系统仿真技术-第2章 经典的连续系统仿真建模方法学

系统仿真技术

第2章经典的连续系统仿真建模方法学

xx合肥工业大学机械与汽车工程学院

1谢谢你的观看2019-10-102.1离散化原理及要求

问题：数字计算机在数值及时间上的离散性----被仿真系统数值及时间上的连续性?连续系统的仿真，从本质上：对原连续系统从时间、数值两个方面进行离散化并选择合适的数值计算方法来近似积分运算

离散模型≈原连续模型？

2谢谢你的观看2019-10-10相似原理

设系统模型为：，其中u(t)为输入变量，y(t)为系统变量；令仿真时间间隔为h，离散化后的输入变量为，系统变量为，其中表示t=nh。如果

,且即,

（对所有n=0,1,2,…）

则可认为两模型等价。

3谢谢你的观看2019-10-10u(t)h

y(t)

-+图2.1相似原理原连续模型仿真模型

4谢谢你的观看2019-10-10对仿真建模方法三个基本要求

（1）稳定性：若原连续系统是稳定的，则离散化后得到的仿真模型也应是稳定的。

（2）准确性：有不同的准确性评价准则，最基本的准则是：

绝对误差准则：

相对误差准则：

其中

规定精度的误差量。

5谢谢你的观看2019-10-10对仿真建模方法三个基本要求(续)

（3）快速性：若第n步计算对应的系统时间间隔为计算机由计算需要的时间为Tn，若

Tn=hn

称为实时仿真，Tnhn称为超实时仿真

Tnhn

称为亚实时仿真，对应于离线仿真

6谢谢你的观看2019-10-10数值积分算法

对，已知系统变量y的初始条件要求y随时间变化的过程――初值问题

计算过程：由初始点的

欧拉法对任意时刻tn+1

截断误差正比于

7谢谢你的观看2019-10-10数值积分算法（续）

梯形法:

是隐函数形式。预报－—欧拉法估计初值，校正－—用梯形法校正：校正公式

预报公式

反复迭代，直到满足经典的数值积分法分为两类：单步法与多步法8谢谢你的观看2019-10-102.2龙格库塔法

2.2.1龙格-库塔法基本原理

对若令：则有

的数值求解：称作“右端函数”计算问题。在附近展开泰勒级数，只保留项，则有：9谢谢你的观看2019-10-10龙格-库塔法基本原理（续）

假设这个解可以写成如下形式：

其中

对式右端的函数展成泰勒级数，保留h项，可得：代入，则有：

10谢谢你的观看2019-10-10龙格-库塔法基本原理（续）

将(2)式与(1)式进行比较，可得：四个未知数但只有三个方程，因此有无穷多个解。若限定，则计算公式：其中

11谢谢你的观看2019-10-10龙格-库塔法基本原理（续）

若写成一般递推形式，即为：其中（1）截断误差正比于h3，称为二阶龙格-库塔法（简称RK-2）。

（2）截断误差正比于h5的四阶龙格--库塔法（简称RK-4）公式：其中：

12谢谢你的观看2019-10-102.2.2龙格--库塔法的特点

1.形式多样性例：非唯一解，可以得到许多种龙格--库塔公式：(中点公式)

其中

各种龙格---库塔法可以写成如下一般形式：其中

13谢谢你的观看2019-10-10龙格--库塔法的特点(续）

式中各系数满足以下关系

s称为级数，表示每步计算右端函数f的最少次数。可以证明，1阶公式至少要计算一次，2阶公式;….；4阶公式；依此类推。有时为了某种特殊需要，可以选择的计算公式。

14谢谢你的观看2019-10-10龙格--库塔法的特点(续）2.单步法

在计算时只用到，而不直接用等项。优点：存储量减小，可以自启动.3.可变步长

步长h在整个计算中并不要求固定，可以根据精度要求改变，但是在一步中，为计算若干个系数，则必须用同一个步长h。

15谢谢你的观看2019-10-10龙格--库塔法的特点(续）4.速度与精度

四阶方法的h可以比二阶方法的h大10倍，每步计算量仅比二阶方法大一倍，高于四阶的方法由于每步计算量将增加较多，而精度提高不快。

16谢谢你的观看2019-10-102.2.3实时龙格－库塔法

实时仿真：要求仿真模型的运行速度往往与实际系统运行的速度保持一致。一般的数值积分法难以满足实时仿真的要求，这不仅仅是因为由这些方法所得到的模型的执行速度较慢，而且这些方法的机理不符合实时仿真的特点。

考虑系统

17谢谢你的观看2019-10-10实时龙格－库塔法(续）RK-2公式如下：一个计算步内分两子步：

tn时刻：利用当前的un，yn计算k1----计算一次右端函数f需。tn+h/2时刻：应计算k2，尽管此时yn+1/2已经得到，但un

+1则无法得到。(若对un

+1也进行预报――加大仿真误差)。仿真执行延迟h/2――输出要迟后半个计算步距。18谢谢你的观看2019-10-10实时龙格－库塔法(续）RK-2的计算流程19谢谢你的观看2019-10-10实时龙格－库塔法(续）

实时2阶龙格－库塔法：

tn时刻，应计算k1，利用当前的un，yn，需要；tn+h/2时刻，应计算k2，此时yn

+1/2已经得到，un

+1/2也可得到，k2的计算就不会引入新的误差。计算一次右端函数需要，可实时输出yn

+1。

20谢谢你的观看2019-10-10实时龙格－库塔法(续）实时RK-2公式计算流程21谢谢你的观看2019-10-102.3线性多步法

2.3.1线性多步法基本原理

基本原理：利用一个多项式去匹配变量若干已知值和它们的导数值。

设：时刻的和已知;

预报：由和来计算校正：若也已知，由它们来计算

22谢谢你的观看2019-10-10线性多步法(续)

采用的多项式具有以下形式(m阶)

其中：是待定系数，在时刻，，可得到：（2-1）

23谢谢你的观看2019-10-10线性多步法(续)

由和确定，需要m+1个独立方程。该m+1个方程可由以下等式导出：（2-2）

24谢谢你的观看2019-10-10线性多步法(续)1、预报公式

令m=2k-1，从（2-2）式得到如下方程组：

25谢谢你的观看2019-10-10

（2-3）将其写成矩阵形式：（2-4）

其中上标p表示预报。其解为：（2-5）

26谢谢你的观看2019-10-10

由于为常数阵，其逆存在，Z向量中的各元素为已知值，因而d向量的各元素值可计算得到，从而由,得到下一时刻的预报值。

缺点：只有是所需要的，其它元素的计算成为多余

,得不到与和显式表达式。27谢谢你的观看2019-10-10线性多步法(续)定义：

（m+1）1的列向量

(2-6)定义辅助变量(2-7)此式可改写为(2-8)向量的元素可划分为两个组

(2-9)

28谢谢你的观看2019-10-10例：k=3，则(2-8)式为：可计算得到：

29谢谢你的观看2019-10-10

只依赖于k，即先前和的个数，而与它们的数值无关。这样，可以预先求解（2-8）式得到从而得到的显式表达式：

30谢谢你的观看2019-10-10例：试推导用预报公式

条件：已知

由

31谢谢你的观看2019-10-102、校正公式

预报公式――显式公式，未包括。校正：对该预报值应进行校正，即先预报得到，然后再用此值推出。由和以及来预报，可令m=2k-1，从（2-2）式得到如下方程组：

32谢谢你的观看2019-10-10将其写成矩阵形式：（2-10）

33谢谢你的观看2019-10-10校正公式(续)其中上标c表示校正，可得

(2-11)

34谢谢你的观看2019-10-10校正公式(续)

定义：为（m+1）1的列向量，上标T表示转置。将左乘（2-10）式可得：（2-12）定义（2-13）可改写为

（2-14）

（2-15）35谢谢你的观看2019-10-10例：k=3

同样，只依赖于k，即先前和的个数，而与它们的数值无关。这样

（2-16）从而

（2-17）

36谢谢你的观看2019-10-10例：已知，预估，然后用校正。预估

预报公式为校正校正公式为

37谢谢你的观看2019-10-102.3.2线性多步法误差分析

为了便于分析，对预报公式和校正公式，定义统一的表达式：（2-18）

-------显式预报显式预报时称为后向差分公式（BDF）同时均不等于0时为隐式校正公式

k称为公式的阶次。假设变量各时间的精确值已经得到，将其代入（21）式，可得：

（2-19）

38谢谢你的观看2019-10-10线性多步法误差分析（续）

在附近，将每个函数展开成泰勒级数：（2-20）对所有i(i=0,1,2,…,k)，将（2-20）式代入（2-19）式，合并同类项，可得

（2-21）39谢谢你的观看2019-10-10线性多步法误差分析（续）其中

（2-22）如果均为0，则称为p阶公式

（2-23）

40谢谢你的观看2019-10-10线性多步法误差分析（续）

下面，如果我们能证明上一节推导出的公式若能满足求均为0的条件，则就得出了这些公式的截断误差满足（2-23）式。以三阶公式为例，将（2-22）式与相关表达式表示成右端为零，可得：

41谢谢你的观看2019-10-10

先讨论预报公式，由于和，这意味着要将上述矩阵的第1列移到等式的右边，并去掉第5列。为了使矩阵成为方阵，将其最后两行也去掉。

42谢谢你的观看2019-10-10

其结果与用于推导预报公式的矩阵方程完全一样。

43谢谢你的观看2019-10-10

对校正公式，可采用类似的办法，只是，这样要将第第5列移到等式的右边；若假定，则可去掉第4列。同样为得到方阵，去掉最后两行，结果就是3阶校正公式。

这就表明，上一节导出的预报与校正公式的截断误差系数可