专转本高数复习6级数

an收敛SnanS（有限）n

kliman②an与bn收敛，则(anbnanbn(anbnanbn(anbn p p＝ p⑥qnqconst 6.1．计算n(nS

1)1 1)1,(nnk

n(n

k

n n 6.2．计算qn（qconst

11

1(n)1q 所以

1二、正项级数an(an0)如果

l an1lan1

l

n6.3n解：lim

lim lim( ) n n(n1)n1 nn 26.42

n 2n n1 lim lim n

n

例6.5．判别级数

3572n解：liman1

357...(2n－1)

n n357...(2n 囿级数法：如果0anbn（n）成立且bn收敛，则an收敛；anbn0bn发散，则an（极限式：如果liman（n

l

有限数an

0)特别地，若l0且bn收敛，则an收敛；若l且bn发散，则an发散。 n p，(C0)，p>1，an收敛，p1，an发散n

n2 sin2n n2 n2，而n2收敛，由比较判别法知 n2

2n 3n

/ 3n 而n2

26.8．已知

a收敛（a0，证 a2也收敛 证明：因为an收敛，故liman0n 0an1，因此0a2a nan收敛，由比较判别法知a2n 0ab1(a2b2，n a b收敛 a2 b2收敛 例6.10． 解：因为

3n1 1nn n而 发散，由比较判别法知 发散n 2n

6n22n 解：因 3n46n2p1lnn6.123/nllimn3/nn5/

limln nn1/ ln xx1/ x14x

xx1/l0，

n5/e6.130el

0e001n0

lim0lim

lim 0n

n x x n26.14

2n1sin

2nsinn3 2n 5收敛，由比较判别法知2nn

定义1：an 绝对收敛an收敛。2an条件收敛an发散，而an重要的一类级数为交错级数(1)nan（an0交错级 判别法：对于级数(1n（1）an0liman 则1an 例 3n32n3n33n32n13n313n32n3 而 收敛，所以 收3n32n 6.16解：对于

，因 1，所以发散，原级数绝对发散。14n214n26n 是交错级数 单调下降，且 4n26n 4n26n 4n26n 6.17．研究级数

sin1

sin

sinnk

=1sin1与

1 11当k0时，limsin 当0k1时 (1)nsin 1

为交错级数，且sinnk且sin 0(n)，故 收敛区间x0Rxx0Rxx0Rxx0R6.18．求

xn2n2R

(2(n1)25)n2n2 1x1时，原级数(1)2n251x1时，原级数2n25收敛；所以，收敛区间为[1,1]。6.19

n03n

y2x12，原级数2x11

ynn03nRyRx2

lim3n11313n13n13n1n3 32对于x )，原级数收敛；当x 时，y3，原级数发散，故收敛区间 （1）e

x 1nxn,1x xn, x11x

x（3）sinx xn02ncosx

1 x2n

xn0

n

xn x6.20fx

x nx n2 2解：1）fx 2 2212

1

xn1,x 2）fx1 1 3x 31x32 nx 2 n 1313 13nx1,x16.21fx

3 2x x2(2x1)2x f 2x1x 7x 72x1 1

2

n

x1

1n

2 2113

71 21 7

26.22fxxcos2xx解：fxx

x

x

1n 2n0x 1n22nx2n1,x6.23fxarctanxfx的幂级数展开式an 1n1 , fxf0 n02nfx2n

x16.24．求nxn1S(xnxn1 n1 1求导得：S(x)(x) 1 (1 例6.25．求 的和函数 解：令S(x) (xS(x))1x2x4 ，xS(x) ，x01 1

1S(x)

2xln1x

limun0是级 un收敛（ C．充要条 正项级 un收敛的 )是前n项部分和数列 C．充要条

A.1 B.(n n nn1 n1n D.2n

nn

B.

n12 3C.

2n2n

2n32n3 nn

B．

2n nC． n ln(n n C．幂级数A．1,1

nxn

的收敛域是 B．8.已知级数

， 幂级数 的和函数S(x) ，lim sin （1）

（2）an!（a0,a1, n2 n1

n3 n（3） n

(n n（5）n

n1 n （7）

nnsinn2n

(1)n1arcsin n1n2 n（1）n

（2）(2n1)(2n n（3）n

（4） nnf(x)1xln(1xx1f(x)

x24xx

f(x

2

求n(n1)1（2003） nA. 收 n

nn nC.n

绝对收 1

2（2003）

4

3（2004）

(x1

的收敛区间 4（2004）

x

5（2005）n D.（1（2）6（2005） 7（2005） . 级数(2n1)p2 f(x)

1

n n

n12

((1)n C．

2n32n3 ln(n C.

D.33ax(a0,a1)展开为x的幂函数是

(xln (xlnxnxA.

B.

C.

D.nnn6．n

的收敛半径R 1A. B． 3

D． (1)n7．

在x的和函数S(x) A. B． nn

C． D．2幂函数 x3x 的收敛半径是 2 A．

D．n(1)n n

n B． nC． n

D．n(n判断(1)n

2求幂级数2设p0，讨论p为何值时，级数 n1收敛1xln 1x 1讨论 n在0a1,a1和a11 2．Ｃ3．Ｃ4．Ａ5．Ｄ6．Ｂ8．p4;3p4;p sin10（１） 1，而1收敛n2 an1n

n2

n （２）limn1lim lima ae1n

nn an n a1a1 n31 1 （３） ln ln1n3n3，而n3 （４）发散。因为3nlnnlnn1n1 n（５）收敛。1n1n11 ，所以lim 1 n11而n3/21

n3/nn

n （６）

lim2 n

n

nn n

n

1n（７）n

lim lim 0nn nn （８）n2n

n2n

n2222

，而

n21（９）

n21

发散，而1n1

n2n

arcsinn n1(n)，故绝对发散1n而(1)narcsin1为交错级数。且arcsin10 (1)narcsin1条件收敛，n，11（1）

(n1)21

nn2 x2n21xn21 1 x2n21收敛区间为1122

) n （2）令yx (2n1)(2n1)! (2n1)(2nRy Rx收敛区间为n（3）令yx2，原级数x1 nRlim

n1n5 )5yRx

55

n1

x5，原级数收敛区间为5,

(1)n nn

（４）令y2x1，原级数 1n

Ry1,Rx221y1ny112gxln1xgx

xn,x

xn1

1 n01

n

xn1,x 1x3(x13．解：fx (x3)(x 2(x3)(x1( 1) 2x x 22x 24x1 41x 81x 11 x1n1(1)n1(x14 8 1n 1x1nx12 84n14（1）fx121

1xn

xnx22 12

n0

n2 2

1(x

1(xp3；2p3；p

，x 1 4.Ｂ5.Ｃ6.Ｃ7.Ａ8.Ｂ9.10.

，

nn ，故nn

发散，即不绝对收敛。

n1n1 2 2yx2nn2nRy

2n1n12，Rx 12n2y12n2

1发散，所以原级数收敛区域为2,22n 当0