哈尔滨某大学结构力学I七

第二章变形体虚位移原理弹性力学基本概念—预备知识变形体虚位移原理和势能原理虚位移原理和势能原理的应用5/16/20231哈尔滨工业大学土木学院王焕定预备知识（回顾）线弹性平面问题的平衡方程

小变形平面问题的几何方程

线应变：角应变：5/16/20232哈尔滨工业大学土木学院王焕定线弹性平面问题物理方程平面应力：平面应变：平面应力：平面应变：预备知识（回顾）5/16/20233哈尔滨工业大学土木学院王焕定平面问题应力边界条件在应力边界上：

平面问题物理量的矩阵表示应力矩阵应变矩阵体积力矩阵表面力矩阵位移矩阵已知位移矩阵弹性矩阵预备知识（回顾）5/16/20234哈尔滨工业大学土木学院王焕定

平面问题物理量的矩阵表示

取决于材料性质各相同性、线性弹性时

引入两个算子矩阵微分算子矩阵方向余弦矩阵平面应力平面应变：预备知识（回顾）5/16/20235哈尔滨工业大学土木学院王焕定基本方程矩阵表示平衡方程几何方程物理方程边界条件杆系问题的基本方程（作业）平衡方程如何建立？几何方程如何建立？内力和变形间关系如何？由微段的平衡条件建立

由微段的变形条件建立以上内容必须通过自己动手达到熟练掌握5/16/20236哈尔滨工业大学土木学院王焕定变形体虚位移原理和势能原理一、变形体虚位移时外力功计算二、变形体虚位移原理表述和证明三、一些名词含义的解释四、势能驻值原理和最小势能原理5/16/20237哈尔滨工业大学土木学院王焕定变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移时外力功计算内部微元体的受力分析10其余类推5/16/20238哈尔滨工业大学土木学院王焕定变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移时外力功计算内部微元体的位移分析虚位移算子符号能写出各点的位移吗？提示：连续函数台劳级数展开5/16/20239哈尔滨工业大学土木学院王焕定变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移时外力功计算内部微元体的外力功计算8y方向的力所做的功等于多少？请大家自行写出内部微元体x向外力的总虚功5/16/202310哈尔滨工业大学土木学院王焕定变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移时外力功计算内部微元体的外力功计算原形刚性位移变形位移5/16/202311哈尔滨工业大学土木学院王焕定变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移时外力功计算边界微元体的外力功计算设A点虚位移为5/16/202312哈尔滨工业大学土木学院王焕定变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移时外力功计算边界微元体的外力功计算不管是否平衡均一样5/16/202313哈尔滨工业大学土木学院王焕定变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移时外力功计算变形体的外力总虚功计算5/16/202314哈尔滨工业大学土木学院王焕定变形体虚位移原理和势能原理变形体虚位移时外力功计算矩阵表示变形体的外力总虚功1817485/16/202315哈尔滨工业大学土木学院王焕定变形体虚位移原理和势能原理虚位移原理的表述与证明虚位移原理的表述受给定外力作用，变形连续体处于平衡状态的充分必要条件为：对任意虚位移（具有任意、独立性），外力所做的总虚功恒等于变形体所接受的总虚变形功，也即恒满足如下虚功方程26能说出虚位移原理和虚功原理的表述有何区别吗？5/16/202316哈尔滨工业大学土木学院王焕定变形体虚位移原理和势能原理虚位移原理的表述与证明虚位移原理的必要性证明必要性需证明变形体平衡，虚功方程成立。155/16/202317哈尔滨工业大学土木学院王焕定变形体虚位移原理和势能原理虚位移原理的表述与证明虚位移原理的必要性证明必要性需证明变形体平衡，虚功方程成立。15=0格林公式5/16/202318哈尔滨工业大学土木学院王焕定变形体虚位移原理和势能原理虚位移原理的表述与证明虚位移原理的充分性证明充分性需证明虚功方程恒成立，变形体必平衡。设变形体不平衡，每瞬时均考虑惯性力则动平衡。也即此时，“体积力”为：因为“平衡”，由必要性可得：5/16/202319哈尔滨工业大学土木学院王焕定变形体虚位移原理和势能原理虚位移原理的表述与证明虚位移原理的充分性证明充分性需证明虚功方程恒成立，变形体必平衡。因为虚功方程恒成立，由此可得：因为虚位移的任意性和独立性，由此可得：这表明在虚功方程恒成立时变形体必无加速度5/16/202320哈尔滨工业大学土木学院王焕定变形泥体虚谜位移韵原理款和势叼能原匠理虚位选移原劝理的棋表述接与证浩明虚位移魔原理的慌几点说续明1）适蕉用于英一切驾可变倾形物燥体（炼可变财性固拢体、晋流体等）慌。2）虚功诞原理和情虚位移贫原理是继不同的落。前者侄只是必要性控命题，特而后者询则是充丝式分必要氏的命题裳。3）王光知远院士氏与我曾青经证明同，当不间是取微闭元体进行研滑究时，修不能证原明变形暑体平衡普。4）我们霞还曾经执证明，笨当虚位算移不具够有完全苦任意和独立铃性时，仍也不能近证明变车形体平乳衡。5/2歇/20蓄2321哈尔滨靠工业大偿学土叉木学院还王焕于定变形体河虚位移砖原理和穿势能原看理虚位异移原耗理的简表述晴与证绢明虚位移魂原理的淘几点说皱明5）只需董将面积料分改成嫁体积分江，线积警分改成痛面积分，代即可仅得到厨三维絮问题盛的虚迟功方插程。6）利用专虚位移丢原理做验近似分培析时，垄是应用林原理的充分梦性，认零为是用重必要性切时错误累的。7）像羡虚功溜原理啦证明该中一颜样，紧外力则总虚冰功可刻分解成荷载左与切割哑面内力络的总虚敬功的和已。此时精格林公枯式实瓶质是饼切割浇面内阿力总断虚功挣为零揭。8）格指林公加式也铺可理蚂解成丛是变捆形体赴虚功姿原理魔的变形。请大家略自行考仁虑如何益从虚功筐方程出甚发，用平衡患和边界他条件推糟得格林碎公式。——作业5/胶2/钱20黎2322哈尔滨激工业大特学土临木学院悉王焕顶定变形忠体虚怎位移泰原理甲和势度能原绩理一些名机词含义兄的解释1）任何拦满足几直何方程撒和位移援边界条疑件的位炼移，称作可简能位移猜，记作[d]k。2）由碍可能驴位移苏通过抽几何畏方程单求得坛的应透变，值称作可能应践变，记何作[]k。3）由月可能肆应变极通过乱物理舟方程跟求得翅的应相力，雀称作可能应皮力，记很作[]k。4）可能击应力在留可能应敌变时所鸦作的功园，也即樱所储存的挡应变葵能，鞠称作未可能押应变府能，她记作Uk。5/2链/20谣2323哈尔裤滨工尺业大搁学多土木画学院堤王钱焕定变形竿体虚款位移屋原理扁和势俊能原某理一些阁名词洒含义棋的解突释5）从可戚能位移扒退回到引初始（蹄也称自巧然）状午态时，外力歼所作讨的功侨，称庭作外存力势旅能，丈记作Pf。6）可壮能应畏变能秤和外低力势惯能的掉总和性，称昌作对吸应可能位移[d]k的总势捡能，简股称总势时能，记播作k。7）可能近位移和母真实位酷移的偏怕差，称泰作位移竟的变分，记眨作[d]。由此可药得应变酱、应力委的变分赴。8）可团能位哄移总脏势能领和真颂实总识势能宅的偏丢差，漏其中与位仍移变践分成需线性衔关系贼的部肤分，陪称作计势能盗的一阶临变分侧，记抱作。位移变桌分二次卧式部分称作势枝能的二何阶变分导，记作2。余类推壤。5/谣2/移20披2324哈尔踩滨工原业大垮学哄土木猛学院最王浊焕定变形野体虚燥位移蛋原理萍和势爬能原翠理势能脂驻值堡原理咐和最些小势撤能原援理势能澡驻值魂原理号的表块述：某一塌变形叠可能济状态田为真吵实位移罗状态锡的充焰分必齐要条楼件是升，相毙应于过此位呀移状角态的变卧形体论势能凶取驻等值。眉也即群势能过对位格移的啄一阶挺变分恒挣等于俭零。为了证情明上述友原理，迟先证明虚如下的格林纷公式遥：式中满足平衡条件，和间满足几何方程，还满足位移边界条件。5/资2/客20俗2325哈尔偷滨工齐业大债学言土木酸学院典王刃焕定变形体他虚位移写原理和拴势能原酷理势能驻漫值原理区和最小农势能原精理格林公沫式的证鸦明：格林汁公式罗证毕5/鸡2/训20径2326哈尔俘滨工婶业大爽学富土木耽学院怀王秘焕定变形铁体虚心位移弹原理管和势掏能原今理势能驻仗值原理音和最小拣势能原巨理势能驻票值原理的证跟明：变形体隐的总势蜂能可表娱为：式中势按能的一食阶变分希为：将位该移的泻一阶核变分摩理解括为虚位移，则提由变宿形体第虚位移泊原理滨的虚辉功方任程可逗证势戏能一景阶变遣分为芦零，兰能保温证平倘衡。陵因此念，势芽能原川理结群论正垃确。165/前2/刊20神2327哈尔秃滨工延业大长学高土木途学院堂王触焕定变形体蔬虚位移搭原理和趣势能原陕理势能驻洒值原理屋和最小唤势能原趟理最小口势能限原理酱：线性、沈弹性变滑形体的窜总势能报可表为威：由此磨可证圈明，哀对于委一切影位移咐变分竟，势旅能的浆二阶据变分恒红大于屿等于患零（泪仅在喷位移沉变分础为零放时才瓦等于箩零）弹。因结此势拒能取既最小掩值。从势较能原躬理证晨明可法见，喂它和她虚位庙移原俩理等宗价。代都等价晌于平牧衡条戒件.5/炮2/府20问2328哈尔某滨工智业大吗学作土木甲学院勾王然焕定虚位昌移原凡理和繁势能简原理倍的应偏用里兹法里兹法粱基本思勾路:选取申满足泳位移贩边界巷条件骆的函诱数作撕为“品基函宵数”慨，将一头个无寄限自返由度忍的位旁移设仅为若向干基肚函数流的线宴性组合样，从而把治无限自羞由度化事为有限词个自由作度问题病。以所设蹈位移作眨为可能摘位移，令体系撕的总势柜能一阶变鸦分恒奴等于欧零使续系统惠近似疯平衡锹，从而爪求得撑组合系数。代回所册设位移患场，可劈燕进一步臣确定任射意点的位移，产利用几罗何、物早理方程赠，还可匪求得应开变和应力等细。上述近奥似方法并即为里兹毫法。5/2舅/20领2329哈尔浙滨工缝业大坟学葱土木岁学院管王溉焕定虚位移犹原理和柴势能原烂理的应怠用里兹法里兹掩法的样解题脸步骤:1）选取阀满足慨位移朵边界期条件搂的函押数作船为“案基函悲数”2）设矛近似底位移峰场为避基函僵数的脑线性仆组合3）将姿所设敌位移层场代肉入势枯能表井达式旁，从适而将愈势能表为趁组合孕系数瓜的函啊数4）令势外能一阶眼变分（研对组合努系数偏蛇导）为趋零，建立灿求组剑合系狸数的港线性喝代数纪方程叨组，沫并求于所需遗量5/拘2/奇20滴2330哈尔匠滨工胶业大价学孙土木渐学院司王赵焕定虚位移隐原理和妨势能原桐理的应露用里兹侄法例捕一：洒试求脖图示仍悬臂因梁挠污曲线涉并计弄算B点挠度1）选取满油足位移肾边界条乎件（A点挠度才转角为塘零）的函打数作笑为“齐基函纱数”2）对于欲所选的世挠曲线沈，其虚善位移、福虚曲率供，可能质位移对莫应的弯父矩等如隙下所示欺：5/倾2/容20扯2331哈尔滨丑工业大良学土标木学院患王焕绣定虚位移鲁原理和的势能原窗理的应斗用里兹庸法例很一：贪试求醉图示部悬臂匹梁挠停曲线歇并计拜算B点挠度3）外石力的毯总虚乳功为眠：4）总托虚变群形功麦为：5/凡2/裹20冒2332哈尔滨免工业大末学土茄木学院弟王焕合定虚位旺移原杆理和治势能译原理雪的应佩用里兹零法例友一：欠试求直图示镜悬臂驶梁挠忘曲线刃并计晴算B点挠蛮度5）当v仅取搜一项太时，惯由虚笨功方呈程可放得：当v仅取二逗项时，届由虚功如方程可遮得：当v取三项晶时，由连虚功方区程可得洋：5/什2/际20张2333哈尔滨呢工业大疾学土彼木学院惑王焕毕定虚位移庙原理和砍势能原值理的应矿用里兹春法例柱一：天试求盏图示铁悬臂备梁挠参曲线洞并计佣算B点挠度5）当v仅取将一项伤时，纲弯矩代为：当v仅取演二项溪时，渣弯矩坚为：当v取三是项时损，弯崭矩为过：里兹法牢位移精犹度高于程内力精瞧度当试昨函数娇组合袜包含补真解钟时，结果为惭精确解歌，否则醋为近似欲解5/2萄/20栏2334哈尔滨贞工业大束学土衬木学院毙王焕骗定虚位么移原僵理和静势能盘原理并的应浓用里兹法例二：试求图示桁架结点位移并计算各杆内力(各杆EA相同)设D点水凤平位吵移为u，竖向联位移宿为v。在此迎位移摘下，应体系色的应躺变能U为：体系抄的外损力势忆能为验：体系题的总京势能确为：5/2势/20避2335哈尔滨拜工业大框学土竖木学院萌王焕袭定虚位京移原响理和强势能规原理清的应所用根据势即能原理爹，真实检位移应趴使总势庄能最小拾，因此逝由势能盗对位移坡的偏导狡数为零块可得由此可撇解得5/进2/录20醉2336哈尔喇滨工沾业大企学茧土木我学院占王森焕定虚位移锻原理和朴势能原拉理的应轻用由位充移可烤求得捕各杆昏变形脆（伸扔长）锯如下巾：由此可朋解得各贯杆的轴鸟力为：从这个宝例子你白能得到什麽头结论滨？（可抽参考阵龙书14章）5/熔2/朗20内2337哈尔滨亩工业大有学土厨木学院较王焕惑定虚位移杜原理和匙势能原赖理的应酷用例三：用原理推导等直杆AB杆端位移和杆端力关系取试奴函数巾如下想：5/2丘/20贤2338哈尔梦滨工挺业大舟学腹土木燥学院纠王蒙焕定虚位池移原验理和片势能懂原理轧的应缺用例三：用原理推导等直杆AB杆端位移和杆端力关系杆内任零意一点颤的挠度v可用稍结点晨位移疾作参卵数，边用试哀函数骗的组泄合来饼得到串，从苍试函贫数示外意图牛可见着，此习时位右移边仰界条字件自耕动满骄足由此位血移引起迫的杆件尊应变能U为：5/2重/20书2339哈尔弦滨工它业大漂学使土木睛学院烧王谅焕定虚位移垃原理和蹲势能原窜理的应客用由此位偶移引起抬的杆件早外力势燥能可用恒下式求俗得由势县能原洗理，舱总势筐能对效位移僻的偏受导数箩等于孝零（献这都累是数吉学推局演，夸请大公家自勿己看筋龙先烈生的印教程想）可恢得将应册变能璃和外抱力势厘能相狡加，战可得匀杆件同总势雕能为只：式中[k]、{R}见下门一页禽。5/嗽2/颤20围2340哈尔滨扭工业大惊学土趴木学院股王焕耕定虚位陶移原独理和漫势能洗原理戚的应隐用

由势能原理所推得的“刚度方程”式中烤刚度挥矩阵巨为5/躁2/海20凝2341哈尔冒滨工被业大尺学污土木贫学院类王剑焕定虚位移颗原理和肢势能原鼻理的应路用

由势能原理所推得的“刚度方程”式中等毕效荷载稀矩阵为希望大罗家自行推导上怨述结果不难陡验证吐，此结果齐和由稿叠加得到的蜜转角位移方煌程一枕样。杆端力矩阵等效结点力矩阵5/2摇/20掏2342哈尔政滨工径业大蹲学哈土木拦学院斤王伏焕定势能粉原理芬在平恋面问成题中疗的应网用设可杆能位习移为试用势能原理求图示平面应力问题的位移。显然此赠位移自骨动满足份位移边剂界条件矮。当只暗取一项舒时由此胃可得亿应变像能为5/杂2/深20遣2343哈尔抖滨工袭业大纺学叫土木贷学院感王看焕定势能原厌理在平龙面问题屯中的应院用由此可得应变能为应力边界的位移为由此可得外力势能为5/2文/20语2344哈尔崇滨工能业大激学锤土木堵学院培王眼焕定势能会原理见在平野面问叔题中磨的应福用由此可得总势能为由最小势能原理可得5/纤2/漂20厕2345哈尔抚滨工猜业大暴学胶土木钱学院薄王垦焕定势能砍原理脾在平斯面问步题中扩的应假用由此罚可求亭得代回可项能位移扁表达式肝，可得团位移为进一炸步可制以证仗