光线光学演示文稿

光线光学演示文稿目前一页\总数四十页\编于十二点（优选）第一讲光线光学目前二页\总数四十页\编于十二点1、反射定律根据这一原理，马上可知在均匀媒质中，光线是直线，即光的直线传播定律。费马原理是几何光学的理论基础，从它可以导出几何光学的全部定律。例如：

作AC⊥M，AC＝CD，P是BD线与平面镜面的交点。所以P点位于平面ACDB内。根据费马定理，APB＜AQB，实际光线APB是极小值，因此DPB是一条直线，AP＝PD。目前三页\总数四十页\编于十二点2、折射定律（斯涅耳定律）这个定律是于1621年由W.Snell从实验上发现的，又：故光程为极小值。当反射或折射面不是平面而是曲面时，反射定律和折射定律同样成立。目前四页\总数四十页\编于十二点3、物像之间的等光程性——光程取恒定值4、凹球面镜反射——光程取极大值设A、B为椭球面的两个焦点，球面在椭球面内部，并相切于P点，光线为APB（满足反射定律），易证APB＝ARB＞AQB，故光线比相邻的路程要大，即光程取极大值。目前五页\总数四十页\编于十二点费马原理与哈密顿原理都是变分原理，形式上相似。本章将根据费马原理推得描述光线传播路径的方程，并且把分析力学中的一套研究质点运动轨迹的方法搬到光学中来，这种方法称为哈密顿光学。哈密顿光学适用研究光在折射率分布（非均匀）的媒质中的传播。

经典力学中的哈密顿原理为（参考《理论力学教程》周衍柏P.309）：其中L为拉格朗日函数，L＝T-V是力学体系的动能与势能之差。从哈密顿原理可推出拉格朗日方程：§1-2哈密顿光学一、光线微分方程目前六页\总数四十页\编于十二点其中——广义坐标，其中——广义坐标。由费马原理：

光学拉格朗日函数定义为：

于是（）式可写为：

称为光学哈密顿原理。

目前七页\总数四十页\编于十二点光学拉格朗日方程为：

把（）式代入，得：

同理：

光线方程目前八页\总数四十页\编于十二点在近轴情况下：

，光线方程变为：利用光线方程可以求出各种介质中光线的性质。举例如下：（近轴光线方程）此时n为常数，

，代入（1.2.10）式，得到：上式是直线方程，因此在均匀媒质中，光线的形状是直线。设折射率分布为，与z无关。利用近轴光线方程，有：1、均匀介质2、自聚焦介质目前九页\总数四十页\编于十二点把折射率分布代入，有

，解之，得：类似地，有：系数

由初始条件（入射点和入射方向）决定。如入射点在，方向角为时，光线是周期为的子午光线，光线被限定在平面内。入射点和方向角取适当值时，光线以螺旋形式传播，它距轴为恒定距离。目前十页\总数四十页\编于十二点∴光线方程可写为：为光线切线方向的单位矢量。对具有径向对称的媒质，沿着方向。于是：3、球面对称介质目前十一页\总数四十页\编于十二点这意味着所有光线都是平面曲线，所在平面皆通过原点O，并且沿每条光线也即nd=常数——布给（Bouguer）公式。它与质点在中心力场中运动时角动量守恒形式类似。由几何关系有（见《光学原理》上册P.167）：代入（）式，有：目前十二页\总数四十页\编于十二点4、麦克斯韦鱼眼把n(r)代入(1.2.20)式中，并令:其中是常数，折射率只是径向坐标r的函数。从某一物点发出的所有光线汇交在同一象点上。证明如下：其中c为（）式中的常数，可得：积分得：目前十三页\总数四十页\编于十二点其中a为积分常数，即：上式为麦克斯韦鱼眼中的光线方程。通过的曲线簇为:从上式可以看出，这些曲线都通过点，其中，所以来自一个任意点的所有光线，均相交于点到O连线上的点：和分别在O的两边，并且。目前十四页\总数四十页\编于十二点因此，鱼眼是一种理想成像，也称绝对仪器。又和两点是满足光线方程（1.2.24）的，因此每一条光线与固定圆相交于一直径的两端A，B（对不同的光线A，B点不同）。把极坐标变换到笛卡尔坐标中：（）式可化为：式是：（）式表示鱼眼中每一条光线都是一个圆。从鱼眼中的光线可以看出，光线弯向折射率高的一边，对一般情况也可证明（《光学原理》P.168）目前十五页\总数四十页\编于十二点在分析力学中，除了用拉格朗日方程来描述力学系统的运动规律外，还有哈密顿正则方程。其形式简单而对称，更加抽象、概括，而且易于向量子力学过渡。类似地光线光学中除了光学拉格朗日方程外，也可推得光学哈密顿正则方程，形式简单而对称，更加抽象概括，易于向波动光学过渡。

二、哈密顿正则方程目前十六页\总数四十页\编于十二点其中拉氏函数定义光学广义动量:其中是光线在点沿方向的方向余弦，称为光方向余弦。目前十七页\总数四十页\编于十二点定义光学哈密顿函数:根据拉氏方程，及广义动量的定义有：作变量代换，光学拉格朗日函数的微分为：目前十八页\总数四十页\编于十二点对比（）和（）有：∴H为的函数:（）式称为哈密顿正则方程。给定哈密顿函数H，便可计算光路。为了便于写出H，一般用折射率及光学方向余弦（广义动量）来表示。目前十九页\总数四十页\编于十二点这就是相对论光学哈密顿函数的表达式。在力学中对稳定约束系统H等于力学体系的总动量。三、哈密顿正则方程在近轴光学中的应用对于旋转对称系统，设：则：把H作泰勒展开，得：目前二十页\总数四十页\编于十二点在近轴近似下，H取到u,v的一次方项（高阶项对应于象差），由哈密顿正则方程，有：其中：其中：目前二十一页\总数四十页\编于十二点例1：单折射球面球面方程：目前二十二页\总数四十页\编于十二点例2：薄透镜四、程函方程对于薄透镜可得：程函（eikonal）是一个十分重要的物理量。标量波动方程为：其中表示电场的某一分量，。设（）的解为：其中是x,y,z的缓变实函数，把（）式代入（）式，得：从实部得：目前二十三页\总数四十页\编于十二点在的条件下（或是x,y,z的缓变函数，），有：(1.2.46)式称为程函方程，它是几何光学的基本方程。其中L为程函，表示波前（波阵面），即等位相曲面。例：从程函方程导出光线方程定义：光线——几何波阵面L＝常数的正交轨线。由程函方程：目前二十四页\总数四十页\编于十二点在上面的推导中用到了程函方程和微分关系：目前二十五页\总数四十页\编于十二点波动光学的基本方程

其中：n——介质的折射率，c——真空中的光速

——光波的电场分量§1-3几何光学与波动光学的过渡一、波动光学过渡到几何光学设上述波动方程解的形式为：其中：——振幅，——程函，目前二十六页\总数四十页\编于十二点代入波动方程得：如果波长很小，则在波长的数量级内，折射率平缓变化，因而振幅因子中的也平缓变化。所以当时，（1.6.7）化为:目前二十七页\总数四十页\编于十二点

S=常数的曲面叫做波面，其正交曲线就是几何光学中的“光线”，光线的方向余弦应为，即。在均匀媒质内，n为常数，，意指波面的形状不变，光线沿直线传播。目前二十八页\总数四十页\编于十二点在非均匀媒质内，与位置有关，波面形状要发生变化，而光线沿波面法向传播，光线必然弯曲。由程函方程可推得光线方程：由波动光学的波动方程出发，在的近似条件下可得到几何光学的程函方程，进而可推得光线方程，可见几何光学是波动光学在的极限情形。二、几何光学到波动光学波动光学几何光学波动力学（量子力学）经典光学目前二十九页\总数四十页\编于十二点经典力学中的力学量量子力学中要用算符表示动量算符哈密顿算符薛定谔方程即：是波函数，德布罗意波波长目前三十页\总数四十页\编于十二点几何光学中，与经典力学中动量对应的是广义动量，或称光方向余弦。类比于量子力学的动量算符表示，把光方向余弦用算符表示：取光线传输方向z为“时间”参量，有：光学哈密顿函数算符化：目前三十一页\总数四十页\编于十二点由对应关系，可以直接写出类似的光学薛定谔方程：由此式出发可推出波动光学的基本方程——波动方程。用光学哈密顿算符作用于上式，得：即：把代入上式，得：目前三十二页\总数四十页\编于十二点三、光线量子力学理论1、光场流线结构模型不含时间的波动方程：对比以上二式，可见：可见g的作用的确类似于量子力学中的。当波动光学的，也即时，就过渡到几何光学。光纤通讯、集成光学—→光线量子化理论，适用于限制在有限厚介质薄膜中定向运动的光场量子化。目前三十三页\总数四十页\编于十二点在介质薄层内传输的光场是由一束沿传输方向的无穷多几何流线构成。这束光流线具有波线双重属性。（1）在光传输方向上的横截面上，流线的密度由光场强度确定；（2）光流线的线迹遵守几何光学的费马原理；（3）光流线的结构模型既不否定光的波动性，也不否定光的粒子性，而且具有双重性的本质。用光流线模型研究光在致密介质中的传输特性可以不必过分地追究细微的光子量子，也不必过分地追究分解元波，只用二个独立的空间位移坐标（x,y）和三个角度参量（流线与传输方向夹角）来描述流线运动。目前三十四页\总数四十页\编于十二点2、光线力学的原理从几何光学的基本原理出发，对光场作出力学理论的描述称为光线力学，实际上为哈密顿光学。费马原理：拉氏函数广义动量光线哈密顿函数取傍轴近似，在近轴情况光学哈密顿将向非相对论的情况过渡，对（1.6.25）式作级数展开，取一级近似，可得：目前三十五页\总数四十页\编于十二点对比经典力学其中是常数，它与n的关系为：傍轴光线近似非相对论力学非傍轴光线力学相对论经典力学折射率n相当于势阱“光线折射率势阱”目前三十六页\总数四十页\编于十二点3、光线量子力学的基本原理在光线力学的基础上，接量子力学的一般原则，对力学量量子化，可以得到光线量子力学的基本问题。引进光线量子常数取光线传输方向Z为“时间”参量，对力学量算符简化，有：（1）坐标（2）动量（3）哈密顿量（4）非相对论哈密顿算符目前三十七页\总数四十页\编于十二点由算符的等价性，得：即：光线相对论量子力学方程，也称K-G方程。标量波动方程光线量子力学中的光线流：具有波粒二象性的流线。表示在ds面元上光线流的几率密度。目前三十八页\总数四十页\编于十二点近轴光线量子力学方程——非相对论量子力学方程取平面波为试探光流线分布函数相对论量子力学