2024年浙江宁波鄞州中学强基自主招生数学试卷真题（含答案详解）

第=page11页，共=sectionpages11页2024年浙江省宁波市鄞州中学强基招生数学试卷一、填空题：本题共10小题，每小题3分，共30分。1.若，且，则______.2.______.3.已知正实数a，b，c满足，则的最小值为______.4.已知函数，当时，y有最大值5，则a的值为______.5.已知中，BC上的一点D，，，则的最大值为______.6.若点T为线段BC中点，，且，，，，则______.7.如图，在中，G，E分别在AB，AC上，连结BE交AF于O，若，，G，O，C共线，的面积为11，则的面积为______.

8.已知整数x，y，z满足，则的最小值为______.9.已知x，y，z是大于1的正整数，且为整数，则______.10.已知EA、EC为圆O的两条切线，连结DE交圆于点B，若，，，则______.

二、解答题：本题共2小题，共16分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。11.本小题8分

已知，矩形OAPB的A，B顶点分别在x轴，y轴上，反比例函数与矩形的BP，AP分别交于D，C，的面积为

判断并证明直线CD与AB的关系.

求k的值.

若E，F分别为直线AB和反比例函数上的动点，M为EF中点，求OM的最小值.12.本小题8分

如图，在中，，D是垂心，O是外心，延长AD交BC于E，于

求证：

证明：B，O，D，C四点共圆.

若，求

答案和解析1.【答案】

【解析】解：，

，

，

，

，是方程的两个根，

，

故答案为

根据观察方程组的系数特点，可把方程组转化成的形式，其中x，是其两个不等的实数根，利用根与系数的关系，得到结果．

本题考查了解方程组，一元二次方程根与系数关系的应用．关键是观察方程组的系数特点，得到x，是方程的两个根，得到结果．2.【答案】

【解析】解：原式

故答案为：

将改写为，改写为，…，再利用裂项相消法即可解决问题．

本题主要考查了数字变化的规律，能将改写为，改写为，…，及熟知裂项相消法是解题的关键．3.【答案】18

【解析】解：构造图示的三个直角三角形，

即，，，

满足，，，，，，

则由勾股定理可知，即同理可得，，

所以可知当A，C，E，G四点共线时，最小，

即为AG长，当当A，C，E，G四点共线时，

在中

故答案为

本题利用几何法求解，通过构造图示的三个直角三角形，即，，，

则由勾股定理可知，即同理可得，，

所以可知当A，C，E，G四点共线时，最小，

即为AG长，

本题主要考查二次根式最值问题，用几何法构造直角三角形，结合最短路径问题是解决问题的关键．4.【答案】1或7

【解析】解：由题意，的对称轴是直线，

当时，

又当时，，当时，，

①当最大值为，

或不合题意；

②当最大值为，

或，均不合题意；

③当最大值为，

不合题意或

综上，或

故答案为：1或

依据题意，由的对称轴是直线，结合当时，，又当时，，当时，，进而分类讨论即可判断得解．

本题主要考查了二次函数的性质、非负数的性质：绝对值、二次函数的最值，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键．5.【答案】

【解析】解：如图，以CD为边作等边三角形CDO，连接AO，过点O作于E，

，

设，则，

，，

点A在以O为半径，OC为半径的圆上运动，

当AB与圆O相切时，有最大值，

此时：，

是等边三角形，，

，

，

，

又，

，

，

四边形AOEB是平行四边形，

又，

四边形AOEB是矩形，

，

故答案为：

由题意可得点A在以O为半径，OC为半径的圆上运动，则当AB与圆O相切时，有最大值，由“HL”可证，可得，可证四边形AOEB是矩形，可得，即可求解．

本题考查了四点共圆，圆的有关知识，全等三角形的判定和性质，矩形的判定和性质等知识，确定点A的运动轨迹是解题的关键．6.【答案】3

【解析】解：如图，过T作延长DT交AB于

，

，

为线段BC中点，

，

在和中，

，

≌，

，

，

面积，

，

，

，

，

，

，

故答案为：

先画出图形，过T作延长DT交AB于由，得，再证明≌，得，，由面积，得，，，

，，，最后再计算即可．

本题考查了平行线的性质，利用中线倍长是解题关键．7.【答案】30

【解析】解：梅涅劳斯定理：如图，，

证明：过A作交BC延长线于点M，

则，，

；

塞瓦定理：如图，，

证明：根据上述梅涅劳斯定理，可得出，

在中，COG是梅涅线，①

在中，BOE是梅涅线，②

根据梅涅劳斯定理，在中，COG是梅涅线，

，

，，

，，

，

，

根据塞瓦定理可得，

，

，

而，

，

故答案为：

根据梅涅劳斯定理和塞瓦定理可得出和，从而得出，再利用即可得解．

本题主要考查了相似三角形的判定和性质、三角形面积问题等内容，在初中竞赛、自招、强基等题目中，梅涅劳斯定理和塞瓦定理是必须掌握的基础内容．8.【答案】118

【解析】解：，

，

，，，

，

即，

故答案为：

根据，得出，从而得出结论．

本题考查了因式分解的应用，关键是掌握完全全平方公式和非负数的性质．9.【答案】12

【解析】解：、y、z是大于1的正整数，

是分数，

为假分数，

为整数，且分子分母能互相约分，

，

①当，时，分子中定有7，

分母中有7才能进行约分，

当时，

，故符合题意，

，

②，时，分子中定有13，

分母中有13才能进行约分，

当时，

不是整数，故不符合题意，

③，时，分子中定有21，

分母中有21才能进行约分，

当时，

不是整数，故不符合题意，

…………

其余情况依次讨论均不符合题意

故答案为：

根据x、y、z的条件和三个分数的乘积为整数，得出x、y、z的值，进而求和．

本题考查了分式的混合运算，关键是根据已知条件分类讨论得到x、y、z的值．10.【答案】

【解析】解：连接OA，OD，OC，作，设，

同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍，，

，

，

是等边三角形，

，，

，CE是的切线，

，，，

，

，

，

，

，

∽，

，

同理可证：∽，

得出：，

，

，，

，

是直径，

，

，，，

，，

，

，

，

，

，

连接OA，OD，OC，作，设，证是等边三角形，得出，证∽，∽，得出，得出CD是直径，再解直角三角形，求出m，即可．

本题考查切线长定理，相似三角形的判定和性质，圆周角定理等知识．作辅助线构造相似三角形是解题的关键．11.【答案】解：如图1，

，理由如下：

由题意得，

，，

，，

，，

，

，

，

∽，

，

；

如图2，

作于G，

，

，

，

，

，舍去，

；

如图2，

取点，，

则直线与直线AB关于O对称，

连接EO，并延长交于H，连接FH，

则，

是EF的中点，

，

当FH最小时，OM最小，

作直线，交y轴与Q，且使QR与双曲线在第一象限的图象相切，切点为，作于R，作，

则FH的最小值是的长，

直线AB的解析式为：，

设直线QR的解析式为：，

由整理得，，

，

，舍去，

，

，

，，，

，

，

，

【解析】可表示出，，从而得出，，进而表示出PD和PC，进而得出，进而证得∽，从而，从而得出；

作于G，可推出，进一步得出结果；

取点，，则直线与直线AB关于O对称，连接EO，并延长交于H，连接FH，则，可得出当FH最小时，OM最小，作直线，交y轴与Q，且使QR与双曲线在第一象限的图象相切，切点为，作于R，作，则FH的最小值是的长，可设直线QR的解析式为：，由整理得，，从而得出求得m的值，进一步得出结果．

本题考查了求反比例函数和一次函数的解析式，函数图象的交点与方程组之间的关系，三角形中位线的性质，解直角三角形等知识，解决问题的关键是作辅助线，构造三角形的中位线．12.【答案】解：根据题意，以O为圆心，OB为半径作圆O，延长BO交圆于点F，延长BD交AC于点M，连接OC，CD，AF，FC，

是直径，

，，

为垂心，

，，，

，，

是平行四边形，

，

，，

，

，

设半径为r，，

，

又，

；

为垂心，

，，，

，

，

，

，，

、C、D、O四点共圆；

设，

，

，

在直角中，，，，

，，

，

在直角中，，

即：，

在直角中，，

即：，

，

，

在中，，

即：，

，

或舍去，

【解析】由垂心，得到垂直关系，结合圆周角度数为，得到圆心角的