、y轴相切的切点分别是尸、E点、,连接PE、PF、PD,延长EP与

CO交于点G,证明四边形PEOF为正方形，求得CG,再根据垂径定理求得C。，进而得

PG、DB,便可得。点坐标.

【解答】解：设。与x、y轴相切的切点分别是尸、E点,连接P£、PF、PD,延长EP

与CD交于点G,

则尸E_Ly轴，PF_Lx轴，

NEOF=90°,

四边形PEO尸是矩形，

PE=PF,PE//OF,

四边形PEOF为正方形，

OE=PF=PE=OF=5,

A(0,8),

OA=8,

AE=8—5=3,

四边形OACB为矩形，

BC=OA=8,BC//OA,AC//OB,

/.EG//ACf

四边形AEGC为平行四边形，四边形OEGB为平行四边形，

CG=AE=3,EG=OB,

PELAOfAO//CB,

PG.LCD,

CD=2CG=6,

DB=BC-CD=8-6=2,

PD=5,DG=CG=3,

PG=4,

.\OB=EG=5+4=9,

z.£)(9,2).

故选：A.

【点评】本题主要考查了正方形的性质，矩形的性质与判定，圆的切线的性质，垂径定理,

勾股定理，关键是求出CG的长度.

5.1.（2020重庆AT5,4分）如图，AB是。的切线，A为切点，连接OA,OB,若NB=20°,

则NAOB的度数为（）

A.40°B.50°C.60°D.70°

【考点】MC：切线的性质

【专题】67：推理能力；554：与圆有关的位置关系

【分析】根据切线的性质和三角形的内角和即可得到结论.

【解答】解：是。的切线，A为切点，

NA=90°,

NB=20°,

NAOB=90°-20°=70°,

故选：D.

【点评】本题考查了切线的性质，三角形的内角和，熟练掌握切线的性质是解题的关键.

6.11.（3分）（2020•雅安）如图，A48C内接于圆，NAC8=90。，过点C的切线交AS的

延长线于点P,NP=28。.则NCAB=（）

A.62°B.31°C.28°D.56°

【考点】MC,切线的性质；MA：三角形的外接圆与外心

【专题】55A：与圆有关的位置关系；64：几何直观

【分析】连接。C,如图，根据切线的性质得到NPCO=90。，则利用互余计算出ZPOC=62°,

然后根据等腰三角形的性质和三角形外角性质计算ZA的度数.

【解答】解：连接0C,如图，

PC为切线，

OC1PC,

ZPCO=90°,

NPOC=90°-ZP=90°-28°=62°,

OA=OC,

NA=ZOCA,

而NPOC=NA+NOCA,

.­.ZA=-x62°=31°.

2

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连

过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.

7.1.(2020•泰安12.4分)如图，点A,8的坐标分别为4(2,0),8(0,2),点C为坐标平

面内一点，BC=1,点M为线段AC的中点，连接。M,则的最大值为()

A.72+1B.V2+-C.272+1D.2V2--

22

【考点】M8：点与圆的位置关系；KX;三角形中位线定理；D5；坐标与图形性质

【专题】552：三角形；69：应用意识

【分析】根据同圆的半径相等可知：点C在半径为1的B上，通过画图可知，C在BD与

圆8的交点时，。历最小，在。3的延长线上时，OM最大，根据三角形的中位线定理可得

结论.

【解答】解：如图，

点C为坐标平面内一点，BC=l,

，C在B的圆上，且半径为1,

取OD=OA=2,连接CO,

V

AM=CM,OD=OA,

：.OM是A4C。的中位线,

：.OM=-CD,

2

当OM最大时，即CD最大，而。，B,C三点共线时，当C在的延长线上时，OM最

大，

OB=OD=2,Z.BOD=90°,

BD=2V2,

CD=2A/2+1,

:.OM=-CD=>/2+-,即0M的最大值为0+1；

222

故选：B.

【点评】本题考查了坐标和图形的性质，三角形的中位线定理等知识，确定。用为最大值

是点C的位置是关键，也是难点.

8.1.（2020浙江湖州,T9,3分）如图，已知。7是RtAABO斜边AB上的高线，AO=BO.以

。为圆心，。7为半径的圆交OA于点C,过点C作。的切线C。，交于点。.则下

列结论中错误的是（）

A.DC=DTB.AD=y/2.DTC.BD=BOD.2OC=5AC

【考点】KD-.全等三角形的判定与性质；MC-.切线的性质；KW：等腰直角三角形

【专题】69：应用意识；559：圆的有关概念及性质

【分析】如图，连接。。.想办法证明选项A,B,C正确即可解决问题.

DC是。的切线，

DC=DT,故选项A正确,

OA=OB,Z.AOB=90°,

...NA==45°，

0c是切线，

/.CDLOC,

：.ZACD=90°,

NA=ZADC=45°,

：.AC=CD=DTt

/.AD=42CD=y[2DT,故选项B正确，

OD=ODfOC=OT,DC=DT,

\DOC=^DOT（SSS）,

.・.ZDOC=/DOT,

0A=0B,OT.LABfZAOB=90°,

ZAOT=ZBOT=45°,

/./DOT=ZDOC=22.5°,

/.NBOD=/ODB=67.5°,

.•.3O=8D,故选项。正确，

故选：

【点评】本题考查切线的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质，全等三角形的判定和

性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

2.（2020浙江金华，T8,3分）如图，。是等边A43C的内切圆，分别切AB,BC,AC

于点E,F,D,P是。尸上一点，则NEPF的度数是（）

A.65°B.60°C.58°D.50°

【考点】KK：等边三角形的性质；MC：切线的性质；MI：三角形的内切圆与内心；M5：

圆周角定理

【专题】69：应用意识；55。：与圆有关的计算

【分析】如图，连接。后，OF.求出NEO尸的度数即可解决问题.

【解答】解：如图，连接OE,OF.

。是A48C的内切圆，E,尸是切点，

OELAB,OFLBC,

.\ZOEB=ZOFB=90°,

AABC是等边三角形，

NB=60°,

/.ZEOF=120°,

NEPF=L/EOF=60°,

2

故选：B.

【点评】本题考查三角形的内切圆与内心，切线的性质，圆周角定理等知识，解题的关键是

熟练掌握基本知识，属于中考常考题型.

3.（2020浙江嘉兴，T9,3分）如图，在等腰A48c中，A8=AC=2逐，BC=8,按下列

步骤作图：

①以点A为圆心，适当的长度为半径作弧，分别交A3,AC于点E,F,再分别以点E,

尸为圆心，大于尸的长为半径作弧相交于点〃，作射线A"；

2

②分别以点A,8为圆心，大于的长为半径作弧相交于点N,作直线MN,交

2

射线于点。；

③以点。为圆心，线段OA长为半径作圆.

则。的半径为（）

A.25/5B.10C.4D.5

【考点】N3：作图-复杂作图；M2：垂径定理；KH-.等腰三角形的性质

【专题】13：作图题；69：应用意识

【分析】如图，设OA交BC于T.解直角三角形求出AT,再在RtAOCT中，利用勾股定理

构建方程即可解决问题.

【解答】解：如图，设OA交BC于T.

AB=AC=2y/5,A。平分NBAC,

AOLBC,BT=TC=4,

:.AT=AC1-CT'=7（2^）2-42=2,

在RtAOCT中，则有产=6-2）2+42,

解得r=5,

故选：D.

【点评】本题考查作图-复杂作图，等腰三角形的性质，垂径定理等知识，解题的关键是理

解题意，灵活运用所学知识解决问题.

4

9.1.（2020广州，T7,3分）如图，RiAABC中，ZC=90°,AB=5cosA=-,以点B

t5

为圆心，r为半径作B,当r=3时,B与AC的位置关系是（)

C°-------------

A.相离B.相切C.相交D.无法确定

【考点】MB：直线与圆的位置关系；77：解直角三角形

【专题】67：推理能力；66：运算能力；55A：与圆有关的位置关系

【分析】根据三角函数的定义得到AC,根据勾股定理求得BC,和B的半径比较即可.

4

【解答】解：RtAABC中，ZC=90°,AB=5,cosA=-,

5

•A。_A。_4

AC=4,

BC=\lAB2-AC2=3,

r=3,

B与AC的位置关系是相切，

故选：B.

【点评】本题考查了直线与圆的位置关系的应用，注意：直线和圆有三种位置关系：相切、

相交、相离.

1.（2020呼和浩特，T16,3分）已知A3为。的直径且长为2r,C为。上异于A,B

的点，若4）与过点C的。的切线互相垂直，垂足为£>.①若等腰三角形AOC的顶角为

120度，则CO='r,②若A4OC为正三角形，则CO=亘r,③若等腰三角形AOC的对称

22

轴经过点。，则,④无论点C在何处，将&4DC沿AC折叠，点£>一定落在直径4?

上，其中正确结论的序号为②③④.

【考点】M2；垂径定理；KH：等腰三角形的性质；MC-.切线的性质；KK-.等边三角

形的性质；KO：含30度角的直角三角形；P2：轴对称的性质；PB：翻折变换（折叠问

题）；M5：圆周角定理

【专题】67：推理能力；14：证明题；17：推理填空题

【分析】①过点。作OEL4C,垂足为E,求出NC4£>=30。，得到CL>=1AC,再说明

2

OE=-r,利用NOCAHNCOE,得到CEWOE,即可判断；②过点A作4E_LOC,垂足

2

为E,证明四边形AEC。为矩形，即可判断；③画出图形，证明四边形AOCO为矩形，即

可判断；④过点C作CE_LA。，垂足为E，证明MDC=\AEC,从而说明AC垂直平分DE,

得到点。和点E关于AC对称，即可判断.

【解答】解：①ZAOC=120o,

NCAO=ZACO=30°,

CQ和圆。相切，AD±CD,

:.ZOCD=90°,AD//CO,

ZACD=60°,NCAD=30°,

:.CD=-AC,过点。作OEJ.AC,垂足为E,

2

则CE=AE」AC=8,

2

KnOE=-OC=-r,NOCAwNCOE,/.CE^OE,

22

.-.CD^-r,故①错误;

②若&40c为正三角形,

ZAOC=ZOAC=60°,AC=OC=OA=r,

NOAE=30°,

:.OE=-AO,AE=—AO=—r,

222

过点A作AELOC,垂足为E,

四边形AECQ为矩形，

:.CD=AE=­r,故②正确；

c

③若等腰三角形40c的对称轴经过点。，如图,

AD=CDf而ZADC=90°,

ZDAC=ZDCA=45°,XZOCD=90°,

:.ZACO=ZCAO=45°

...ZDAO=90°,

四边形AOC。为矩形,

CD=AO=r,故③正确;

④过点C作CELA。，垂足为E,

OCA.CDtADLCD,

OCHAD,

Z.CAD=NACO,

OC=OAf

ZAOC=ZCAO,

ACAD=ZCAO,

CD=CE，

在\ADC和&4EC中，

ND=ZAEC,CD=CE,AC=AC,

:.\ADC=\AEC{HL）,

AD=AE,

二.AC垂直平分OE,则点。和点E关于AC对称,

即点。一定落在直径上，故④正确.

故正确的序号为：②③④，

故答案为：②③④.

【点评】本题考查了折叠的性质，等边三角形的性质，等腰三角形的性质，平行线的性质，

切线的性质，垂径定理，知识点较多，多为一些性质定理，解题时要逐一分析，利用性质定

理进行推导.

二、填空题

1.（2020•枣庄，T15,4分）如图，AB是。的直径，P4切。于点A,线段P。交O

于点C.连接BC,若NP=36。，则々=_27。_.

B

【考点】M5：圆周角定理；MC-.切线的性质

【专题】55A：与圆有关的位置关系；67：推理能力

【分析】直接利用切线的性质得出N。4P=90。，再利用三角形内角和定理得出NAOP=54。,

结合圆周角定理得出答案.

【解答】解：R4切。于点A,

...NOAP=90。，

NP=36°,

ZAOP=54°,

ZB=-ZAOP=21°.

2

故答案为：27°.

【点评】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确得出NAOP的度数是解题关键.

2.(2020•眉山，T18,4分)如图，点尸为。外一点，过点尸作。的切线R4、PB,点

A、B为切点，连接AO并延长交PB的延长线于点C,过点C作CD,尸O,交尸。的延长

线于点。.已知PA=6,4c=8,则C。的长为_26_.

【考点】MC：切线的性质

【专题】55A：与圆有关的位置关系；64：几何直观

【分析】连接。8,如图，利用切线长定理得到PB=PA=6,利用切线的性质得到OHLPC,

OAVPA,再利用勾股定理计算出PC=10,则8c=4,设。的半径为r,则60=，

OC=8-r,在RtABCO中利用勾股定理可求出r=3,所以。4=3,OC=5,然后证明

\COD^\POA,再利用相似比求出CO.

【解答】解：连接。8,如图，

PA.PB为。的切线，

,-.PB=PA=6,OB1PC,OALPA,

ZCAP=NCBO=90°,

在RtAAPC中，PC=762+82=10,

BC=PC-PB=4,

设。的半径为r,则。4=OB=r,OC=8-r,

在RtABCO中，42+r2=(8-r)2,解得r=3,

OA=3fOC=5,

在RtAOPA中，6)P=V3F+6?=3x/5,

CDIPO,

ZCDO=90°,

ZCOD=ZPOA,ZCDO=ZPAO,

\COD^\POA,

CD:PA=OC:OP,BPCD:6=5:3>/5,

:.CD=2后.

故答案为2囱.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连

过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了相似三角形的判定与性质.

3.（2020湖北荆州,T13,3分）已知:△ABC,求作：AABC的外接圆.作法：①分别作

线段8C,AC的垂直平分线EF和它们相交于点O；②以点。为圆心，08的长为

半径画圆.如图，。。即为所求，以上作图用到的数学依据有：线段的垂直平分线的

性质.（只需写一条）

【考点】KG：线段垂直平分线的性质；MA：三角形的外接圆与外心；N3：作图一复杂

作图.

【专题】55A：与圆有关的位置关系；64：儿何直观.

【分析】利用线段垂直平分线的性质得到0A=0C=08,然后根据点与圆的位置关系可

判断点A、C在。。上.

【解答】解：,•,点。为AC和8c的垂直平分线的交点，

：.OA=OC=OB,

；.。0为AABC的外接圆.

故答案为：线段的垂直平分线的性质.

【点评】本题考查了作图-复杂作图：复杂作图是在五种基本作图的基础上进行作图，

一般是结合了几何图形的性质和基本作图方法.解决此类题目的关键是熟悉基本几何图

形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作.

1.1.（4分）（2020山东东营，T17,4分）如图，在RtAAOB中，。8=2力，NA=30。，

。的半径为1,点尸是AB边上的动点，过点尸作。的一条切线PQ（其中点。为切点）,

则线段尸。长度的最小值为2夜.

【考点】KO；含30度角的直角三角形；MC：切线的性质

【专题】23：直角三角形与勾股定理；31：点直线与圆的位置关系；67：推理能力

【分析】连接。P、0Q,作。户，48于P,根据切线的性质得到OQ1P。，根据勾股定

理得到产。=而讨二L根据垂线段最短得到当OP1AB时，OP最小，根据直角三角形的

性质、勾股定理计算即可.

【解答】解：连接。P、OQ,作OPUAB于产，

P。是。的切线，

OQ1PQ,

PQ=yJOP2-O02=40产-1,

当OP最小时，线段PQ的长度最小，

当OPJ.AB时，OP最小，

在RtAAOB中，NA=30。，

OB

/.OA==6，

tanA

在RSAOP，中，NA=30。，

:.OP=-OA=3,

2

二线段PQ长度的最小值=五%=20,

故答案为：2叵.

【点评】本题考查的是切线的性质、勾股定理、直角三角形的性质，掌握圆的切线垂直于经

过切点的半径是解题的关键.

2.1.(2020黑龙江龙东地区，T16,3分如图，AD是AABC的外接圆。的直径，若

ZBAD=40°,则ZACB=5。°.

D

【考点】M4：三角形的外接圆与外心

【专题】67：推理能力；559：圆的有关概念及性质

【分析】连接83,如图，根据圆周角定理即可得到结论.

【解答】解：连接3D,如图，

A£)为&48c的外接圆。的直径，

ZABD=90°,

ZD=90°-NBAD=90°-40°=50°,

NACB=ND=50°.

故答案为50.

c

D

【点评】本题考查了三角形的外接圆与外心，圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所

对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半.

2.（2020湖北鄂州,T15,3分）如图，半径为2cm的。与边长为2cm的正方形A8c。的边Afi

相切于E,点尸为正方形的中心，直线。E过尸点.当正方形48CD沿直线。尸以每秒

（2-6）前的速度向左运动1或（】1+6旧）秒时,。与正方形重叠部分的面积为

【考点】"C：切线的性质；MO-.扇形面积的计算；LE：正方形的性质

【专题】69：应用意识；25：动点型；55C：与圆有关的计算

【分析】分两种情形：如图1中，当点A,B落在。上时，如图2中，当点C,。落在。

上时，分别求解即可解决问题.

【解答】解：如图1中，当点A,8落在。上时，。与正方形重叠部分的面积为

（2万一7§）的2

此时，运动时间£=（2-6）+（2-百）=1（秒）

如图2中，当点C,。落在。上时，。与正方形重叠部分的面积为（2万-3）皿2

图2

此时，运动时间.=[4+2_(2—&)]+(2_石)=(11+M)(秒)，

综上所述，满足条件的f的值为1秒或（11+m）秒.

故答案为1或（11+6百）.

【点评】本题考查切线的性质，正方形的性质，扇形的面积，三角形的面积等知识，解题的

关键是理解题意学会用分类讨论的思想思考问题，属于中考常考题型.

3.（2020湖北鄂州,T16,3分）如图，已知直线y=—gx+4与x、y轴交于A、B两点,。

的半径为1,P为A3上一动点，P。切。于。点.当线段P。长取最小值时，直线PQ交

y轴于M点，a为过点M的一条直线，则点尸到直线。的距离的最大值为_28_.

【考点】F5：一次函数的性质；MC：切线的性质；F8：一次函数图象上点的坐标特征

【专题】66：运算能力；64：几何直观；67：推理能力；55A：与圆有关的位置关系；55C：

与圆有关的计算；17：推理填空题

【分析】在直线y=f/5x+4上，x=0时，y=4,y=0时，x=&f,可得。8-4,OA=~~~<

得角OBA=30°,根据PQ切。于。点可得0。，PQ,由OQ=1,因此当OP最小时PQ长

取最小值，此时OP_LAB,若使点P到直线a的距离最大，则最大值为且M位于x轴

下方，过点P作尸轴于点£,根据勾股定理和特殊角30度即可求出RW的长.

【解答】解：如图，

在直线y=-V5x+4上，x=0时，y=4,

当y=0时，x=土工，

3

4G

.•.08=4,OA=^^,

3

tanZ.0BA=,

OB3

NOBA=30°,

由尸。切。于。点可知：OQLPQ,

:7（2=《0产-OQ2,

由于OQ=1,

因此当OP最小时PQ长取最小值，此时OP_LAB,

:.OP=-OB=2,

2

此时PQ=也-俨=不，

BP=742-22=2X/3,

.-.OQ^-OP,即NOP。=30。，

若使点P到直线a的距离最大，

则最大值为PM，且M位于x轴下方，

过点P作PELy轴于点E,

：.EP=-BP=y/3,

2

BE=J（2后）2-（若）=3,

OE=4-3=1,

OE=-OP,

2

ZOPE=30°,

ZEPM=300+30°=60°,

即NEMP=30°,

：.PM=2EP=2y/3.

故答案为：2G.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.若出现圆的切线，必连

过切点的半径，构造定理图，得出垂直关系.也考查了一次函数的性

3.1.（2020山东枣庄，T15,4分）如图，是圆。的直径，P4切圆。于点A,线段P。

交圆。于点C.连接BC,若NP=36。，贝114=_27。_.

【考点】M5：圆周角定理；MC-.切线的性质

【专题】55A：与圆有关的位置关系；67：推理能力

【分析】直接利用切线的性质得出NQAP=90。，再利用三角形内角和定理得出NAOP=54。,

结合圆周角定理得出答案.

【解答】解：附切。于点A,

:.ZOAP=90°,

NP=36°,

ZAOP=54°,

ZB=-ZAOP=27°.

2

故答案为：27°.

【点评】此题主要考查了切线的性质以及圆周角定理，正确得出NAOP的度数是解题关键.

4.1.（2020江苏泰州,T14,3分）如图，直线垂足为“，点P在直线8上，PH=4cm,

。为直线6上一动点，若以1cm为半径的。与直线a相切，则。P的长为_3c”?或5c〃?_.

【考点】MC：切线的性质

【专题】67：推理能力；559：圆的有关概念及性质

【分析】当点。在点”的左侧。与直线。相切时，；当点。在点打的右侧

。与直线a相切时，OP=PH+0H,即可得出结果.

【解答】解：直线4_L）,。为直线6上一动点，

•.。与直线a相切时，切点、为H,

OH—1cm,

当点。在点”的左侧，。与直线a相切时，如图1所示:

图1

OP=PH-OH=4-\=3(cm)；

当点。在点”的右侧，。与直线a相切时，如图2所示:

OP=PH+OH=4+l=5(cm)；

0与直线a相切，。尸的长为3c"?或5c，〃，

故答案为：3c机或5CTM.

【点评】本题考查了切线的性质以及分类讨论；熟练掌握切线的性质是解题的关键.

2.（2020苏州,T14,3分）如图，已知45是。的直径，AC是。的切线，连接OC交。

于点。，连接50.若NC=40。，则Nfi的度数是25。

B

【考点】M5：圆周角定理；MC,切线的性质

【专题】55A：与圆有关的位置关系；67：推理能力

【分析】先根据切线的性质得NOAC=90。，再利用互余计算出440。=90。-/。=50。，由

ZOBD=ZODB,利用三角形的外角性质得NO8D=1NAOC=25。.

2

【解答】解：AC是。的切线，

0A1AC,

:.ZOAC=90°,

ZAOC=90°-ZC=90°-40°=50°,

OB=OD,

ZOBD=NODB,

而ZAOC=NOBD+NODB,

ZOBD=-ZAOC=25°,

2

即的度数为25。，

故答案为：25.

【点评】本题考查了切线的性质：圆的切线垂直于经过切点的半径.也考查了等腰三角形的

性质.

5.1.（2020•广东・T17・4分）有一架竖直靠在直角墙面的梯子正在下滑;一只猫紧紧盯

住位于梯子正中间的老鼠，等待与老鼠距离最小时扑捉.把墙面、梯子、猫和老鼠都理

想化为同一平面内的线或点，模型如图，/ABC=90°,点M,N分别在射线BA,BC

上，MN长度始终保持不变，MN=4,E为MN的中点，点。到BA,BC的距离分别为4

和2.在此滑动过程中，猫与老鼠的距离。E的最小值为，嘏二2.

D

BNC

【考点】KP：直角三角形斜边上的中线；M8：点与圆的位置关系.

【专题】25：动点型；552：三角形；69：应用意识.

【分析】如图，连接BE,BD.求出8E,BD,根据。ENB。-BE求解即可.

【解答】解：如图，连接BE,BD.

由题意BD=y/22+4?=2#,

■:NMBN=90°,MN=4,EM=NE,

：.BE=^MN=2,

.•.点E的运动轨迹是以B为圆心，2为半径的圆，

二当点E落在线段上时，OE的值最小，

的最小值为2小-2.

故答案为2小-2.

【点评】本题考查点与圆的位置关系，直角三角形斜边中线的性质等知识，解题的关键

是灵活运用所学知识解决问题，属于中考常考题型.

6.1.（2020浙江杭州，T14,4分）如图，已知Afi是。的直径，BC与。相切于点8,

连接AC,OC.若sinNBAC='，贝hanZ8OC=—.

3-2—

c

【考点】T7：解直角三角形；MC：切线的性质；M5：圆周角定理

【专题】554：与圆有关的位置关系；67：推理能力

【分析】根据切线的性质得到AB_L8C,设BC=x,AC=3x,根据勾股定理得到

A8=JAC2_BC?='(3x)2=2伍,于是得到结论.

【解答】解：4?是。的直径，BC与。相切于点8,

AB1BC,

ZABC=90°,

sinZBAC=—

AC3

/.BC=xfAC=3xf

AB=4AC?-BC?=《(3x)2一犬=2区,

:.OB=-AB=yf2x,

2

BCX&

tan/BOC-----—~———,

OB叵x2

故答案为：变.

2

【点评】本题考查了切线的性质，解直角三角形，熟练掌握三角函数的定义是解题的关键.

三、解答题

1.（2020•辽宁辽阳，T24,12分）如图，在平行四边形ABC。中，AC是对角线，

NCA8=9O。，以点A为圆心，以A3的长为半径作A,交8c边于点E,交AC于点尸,

连接DE.

（1）求证：DE与A相切；

（2）若NABC=60。，AB=4,求阴影部分的面积.

【考点】M。：扇形面积的计算；M5：圆周角定理；ME：切线的判定与性质；L5：平

行四边形的性质；K0；含30度角的直角三角形

【专题】66：运算能力；67：推理能力；55A：与圆有关的位置关系

【分析】（1）证明：连接AE,根据平行四边形的性质得到AD=BC,AD//BC,求得

ZDAE=ZAEB,根据全等三角形的性质得到NCE4=NCA8,得到Z）E_L>1£,于是得到结

论；

（2）根据已知条件得到△说是等边三角形，求得AE=BE,ZEAB=60°,得到

ZCAE=ZAC,,得到CE=8E,根据三角形和扇形的面积公式即可得到结论.

【解答】（1）证明：连接AE,

四边形A8C。是平行四边形，

AD=BC,AD//BC,

:.ZDAE=ZAEB,

AE=AB,

ZAEB=ZABC,

：.NDAE=ZABC,

AAED=ABAC(A45),

NDEA=ZCAB,

NCAB=90°,

NDEA=90°,

：.DE±AE,

AE是A的半径，

：.DE与A相切；

⑵解：ZABC=60°,AB^AE=4,

.,.A4BE是等边三角形,

：.AE=BE,ZEAB=60°,

ZCAB=90°,

ZCAE=90°-ZEAB=90°-60°=30°,ZACB=90°-ZB=90°-60°=30°，

ZCAE=ZACB，

...AE=CE,

CE=BE,

SMBC=gABAC=gx4x4x/3=85/3,

SMCE=；SMBC=gX873=473,

ZCAE=30°,AE=4,

_30^xAE2_30乃x42_4万

••^AEF--森-360-y

【点评】本题考查了