数值分析(宋岱才版)课后答案

第一章绪论

一本章的学习要求

(1)会求有效数字。

(2)会求函数的误差及误差限。

(3)能根据要求进行误差分析。

二本章应掌握的重点公式

(1)绝对误差：设x为精确值，X*为x的一个近似值，称e*=x*-x为X*的绝对误

差。

*

(2)相对误差：^z*=—o

X

(3)绝对误差限：£*=k*|=[x*-X卜

(4)相对误差限：£*=二=匕二d。

(5)一元函数的绝对误差限：设一元函数/(X)=O,则£(/*)=，•£(/)

(6)一元函数的相对误差限:

设一元函数/（x,y）=O,则£（/*）=・）•£（＞*）

(7)二元函数的绝对误差限:

(8)二元函数的相对误差限:

三本章习题解析

1.下列各数都是经过四舍五入得到的近似值，（1）试指出它们有几位有效数字，（2）分别

估计A及A2的相对误差限。

X；=1.1021,X2*=0.031,x3*=385.6,x；=56.430

解：（1）%；有5位有效数字，苫2*有2位有效数字，％；有4位有效数字，％；有5位有效

数字。

⑵A=x1x2x3,=x2x3,丝L=玉£,皂=X,X2,山题可知：为4的近似值，

~-dx}dx28X3

X；,x2*,Xj分别为玉,々,工3近似值。

所以

0.215

4=区,则有生=_1,四=_-^,同理有4,*为42的近似值，x,*,%*为花，

-匕加%血（xj-

%4的近似值，代入相对误差限公式:

2.正方形的边长大约为100cm,怎样测量才能使其面积误差不超过len??

解：设正方形的边长为x,则面积为S=/,生=2x,在这里设X*为边长的近似值，S*为

dx

面积的近似值：由题可知：｛5）=（岂]£（%•）4]

即：2X*-£（X*）41推出：£,（X*）<—^―=0.005cn?»

'）v'200

3.测得某房间长约L,=4.32m,宽约为/=3.12m,且长与宽的误差限均为0.01m,试问房

间面积S=Ld的误差限和相对误差限分别为多少？

Sv

解：设s=/d则有：j=d,—=l。在这里/*,d*S*分别为/,d,s的近似值:

dldd

皿…、咱43）0.0744

相对误差限为：£,S=--------------

-7|S*|4.32x3.12

4,下列公式如何计算才比较准确：

2*_]

（1）当X的绝对值充分小时，计算々二；

（2）当N的绝对值充分大时，计算公；

（3）当x的绝对值充分大时，计算出-R。

解：（1）当国->0时，^—2

2+2

2(e"+i)e'[e'e')e'[e'+e')

2(e'+e')2(e'+e')

W+I1,N+l

（2）当网-00时，-：_—^lx=argtgx=arg次(N+1)-argtgN

JN1+X-N

2

5.歹ij{%}满足递推关系”=10儿「I，n=l,2,...,若以=后”1.41,计算到几时误差有多

大？这个计算数值稳定吗？

解：已知准确值%=收，近似值算=L41，设他们的误差为则有：

8=必-＞卜|阿。7)-(1%―1卜明。一仆1%。

£2』九工|=|阿州)-(耳」卜。啊-习=10°£。

以此类推所以&。=氏-司卜|(1。H-1)-(1。斤1卜10小。-410%

，＜，128

=10|^2-1.41|＜10°x^x10=^x10

6.计算f=取血，1.4,直接计算和用1、来计算,哪一个最好？

(3+2何

解：依题意构造函数“x)=(x-l)*,则/z(x)=6(x-l)5,由绝对误差公式

£(/*)=|/(x*),H*)=6x(1.4-1升收一1.4卜6x0.0124x；xI0i=0.003072

7.求二次方程1-16*+1=0的较小正根，要求有3位有效数字。

解：由求根公式：xJ±J；6T.所以。玉=8+病，工2=8-而对比可知：

较小的根为々=8-倔，由相近数相减原理则有：

「(8+而)(8-病)1

x2=8-V63=7~^7=;-=———-0.0627

-(8+V638+V63

8.如果利用四位函数表计算1-cos2°,试用不同方法计算并比较结果的误差。

解：1-cos2°®1-0.994=0.006

1-cos2°=吧-2"X0-0349--«6.092x10-4

l+cos201.994

9.设x的相对误差限为6,求V的相对误差限。

解：由题意可知：设〃x)=y叫则有r(x)=100X，9在这里设£为X的近似值，/*为了

的近似值，由已知X的相对误差限为6。

£(/*)」/'(x》(x*)_I。。(x•广伞)_100e(x*)

所以:

"FT|4*)|=(了"方=1006

10.已知三角形面积s=labsinc,其中c为弧度,满足0<c<-,且a,b,c,的误差分别为ba、Nb,

22

Aco证明面积误差加满足竺』竺|+|竺+'。

s\a\\hc

ds似|+奈皿|,又因为:旨△bsinc,2=Lsinc

解：由误差定义：A?<

db2db2

ds11

-=-abcosc,代入上式可得:As<一bsinc+—asine|A&|+cbsc|Ac|

de222

1

—bsinc—asine-abcosc

222_______

两边同除以s可得:1,.

—a/?sinea/?sine-a/?sine

222

小八一rm/AabbAcTT

约分可得：一<—+—+—因为：0<c<—则有:tgc>c>0.,

sabtgc2

丁7人皿45/Ac_.

所以命感—W----1----1---成立。

ah

第二章插值法

一本章的学习要求

(1)会用拉格朗日插值和牛顿插值求低阶插值多项式。

(2)会应用插值余项求节点数。

(3)会应用均差的性质。

二本章应掌握的重点公式

(1)线性插值：L,(x)=l0(x)y0+/|(%)必o

(2)抛物插值:L,(x)=/0(x)y0+Z](x)yt+12(x)y2»

(3)〃次插值：=(x)以。

k=0

(4)拉格朗日插值余项:R“(X)=/(x)-L.(x)=/"⑷%(x)。

〃+1!

(5)牛顿插值公式：

XXXXXXXXXXXXXX

N(X)=/(0)4-/[0,I](-0)+--/[0,1--,,](-0)(-1)--(-„,I)«

f(xJ)

(6)/区,演,…%]=£

(x-x)(x-x,)---(x-x

六10…(xfj

(7)f[x0,x„-xn]=^p-.

n\

(8)牛顿插值余项:R“(x)=〃x)-N“(x)=/[xo，X]…x』0+i(x)。

三本章习题解析

1.给定的一系列离散点(1,0),(2,—5),(3,—6),(4,3),试求Lagrange

插值多项试。

解：设所求插值多项式为〃(元)=£3")=/。(工)・,0+/1卜>乂+/2(')・九'且已知：

，(尸对代入插值基函数公

x()=L0k2%=-5X2=3y2=-6x3=4y3=3,

式.川得.1心-1)(1心)._尤)_(x_2)(x_3)(x-4)

°(X。一-12乂尤一13)(-1X-2X-3)

JzX(x-Xo)(x-X2)(x-，3)=(1)(・3)(1)

1-

(X1-XO)(X1-X2)(X1X3)(lx-lx-2)

JzvA(x-Xo)(x-Xi)(x-X3)=(xT)(x—2)(X-4)

2(12一%0乂12一%)(12一羽)(2X1X—1)

化简代入p(x)得：p(x)=x3-4x2+3

2.若/(%)=216-3/+/+1,求/[3°3…36],/[3°,3'---37]O

解：由/⑹(x)=2x6!,所以：/⑹⑶=2x6!,严(x)=严⑷=0.由均差的性质(三)

可知：/[3°,3,…36]=/)=^^=2，/[3。3…3，]=/7I'=%。

3.给定函数表

012345

Xi

-7-452665128

(1)试用Lagrange插值法求一个三次插值多项式“X)，并由此求/(。.5)的近似值。

(2)试用Newton插值公式求一个三次插值多项式N?(X)，并由此求/(0.5)的近似值。

解:⑴〃=3,取0.5附近的4个点为宜。故取，%=0,x,=l=-4々=2,%=5,

七=3,%=26。则L、(X)=/o(x).yo+/|(x).y+/,(x).y,，按照习题1求出插值基

函数。代入L,(X)。可得：L<X)=J+2X-7,所以：/(0.5卜11]+2x1-7=-5.875

(2)设牛顿插值多项式为

x+[xo'X)](%-Xo)+/[%o*X2](x-Xo)(x-Xi)

N3()=f(x^fXe

列差商表：

一阶插商二阶插商三阶插商

玉

0-7

1-43

2593

3262161

3

所以：^3(X)=-7+3(X-0)+3(X-0)(X-1)+(X-0)(X-1)(X-2)=X+2X-7=-5.875

4.设%为互异节点(j=0,l,2,…,n)求证：之X；/j(x)三丁，%=0,1,2,...,〃其中/0)为

J=o1J1

〃次插值基函数。

证明：根据题意：设〃x)=x",所以有匕=/(.)=%：,

结合上式所以有：之也(X)="“j(x)=£/j(x)y=L,(%J

；=o;=oj=O'J

由余项定理可知：/(可)=4(%)+R(%J

且由定理二可知，当OWJW〃时，R“(xj=O所以就有/(xJ=L.(,)=x/。

在这里令变量Xj=X,所以命题:Yxkjl^x)=X'成立。

7=0

5.设f(x)ec2[a/]且/⑷=/(/?)=0,求证：max|/(x)|<^(/>-a)2max|//z(x)|<.

证明：由题可知：、0=。，%=0，司="弘=0,故可构造线性插值多项式即为下式：

L(X)=/°(x)/")+/。)/")，记为⑴式，

因为"X)=L(X)+R(X)，记为⑵式，其中.(x)=£护(x_a)(x叫，记为⑶

式，

将⑴(3)代入(2)整理：

II

.f(x)=L(X)+R(x)=^^”a)+A^/e)+RJ，)(i)(x-b)

a-DD—Cl2!

所以邛(讣4-111

<-----max|（…）（j）］这里取"=方-代

-2!a<x<b乙

再放缩得SV⑸吊仅一。)2黑引/"(N

入，可推出：|/(x)|<

2!4

6.若f（x）=anxn+an_ix"~'+...+atx+a0有"个不同实零点4％,…%,证明：

nXQ,Q<k<n-2

Z。“廉=〃-1

j=lrGO

证明：由题可知：/(X)有〃个不同实零点，故/(X)还可以表示成根形式的多项式，即:

由导数的定义可知：力

%X-%

人XjI%

在此设：。(%)=%'；

n

.=-£

z（%广第）……（工厂"）（工广X）----（X；-%“）

六I/（町）ClnJ=]y+I

力幌…为⑴式

当后=〃一1时，“i(x)=(〃—l)!,则(1)变为4-；

当0M女<〃一2,则(1)式变为0,

综上所述：y-X;0,0<k<n-2

“”=〃T

7.给定函数表

-2-10123

xi

/㈤-5111725

已知以上数据取自一个多项式，试确定这个多项式的次数；并求出这个多项式。

解：用牛顿法：W（x）=/（%0）+./-[%（）,xl]（x-x0）+/[x（）,X）,x2,]（x-x0）（x-x1）+

…+/[%0，须，工2，刍，工4，*5]（%一%0）（*—尤|）（工一％2）（%一》3）（%一》4）,

列插商表:

•阶插商二阶插商三阶插商四阶插商五阶插商

〃玉）

-2-5

-116

010-3

11001

276310

325186100

N(X)=-5+6(x+2)-3(x+2)(x+l)+(x+2)(x+l)(x-。)=£-x+l,为三次。

8.对函数/（x）,g（x）及任意常数a,b,证明：

[«/1（X）+bg（x）][x0,x},---xn]^af[x0,xi,---x„]+bg区,占,••-%„]»

证明：由高等数学的知识，我们构造函数尸（X）=4（x）+bg（x）,于是就有下式成立:

\_af(x)+bg(x)][x0,xl,-xn]=尸(尤)]%,占,…x.]

=工

六0（工广工0）（%广%）…

=宜________________♦（%）+%（%）________________

一（%广.。）（％广.）,•■（%广孙）（%广%.）…•（%厂%”）

由分式法则：

___-__________/（x）______________\+hXl___________r____g（x）______,________

用（工广70）（工厂工）….（工厂X/T）（X「％加）•…（工厂X”），=°（即一70）（大广%）”“（%-丁尸）（工厂为“卜”（工厂二,）

=t?/'[x0,xl•■-xn]+Z>g[x0,x1,---xn],所以命题成立。

10.给定函数表

0.00.20.40.60.8

X,

1.000001.221401.491821.822122.22554

/（X，）

试分别用Newton前插值公式和Newton后插值公式计算/（0.05）的近似值。

分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣

的同学可自行解答，分别代入Newton前插值公式和Newton后插值公式可得

/(0.05)=1.05126.

11.若要给出/(x)=cosx,x』0日的一张按等距步长h分布的函数表，并按线性插值计

算任何xe的cosx的值。问当h取多大才能保证其截断误差的绝对值不超过

_2_

?10"。

分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣

的同学可自行解答，代入余项公式，即可求出力40.02。

12.设/(x)ec2"+2[q,可，采用Lagrange插值余项的证明方法，证明:埃尔米特插值余项

f2"+2(£]

R(x)=/(x)-”2,川(x)=；2〃+2)!苏用(X)。

分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣

的同学可自行解答，将定理2代入余项公式即可求得，在此不做说明。

13.求不超过3次的多项式“(X),使其满足”(-1)=9,(-1)=137(1)=1W,(l)=-1o

分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣

23

的同学可自行解答，设所求多项式为：H(x)=a0+alx+a3x+a3x,代入条件，即可求得:

//(X)=X3-4X2+4X«

14.求不超过4次的多项式p(X),使其满足P(0)=尸(0)=0，P(1)=P/(1)=1,

P⑵=1。

分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣

234

的同学可自行解答，设所求多项式为分析p(x)=aQ+atx+a2x+a3x+a4x,

代入条件，即可求得：p(x)=|?(x-3)2o

15.给定函数表

0123

〃七)00.521.5

(1)在边界条件/⑼=0.2,/(3)=-1下求三次样条插值函数S(X)；

(2)在边界条件/〃(0)=-0.3,/〃(3)=3.3下求三次样条插值函数S(X)。

分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣

的同学可自行解答，代入样条插值函数公式，即可求得，在此不做说明。

0.48x3-0.18x2+0.2x,xe[0,l]

32

结果为：（1）5（x）=J-1.04（x-l）+1.25（x-l）+1.28（x-l）+0.5,xe[l,2]

0.68（x-2）3-1.86（x-2）2+0.68（x-2）+2.0,xe[2,3]

0.5x3-0.15x2+0.15x,xe[0,l]

（2）j（x）=--1.2（x-1）3+1.35（x-1）2+1.35（x-1）+0.5,xe[1,2]

1.3（x-2）3-2.25（x-2）2+0.45（x-2）+2,xe[2,3]

第三章函数逼近及最小二乘法

一本章的学习要求

(1)会用最小二乘法求拟合曲线。

(2)会将非线性函数转化成线性函数。

二本章应掌握的重点公式

线性曲线拟合公式：

(媒㈤斗⑷媒0)。。(力3M=(。㈤晶0媒(浦由(力

j=0i=0

3「。)=£公弘亿)。亿)，

电f'=£o)WCy「电八工①,(KWy「

i=0i=0

三本章习题解析

1.设。°(x),@(x)…。,i(x)…是区间［0,1］上带权夕(力=》的最高项系数为1的正交多

项式序列，其中0o(x)=l,求，x〃(x)dx及°|(x)和℃)。

分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣

jJ.i--0、

的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：(x)dx=12；.(x)=x-2;

'［0,^^03

//\263

么3=%-1+历。

2.判断函数或(x)=l，/(x)=x,，么(x)=%2_；,在［-1,1］上带权夕(x)=l正交，并求

.(力使其在［-1，1］上带权p(x)=l与白(X)，0")，我(无)正交。

分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣

的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：

5

3.证明：若函数组直…。卜)是在［a,b］上带权夕(x)正交的函数组，则

媒(x),由(x)…0,*)必然是线性无关的函数组。

分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣

的同学可自行证明。

4.已知点列％=-2,玉=-1,x2=0,x3=1,%=2及权函数0(x())=0.5,

<y(xj=)=0(x3)=1,C9(x4)=1.5,利用公式(4—7)和(4—8)构造对应的正交多

项式PO(X)，PG)，P23。

分析：基于本题内容为教材中的选讲部分，考试不做任何要求。故只给出习题结果，有兴趣

的同学可自行解答，在这里只给出结果。结果为：p°(x)=i，p(x)=x_2,

心⑴十一卷DS。

5.已知数据表

01234

1.003.856.509.3512.05

%

t拟合这些数据的直线方程。

解：设所要拟合的直线方程为：y=a0+aiX,这里m=4,〃=1,4)(x)=l,必(x)=x,

(九。。)=£劭。。(外媒(幻=5'电心=电心=Z④。。")“")=I。，

(么。J=X④“(％,)“(％,)=3。，(。/)='劭裔(％)y,.=32.75，

i=07r=0

(。/4④“(Q=93.1，所以可得到以下方程组：扁:J：。卜圉：

解得：&=1.03,q=2.76,所以所求方程为y=L03+2.76x。

6.已知数据表

12345678

X，

33455667

y

求拟合这些数据的直线方程。

解：设所要拟合的直线方程为：y=a0+qx,这里〃2=7,〃=1,禽(％)=1,族(尤)=%,

(耙。。)/公。。")。。")=8，(耙=M。。)4劭。。"场(K)=36'

(“㈤4④。氏场(%.)=285，(必/4。(%,)y=©，

(〃)4。欧(仙=216,所以可得到以下方程组：［"第fcH；；

解得：4=2.22,q=0.95,所以所求方程为：y=2.22+0.95XO

a,

7.某发射源的发射强度公式为I=Ioe-,现测得/与，的一组数据如下表

0.20.30.40.50.60.70.8

4

3.162.381.751.341.000.740.56

4

试用最小二乘法根据以上数据确定参数/。和a的值。

解：先将/=/(<"线性化，即两边取以10为底的对数，变为怆,=lg/"_lgI，

设y=lg，A[=lg/%A=“lg"所以上式变为y=Ao+A，*。这里m=7,n=1,

Oo(x)=l，0|(x)=x,代入公式得：(。0。。)=石劭。0(幻媒(%)=8,

(。㈤=("㈤4④".(%M(%)=3.5,®M)=$①岗%腐%,)=203,

77008062

J)4劭。。")yt=68638，电')=La)03‘

所以可得到以下方程组设3.5(甸/0.8638],解得：008777)

3.5,2.03J|_Aj[0.08062

A产-0.04618,相应的/（）a5.64,aa2.89。

8.试用最小二乘法根据以下数据表

1.001.251.501.752.00

Xi

5.105.796.537.458.46

y,

求)，=aehx的最小二乘拟合曲线。

解先将y=四灰线性化，即两边取以10为底的对数，变为尼'=炫"+〃但'，设、=尼，，

4=lg",A=blg‘，所以原式变为：y=4+Ax。这里m=4,〃=1,0"）=1，

A(x)=X，代入公式得(。阂=£①，之(%,)%)=5，

他欧)=(么。0)N④么(%场")=75，仇”)=。丘)必")=11875,

(。力=Z0,我(%,)卜=3333，(°j)=之④么(%,)y,=51.2275，

<=0/=0

所以可以得到以下方程组：[5,75][A>]=p333],解得：4=3.708，

_7.5,11.875_|[Aj|_51.2275_

4=1.972,代回求得，。=3.071,8=0.5056,故方程为y=3.07le°s°56l

9.用最小二乘法求形如y=a+bx2的经验公式，使它拟合以下数据。

1925313844

19.032.349.073.397.8

y

解：先将y=a+以2线性化，设X=f,则原式变为y=a+/?x,这里〃?=4,〃=1,

0o（x）="。仆）=x，代入公式得（之㈤=耳0么（幻媒（％,）=5，

（。他）=（我直）4公么（］，场（幻=5327，（么"）=£公”（%,场（幻=7277699,

血”4④。。（％JY=271.4，（内必）40,如幻制％J=369321.5，

5,5327a271.4

所以可以得到以下方程组:

5327,7277699369321.5

解得：a=0.05004,6=0.97258,所求方程为：>'=0.97258+0.05004x2«

第四章数值积分和数值微分

一本章的学习要求

（1）会求各种插值型求积公式。

（2）会应用求积公式分析代数精度。

（3）掌握梯形公式，辛甫生公式及其误差余项。

（4）掌握复化梯形公式，复化辛甫生公式及其误差余项。

二本章应掌握的重点公式

⑴梯形公式：（/（1世=«\^［/（4）+/e）］。

⑵辛甫生公式：/（4）+4/（色|^）+/伍）

⑶复化梯形公式：7“=*（。）+4由（8）+/伍）］。

，Lk=l_

⑷复化辛甫生公式：S,,=*（a）+2»（%J+0心』+f⑹。

N|_&=1K=0\27_

（5）梯形公式的误差余项：R,"）=_/2詈e-a）'Je（a,b）

（6）复化梯形公式的误差余项：%（月=一等力2/〃何）。”（a,b）

三本章习题解析

1.用复化梯形公式和复化Simpson公式计算下列积分。

（1）f取"8;（2）RV4-sin2xdx，取〃=6

解（1）代入复化梯形公式可得了8二1〃。）+力/（羽）+/⑴卜SU14024,

T6&=1J

T=^/（0）+力仇）+/（£|卜03562,

⑵代入梯复化形公式可得:6

同理，分别代入复化Simpson公式可得:58=0.1115724,S6=1.03577.

2.确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指出所构造的求积公式所具

有的代数精度。

⑴£J(加“A/(叫+AJ(。)+AJ㈤

⑵。(加AJ(o)+A/")+4〃i)

⑶[fih/(xUj(j)+4〃o)+Aj㈤

⑷AJ(—〃)+AJ(x)

2A=A,+Ai+/L

解：(1)设〃x)=l,X,求积公式准确成立代入(1)式可得:0=h+h

-A0A2-

32

j/i=U+A2)/z

14

解得：&=&=§/?,A{=—h9

代入原式整理得：「/(x>/-/(o)+-/?■/(//),

J-/,333

对于"x)=d,代入上式验证，左边=右边，继续令/(x)=x4,代入上式验证,

左边。右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。

i=Ao+Ai+A?

2

(2)设“X)=1,x,X求积公式准确成立，代入(2)式可得:g=A「x+4

6=A=+24

121

解得：4)=A,=—,A=—x,

~63t2

代入原式整理得:

对于f(x)=x3,代入上式验证，左边=右边，继续令f(x)=/,代入上式验证，左

边H右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。

4h=4+A+&

(3)设f(x)=l,x,/,求积公式准确成立，代入(3)式可得:0=-4•力+A>'h

32

y//=(AO+A2)h

8,4,

解得：4=4=—/i,A=一h]

代入原式整理得：弟1力•/(—〃)—g九/(xJ+|/r/(〃)，

对于〃x)=x3,代入上式验证，左边=右边，继续令/(x)=x4,代入上式验证，

左边工右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。

(4)设=x,求积公式准确成立，代入(4)式可得上飞'

\'[0=-4)/?+Axi

hh2

解得：斗=§,A)--4=1%

代入原式整理得：fJ(x*x+

对于/(x)=x2,代入上式验证，左边=右边。继续令/(x)=x3,代入上式验证，

左边H右边，即所构造的求积公式具有3次代数精度。

3.证明：。(沙-：]/(0)+/⑴]一\[一⑴一尸(0)]具有3次代数精度。

证明：当〃x)=l时，

左边=1,右边=g[l+l]-、[0-0]=l,左边=右边。

当/(x)=工时，

左边=；，右边=」0+l]-L[l-l]=L，左边=右边。

22122

当〃%)=空时,

左边=§,右边=g[0+l]-(■[2-0]=；,左边=右边。

当”x)=d时，

左边=工，右边=—,左边=右边。

44

当/(丫)=尤4时，

左边=!，右边=1,左边有边。

56

故所求积公式具有3次代数精度。

71

4.用复化Simpson公式S“计算积分psinxdx,要使误差不超过问应将区间

Jo2

TT7T

0,-分为多少等份？若改用复化梯形公式时,要达到同样精度间应将区间0,-分

22

为多少等份?

解：复化Simpson公式的余项的绝对值为:限⑺卜b-a由此可将原问题转

180-

£_5

071I-I<——过—<_!_乂[八$角毕得：“26。

化为R⑺卜器maxls,nH-92160n4-21°

4〃

同理若应用复化梯形公式，则有

-等〃7"M)f]max卜Ex层xlO'解得：n-255°

"\2n)应必

5.求积公式，/(xg°AJ(°)+AJ(i)+A2/'(°)，已知其余项表达式为

夫(/)=小〃(3。试确定求积公式中的待定参数A,，A，A?，使其代数精度尽量

高，并指出求枳公式所具有的代数精度及余项表达式。

/

1=4+4+4

解：设〃x)=l,X,f求积公式准确成立，代入原式可得：1..