数理统计（第三版）课后习题答案

数理统计(第三版)，科学出版社，师义民、徐伟、秦超英、徐勇编

课后习题答案(文中章节号有所偏差，已全部更正)

第一章统计量与抽样分布

第二节

„A£.V,

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5.证明：

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在以上各式中令匕二.£」=12，.几可知T是0的充分完备统计量。

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其它

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由17题公式：二/,“(x)=〃尸”'"),/(幻/“)(x)="(l-F"(x))"'./(x)

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其它=|0其它

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（，产2x

O<X<1

其它

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19.解:

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o<x<00<X<6

F(x)=，6

其它其它.

0

由/t(1)(x)=»[l-F(x)r'./(x)得:

o<x<0

其它

由加G）=械尸a）「L/a）他

no<x<0

Zr(.)(X)=

其它

0

西堤^［尸⑴广力①加”⑶物

由/H*)(X)=

(人■〃-1)「*”-步

o<x<0

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其它

0

20.解：由次序统计量（鼻）,和），…,玉.）尸的联合分布削度为:

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=-（无-----------"_6山竹」7"品〃-7）

式必，力,…，匕,）

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、J*"'5T)Kl-e」)"-l+e-力f产<”叫1-/与玉<x,

产")i0".其它

21.解：次序统计量为:(-4.2,-2.1,-2.1,-0.1,-0.1,0,0,1.2,

1.2,2.0,3.2,3.21,22)

样本中位数为：3=x“,|=x(7)=0

堂

极差为：R=xw=x(n=22-(-4.2)=26.6

若增加2.7,构成容量为14的样本中位数为：

x=l[x+x]=1(0+1.2)=0.6

2(j)《产2

第二章参数估计

第三章

1.(1);巧.白玉独立”:-芍)口做0,2枕)『%%口口z2(«-1)

t1»-l*7-2n-\2

3=；邕(“力手电(x,y,-x,)2a\n~\)

代7=1K川2M

令^1112=/,得：后=2(〃-]),

(2)注意：斗与了不独立，茗=石」苞」之阳/巴1!)看」文\

n"片1\n)〃冗

这时]与弓是独立的一^卜-■-JJxy□：V(0,纥修)

k《

即x,—xGN(0,cr")，故['।"0"(01),而，若xJA^(0,1),£*|x|=

〃O7%

2.(1)益七4怎=£4Ex,=Ex^at=£x

；aj/■=1/»|

(2)D%声=&£靖.令尸(4,%,一％)=£靖,为/=1为约束条件。

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构造拉格朗n函数：

。(因,见「%,m=&%。2产。”)+4(£。,-力=£婷+,£/-1]

l，■*】)i»l3f)

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又••£a；=1,二.=a：=…二au=1为0(q)的唯一驻点

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3.解:

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1

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上0212

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0其它M+1(«+!)(«+2)

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(1):E9y=2Ex-2Ex=仇E92=----max{xt}二----x----x0-0

⑵:。落4x盾"上行^

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二a更有效。

4.£(-2X=y(-2户X乙"=e"y=e，~"=e'u,法毕.

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心+1)占《+】)片

，方为疝勺无偏估计。

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.・.〃=/=Yf=I)伽则=2-i)b

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6?是/的相合估计，a2UN(a2^a*)

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3

1。小）*1（。力）

（0其它

（1）:矩估计法：样衣k阶原点矩%”估计总体k阶原表期区¥*：样本k阶中心能

'打/・|,

念（工-洌估计总体k阶中心矩E（X-EXy

.-.E^X.E^X-EXf=-y(y,-J)2=S^,£Y=-

〃普2

：.-^x,e=2X

2

由样本值可得:X=1,2,S；=0,407,19=2.4

⑵：最大似然估计：£(*,；，)=立/(%/)=w(0,6),丝空誓2=-。<0

ru]8Qu8

设次序统计量：X⑴⑵…:儿)”

.・・当。="“)即:夕=加尔4)的，£(修。)达到最大。

0=maxX.=2.2

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2

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22/1212

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矩估计：=,+1=x=>0=-——,代入样本值。*0.3

0+2x-l

..,•

⑵：最大似然估计：£(x,/)=jlF(x,；e)=(e+i)"吊x,

f-'i\f=l

LnL(Xt;0)=nLn(0+1)+6Ln[\苟=nLn(0+1)+,企LnX,

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加蛆双)=2+丸.

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令8=自使得:辿丝Z史=。

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展:-1+—一，代入样本值9=0.2

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12:(1).：L(X,-0)=nf(X;,0^~Y]

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LnL(X,;9)=应〃矽+1)+£LnX,，£x：_2nLn6

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,£nZ(^;(9)=--V|^,|-nLn2-nlno

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dOa'n50n"T'

(3):Z(y,;0=ewe*,(esX)

LnL(X/;f)=-£X,+“J,,%产)=«>O

：.O=X(“=时〃X,;8)为最大

:■。:minXj

ii-茏",琛

(4):”X,;a/)=斤e二下ea

LnL(X-a,P)=-^X,+y-nLnp

3LnL(X.a,伊_n

--->u

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w

y.r

HZ/Z(X,;a，m_勺，nan

豆=下一丁力

"X,;a,夕)对a为单增

,*'a->«)口*⑵4…4占”,

/.a=m加X,时〃X,;a/)为最大。

令"加中号;")=0=八6—

da

a=minX,g=minX-X

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「・8=〃+L65。

v9（〃,。）在*a处连续

•••施曲d.65H其中a能。分别为包〃,通最大似然估计。

.'.^=J+I.65S-

14觎：设（X“…,*”）'为*的一个样本，其值为尤）。记，则

___以1n_

LnL(0)=-nLn4lK——Lna2------y£(芍一〃)？

22。片

如£（e）.=g£(♦)=o

dui[工yb)=1

则似然方程

|『「-盒+鬲加3=0

a'-a

1l>1«

3

解得估计为潮•5■Zx,=f,标=一Z(x,-x)=S：

"Mln,=l

有样木值。4.7,15.1,14.&15.0,15.2,14.6),代入得第149才=(0.216了

15:尸｛X=K｝=C1p*(l-p)i

,"A工&nN

“",”)=口尸｛苞=冬｝=口。叱(1-p)-

>=1't=l

C：+；号呐+

-LnL(X,;p)=Lri[\K,>("N.KJLH"p)

如也;叽孕."

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L(X;.)=中d=K,}=°C,滑(=)’=0。/I舌)

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=0-p)名'FG：

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")=(1-2)7,仅必=，加=,7二匕力(乂,,,.,匕)=0仁

，又是充分完备统计地

Ep--EX--EX=2xNp=p

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「.潍无偏的，/=£(夕禺)=二是"阳£

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，,1笠X,

16:〃凡；0)=门/因洌=一/为，X>0

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In£(%;，)=

渊n《x,；e)_I*'夕ainz(x,；g)_o3

dee2n'do''

或=做=£¥=&(「分布：a=\,P=LEX=-=e)

ep

无偏

1-宓r，1-打

L(X网*e%=犷

C(e)=),讥9)=-gr=x,h(x,,...,x„)=i

tfu

.-.又为充分完备统计量

沸=E{0\7)=E(X11)=N为它的M股足

17:/(x)=/J寿

2(X，)=[J/(%,)=------!——.T△££

⑴:易验证？为，的最大似然侪计

£7=2成Y=DT+（联尸="为无偏估计

n

由£（凡,『）的表达式可得，c（®）=-------!——-

（历"

r=1£x,2,b（e）=三/（x，...,x“）=i

・•.T为完全统计量

■无犷牌引嘴/

（2）X=（乂,…,X”）的联合分布密度为

:c(0)exp{b(0)T(x)}h(x}

其中*x)=i,r(x)=JX：、b@=-1,c(0)

I,trl2b

由定义它是指分布族，从而T（X）.=£X：是〃的一个充分统计量

/=!

从而匕=借尸为犷的无偏估计.

乂匕和匕都是充分统计量71的函数，即

E（/7）=匕及£（外储=匕，故/匕分别是。利3o''的最小方差无偏估计。

18解：CV1,…,X,）『的联合分布密度为

0”*'；"'，）=（短）卜合£（“,-犷

1-nt,_1n

c（6）=------e*]=亿4）=（冗一£x；y

令（2的平n.

B=（4也）=（詈，-合），版乂，…,《）=1

（T」£x；y是（“02尸的充分完备统计量也有

（元S"也是（",，）'的完备统计量，

又又是〃的无偏估计，S：是人的无偏侪计

因此有E（3X+4S『）=3u+4/也就是3T+4S：是3〃+44的无偏估计。

X£（3T+4S?建同））=37+4S：2

A3文+4s：?是3〃+4er?的最小方差无偏估计

E£X；-5S7）=5E5sr=£A"-=/-4（/

因此尤-5障为-4（/的无偏估计

故月一5S；2（兄S“=3厘?-5ES?为最小方差无偏估计

I

Lnf(x,^)=-Lnx(2^-

1(0)=E淡*叫=E(x-尔=5=1

R(0)］/4加

故下界为

/n/(0)=~

(2/U(0⑼.有DX=L=g(9)

12

lh/(x.^)=—,Lfif(x,0)=-Lnd

6

/@臼殁也;=*$

故下界为［g网/JV/7=巨

/铲

(3):由犬0S(/i,p).得尸(X=x)=CR(1-p产

即/U/＞C"F-p产

Lnf(x./?)=£〃('；+xLnp+(N-x)Ln(l-p)

所以/(p)=E［吗”1=Jx_^-xY=I£(v_Np?

l寺＞J\-p)p(1-p)

Dx

P《-P)2

・下界为［g(9)I/=4P2_4p，(］-p)

,「齐为/nl(p)nN/~nN

/7(1-尸)

20.证有效估计，苜先耍淤明户的无偏性

(1)£a3--X£X-=(DX-(£X)2)=a-

nW

。伊)=，&:)=¥死(与人生

nznan

ln(＞，

/⑺=-£(-^f--)二工

r。

nl(a2)n

是的有效估计

2、2/

Da=2戊(”一乎)=------

"(w-l)2/”1

I(a')=-谣出尘;吟)=-L1二2」

,S2a22b，w/(<72)n

1n—\

lim,-lima4-a4

…砌(T2s)…17

，S二是/的渐进无偏估计

2

21.X"N(O,I)则E|X|=FD\X\=EX-(aAf)=1-2

7T

£6-=^-xnx£^-“=x井":、昌，

,3不是。的无偏估计

22.先找c?的一个无偏估计

4

<72=-t(x,-1)2,Da2由前知I2tr

nr-inw/(a2)n

=」£«-I)?是〃的有效估计

小7

23.先求儆最大似然估计6

na-心

“o加严

1.((Y,:(9)=nf(X,.;0)=-TF-x«(

3r(a)

ln(x;0)=na\nO-0i,x,+(a-l)£l

rnxt-Mn「(a)

d\n(x,,0)na»..c)ln/aa

'-Zx,令8=映-—=o=e=-

ouen/-idex

j1Y

由定理3.4g(8)=:在侬连续知以。)=±=±

80a

£g(^)=lx£A,=-xr(a+1)x—?—==l

aa0T(a)a0T(a)0

函。)=4X空=<闪一网门=3

a1nnanaO^

/(.=一£(二"%°))=_E(及)=*而口算=」_

d08"&nZ(0)naO

・•・4(。)=宣照.常仁人;二三是J的有效估计.

nl(0)eae

24.(J)选取统计量U=~—N(O,1)

笈°%

P{|U|<〃a}=1-a=0.9P{-〃a<U<ua}-0.9

221

2①("a)-1=0.9•,*①(〃«)=0.95=Q=1.65

222

故〃的90%留信区间为(2.120875,2.129125)U?卜工=2.125

X-LL

<2)选取统计量〜，(力一1)

P{|T[<%(〃-1)}=1-a=0.9查t分布表得右”。5)=1.7531

2

从而的〃的置信区间为(2,1175,2.1325)

25.选取统计法：T=—；~~4—〜«〃—I)

S/

/VW

P{|r|</a(n-l)}=l-a=0.95

7

从而的〃的置信区间为(工一/。(15)、号"x+f(i5)x^2-)

54彳4

代入数据的(2.69,2.72)

选取统计量：T二一q一名〜1）

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27.取统计量U-———S(0,I)

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