2023-2024学年浙江省宁波市五校联盟高一下学期4月期中联考数学试题（解析版）

高级中学名校试卷PAGEPAGE2浙江省宁波市五校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（）A.2 B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意，复数，所以.故选：C.2.如图，用斜二测画法得到的直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（）A. B. C.2 D.1〖答案〗A〖解析〗因为是的直观图，且直角边长是，所以的面积为，因为平面图形与直观图的面积的比为，所以的面积为.故选：A.3.设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和〖答案〗B〖解析〗由于是平面内的一个基底，故不共线，和不共线，故A能构成基底；和共线，故B不能构成基底；和不共线，故C能构成基底；根据向量的加减法法则可知和不共线，故D能构成基底.故选：B.4.在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题设，过作于，如下图示，则，可得时，三角形有两解，当，即时，三角形不存在；当或时，△分别对应等边三角形或直角三角形，仅有一个三角形；当时，在射线方向上有一个△，而在射线方向上不存在，故此时仅有一个三角形.故选：B.5.为不重合的直线，为互不相同的平面，下列说法正确的是（）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，则或与异面〖答案〗D〖解析〗对A，若，，，则或与异面，故A错误；对B，若，，，则或相交，故B错误；对C，若，，则或，故C错误；对D，若，，则或与异面，正确.故选：D.6.已知向量，，且．则在方向上的投影向量的坐标是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，则，所以，则，所以在方向上的投影向量为.故选：A.7.点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（）A. B.3 C. D.2〖答案〗C〖解析〗因为，所以，即，取中点为点，则，即，所以在中线上，且，过，分别作边上的高，垂足为，则，所以，，所以，所以.故选：C.8.已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设，共起点，由，可得，所以与垂直，如图：由向量减法的几何意义可知，向量的终点落在图中的圆上，由题意可知的终点在图中所示的射线上，所以的最小值是从圆上的点到射线上的点形成的向量，要求的最小值，只需求圆心到射线的距离减去圆的半径，故的最小值为.故选：.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下面的命题正确的有（）A.若，，则B.方向相反的两个非零向量一定共线C.若满足且与同向，则D.“若是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形”〖答案〗BD〖解析〗对于A，若，不一定平行，故A错；对于B，方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故B正确；对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；若四边形ABCD是平行四边形，可得，且，此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.故选：BD.10.在复平面内，下列说法正确的是（）A.若复数z满足，则B.若复数、满足，则C.若复数、满足，则D.若，则的最大值为〖答案〗AD〖解析〗对于A，设，则，于是，，A正确；对于B，令复数、，显然，满足，而，B错误；对于C，复数、，满足，而，显然，C错误；对于D，因为，则在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，表示点到复数对应点的距离，因此，即的最大值为，D正确.故选：AD.11.在中，所对的边分别为，下面命题正确的有（）A.若是锐角三角形，则不等式恒成立B.若，则C.若非零向量与满足，则为等腰三角形D.是所在平面内任意一点，若动点满足，则动点的轨迹一定通过的重心〖答案〗ACD〖解析〗A项：由是锐角三角形，故:，所以：，A正确；B项：由正弦定理可知：，若，则，显然不符合，故B错误；C项：由向量的加法法则可知与的角平分线共线，又可得：的角平分线与垂直，由三角形的性质可知为等腰三角，故C正确；D项：过作，如图，，所以：，，由向量加法的平行四边形法则可知点在边的中线上，所以动点的轨迹一定通过的重心，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量满足，且，，则与的夹角等于__________.〖答案〗〖解析〗由题意可得，解得，，又因为所以．故〖答案〗为：．13.已知某圆锥的体积为，该圆锥侧面的展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为______．〖答案〗〖解析〗设圆锥的底面半径为R，母线长为，高为，圆锥的体积，化简得：，侧面展开图的圆心角，化简得：，由勾股定理可得：，代入得：，，圆锥侧面积.故〖答案〗为：.14.在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，又，所以，即，所以，所以，所以，又，所以，又，所以，由正弦定理，所以，所以，由得，所以，即的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15已知复数．（1）若复数为纯虚数，求的值；（2）若在复平面上对应的点在第三象限，求的取值范围．解：（1）由题意得，因为为纯虚数，所以解得.（2）复数，它在复平面上对应的点在第三象限，所以，解得或，所以实数取值范围为．16.如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点．（1）证明：三条直线相交于同一点；（2）求三棱锥的体积．解：（1）连接，如图：分别是的中点，，，且，∴四边形为平行四边形，，在中，分别是的中点，，，且四点共面，设，平面，平面，平面，平面，平面平面，，三条直线相交于同一点.（2），三棱锥的高为，点是棱的中点，，点分别是棱的中点，，，，．17.在①，②，③，这三个条件中任选一个，补充在下面的横线上，并加以解答．已知的内角所对的边分别是，满足______．（1）求角；（2）若，，且，求的面积注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答记分解：（1）选①：由正弦定理得，，，即，，，，．选②：由及正弦定理，可得，可知：，则，，．选③：由及正弦定理得，可得，，.（2）因为，为中点，设，，则由余弦定理得，，又在中，由余弦定理得，，所以的面积．18.平面几何中有如下结论：“三角形角平分线分对边所成的两段之比等于角的两边之比，即．”已知中，，，为角平分线．过点作直线交的延长线于不同两点，且满足，，（1）求的值，并说明理由；（2）若，求的最小值．解：（1）根据角平分线定理，所以，因为，，所以，因为三点共线，所以，所以．（2），当且仅当时取等号，即，所以的最小值为．19.在锐角中，角所对的边分别是．已知，．（1）求角；（2）若是内的一动点，且满足，则是否存在最大值？若存在，请求出最大值及取最大值的条件；若不存在，请说明理由；（3）若是中上的一点，且满足，求的取值范围．解：（1），，由正弦定理可得，所以，所以，所以，又，，则，，又，.（2）点是内一动点，，，，，由余弦定理，可得，即，所以，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立，，当且仅当时等号成立.（3），，，即平分，，所以，又，，所以，解得，，则，则，即，即．浙江省宁波市五校联盟2023-2024学年高一下学期4月期中联考数学试题一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知复数，则（）A.2 B.3 C. D.〖答案〗C〖解析〗依题意，复数，所以.故选：C.2.如图，用斜二测画法得到的直观图为等腰直角三角形，其中，则的面积为（）A. B. C.2 D.1〖答案〗A〖解析〗因为是的直观图，且直角边长是，所以的面积为，因为平面图形与直观图的面积的比为，所以的面积为.故选：A.3.设是平面内的一个基底，则下面的四组向量不能构成基底的是（）A.和 B.和C.和 D.和〖答案〗B〖解析〗由于是平面内的一个基底，故不共线，和不共线，故A能构成基底；和共线，故B不能构成基底；和不共线，故C能构成基底；根据向量的加减法法则可知和不共线，故D能构成基底.故选：B.4.在中，，，，若三角形有两解，则的取值范围是（）A. B.C. D.〖答案〗B〖解析〗由题设，过作于，如下图示，则，可得时，三角形有两解，当，即时，三角形不存在；当或时，△分别对应等边三角形或直角三角形，仅有一个三角形；当时，在射线方向上有一个△，而在射线方向上不存在，故此时仅有一个三角形.故选：B.5.为不重合的直线，为互不相同的平面，下列说法正确的是（）A.若，，，则B.若，，，则C.若，，则D.若，，则或与异面〖答案〗D〖解析〗对A，若，，，则或与异面，故A错误；对B，若，，，则或相交，故B错误；对C，若，，则或，故C错误；对D，若，，则或与异面，正确.故选：D.6.已知向量，，且．则在方向上的投影向量的坐标是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗因为，，则，所以，则，所以在方向上的投影向量为.故选：A.7.点在的内部，且满足：，则的面积与的面积之比是（）A. B.3 C. D.2〖答案〗C〖解析〗因为，所以，即，取中点为点，则，即，所以在中线上，且，过，分别作边上的高，垂足为，则，所以，，所以，所以.故选：C.8.已知，，是平面向量，是单位向量，若非零向量与的夹角为，向量满足，则的最小值是（）A. B. C. D.〖答案〗A〖解析〗设，共起点，由，可得，所以与垂直，如图：由向量减法的几何意义可知，向量的终点落在图中的圆上，由题意可知的终点在图中所示的射线上，所以的最小值是从圆上的点到射线上的点形成的向量，要求的最小值，只需求圆心到射线的距离减去圆的半径，故的最小值为.故选：.二、多选题：本题共3小题，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.9.下面的命题正确的有（）A.若，，则B.方向相反的两个非零向量一定共线C.若满足且与同向，则D.“若是不共线的四点，且”“四边形是平行四边形”〖答案〗BD〖解析〗对于A，若，不一定平行，故A错；对于B，方向相反的两个非零向量必定平行，所以方向相反的两个非零向量一定共线，故B正确；对于C，向量之间不能比较大小，只能比较向量的模，故C错误；对于D，若A、B、C、D是不共线的四点，且，可得，且，故四边形ABCD是平行四边形；若四边形ABCD是平行四边形，可得，且，此时A、B、C、D是不共线的四点，且，故D正确.故选：BD.10.在复平面内，下列说法正确的是（）A.若复数z满足，则B.若复数、满足，则C.若复数、满足，则D.若，则的最大值为〖答案〗AD〖解析〗对于A，设，则，于是，，A正确；对于B，令复数、，显然，满足，而，B错误；对于C，复数、，满足，而，显然，C错误；对于D，因为，则在复平面内表示复数的点在以原点为圆心的单位圆上，表示点到复数对应点的距离，因此，即的最大值为，D正确.故选：AD.11.在中，所对的边分别为，下面命题正确的有（）A.若是锐角三角形，则不等式恒成立B.若，则C.若非零向量与满足，则为等腰三角形D.是所在平面内任意一点，若动点满足，则动点的轨迹一定通过的重心〖答案〗ACD〖解析〗A项：由是锐角三角形，故:，所以：，A正确；B项：由正弦定理可知：，若，则，显然不符合，故B错误；C项：由向量的加法法则可知与的角平分线共线，又可得：的角平分线与垂直，由三角形的性质可知为等腰三角，故C正确；D项：过作，如图，，所以：，，由向量加法的平行四边形法则可知点在边的中线上，所以动点的轨迹一定通过的重心，故D正确.故选：ACD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.已知平面向量满足，且，，则与的夹角等于__________.〖答案〗〖解析〗由题意可得，解得，，又因为所以．故〖答案〗为：．13.已知某圆锥的体积为，该圆锥侧面的展开图是圆心角为的扇形，则该圆锥的侧面积为______．〖答案〗〖解析〗设圆锥的底面半径为R，母线长为，高为，圆锥的体积，化简得：，侧面展开图的圆心角，化简得：，由勾股定理可得：，代入得：，，圆锥侧面积.故〖答案〗为：.14.在中，角的对边分别为，若，，则的取值范围是______．〖答案〗〖解析〗因为，所以，所以，又，所以，即，所以，所以，所以，又，所以，又，所以，由正弦定理，所以，所以，由得，所以，即的取值范围是.故〖答案〗为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.15已知复数．（1）若复数为纯虚数，求的值；（2）若在复平面上对应的点在第三象限，求的取值范围．解：（1）由题意得，因为为纯虚数，所以解得.（2）复数，它在复平面上对应的点在第三象限，所以，解得或，所以实数取值范围为．16.如图，在长方体中，，，点，分别是棱的中点．（1）证明：三条直线相交于同一点；（2）求三棱锥的体积．解：（1）连接，如图：分别是的中点，，，且，∴四边形为平行四边形，，在中，分别是的中点，，，且四点共面，设，平面，平面，平面，平面