2018年高考数学分类汇编：B单元 函数与导数

B单元函数与导数B1函数及其表示13.B1[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=log2(x2+a),若f(3)=1,则a=.

13.-7[解析]由f(3)=log2(9+a)=1,得9+a=2,即a=-7.5.B1,B7[2018·江苏卷]函数f(x)=log2x5.[2,+∞)[解析]要使函数f(x)有意义,必须满足log2x-1≥0,x>0,解得x≥2,B2反函数B3函数的单调性与最值12.B3[2018·全国卷Ⅰ]设函数f(x)=2-x,x≤0,1,x>0,则满足f(x+A.(-∞,-1] B.(0,+∞)C.(-1,0) D.(-∞,0)12.D[解析]f(x)的图像如图所示.当x+1≤0,2x≤0,即x≤-1时,若满足f(x+1)<f(2x),则满足x+1>2x,即x<1,此时x≤-1;当x+1>0,2x<0,即-1<x<0时,f(x+1)B4函数的奇偶性与周期性16.B4[2018·全国卷Ⅲ]已知函数f(x)=ln(1+x2-x)+1,f(a)=4,则f(-a)=16.-2[解析]由题,f(-x)=ln(1+x2+x)+∵f(x)+f(-x)=ln(1+x2-x)+1+ln(1+x2+x)+1=ln(1+x2-x2)+∴f(a)+f(-a)=2,∴f(-a)=-2.5.B4[2018·浙江卷]函数y=2|x|sin2x的图像可能是 ()图1-25.D[解析]令y=f(x),则f(-x)=2|-x|sin(-2x)=-2|x|sin2x=-f(x),故f(x)为奇函数,其图像关于原点对称,排除A,B.当x∈0,π2时,f(x)>0,当x∈π2,π时,f(x)B5二次函数14.B5[2018·天津卷]已知a∈R,函数f(x)=x2+2x+a-2,x≤0,-x2+2x-2a,x14.18,2[解析]当x>0时,f(x)=-x2+2x-2a,此时只需-x2+2x-2a≤x恒成立,即2a≥-x2+x恒成立,因为x>0时,-x2+x的最大值为14,所以a≥18;当-3≤x≤0时,f(x)=x2+2x+a-2,此时只需x2+2x+a-2≤-x恒成立,即a≤-x2-3x+2恒成立,因为在[-3,0]上,-x2-3x+2的最小值为2,所以a≤2B6指数与指数函数5.B6、B7[2018·天津卷]已知a=log372,b=1413,c=log1315,则a,A.a>b>c B.b>a>cC.c>b>a D.c>a>b5.D[解析]根据指数函数性质得1413<140=1,根据对数函数性质得log372>1,log1315=log35>1,且log37B7对数与对数函数7.B7[2018·全国卷Ⅲ]下列函数中,其图像与函数y=lnx的图像关于直线x=1对称的()A.y=ln(1-x) B.y=ln(2-x) C.y=ln(1+x) D.y=ln(2+x) 7.B[解析]y=lnx的图像过点(1,0),点(1,0)关于直线x=1的对称点还是(1,0),将(1,0)代入选项,只有B项满足,故选B.B8幂函数与函数的图像B9函数与方程15.B9[2018·浙江卷]已知λ∈R,函数f(x)=x-4,x≥λ,x2-4x+3,x<λ.当λ=2时,不等式f(x)<15.(1,4)(1,3]∪(4,+∞)[解析]当λ=2时,函数f(x)的图像如图所示,f(x)<0的解集为(1,4).当λ≤1时,f(x)只有1个零点为4;当1<λ≤3时,f(x)有2个零点为1和4;当3<λ≤4时,f(x)有3个零点为1,3和4;当λ>4时,f(x)有2个零点为1和3.故当1<λ≤3或λ>4时,f(x)有2个零点.B10函数模型及其应用11.B10[2018·浙江卷]我国古代数学著作《张邱建算经》中记载百鸡问题:“今有鸡翁一,值钱五;鸡母一,值钱三;鸡雏三,值钱一.凡百钱,买鸡百只,问鸡翁、母、雏各几何?”设鸡翁,鸡母,鸡雏个数分别为x,y,z,则x+y+z=100,5x+3y+11.811[解析]把z=81代入方程组,得x+y=19B11导数及其运算6.B11[2018·全国卷Ⅰ]设函数f(x)=x3+(a-1)x2+ax.若f(x)为奇函数,则曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为()A.y=-2x B.y=-xC.y=2x D.y=x6.D[解析]因为f(x)为奇函数,所以a-1=0,即a=1,所以f(x)=x3+x,所以f'(x)=3x2+1.因为f'(0)=1,所以曲线y=f(x)在点(0,0)处的切线方程为y=x.故选D.21.B11,B12[2018·全国卷Ⅰ]已知函数f(x)=aex-lnx-1.(1)设x=2是f(x)的极值点,求a,并求f(x)的单调区间;(2)证明:当a≥1e时,f(x)≥021.解:(1)f(x)的定义域为(0,+∞),f'(x)=aex-1x由题设知,f'(2)=0,所以a=12从而f(x)=,f'(x)=当0<x<2时,f'(x)<0;当x>2时,f'(x)>0.所以f(x)在(0,2)单调递减,在(2,+∞)单调递增.(2)证明:当a≥1e时,f(x)≥exe-ln设g(x)=exe-lnx-1,则g'(x)=.当0<x<1时,g'(x)<0;当x>1时,g'(x)>0.所以x=1是g(x)的最小值点.故当x>0时,g(x)≥g(1)=0.因此,当a≥1e时,f(x)≥013.B11[2018·全国卷Ⅱ]曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线方程为.

13.2x-y-2=0[解析]因为y'=2x,所以曲线y=2lnx在点(1,0)处的切线斜率为21=2,所以切线方程为y-0=2(x-1),即2x-y-2=21.B11,B12[2018·全国卷Ⅱ]已知函数f(x)=13x3-a(x2+x+1)(1)若a=3,求f(x)的单调区间;(2)证明:f(x)只有一个零点.21.解:(1)当a=3时,f(x)=13x3-3x2-3x-3,f'(x)=x2-6x-3令f'(x)=0,解得x=3-23或x=3+23.当x∈(-∞,3-23)∪(3+23,+∞)时,f'(x)>0;当x∈(3-23,3+23)时,f'(x)<0.故f(x)在(-∞,3-23),(3+23,+∞)单调递增,在(3-23,3+23)单调递减.(2)证明:由于x2+x+1>0,所以f(x)=0等价于x3x2+设g(x)=x3x2+x+1-3a,则g'(x)=x2(x2+2x+3)(x2+x+1)2≥0,仅当x=0时g'(x)=0,所以g(x)又f(3a-1)=-6a2+2a-13=-6a-162-16<0,f(3a+1)=13>0,综上,f(x)只有一个零点.19.B11、B12[2018·北京卷]设函数f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex.(1)若曲线y=f(x)在点(2,f(2))处的切线斜率为0,求a;(2)若f(x)在x=1处取得极小值,求a的取值范围.19.解:(1)因为f(x)=[ax2-(3a+1)x+3a+2]ex,所以f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex,f'(2)=(2a-1)e2.由题设知f'(2)=0,即(2a-1)e2=0,解得a=12(2)(法一)由(1)得f'(x)=[ax2-(a+1)x+1]ex=(ax-1)(x-1)ex.若a>1,则当x∈时,f'(x)<0;当x∈(1,+∞)时,f'(x)>0.所以f(x)在x=1处取得极小值.若a≤1,则当x∈(0,1)时,ax-1≤x-1<0,所以f'(x)>0.所以1不是f(x)的极小值点.综上可知,a的取值范围是(1,+∞).(法二)f'(x)=(ax-1)(x-1)ex.①当a=0时,令f'(x)=0得x=1.f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(-∞,1)1(1,+∞)f'(x)+0-f(x)↗极大值↘所以f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.②当a>0时,令f'(x)=0得x1=1a,x2=1(i)当x1=x2,即a=1时,f'(x)=(x-1)2ex≥0,所以f(x)在R上单调递增,所以f(x)无极值,不合题意.(ii)当x1>x2,即0<a<1时,f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:x(-∞,1)1111f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.(iii)当x1<x2,即a>1时,f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:x-111(1,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以f(x)在x=1处取得极小值,即a>1满足题意.③当a<0时,令f'(x)=0得x1=1a,x2=1f'(x),f(x)随x的变化情况如下表:x-111(1,+∞)f'(x)-0+0-f(x)↘极小值↗极大值↘所以f(x)在x=1处取得极大值,不合题意.综上所述,a的取值范围为(1,+∞).10.B11[2018·天津卷]已知函数f(x)=exlnx,f'(x)为f(x)的导函数,则f'(1)的值为.

10.e[解析]f'(x)=exlnx+exx,所以f'(1)=20.B11、B12[2018·天津卷]设函数f(x)=(x-t1)(x-t2)(x-t3),其中t1,t2,t3∈R,且t1,t2,t3是公差为d的等差数列.(1)若t2=0,d=1,求曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程;(2)若d=3,求f(x)的极值;(3)若曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-63有三个互异的公共点,求d的取值范围.20.解:(1)由已知,可得f(x)=x(x-1)(x+1)=x3-x,故f'(x)=3x2-1.因此f(0)=0,f'(0)=-1,又因为曲线y=f(x)在点(0,f(0))处的切线方程为y-f(0)=f'(0)(x-0),故所求切线方程为x+y=0.(2)由已知可得f(x)=(x-t2+3)(x-t2)(x-t2-3)=(x-t2)3-9(x-t2)=x3-3t2x2+(3t22-9)x-t23+故f'(x)=3x2-6t2x+3t22-令f'(x)=0,解得x=t2-3或x=t2+3.当x变化时,f'(x),f(x)的变化情况如下表:x(-∞,t2-3)t2-3(t2-3,t2+3)t2+3(t2+3,+∞)f'(x)+0-0+f(x)↗极大值↘极小值↗所以函数f(x)的极大值为f(t2-3)=(-3)3-9×(-3)=63;函数f(x)的极小值为f(t2+3)=(3)3-9×(3)=-63.(3)曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-63有三个互异的公共点等价于关于x的方程(x-t2+d)(x-t2)(x-t2-d)+(x-t2)+63=0有三个互异的实数解.令u=x-t2,可得u3+(1-d2)u+63=0.设函数g(x)=x3+(1-d2)x+63,则曲线y=f(x)与直线y=-(x-t2)-63有三个互异的公共点等价于函数g(x)有三个零点.g'(x)=3x2+(1-d2).当d2≤1时,g'(x)≥0,这时g(x)在R上单调递增,不合题意.当d2>1时,令g'(x)=0,解得x1=-d2-13,x易得,g(x)在(-∞,x1)上单调递增,在[x1,x2]上单调递减,在(x2,+∞)上单调递增,g(x)的极大值g(x1)=g-d2-13=23g(x)的极小值g(x2)=gd2-13=-2若g(x2)≥0,由g(x)的单调性可知函数g(x)至多有两个零点,不合题意.若g(x2)<0,即(d2-1)32>27,也就是|d|>10,此时|d|>x2,g(|d|)=|d|+63>0,且-2|d|<x1,g(-2|d|)=-6|d|3-2|d|+63<-6210+63<0,从而由g(x)的单调性,可知函数g(x)在区间(-2|d|,x1),(x1,x2),(x2,|d|)内各有一个零点,所以,d的取值范围是(-∞,-10)∪(10,+∞).B12导数的应用9.B12[2018·全国卷Ⅲ]函数y=-x4+x2+2的图像大致为 ()9.D[解析]y'=-4x3+2x=-2x(2x-1)(2x+1),易知当x>0时,函数y=-x4+x2+2在0,22上单调递增,在22,+∞上单调递减,21.B12[2018·全国卷Ⅲ]已知函数f(x)=ax(1)求曲线y=f(x)在点(0,-1)处的切线方程;(2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥0.21.解:(1)f'(x)=-ax2+(2a-因此曲线y=f(x)在(0,-1)处的切线方程是2x-y-1=0.(2)证明:当a≥1时,f(x)+e≥(x2+x-1+ex+1)e-x.令g(x)=x2+x-1+ex+1,则g'(x)=2x+1+ex+1.当x<-1时,g'(x)<0,g(x)单调递减;当x>-1时,g'(x)>0,g(x)单调递增.所以g(x)≥g(-1)=0.因此f(x)+e≥0.22.B12[2018·浙江卷]已知函数f(x)=x-lnx.(1)若f(x)在x=x1,x2(x1≠x2)处导数相等,证明:f(x1)+f(x2)>8-8ln2;(2)若a≤3-4ln2,证明:对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.22.证明:(1)函数f(x)的导函数f'(x)=12x-由f'(x1)=f'(x2)得12x1-1x1因为x1≠x2,所以1x1+1x由基本不等式得12x1x2=x1因为x1≠x2,所以x1x2>256.由题意得f(x1)+f(x2)=x1-lnx1+x2-lnx2=12x1x2-ln设g(x)=12x-ln则g'(x)=14x(x-所以x(0,16)16(16,+∞)g'(x)-0+g(x)↘2-4ln2↗所以g(x)在(256,+∞)上单调递增,故g(x1x2)>g(256)=8-8ln2,即f(x1)+f(x2)>8-8ln2.(2)令m=e-(|a|+k),n=|a|+1k2+1,则f(m)-km-a>|a|+k-k-a≥0,f(n)-kn-a<n1n所以,存在x0∈(m,n)使f(x0)=kx0+a,所以,对于任意的a∈R及k∈(0,+∞),直线y=kx+a与曲线y=f(x)有公共点.由f(x)=kx+a得k=x-设h(x)=x-lnx-ax,则h'(x)=lnx-x2-1+ax由(1)可知g(x)≥g(16),又a≤3-4ln2,故-g(x)-1+a≤-g(16)-1+a=-3+4ln2+a≤0,所以h'(x)≤0,即函数h(x)在(0,+∞)上单调递减,因此方程f(x)-kx-a=0至多有1个实根.综上,当a≤3-4ln2时,对于任意k>0,直线y=kx+a与曲线y=f(x)有唯一公共点.11.B12[2018·江苏卷]若函数f(x)=2x3-ax2+1(a∈R)在(0,+∞)内有且只有一个零点,则f(x)在[-1,1]上的最大值与最小值的和为.

11.-3[解析]由题意得,f'(x)=6x2-2ax=2x(3x-a).当a≤0时,对任意x∈(0,+∞),f'(x)>0,则函数f(x)在(0,+∞)上是增函数,则f(x)>f(0)=1,则f(x)在(0,+∞)上没有零点,不满足题意,舍去.当a>0时,令f'(x)=0及x>0,得x=a3,则当x∈0,a3时,f'(x)<0,当x∈a3,+∞时,f'(x)>0,因此函数f(x)的单调递减区间是0,a3,单调递增区间是a3,+∞,在x=a3处f(x)取得极小值fa3=-a327+1.而函数f(x)在(0,+∞)内有且只有一个零点,所以fa3=-a327+1=0,解得a=3,因此f(x)=2x3-3x2+1,则f'(x)=2x(3x-3).令f'(x)=0,结合x∈[-1,1],得x=0或x=1.而当x∈(-1,0)时,f'(x)>0,当x∈(0,1)时,f'(x)<0,则函数f(x)在(-1,0)上是增函数,在(0,1)上是减函数,所以f(x)max=f(0)=1.又f(-1)=-4,f(1)=0,所以f(x)min=-4,故f(x)在[-1,1]17.C9,B12[2018·江苏卷]某农场有一块农田,如图1-5所示,它的边界由圆O的一段圆弧MPN(P为此圆弧的中点)和线段MN构成.已知圆O的半径为40米,点P到MN的距离为50米.现规划在此农田上修建两个温室大棚,大棚Ⅰ内的地块形状为矩形ABCD,大棚Ⅱ内的地块形状为△CDP,要求A,B均在线段MN上,C,D均在圆弧上.设OC与MN所成的角为θ.(1)用θ分别表示矩形ABCD和△CDP的面积,并确定sinθ的取值范围;(2)若大棚Ⅰ内种植甲种蔬菜,大棚Ⅱ内种植乙种蔬菜,且甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,求当θ为何值时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大.图1-517.解:(1)连接PO并延长交MN于H,则PH⊥MN,所以OH=10.过O作OE⊥BC于E,则OE∥MN,所以∠COE=θ,故OE=40cosθ,EC=40sinθ,则矩形ABCD的面积为2×40cosθ(40sinθ+10)=800(4sinθcosθ+cosθ),△CDP的面积为12×2×40cosθ(40-40sinθ)=1600(cosθ-sinθcosθ)过N作GN⊥MN,分别交圆弧和OE的延长线于G和K,则GK=KN=10.令∠GOK=θ0,则sinθ0=14,θ0∈0,π6.当θ∈θ0,π2时,才能作出满足条件的矩形ABCD,所以sinθ的取值范围是14,1.答:矩形ABCD的面积为800(4sinθcosθ+cosθ)平方米,△CDP的面积为1600(cosθ-sinθcosθ)平方米,sinθ的取值范围是14,1.(2)因为甲、乙两种蔬菜的单位面积年产值之比为4∶3,设甲的单位面积的年产值为4k,乙的单位面积的年产值为3k(k>0),则年总产值4k×800(4sinθcosθ+cosθ)+3k×1600(cosθ-sinθcosθ)=8000k(sinθcosθ+cosθ),θ∈θ0,π2.设f(θ)=sinθcosθ+cosθ,θ∈θ0,π2,则f'(θ)=cos2θ-sin2θ-sinθ=-(2sin2θ+sinθ-1)=-(2sinθ-1)(sinθ+1).令f'(θ)=0,得θ=π6当θ∈θ0,π6时,f'(θ)>0,所以f(θ)为增函数;当θ∈π6,π2时,f'(θ)<0,所以f(θ)为减函数.因此,当θ=π6时,f(θ)取到最大值答:当θ=π6时,能使甲、乙两种蔬菜的年总产值最大19.B12,B14[2018·江苏卷]记f'(x),g'(x)分别为函数f(x),g(x)的导函数.若存在x0∈R,满足f(x0)=g(x0)且f'(x0)=g'(x0),则称x0为函数f(x)与g(x)的一个“S点”.(1)证明:函数f(x)=x与g(x)=x2+2x-2不存在“S点”;(2)若函数f(x)=ax2-1与g(x)=lnx存在“S点”,求实数a的值;(3)已知函数f(x)=-x2+a,g(x)=bexx,对任意a>0,判断是否存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”19.解:(1)证明:函数f(x)=x,g(x)=x2+2x-2,则f'(x)=1,g'(x)=2x+2.由f(x)=g(x)且f'(x)=g'(x),得x=x因此,f(x)与g(x)不存在“S点”.(2)函数f(x)=ax2-1,g(x)=lnx,则f'(x)=2ax,g'(x)=1x设x0为f(x)与g(x)的“S点”,由f(x0)=g(x0)且f'(x0)=g'(x0),得ax02-1=ln得lnx0=-12,即x0=e-12,则a=当a=e2时,x0=e-12满足方程组(*),即x0为f(x)与g(x)因此,a的值为e2(3)对任意a>0,设h(x)=x3-3x2-ax+a.因为h(0)=a>0,h(1)=1-3-a+a=-2<0,且h(x)的图像是不间断的,所以存在x0∈(0,1),使得h(x0)=0.令b=2x03ex0(1-x0),则b>0.函数f(x则f'(x)=-2x,g'(x)=be由f(x)=g(x)且f'(x)=g'(x),得-x2+a=b此时,x0满足方程组(**),即x0是函数f(x)与g(x)在区间(0,1)内的一个“S点”.因此,对任意a>0,存在b>0,使函数f(x)与g(x)在区间(0,+∞)内存在“S点”.B13定积分与微积分基本定理B14单元综合3.B14[2018·全国卷Ⅱ]函数f(x)=ex-e-x3.B[解析]由题易知x≠0.因为f(-x)=e-x-exx2=-f(x),所以函数f(x)为奇函数,所以A错;当x>0时,ex>e-x,此时f(x)>0,所以D错;当x=1时,f(1)=e-1e>212.B14[2018·全国卷Ⅱ]已知f(x)是定义域为(-∞,+∞)的奇函数,满足f(1-x)=f(1+x).若f(1)=2,则f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=()A.-50 B.0 C.2 D.50 12.C[解析]因为f(x)是奇函数,所以f(0)=0,且f[-(1-x)]=-f(1-x),即f(1-x)=-f(x-1),又由f(1-x)=f(1+x)得f(x+1)=-f(x-1),所以f(x+2)=-f(x),f(x+4)=-f(x+2)=-[-f(x)]=f(x),所以f(x)是以4为周期的周期函数.因为f(1)=2,f(2)=f(1+1)=f(1-1)=f(0)=0,f(3)=f(-1)=-f(1)=-2,f(4)=f(0)=0,所以f(1)+f(2)+f(3)+f(4)=0,故f(1)+f(2)+f(3)+…+f(50)=f(1)+f(2)=2,故选C.9.B14,C1[2018·江苏卷]函数f(x)满足f(x+4)=f(x)(x∈R),且在区间(-2,2]上,f(x)=cosπx2,0<x≤2,9.22[解析]由f(x+4)=f(x)(x∈R),得f(15)=f(-1+4×4)=f(-1),又-1∈(-2,0],所以f(15)=f(-1)=-1+12=12.而12∈(0,2],所以f(f(15))=f12=cosπ2×12=cosπ5.[2018·济宁期末]已知函数f(x)=log2x,x>0,A.0 B.3C.1 D.15.D[解析]由函数的解析式可得f12=log212=-1,则ff12=f(-1)=3-14.[2018·天津一中月考]已知奇函数f(x)在R上是增函数,g(x)=xf(x).若a=g(-log25.1),b=g(20.8),c=g(3),则a,b,c的大小关系为 ()A.a<b<c B.c<b<aC.b<a<c D.b<c<a14.C[解析]因为f(x)是奇函数且在R上是增函数,所以当x>0时,f(x)>0,从而g(x)=xf(x)是R上的偶函数,且在(0,+∞)上是增函数.因为a=g(-log25.1)=g(log25.1),且4<5.1<8,所以2<log25.1<3,所以0<20.8<log25.1<3,所以g(20.8)<g(log25.1)<g(3),即b<a<c,故选C.8