弹性力学第二章xs(共52张PPT)

第二章平面问题的基本理论要点—建立平面问题的基本方程包括：平衡微分方程；几何方程；物理方程；变形协调方程；边界条件的描述；方程的求解方法等。第1页，共52页。t一.平面应力问题与平面应变问题（Problemsofplanestressandplanestrain）1.平面应力问题(1)几何特征xyyzba一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸小得多。——平板如：板式吊钩，旋转圆盘，工字形梁的腹板等(2)受力特征外力（体力、面力）和约束，仅平行于板面作用，沿z

方向不变化。第2页，共52页。xyyztba(3)简化的应力特征如图选取坐标系，以板的中面为xy平面，垂直于中面的任一直线为z轴。由于板面上不受力，有:因板很薄，且外力沿z轴方向不变。可认为整个薄板的各点都有：由剪应力互等定理，有:第3页，共52页。结论：(a)平面应力问题只有三个应力分量：(b)应变分量、位移分量也仅为x、y的函数，与z无关。xy(c)第4页，共52页。2.平面应变问题(1)几何特征水坝滚柱厚壁圆筒

一个方向的尺寸比另两个方向的尺寸大得多，且沿长度方向几何形状和尺寸不变化。

——近似认为无限长。(2)外力特征

外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化。

约束——沿长度z方向不变化。(3)简化的变形特征如图建立坐标系：以任一横截面为xy面，任一纵线为z轴。设z方向为无限长，则沿z方向都不变化，仅为x，y的函数。任一横截面均可视为对称面第5页，共52页。水坝因为任一横截面均可视为对称面，则有——平面应变问题(c)可近似为平面应变问题的例子：煤矿巷道的变形与破坏分析；挡土墙；重力坝等。结论：(a)(b)第6页，共52页。如图所示三种情形，是否都属平面问题？是平面应力问题还是平面应变问题？平面应力问题平面应变问题非平面问题第7页，共52页。两类平面问题：平面应力问题平面应变问题几何特征受力特征应力特征几何特征;受力特征;应变特征。外力、应力、形变、位移。基本假定：（1）连续性假定；（2）线弹性假定；（3）均匀性假定；（4）各向同性假定；（5）小变形假定。（注意：剪应力正负号规定）（掌握这些假定的作用）基本概念：第8页，共52页。xyODXYPBACt=1.AC：BC:二.平面问题的平衡微分方程(Equilibriumequations)

第9页，共52页。PBACxyODXYDividedtheequationby

dxdy：Dividedtheequationby

dxdy：第10页，共52页。PBACxyODXYwhen第11页，共52页。直角坐标下的应力平衡微分方程物理意义：表示变形体内无限相邻两质点的点的应力状态的关系。对弹性变形和塑性变形均适用。说明：（1）两个平衡微分方程，三个未知量：——超静定问题，需找补充方程才能求解。（2）对于平面应变问题，x、y方向的平衡方程相同，z方向自成平衡，上述方程两类平面问题均适用；（3）平衡方程中不含E、μ，方程与材料性质无关（钢、石料、混凝土等）；（4）平衡方程对整个弹性体内都满足。第12页，共52页。xyOPAdxBdyuvundeformeddeformedAB注：这里略去了二阶以上高阶无穷小量。建立：平面问题中应变与位移的关系一点的变形线段的伸长或缩短；线段间的相对转动；考察P点邻域内线段的变形：PuvPuv三.几何方程(Thegeometricalequations)第13页，共52页。PxyOAdxBdyuvNormalstrainofPA:NormalstrainofPB:ShearstrainofpointP：P点两直角线段夹角的变化:第14页，共52页。——几何方程Thegeometricalequations

第15页，共52页。建立：平面问题中应力与应变的关系物理方程也称：本构方程、本构关系、物性方程。在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的广义虎克（Hooke）定律。其中：E为拉压弹性模量；G为剪切弹性模量；μ为侧向收缩系数，又称泊松比。四.物理方程第16页，共52页。1.平面应力问题的物理方程由于平面应力问题中——平面应力问题的物理方程注：(1)(2)——物理方程的另一形式第17页，共52页。其中：E为拉压弹性模量；平面应变问题的物理方程（注意：剪应力正负号规定）由几何方程的第三式得：将右边式代入常体力下的相容方程：式(a)的齐次方程：相同（3）按位移求解平面问题的基本方程常体力下，方程中不含E、μ将式(a)代入平衡方程，化简有常体力下平面问题的相容方程位移分量已知的边界——位移边界以部分位移分量和部分应力分量为基本未知函数，将，并求出这些未知量，再求出其余未知量。2.平面应变问题的物理方程由于平面应变问题中——平面应变问题的物理方程注：由式虎克定律第三式，得平面应变问题中，但第18页，共52页。3.两类平面问题物理方程的转换

——平面应变问题的物理方程——平面应力问题的物理方程(1)平面应力问题平面应变问题材料常数的转换为：(2)平面应变问题平面应力问题材料常数的转换为：第19页，共52页。平面问题的求解问题：已知：外力（体力、面力）、边界条件，求：——仅为xy的函数需建立三个方面的关系：（1）静力学关系：（2）几何学关系：（3）物理学关系：应变与应力间的关系。应力与体力、面力间的关系；应变与位移间的关系；建立边界条件：——平衡微分方程——几何方程——物理方程（1）应力边界条件；（2）位移边界条件；第20页，共52页。五.边界条件（Boundaryconditions）1.弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：（2）几何方程：（3）物理方程：未知量数：8个方程数：8个结论：在适当的边界条件下，上述8个方程可解。第21页，共52页。2.边界条件及其分类边界条件：建立边界上的物理量与内部物理量间的关系。xyOqP是力学计算模型建立的重要环节。边界分类（1）位移边界（2）应力边界（3）混合边界——三类边界（1）位移边界条件位移分量已知的边界——位移边界用us

、

vs表示边界上的位移分量，表示边界上位移分量的已知函数，则位移边界条件可表达为：——

平面问题的位移边界条件说明：称为固定位移边界。第22页，共52页。xyOqP（2）应力边界条件给定面力分量边界——应力边界xyOdxdydsPABXNYNN由式中取：得到：式中：l、m为边界外法线关于x、y轴的方向余弦。如：——

平面问题的应力边界条件垂直x轴的边界：垂直y轴的边界：在物体的边界上取直角三角形的微元体PAB，其斜面AB与物体边界面重合。N为其法线。得第23页，共52页。（3）混合边界条件(1)物体上的一部分边界为位移边界，另一部为应力边界。(2)物体的同一部分边界上，其中一个为位移边界条件，另一为应力边界条件。如：图(a)：——位移边界条件——应力边界条件图(b)：——位移边界条件——应力边界条件第24页，共52页。例1如图所示，试写出其边界条件。xyahhq(1)(2)(3)第25页，共52页。平面问题的基本方程1.平衡微分方程2.几何方程3.物理方程（平面应力问题）4.边界条件位移：应力：第26页，共52页。问题的提出：求解弹性力学问题时，使应力分量、形变分量、位移分量完全满足8个基本方程相对容易，但要使边界条件完全满足，往往很困难。PPP如图所示，其力的作用点处的应力边界条件无法列写。1).静力等效的概念两个力系，若它们的主矢量、对于同一点的主矩相等，则两个力系为静力等效力系。

这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。3.圣维南原理(Saint-VenantPrinciple)第27页，共52页。2).圣维南原理(Saint-VenantPrinciple)原理：若把物体的一小部分边界上的面力，变换为分布不同但静力等效的面力，则近处的应力分布将有显著改变，而远处所受的影响可忽略不计。PPP/2P/2P次要边界只能在次要边界上用圣维南原理，在主要边界上不能使用。注意事项：必须满足静力等效条件(1)(2)第28页，共52页。

图a是一端固支、一端受集中力作用的杆件，其厚度为1mm，容易计算出杆内的应力为100MPa。

图b是该杆件的应力分布图，不同的颜色代表不同的应力值。由于上部固定端和下部加力端的影响，明显看出从上部固定端向下大约20mm区域内应力并不是均匀分布，在杆的下端，从集中力作用处向上大约25mm的区域内应力也不是均匀分布的。图b中，只有杆中间部分横截面上的应力才是均匀分布的，且其大小为100MPa。圣维南原理说，力作用于杆端的分布方式，只影响杆端局部范围的应力分布，影响区的轴向范围约离杆端1-3个杆的最大横向尺寸。

第29页，共52页。六.按位移求解平面问题1.弹性力学平面问题的基本方程（1）平衡方程：（2）几何方程：（3）物理方程：（4）边界条件：（1）（2）第30页，共52页。2.弹性力学问题的求解方法（1）按位移求解（位移法、刚度法）以u、v

为基本未知函数，将平衡方程和边界条件都用u、v

表示，并求出u、v，再由几何方程、物理方程求出应力与应变分量。（2）按应力求解（力法，柔度法）以应力分量

为基本未知函数，将所有方程都用应力分量表示，并求出应力分量，再由几何方程、物理方程求出应变分量与位移。（3）混合求解以部分位移分量

和部分应力分量

为基本未知函数，将，并求出这些未知量，再求出其余未知量。第31页，共52页。3.按位移求解平面问题的基本方程（1）将平衡方程用位移表示由应变表示的物理方程将几何方程代入，有（a）将式(a)代入平衡方程，化简有第32页，共52页。（2）将边界条件用位移表示位移边界条件：应力边界条件：（a）将式（a）代入，得说明：（1）对平面应变问题，只需将式中的E、μ作相替换即可。（2）一般不用于解析求解，作为数值求解的基本方程。第33页，共52页。（3）按位移求解平面问题的基本方程（1）平衡方程：（2）边界条件：位移边界条件：应力边界条件：第34页，共52页。七.按应力求解平面问题相容方程1.变形协调方程（相容方程）按应力求解平面问题的未知函数：平衡微分方程：2个方程方程，3个未知量，为超静定问题。需寻求补充方程，从应变、应变与应力的关系建立补充方程。将几何方程：作如下运算：第35页，共52页。显然有：——形变协调方程（或相容方程）即：必须满足上式才能保证位移分量u、v的存在与协调，才能求得这些位移分量。例：其中：C为常数。由几何方程得：积分得：由几何方程的第三式得：显然，此方程是不可能的，因而不可能求出满足几何方程的解。第36页，共52页。2.变形协调方程的应力表示（1）平面应力情形将物理方程代入相容方程，得：利用平衡方程将上述化简：（a）将上述两边相加：（b）第37页，共52页。将(b)代入(a)，得：将上式整理得：应力表示的相容方程（2）平面应变情形将上式中的泊松比μ代为：，得（平面应力情形）应力表示的相容方程（平面应变情形）注意：当体力X、Y为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即第38页，共52页。3.按应力求解平面问题的基本方程（1）平衡方程（2）相容方程（形变协调方程）（3）边界条件：（平面应力情形）说明：（1）对位移边界问题，不易按应力求解。（2）对应力边界问题，且为单连通问题，满足上述方程的解是唯一正确解。（3）对多连通问题，满足上述方程外，还需满足位移单值条件，才是唯一正确解。第39页，共52页。八.常体力情况下的简化应力函数1.常体力下平面问题的相容方程令：——拉普拉斯（Laplace）算子则相容方程可表示为：——平面应力情形——平面应变情形当体力X、Y为常数时，两种平面问题的相容方程相同，即或第40页，共52页。2.常体力下平面问题的基本方程（1）平衡方程（2）相容方程（形变协调方程）（3）边界条件（4）位移单值条件——对多连通问题而言。讨论：（1）——Laplace方程，或称调和方程。（2）常体力下，方程中不含E、μ（a）两种平面问题，计算结果相同）不同。（但（b）不同材料，具有相同外力和边界条件时，其计算结果相同。——光弹性实验原理。（3）用平面应力试验模型，代替平面应变试验模型，为实验应力分析提供理论基础。满足：的函数称为调和函数（解析函数）。第41页，共52页。常体力下问题的基本方程：边界条件、位移单值条件。(a)(b)式(a)为非齐次方程，其解：全解=齐次方程通解3.平衡微分方程解的形式(1)特解常体力下特解形式：+非齐次方程的特解。(1)(2)(3)(2)通解式(a)的齐次方程：(c)(d)的通解。第42页，共52页。将式(d)第一式改写为由微分方程理论，必存在一函数A(x,y)，使得(e)(f)同理，将式(d)第二式改写为(g)(h)比较式(f)与(h)，有也必存在一函数B(x,y)，使得(2)通解式(a)的齐次方程：(d)的通解。由微分方程理论，必存在一函数φ(x,y)，使得第43页，共52页。(i)(j)将式(i)、(j)代入(e)、(f)、(g)、(h)，得通解：(k)第44页，共52页。试写出水坝的应力边界条件。这种等效只是从平衡的观点而言的，对刚体来而言完全正确，但对变形体而言一般是不等效的。平面问题的平衡微分方程(Equilibriumequations)——超静定问题，需找补充方程才能求解。由式虎克定律第三式，得——平面应变问题的物理方程常体力下平面问题的相容方程用平面应力试验模型，代替平面应变试验模型，为实验应力分析提供理论基础。仅为x，y的函数。（1）按位移求解（位移法、刚度法）其中：E为拉压弹性模量；外力（体力、面力）平行于横截面作用，且沿长度z方向不变化。在完全弹性和各向同性的情况下，物性方程即为材料力学中的广义虎克（Hooke）定律。——平面应力问题的物理方程（1）按位移求解（位移法、刚度法）(2)通解式(a)的齐次方程：(d)的通解：(k)——对应于平衡微分方程的齐次方程通解。(3)全解取特解为：则其全解为：——常体力下平衡方程（a）的全解。由上式看：不管φ(x,y)是什么函数，都能满足平衡方程。φ(x,y)——平面问题的应力函数——Airy应力函数第45页，共52页。4.相容方程的应力