陕西省咸阳市2021年高考数学(二模)检测试卷(理科)

陕西省咸阳市2021年高考数学(二模)检测试卷(理科)2021年陕西省咸阳市高考数学检测试卷（理科）（二）（二模）一、选择题（每小题5分）.1．设集合A＝{x|（x+2）（x﹣2）＜0}，B＝{﹣3，﹣2，﹣1，0，1，2}，则A∩B＝（）A．{﹣1，0，1} B．{﹣3，1} C．{﹣2，0，2} D．{1，2}2．已知复数z＝，则z2021＝（）A．i B．﹣i C．﹣1 D．13．已知向量＝（x，2），＝（x+1，3），∥，则x的值为（）A．4 B．3 C．2 D．14．某校有男教师150人，女教师200人，为了了解该校教师的健康情况，从中随机抽取男教师15人，女教师20人，进行调查，这种抽样方法是（）A．简单随机抽样法 B．抽签法 C．随机数表法 D．分层抽样法5．中国人民银行发行了2020吉祥文化金银纪念币，如图所示是一枚5克圆形金质纪念币背面图案为松、鹤、灵芝、云纹等组合图案，并刊“松鹤延年”字样及面额，直径为18mm，小王同学为了测算图中装饰鹤的面积，他用1枚针向纪念币投掷500次，其中针尖恰有150次落在装饰鹤的身上，据此可估计装饰鹤的面积是（）A．mm2 B．mm2 C．mm2 D．mm26．已知a＝0.20.2，b＝20.1，c＝ln0.5，则a，b，c的大小关系为（）A．a＞b＞c B．a＞c＞b C．c＞a＞b D．b＞a＞c7．如图为某函数图象，则该函数解析式可能是（）陕西省咸阳市2021年高考数学(二模)检测试卷(理科)全文共13页，当前为第1页。A．y＝2|x|﹣x2﹣2 B．y＝2x﹣x2﹣2 陕西省咸阳市2021年高考数学(二模)检测试卷(理科)全文共13页，当前为第1页。C．y＝（x2﹣1）sinx D．y＝cosx8．抛物线C1：y2＝2px（p＞0）的焦点F与双曲线C2：﹣＝1（a，b＞0）的右焦点相同，抛物线C1与双曲线C2的两条渐近线分别交于A，B两点，且直线AB恰好过点F，则双曲线C2的离心率为（）A． B． C． D．9．我国的十二生肖纪年法是特有的纪年方法，又称天干地支纪年法，给十二地支配上相应的十二兽名，以十二年为一循环的纪年法，十二地支顺序为：子、丑、寅、卯、辰、已、午、未、申、酉、戌、亥．兽名顺序为：鼠、牛、虎、免、龙、蛇、马、羊、猴、鸡、狗、猪．子属鼠、丑属牛、寅属虎、卯属兔、辰属龙、已属蛇、午属马、未属羊、申属猴、西属鸡、戌属狗、亥属猪，是为十二属相，又称十二生肖．将十二生肖和年号结合起来，就可以查出准确的年份，已知2021年是牛年，从今年算起，第8个猪年是（）A．2114年 B．2115年 C．2116年 D．2117年10．设函数f（x）＝ex﹣e﹣x，则f（x）（）A．是奇函数，且在（﹣∞，+∞）单调递增 B．是奇函数，且在（﹣∞，+∞）单调递减 C．是偶函数，且在（﹣∞，+∞）单调递增 D．是偶函数，且在（﹣∞，+∞）单调递减11．四面体ABCD中，△ABD和△CBD均为正三角形，且它们所在平面互相垂直，已知AB＝2，则四面体ABCD外接球的表面积为（）A．12π B． C． D．16π12．已知函数f（x）＝cos2x+2sinx+a，函数g（x）＝logx．若任意x1∈[，π]，都有x2∈[，4]，使得f（x1）＝g（x2）成立，则实数a的取值范围为（）A．[﹣，] B．[﹣，1] C．[，] D．[0，]二、填空题（共4小题）.13．定积分的值为．陕西省咸阳市2021年高考数学(二模)检测试卷(理科)全文共13页，当前为第2页。14．已知集合M＝{5}，N＝{2，4}，Q＝{1，2，5}，从集合M、N、Q中各取一个元素依次作为空间直角坐标系O﹣xyz中向量的横坐标x、纵坐标y和竖坐标z，则可确定不同向量的个数为．陕西省咸阳市2021年高考数学(二模)检测试卷(理科)全文共13页，当前为第2页。15．《九章算术》中将底面是直角三角形的直棱柱称为“堑堵”．一块“堑堵”型石材的三视图如图所示，将该石材切削、打磨，加工成若干个相同的球，并使每个球的体积最大，则这些球的体积之和为．16．写出一个对称轴是直线x＝的奇函数f（x）＝．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n﹣1．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn．18．在直三棱柱ABC﹣A1B1C1中，∠BAC＝90°，AB＝AC＝2，AA1＝2，D在线段A1B上，且A1D：DB＝3：1．（Ⅰ）求证：A1B⊥平面ACD；（Ⅱ）求二面角B﹣AC﹣D的大小．陕西省咸阳市2021年高考数学(二模)检测试卷(理科)全文共13页，当前为第3页。19．已知椭圆C：＝1（a＞b＞0）的离心率为，且过点P（0，1）．陕西省咸阳市2021年高考数学(二模)检测试卷(理科)全文共13页，当前为第3页。（Ⅰ）求椭圆C的方程；（Ⅱ）设直线l：x＝m与椭圆C交于两点A，B，以AB为直径的圆D与y轴交于两点E，F，求△DEF面积的最大值．20．2021年元月10日，河北省石家庄某医院为确诊新型冠状病毒肺炎患者，需要检测核酸是否为阳性．现有n份（n∈N*）核酸样本，有以下两种检测方式：（1）逐份核酸检测n次；（2）混合检测，将其中k（k∈N，k≥2）份核酸样本分别取样混合在一起进行检测，若检测结果为阴性，则这k份核酸样本全部为阴性，因而这k份核酸样本只要检测一次就够了，如果检测结果为阳性，说明这k份核酸样本中存在阳性，为了弄清这k份核酸样本中哪些是阳性，就要对这k份核酸样本逐份检测，此时这k份核酸样本检测总次数为k+1次．假设在接受检测的核酸样本中每份样本检测结果是阴性还是阳性都是相互独立的，且每份是阳性的概率为p（0＜p＜1）．（Ⅰ）假设有5份核酸样本，其中只有2份为阳性．若采用逐份检测方式检测，求恰好经过3次阳性样本全部被检测出的概率；（Ⅱ）现取其中k（k∈N*，k≥2）份核酸样本检测，记采用逐份检测的方式，样本需要检测的总次数为X，采用混合检测方式，样本需要检测的总次数为Y．（ⅰ）求Y的分布列和期望；（ⅱ）若E（X）＝E（Y），求p关于k的函数关系式p＝f（k）．21．设函数f（x）＝1﹣axcosx（a＞0）在[0，]上最小值为1﹣．（Ⅰ）求a的值；（Ⅱ）求f（x）在（0，）上零点的个数．（二）选考题：共10分．考生从22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分．作答时用2B铅笔在答题卡上将所选题目对应的题号涂黑．[选修4-4：坐标系与参数方程]22．在平面直角坐标系中，曲线C1的参数方程为：（α为参数），以坐标原点O为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C2的极坐标方程为：ρ＝2sinθ．（Ⅰ）求曲线C1的极坐标方程和曲线C2的直角坐标方程；陕西省咸阳市2021年高考数学(二模)检测试卷(理科)全文共13页，当前为第4页。（Ⅱ）设直线l：y＝kx（k＞0）与曲线C1交于O，A两点，与曲线C2交于O，B两点，求|OA|+|OB|的最大值．陕西省咸阳市2021年高考数学(二模)检测试卷(理科)全文共13页，当前为第4页。[选修4-5：不等式选讲]23．已知函数f（x）＝|2x﹣1|+x+的最小值为m．（Ⅰ）求实数m的值；（Ⅱ）设a，b，c＞0，且a+b+c＝m，求证：a2+4b2+4c2≥6．陕西省咸阳市2021年高考数学(二模)检测试卷(理科)全文共13页，当前为第5页。

陕西省咸阳市2021年高考数学(二模)检测试卷(理科)全文共13页，当前为第5页。参考答案一、选择题（共12小题）.1．A．2．B．3．C．4．D．5．解：纪念币的直径为18mm，故其面积是S＝81πmm2，而装饰鹤的面积是纪念币面积的＝，故装饰鹤的面积S′＝81π×＝mm2，故选：C．6．解：指数函数y＝0.2x为减函数，∴0.20.2＜0.20，∴0＜a＜1，指数函数y＝2x为增函数，∴b＝20.1＞20＝1，∴b＞1，对数函数y＝lnx为增函数，∴c＝ln0.5＜ln1＝0，∴b＞a＞c，故选：D．7．解：由图象知函数为偶函数，当x＝0时，f（x）＜0，A：∵f（﹣x）＝2|﹣x|﹣（﹣x）2﹣2＝2|x|﹣x2﹣2＝f（x），∴f（x）为偶函数，当x＝0时，f（x）＝﹣2，∴A符合．B：∵f（﹣x）＝2﹣x﹣（﹣x）2﹣2＝﹣x2﹣2≠f（x），∴B不符合．C：当x＝0时，y＝0，∴C不符合．D：当x＝0时，y＝0，∴D不符合．故选：A．8．解：抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F（，0），陕西省咸阳市2021年高考数学(二模)检测试卷(理科)全文共13页，当前为第6页。双曲线﹣＝1（a＞0，b＞0）的渐近线方程为y＝±x，陕西省咸阳市2021年高考数学(二模)检测试卷(理科)全文共13页，当前为第6页。代入抛物线的方程，可得A（，），B（，﹣），由A，B，F三点共线，可得：＝，即有b＝2a，则双曲线的离心率为e＝＝＝＝．故选：D．9．解：2021年是牛年，则第一个猪年是2031年，十二年是一个循环，则7×12＝84（年），所以第8个猪年是2031+84＝2115（年），故选：B．10．解：因为f（x）＝ex﹣e﹣x，所以f（﹣x）＝﹣ex+e﹣x＝﹣f（x），即f（x）为奇函数，根据指数函数的性质可知，f（x）在（﹣∞，+∞）上单调递增．故选：A．11．解：设三角形BCD外接圆半径r，圆心F，球的半径R，球心O，取BD中点M，由△ABD和△CBD均为正三角形，且它们所在平面互相垂直可得AM⊥BD，CM⊥BD，AM⊥平面BCD，过F作平面BCD的垂线，过A作MF的平行线，两直线交于E，则四边形AMCE为矩形，O在EF上，EF＝PM＝，由正弦定理得＝2r，即r＝，故MF＝，设OF＝d，则所以R2＝＝（）2+（）2，解得d＝，R2＝，则四面体ABCD外接球的表面积S＝4πR2＝．陕西省咸阳市2021年高考数学(二模)检测试卷(理科)全文共13页，当前为第7页。故选：C．陕西省咸阳市2021年高考数学(二模)检测试卷(理科)全文共13页，当前为第7页。12．解：设f（x）在[，π]的值域为A，g（x）在[，4]的值域为B，由题意可得A⊆B，又f（x）＝cos2x+2sinx+a＝﹣2sin2x+2sinx+1+a，令t＝sinx，由x∈[，π]，可得t∈[﹣，1]，则y＝﹣2t2+2t+1+a在t＝时，y取得最大值a+，在t＝﹣时，y取得最小值a﹣，即A＝[a﹣，a+]，又g（x）＝logx在[，4]递减，可得B＝[﹣2，1]，所以，解得﹣≤a≤﹣，故选：A．二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分．13．定积分的值为1．解：＝lnx|1e＝lne﹣ln1＝1故答案为：1．14．解：集合M＝{5}只有一个元素，因此横坐标为5一种情况，N＝{2，4}有两个元素，因此纵坐标为2或4两种情况，Q＝{1，2，5}有三个元素，因此竖坐标为1或2或5三种情况，从中任选一个，共有1×2×3＝6种选择的方法，陕西省咸阳市2021年高考数学(二模)检测试卷(理科)全文共13页，当前为第8页。故可确定不同向量的个数为6个，陕西省咸阳市2021年高考数学(二模)检测试卷(理科)全文共13页，当前为第8页。故答案为：6．15．解：根据几何体的三视图转换为直观图为：该几何体为倒放的三棱柱；如图所示：三棱柱的侧棱长为，所以三棱柱的内切球的半径为，直径为4，所以n＝，所以可以打磨成3个球．故：故答案为：32π．16．写出一个对称轴是直线x＝的奇函数f（x）＝sin（πx）（答案不唯一）．解：根据题意，要求函数为奇函数并且存在对称轴x＝，f（x）可以由y＝sinx变换得到，则f（x）＝sin（πx），故答案为：sin（πx）（答案不唯一）．三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17-21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．（一）必考题：共60分．17．已知数列{an}的前n项和为Sn＝2n﹣1．（Ⅰ）求{an}的通项公式；（Ⅱ）设bn＝nan，求数列{bn}的前n项和Tn．解：（Ⅰ）∵Sn＝2n﹣1，∴当n＝1时，有S1＝2﹣1＝1＝a1，陕西省咸阳市2021年高考数学(二模)检测试卷(理科)全文共13页，当前为第9页。当n≥2时，有an＝Sn﹣Sn﹣1＝2n﹣2n﹣1＝2n﹣1陕西省咸阳市2021年高考数学(二模)检测试卷(理科)全文共13页，当前为第9页。综上，an＝2n﹣1；（Ⅱ）由（Ⅰ）可得：bn＝n×2n﹣1，∴Tn＝1+2×21+3×22+…+n×2n﹣1，又2Tn＝1×21+2×22+…+（n﹣1）•2n﹣1+n×2n，两式相减得：﹣Tn＝1+2+22+…+2n﹣1﹣n×2n＝﹣n×2n，整理得：Tn＝（n﹣1）•2n+1．18．解：（Ⅰ）证明：建立如图所示的空间直角坐标系，由题意得A（0，0，0），B（0，2，0），C（2，0，0），A1（0，0，2），B1（0，2，2），C1（2，0，2），D（0，，），＝（2，0，0），＝（0，，），＝（0，2，﹣2），因为•＝0，•＝0，所以⊥，⊥，又AC∩AD＝A，所以A1B⊥平面ACD．（Ⅱ）由（Ⅰ）知平面ACD的法向量为＝＝（0，2，﹣2），平面ABC的法向量为＝（0，0，1），设二面角B﹣AC﹣D的大小为θ，cosθ＝＝＝，所以θ＝．故二面角B﹣AC﹣D的大小为．陕西省咸阳市2021年高考数学(二模)检测试卷(理科)全文共13页，当前为第10页。陕西省咸阳市2021年高考数学(二模)检测试卷(理科)全文共13页，当前为第10页。19．解：（Ⅰ）由题意可知，解得：，∴椭圆C的方程为：．（Ⅱ）设A（m，y1），B（m，﹣y1），则D（m，0），E（0，y2），F（0，﹣y2），把A点代入椭圆方程得：，则圆D：（x+m）2+y2＝，把点E代入圆D方程：，即，∴S△DEF＝＝|y2|•|m|＝•|m|＝≤＝1﹣m2，当且仅当|m|＝时，等号成立，又∵m≠0且4﹣5m2＞0，∴，又∵|m|＝时取等号，则m＝，∴△DEF面积的最大值为1﹣m2＝1﹣2＝．20．解：（1）记恰好经过3次检验就能把阳性样本全部检验出来为事件A，∴P（A）＝＝；（2）（i）由题意可知Y的可能取值为1，k+1，P（Y＝1）＝（1﹣p）k，P（Y＝k+1）＝1﹣（1﹣p）k，故Y的分布列为：Y1k+1P（1﹣p）k1﹣（1﹣p）k陕西省咸阳市2021年高考数学(二模)检测试卷(理科)全文共13页，当前为第11页。∴E（Y）＝1×（1﹣p）k+（k+1）×[1﹣（1﹣p）k]＝k+1﹣k×（1﹣p）k；陕西省咸阳市2021年高考数学(二模)检测试卷(理科)全文共13页，当前为第11页。（ii）∵E（X）＝k，又∵E（X）＝E（Y），∴k＝k+1﹣k×（1﹣p）k，∴p＝f（k）＝1﹣，（k∈N+且k≥2）．21．解：（Ⅰ）∵f（x）＝1﹣axcosx（a＞0），∴f′（x）＝a（﹣cosx+xsinx），设g（x）＝xsinx﹣cosx，则g′（x）＝sinx+xcosx+sinx＝2sinx+xcosx，当x∈[0，]，g′（x）＞0，∴g（x）在x∈[0，]上递增，所以g（x）max＝g（）＝×﹣＝（﹣1）＜0，∴f′（x）＜0，则f（x）在x∈[0，]上递减，∴f（x）min＝f（）＝1﹣＝1﹣，∴a＝2．（Ⅱ）由（Ⅰ）得f（x）＝1﹣2xcosx，则f′（x）＝2（﹣cosx+xsinx），则f″（x）＝4sinx+2xcosx＞0在x∈（0，）上恒成立，∴f′（x）在x∈（0，）上递增，∵f′（）＝π＞0，f′（0）＝﹣2＜0，∴f′（x）在（0，）上有一个零点，∵f（0）＝1＞0，f（）＝1＞0，f（1）＜0，∴f（x）在（0，）