备战中考XX年数学中考分类试题：一次函数

2011中考分类试题：一次函数

考点1：一次函数的概念.

相关知识：一次函数是形如丫=履+'（k、b为常数,且的函数，特别的当6=0时

函数为叫正比例函数.

考点2：一次函数图象与系数

相关知识：一次函数、二H+仇**°）的图象是一条直线，图象位置由k、b确定，攵>°直

线要经过一、三象限，4<°直线必经过二、四象限，沙〉°直线与y轴的交点在正半轴上,

b<0直线与y轴的交点在负半轴上.

思路点拨：一次函数，=履+'/7°）的图象的位置由1<、b确定,同时考虑k、b就确定

了直线经过的象限

1.（2011重庆江津，4,4分）直线y=x—1的图像经过象限是（）

A.第•、二、三象限B.第一、二、四象限

C.第二、三、四象限D.第一、三、四象限

【答案】D

2.（2011河北，5,2分）一次函数y=6x+l的图象不经过（）

A.第一象限B.第二象限C.第三象限D.第四象限

【答案】D

3.（2011贵州贵阳，12,4分）一次函数y=2x-3的图象不经过第象限.

【答案】二

4.（2011湖南娄底，14,4分）•次函数y=-3x+2的图象不经过第象限.

【答案】三

【答案】A

7.（2011江西南昌，5,3分）已知一次函数产x+b的图像经过一、二、三象限，则b的值

可以是（）.

A.-2B.-lC.OD.2

【答案】D

8.（2011江西b卷，5,3分）已知一次函数尸一x+b的图象经过第一、二、四象限，则b

的值可以是（）.

A.-2B.-lC.0D.2

【答案】D

9.（2011陕西，15,3分）若一次函数,=（2机—Dx+3-2机的图像经过一、二、四象限，

则m的取值范围是

1

m<—

【答案】2

10.（2011山东泰安，13,3分）已知一次函数产mx+n-2的图像如图所示，则m、n的取

值范围是（）

A.m>0,n<2B.m>0,n>2C.m<0,n<2D.m<0,n>2

【答案】D

11.（2011内蒙古呼和浩特市，12,3分）已知关于x的次函数y=的图象如图所示,

则|-川-而可化简为

【答案】n

12.（2011辽宁沈阳，13,4分）如果一次函数y=4x+b的图像经过第一、三、四象限，那

么b的取值范围是.

【答案】b<0

考点3：-次函数的增减性

相关知识：一次函数〉=日+仇"二°）,当左>°忖，y随x的增大而增大，当&<0时,

y随x的增大而减小.

规律总结：从图象上看只要图象经过一、三象限，y随x的增大而增大，经过二、四象限,

y随x的增大而减小.

1.（2011四川广安，17,3分）写出一个具体的丁随刀的增大而减小的一次函数解析式.

【答案】答案不唯一，如：y=-x+1

2.（2011湖南怀化，12,3分）一次函数y=-2x+3中，y的值随x值增大而.（填

“增大’或“减小”）

【答案】减小

3.（2011上海，12,4分）一次函数y=3x—2的函数值y随自变量x值的增大而

（填“增大”或“减小

【答案】增大

4.（20011江苏镇江,16,2分）一知关于x的一次函数户kx+4k-2（厚0）.若其图象经过原点，则

k=;若y随x的增大而减小，则k的取值范围是.

答案：2,k<0

5.（2011贵州遵义，7,3分）若一次函数>=（2一机卜一2的函数值y随x的增大而减小，

则机的取值范围是

A./〃<0B.加>0C.m<2D,机>2

【答案】D

6.（2011内蒙古赤峰，11,3分）已知点人（一5,2）,分4,1））在直线7=-3*+2上，则ab。

（填或"=,，号）

【答案】>

7.（2011广东广州市，9,3分）当实数x的取值使得有意义时，函数y=4x+l中y

的取值范围是（）.

A.y>-7B.y>9C.y>9D.y<9

【答案】B

8.（2011天津，13,3分）已知一次函数的图象经过点（0,1）,且满足>随X增大而增大，

则该一次函数的解析式可以为（写出一个即可）.

答案：>=x+i（答案不唯一，可以是形如>=丘+1,々A°的一次函数）

考点4：函数图象经过点的含义

相关知识：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的，因此，若已知「

个点在函数图象上，那么以这个点的横坐标代x,纵坐标代y,方程成立。

1.（2011安徽芜湖，7,4分）已知直线,=履+》经过点（女,3）和（1,左），则女的值为（）.

A.GB.±6c.6D.土丘

【答案】B

2.（2011台湾全区，1）坐标平面上，若点（3,b）在方程式3y=2x-9的图形上，则b值为

何？

A.-1B.2C.3D.9

【答案】A

3.（2011浙江义乌，11,4分）一次函数y=2x-l的图象经过点（a,3）,则a=▲.

【答案】2

4.（2011四川成都，21,4分）在平面直角坐标系中，点PQ,。）在正比例函数2

的图象上，则点Q（。，3。-5）位于第象限.

【答案】四.

5.（2011广西桂林，8,3分）直线产kx-1一定经过点（）.

A.（1,0）B.（1,k）C.（0,k）D.（0,-1）

【答案】D

6.（2011四川乐山8,3分）已知一次函数y="x+b的图象过第一、二、四象限，且与*

轴交于点（2,0）,则关于x的不等式。“一1）一6>°的解集为

A.x<-lB.%>-1C.x>lD.X<1

【答案】A

7.（2011台湾台北，9）如图所示的坐标平面上，有一条通过点（-3,—2）的直线L。若四点

（一2,a）、（0,b）、（c,0）、（d,—1）在L上，则下列数值的判断，何者正确?

A.a=3B»b>-2C»c<-3D。d=2

【答案】C

8.（2011湖北鄂州，14,3分）如图,把RtZXABC放在直角坐标系内，其中NCAB=90°,

BC=5,点A、B的坐标分别为（1,0）、（4,0）,将aABC沿x轴向右平移，当点C落在

直线产2x-6上时，线段BC扫过的面积为（）

C.16D.80

【答案】C

考点5：待定系数法

考点6：函数图象与方程（组）

相关知识：两个函数图象的交点坐标就是两个解析式组成的方程组的解。

1.（（2011浙江杭州，17,6）点A,B,C,D的坐标如图，求直线AB与直线CD的交点

y=2x+6和y=——x+1

【答案】求直线AB和CD的解析式分别为：•2

y=2x4-6

,1[x=-2

y=——X4-1

解方程组2得:)=2

则直线AB与直线CD的交点坐标为（一2,2）.

2.（2011青海西宁，13,2分）如表I给出了直线II上部分点（x,y）的坐标值，表2给

【答案】（2,-I）

考点7：函数图象与不等式（组）

相关知识：函数图象上的点是由适合函数解析式的一对x、y的值组成的（x、y）,x的值是

点的横坐标，纵坐标就是与这个x的值相对应的y的值，因此，观察x或y的值就是看函数

图象上点的横、纵坐标的值，比较函数值的大小就是比较同一个x的对应点的纵坐标的大小,

也就是函数图象上的点的位置的高低。

I4

乃=—X+—

H和233的图象相交于（一

I,I）,（2,2）两点.当必＞为时，x的取值范围是（）

A.x<-lB.—l<x<2C.x>2D.x<-l或x>2

【答案】D

2.（2011贵州毕节,16,5分）已知一次函数，=丘+3的图象如图所示，则不等式履+3<0

的解集是。

K

【答案】x>1.5

3.（2011吉林长春，13,3分）如图，一次函数y=^+"（"<°）的图象经过点A.当旷0

时，工的取值范围是

L

【答案】%〉2

4.（2011青海西宁，20,2分）如图，直线y=kx+b经过A（-l,1）和B（一巾，0）两点，

则不等式0<kx+b<-x的解集为一丫A

【答案】一币VxV-l

考点8：-次函数解析式的确定/。1―r

常见题型归类

第一种情况：不已知函数类型（不可用待定系数法），通过寻找题目中隐含的自变量和函数

变量之间的数量关系，建立函数解析式。（见前面函数解析式的确定）

第二种情况：已知函数是一次函数（直接或间接），采用待定系数法。（已知是一次函数或已

知解析式形式）'=履+力或已知函数图象是直线都是直接或间接已知了一次函数）

一、定义型一次函数的定义：形如卜=履+6,k、b为常数，且k知。

二.平移型两条直线4：y=kix+b\.l2.,=左2%+打。当匕=修，仇工坊时，

解决问题时要抓住平行的直线k值相同这一特征。

三.两点型从几何的角度来看，”两点确定一条直线”，所以两个点的坐标确定直线的

解析式；从代数的角度来说，一次函数的解析式'=履+匕中含两个待定系数k和b,所以

两个方程确定两个待定系数，因此想方设法找到两个点的坐标是解决问题的关键。

解题策略：想方设法通过各种途径找到两个点的坐标，代入函数解析式中用待定系数法求出

待定系数从而求出函数解析式。这类问题是见得最多的问题。

四、探索型不直接已知函数类型，但可通过探索知其类型，再用待定系数法求解析式

1.（2011浙江杭州，7,3）一个矩形被直线分成面积为x,y的两部分，则y与x之间的函

数关系只可能是

Ox

D.

【答案】A

2.（2011湖南常德，16,3分）设min{x,y}表示x,y两个数中的最小值，例如min{0,2}

=0,min{12,8}=8,则关于x的函数y=min{2x,x+2},y可以表示为（）

2x(尤<2)x+2(x<2)

x+2(xN2)2x

A.

C.y=2xD.y=x+2

【答案】A

3.（2011湖南怀化，7,3分）在平面直角坐标系中，把直线产x向左平移一个单位长度后,

其直线解析式为（）

A.y=x+lB.y=x-1C.y=xD.y=x-2

【答案】B

4.（2010乌鲁木齐，5,4分）将直线y=2x向右平移1个单位后所得图象对应的函数解析

式为

Ay=2x-lBy=2x-2cy=2x+lDy=2x+2

【答案】B

5.（2011浙江湖州，19,6）已知:T次函数丫=履+匕的图象经过M（0,2）,（1,3）两点.

（1）求k、b的值;

（2）若一次函数y=H+"的图象与x轴的交点为A（a,0）,求a的值.

b=2k=l

<

【答案】⑴由题意得快+"=3,解得I,b的值分别是1和2.

(2)由(1)得y=x+2,.•.当y=0时，x=-2,即a=—2.

6.（2011广东株洲，14,3分）如图，直线1过A、B两点，A（0,一1）,B（1,0）,

则直线1的解析式为

【答案】y=x-l

7.（2011年铜仁地区，19（2）,4分）已知一次函数产kx+b的图像经过两点B（2,-l）,

求这个函数的解析式.

肽+0=1肚=-2

【答案】根据题意得=T解得微=3所以函数的解析式是y=-2x+3

8.（2011湖南郴州市，20,6分）求与直线丫=》平行，并且经过点P（i,2）的一次函数解析

式.

【解】设一次函数解析式为y=^+”,因为图象与直线>='平行，所以％=1,

图象过点P（l,2）,所以2=lxl+b,所以b=l,所以一次函数解析式y=x+L

9.（2011四川自贡，8,3分）已知直线/经过点A（1,0）且与直线,=》垂直，则直线/的

解析式为（）

A.y=r+iB,y=-x-ic.y=x+iD.

y=x-l

【答案】A

10.（2011福建福州，19,12分）如图,在平面直角坐标系中,4、8均在边长为1的正方形

网格格点上.

（1）求线段AB所在直线的函数解析式，并写出当°4y42时,自变量x的取值范围；

（2）将线段A8绕点8逆时针旋转90°,得到线段BC,请画出线段BC.若直线BC的函数解析式

为）'=履+"，则随x的增大而（填“增大”或“减小”）.

【答案】（1）设直线A8的函数解析式为丫=依+°,依题意，得&I，。），B（0,2）

iO=k+b\k=-2

•」2=0+"解得M=2直线AB的函数解析式为>=-2X+2

当04y42时,自变量x的取值范围是°wxVl.

（2）线段8c即为所求增大

考点9：与一次函数有关的几何探究问题

考点10：一次函数图象信息题（从图像中读取信息。利用信息解题）

1.（2011吉林长春，25,10分）甲、乙两组工人同时开始加工某种零件，乙组在工作中有一

次停产更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍.两组各自加工数量y（件）与时间x（时）

之间的函数图象如图所示.

（1）求甲组加工零件的数量y与时间x之间的函数关系式.

（2）求乙组加工零件总量。的值.

（3）甲、乙两组加工出的零件合在一起装箱，每够300件装一箱，零件装箱的时间忽略不

计，求经过多长时间恰好装满第1箱？再经过多长时间恰好装满第2箱？

【答案】25.解:⑴•.•图象过原点及（6,360）.•.设解析式为y=>,

6k=360女=60；.y=60x（0<x<6）

（2）乙2小时加工100件，.•.乙的加工速度为每小时50件.

又•••乙组在工作中有一次停产更换设备后，乙组的工作效率是原来的2倍.

...更换设备后，速度为每小时加工5°x2=100件.«=100+100x（4.8-2.8）=300

（3）①2.8小时时，两个人共加工了60x2.8+50x2=268（件）所以加工300件的时间超过

2.8小时.

设加工了x小时.'>解得X-3.

y1-5---

②设再经过y小时恰好装满第二箱，由题意列方程得6°y+l0°y=30°解得，8

15

y=—

答：经过3小时恰好装满第一箱；再经过8小时恰好装满第二箱.

2.（2011四川广元，19,8分）小李师傅驾车到某地办事，汽车出发前油箱中有油50升，

行驶若干小时后，途中在加油站加油若干升，油箱中剩余油量y（升）与行驶时间t（小时）

之间的关系如图所示.

（1）请问汽车行驶多少小时后加油，中途加油多少升？

（2）求加油前油箱剩余油量y与行驶时间t的函数关系式；

（3）已知加油前后汽车都以70千米/小时的速度匀速行驶，如果加油站距目的地210千米,

要到达目的地，问油箱中的油是否够用？请说明理由.

【答案】（1）由图可知汽车行驶3小时后加油，加油31升.

（2）根据题意，设所求函数关系式为y=kt+b.

因此函数图象经过（0,50）,（3,14）两点.

%=50,Jb=50,

...=14.解之得卜=-12.

.•.y=-12t+50.（0<t<3）

（3）•..汽车加油前后都以70千米/小时匀速行驶，

50—14

每小时耗油量为：3=12（升）.

210

工从加油站到目的地行驶210千米需要油：12x70=36（升）.

又•••汽车加油后，油箱中有油45升>36升，

，油箱中的油够用.

3.（2011江苏连云港，27,12分）因长期干旱，甲水库蓄水量降到了正常水位的最低值.为

灌溉需要，由乙水库向甲水库匀速供水，20h后，甲水库打开一个排灌闸为农田匀速灌溉，

又经过20h,甲水库打开另一个排灌闸同时灌溉，再经过40h,乙水库停止供水.甲水库每

个排泄闸的灌溉速度相同，图中的折线表示甲水库蓄水量Q（万m3）与时间t（h）之间的函

数关系.

求：（1）线段BC的函数表达式；

（2）乙水库供水速度和甲水库一个排灌闸的灌溉速度：

（3）乙水库停止供水后，经过多长时间甲水库蓄水量又降到了正常水位的最低值？

【答案】解：(1)设线段BC的函数表达式为Q=kx+b.

VB,C两点的坐标分别为(20,500),B的坐标(40,600).

.•.500=20k+b,600=40k+b,解得,k=5,b=400

线段BC的函数表达式为Q=5x+400(20<t<40).

(2)设乙水库的供水速度为x万m3/h,甲水库一个排灌闸的灌溉速度为y万m3/

h.

皿士妨；20(x-y)=600-500&力3Jx=15

由4总息侍'[40(x-2y)=400—600解•份ly=10'

答：乙水库的供水速度为15万m3/h,甲水库一个排灌闸的灌溉速度为10万m3/

h.

(3)因为正常水位最低值为a=500—15x20=200(万m3/h),

所以(400-200)+(2x10)=10(h)

答：经过10h甲水库蓄水量又降到了正常水位的最低值。

【考点】一元函数，待定系数法，二元一次方程组。

【分析】(1)由B,C两点的坐标，用待定系数法列出二元一次

方程组可求。

(2)关键是找出等量关系：水库蓄水量=进水量一出水量，

进(出)水量=进(出)水速度x进(出)水时间。

(3)等量关系：正常水位的最低值OA(a)=B点蓄水量OE—蓄水量的变化值AE,

蓄水量降到水位最低值G的时间=蓄水量的变化值AF+出水速度,

蓄水量的变化值AF=D点蓄水量OF—G点蓄水量0A。

考点11：一次函数的文字信息题

考点12：一次函数的表格信息题

考点13：一次函数的实际应用题

思路点拨:：一次函数在实际中的应用是先根据条件求出次函数的解析式，然后根据一次

函数的性质解决相关问题.

规律总结：先求一次函数解析式，再利用一次函数的性质，对于图象不是一条线而是由多条

线段组成的，要根据函数的自变量的取值范围分别求.

类型一利用解析式直接解题

一线型

1.(2011浙江金华，22,10分)某班师生组织植树活动，上午8时从学校出发，到植树地

点后原路返校，如图为师生离校路程s与时间t之间的图象.请回答下列问题：

(1)求师生何时回到学校？

(2)如果运送树苗的三轮车比师生迟半小时出发，与师生同路匀速前进，早半个小时到达

植树地点，请在图中，画出该三轮车运送树苗时，离校路程s与时间t之间的图象，并结合

图象直接写出三轮车追上师生时，离学校的路程；

(3)如果师生骑自行车上午8时出发，到植树地点后，植树需2小时，要求14时前返回学

校，往返平均速度分别为每小时10km、8km.现有A、B、C、D四个植树点与学校的路程分

别是13km,15km、17km、19km,试通过计算说明哪儿个植树点符合要求.

解：（1）设师生返校时的函数解析式为$=厄+8，

S=\2k+b,伏=一5,

<V

把（12,8）、（13,3）代入得，〔3=13〃+b解得：也=68

.•.s=-5/+68,当s=O时，尸於6,

师生在13.6时回到学校；……3分

（2）由图象得，当三轮车追上师生时，离学校4km；

（3）设符合学校要求的植树点与学校的路程为x（km）,由题意得:

---F24---F817—

108<14,解得：x<9,

答：A、B、C植树点符合学校的要求.

2.（2011湖南益阳，19,10分）某地为了鼓励居民节约用水，决定实行两级收费制，即每

月用水量不超过14吨（含14吨）时，每吨按政府补贴优惠价收费；每月超过14吨时，超

过部分每吨按布场调节价收费.小英家1月份用水20吨，交水费29元；2月份用水18吨,

交水费24元.

（1）求每吨水的政府补贴优惠价和市场调节价分别是多少？

（2）设每月用水量为X吨，应交水费为y元，写出y与X之间的函数关系式；

（3）小英家3月份用水24吨，她家应交水费多少元？

【答案】解:⑴设每吨水的政府补贴优惠价为x元，市场调节价为y元.

14x+(20-14)y=29，Jx=L

14x+(18-14)y=24；解得［y=25

答：每吨水的政府补贴优惠价为1元，市场调节价为2.5元.

&)当04x414时，y=x9

当x>14时,y=14+(x-14)x2.5=2.5x-21

_x(0<x<14),

所求函数关系式为：)(2.5X-21(X>14).

⑶・「x=24>14,

把x=24代入y=2.5x-21,W-:y=2.5x24-21=39

答：小英家三月份应交水费39元.

3.(2011江苏南京，22,7分)小颖和小亮上山游玩，小颖乘会缆车，小亮步行，两人相约在

山顶的缆车终点会合.已知小亮行走到缆车终点的路程是缆车到山顶的线路长的2倍，小颖

在小亮出发后50min才乘上缆车，缆车的平均速度为180m/min.设小亮出发xmin后行走

的路程为ym.图中的折线表示小亮在整个行走过程中y与x的函数关系.

⑴小亮行走的总路程是cm,他途中休息了min.

⑵①当50<x<80时，求y与x的函数关系式；

②当小颖到达缆车终点为时，小亮离缆车终点的路程是多少？

【答案】解：⑴3600,20.

⑵①当504x480时，设y与x的函数关系式为V=丘+6.

根据题意，当》=50时，^=1950；当》=80,y=3600

「1950=5械+B「无=55

所以\解得1A2nn

13600=80^+6]8=-800

所以，与x的函数关系式为y=55x—80°

②缆车到山顶的路线长为3600+2=1800(机),

缆车到达终点所需时间为1800-180=10(""〃).

小颖到达缆车终点时，小亮行走的时间为10+50=60(〃"•〃).

把x=60代入y-55x-800,得y=55x60—800=2500.

所以，当小颖到达缆车终点时，小亮离缆车终点的路程是3600-2500=1100（机）.

4.（2011湖北襄阳，24,10分）

为发展旅游经济，我市某景区对门票采用灵活的售票方法吸引游客.门票定价为50元/人，非

节假日打a折售票，节假日按团队人数分段定价售票，即m人以下（含m人）的团队按原

价售票；超过m人的团队，其中m人仍按原价售票，超过m人部分的游客打b折售票.设

某旅游团人数为x人，非节假日购票款为X（元），节假日购票款为先（元）.X,%与x

之间的函数图象如图8所示.

（1）观察图象可知：a=；b=；m=；

（2）直接写出兄，力与x之间的函数关系式；

（3）某旅行社导游王娜于5月1日带A团，5月20日（非节假日）带B团都到该景区旅

游，共付门票款1900元，A,B两个团队合计50人，求A,B两个团队各有多少人？

0

【答案】

(])。=6;/?=8；〃2=10

(2)X=30x；4分

50x(0<x<10)

40x+100(x>10)

（3）设A团有n人，则B团有（50—n）人.

当gnWIO时，50"+30（50-"）=1900

解之，得n=20,这与nW10矛盾.7分

当n>[0时,40”+100+30（50-"）=1900g分

解之，得，n=30,9分

/.50-30=20

答：A团有30人，B团有20人.10分

5.（2011湖北宜昌，19,7分）某市实施“限塑令”后,2008年大约减少塑料消耗约4万吨.

调查分析结果显示，从2008年开始，五年内该市因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量丫（万

吨）随着时间x（年）逐年成直线上升,y与％之间的关系如图所示.

⑴求y与x之间的关系式；

（2）请你估计，该后2011年因实施“限塑令”而减少的塑料消耗量为多少？

解：（1）设尸kx+b.由题意,得2008k+b=4,2010k+b=6,.

解得k=l,b=-2004.•.y=x-2004.

（2）当x=20H时,y=20H—2004（6分）=7.

,该市2011年因“限塑令”而减少的塑料消耗量约为7万吨.

6.（20011江苏镇江,26,7分）某商店以6元/千克的价格购进某干果1140千克，并对其起先筛选

分成甲级干果与乙级干果后同时开始销售，这批干果销售结束后,店主从销售统计中发现:甲

级干果与乙级干果在销售过程中每天都有销售量，且在同一天卖完;甲级干果从开始销售至销

售的第x天的总销售量%（千克）与x的关系为y=-一+40x；乙级干果从开始销售至销售

的第t天的总销售量为（千克）与t的关系为为=af2+bt，且乙级干果的前三天的销售量的情

况见下表：

t123

214469

⑴求a、b的值.

（2）若甲级干果与乙级干果分别以8元/千克和6元/千克的零售价出售，则卖完这批干果获得的

毛利润为多少元？

（3）此人第几天起乙级干果每天的销售量比甲级干果每天的销售量至少多6千克?（说明:毛利

润=销售总金额-进货总金额.这批干果进货至卖完的过程中的损耗忽略不计.）

【答案】：（1）选取表中两组数据，求得a=l,b=20.

（2）甲级干果与乙级干果n天销完这批货。

贝ij―"②+4/?+n2+20〃=1140,即60n=1140,解之得n=19,

当n=19时，％=399,%=741.毛利润=399x8+741x6-1140x6=798（元）

（3）第n天甲级干果的销售量为-2n+4l,第n天乙级干果的销售量为2n+19.

（2n+19）-（-2n+41）＞6解之得nN7.

两线型

7.（2011江苏扬州，27,12分）如图1是甲、乙两个圆柱形水槽的轴截面示意图，乙槽中有

一圆柱形铁块立放其中（圆柱形铁块的下底面完全落在乙槽底面上）.现将甲槽的水匀速注

入乙槽，甲、乙两个水槽中水的深度V（厘米）与注水时间X（分钟）之间的关系如图2

所示.根据图象提供的信息，解答下列问题：

（1）图2中折线ABC表示槽中水的深度与注水时间的关系，线段OE表示

槽中水的深度与注水时间之间的关系，点8的纵坐标表示的实际意义是；

（2）注水多长时间时，甲、乙两个水槽中水的深度相同？

（3）若乙槽底面积为36平方厘米（壁厚不计），求乙槽中铁块的体积；

（4）若乙槽中铁块的体积为112立方厘米，求甲槽底面积（壁厚不计）.（直接写出结果）

【答案】解：（1）乙，甲，铁块的高度为14cm

6kl+4=0,k——2,

<<]

（2）设线段OE的函数关系式为y=+则也=12,.也=12.

•••DE的函数关系式为y=_2x+12.

4检+.=14,佐=3,

<<

设线段A8的函数关系式为>=幻+砥则也=12,A[b2=2.

•••A8的函数关系式为V=3X+2.

y=-2x4-12fx=2

<V

由题意得U=3X+2,解得[y=8.

,注水2分钟时，甲、乙两水槽中水的深度相同.

（3）°•.水由甲槽匀速注入乙槽，，乙槽前4分钟注入水的体积是后2分钟的2倍.

设乙槽底面积与铁块底面积之差为S,则（14-2）5=2x36x（19-14）,

解得5=30<m?.；.铁块底面积为36-30=6（^2.;.铁块的体积为6*14=8«0?.

（4）甲槽底面积为60cm2.

【分析】（1）折线A8C表示槽中水的深度与注水时间的关系是随时间逐步加深，体现了乙

槽中水的深度与注水时间的关系；线段表示槽中水的深度与注水时间的关系是随时间逐

步变浅，体现了甲槽中水的深度与注水时间的关系；点8的纵坐标表示槽中水的深度14厘

米，实际意义是铁块的高度为14cm。

（2）线段OE与线段AB交点的横坐标即为所求，故求出线段OE与线段48的函数

关系式，联立求解即可。

（3）要求乙槽中铁块的体积，只要利用图上乙槽前4分钟注入水的体积是后2分钟的

2倍这一条件，求出乙槽底面积与铁块底面积之差，再求乙槽中铁块的体积即可。

（4）.•.铁块的体积为112cm③，.•.铁块底面积为112+14=8cm?.设甲槽底面积为sen?,

^=2W/min.2,X（6-4）_25X4=8

则注水的速度为6由题意得19—1414-2,解得s=60..•.甲

槽底面积为60cm5

8.（2011江苏泰州，25,10分）小明从家骑自行车出发，沿一条直路到相距2400m的邮局

办事，小明出发的同时，他的爸爸以96m/min的速度从邮局沿同一条道路步行回家，小明

在邮局停留2min后沿原路以原速返回，设他们出发后经过tmin时，小明与家之间的距离

为SIm,小明爸爸与家之间的距离为S2m,,图中折线OABD,线段EF分别是表示Sl、S2

与t之间函数关系的图像.

求S2与t之间的函数关系式：

小明从家出发，经过多长时间在返回途中追上爸爸？这时他们距离家还有多远？

【答案】解：（l）t=2400+96=25

设s2=kt+b,将（0,2400）和（25,0）代入得:

'h=2400『=-96

〔254+匕=0解得：卜=2400

/.s2=-96t+2400

（2）由题意得D为（22,0）

设直线BD的函数关系式为：s=mt+n

12/71+n-2400in--240

得：〔22m+n=0解得:n=5280

.".s=-240t+5280

由-96t+2400=-240t+5280解得：t=20

当420时,s=480

答.：小明从家出发，经过20min在返回途中追上爸爸，这时他们距离家还有480m。

【考点】待定系数法,，二元一次方程组.

【分析】根据题意，利用代定系数法求解二元一次方程组即可.

9.（2011江苏淮安，27,2分）小华观察钟面（题27-1图），了解到钟面上的分针每小时旋

转360度，时针每小时旋转30度.他为了进一步研究钟面上分针与时针的旋转规律，从下午

2:00开始对钟面进行了一个小时的观察.为了研究方便，他将分针与分针起始位置OP（题

27-2图）的夹角记为yl度，时针与分针起始位置OP的夹角记为y2度（夹角是指不大于平

角的角），旋转时间记为t分钟，观察结束后，他利用所得的数据绘制成图象（题27-3图）,

6«0，W30）

并求出了yl与t的函数关系式：+360（30。W60）

p

请你完成：

(1)求出题27-3图中y2与t的函数关系式；

(2)直接写出A、B两点的坐标，并解释这两点的实际意义；

(3)若小华继续观察一小时，请你在题27-3图中补全图象.

【答案】解：(1)由题27-3图可知:y2的图象经过点(0,60)和(60,90),设y2=at+b,则

1

a=—

0a+b-602

6=60

60a+b=90解得

.•.题27-3图中y2与t的函数关系式为：y2=2t+60.

(2)求出两个函数的交点坐标即可；

120720]_

A点的坐标是A(11,11),点A是>=6«0<'(30)和丫2=21+6()的交点；

6001080]_

B点的坐标是B(13,13),点B是V=一6,+360(30VfW60)和y2=2t+60的交点.

(3)补全图象如下:

类型二利用增减性解决问题(一线型)

利用增减性计算

1.(2011贵州贵阳,23,10分)

童星玩具厂工人的工作时间为：每月22天，每天8小时.工资待遇为：按件计酬，多劳多

得，每月另加福利工资500元，按月结算.该厂生产A、B两种产品，工人每生产一件A

种产品可得报酬1.50元，每生产一件B产品可得报酬2.80元.该厂工人可以选择A、B两

种产品中的一种或两种进行生产.工人小李生产1件A产品和1件B产品需35分钟；生产

3件A产品和2件B产品需85分钟.

(1)小李生产1件A产品需要分钟，生产1件B产品需要分钟.

（2）求小李每月的工资收入范围.

【答案】解：（1）设小李生产1件A产品需要m分钟，生产1件B产品需要n分钟，则

Jm+n=354刀,日Jm=15

[3m+2n=85[n=20

（2）设小李每月生产A产品x件，则生产B产品的件数为也嘲也，设小李每月的工

资为y元，则y=1.50x+2.80x®嚼空+500.

整理，得y=-0.6x+1987.40.

,.22x8x60-15x八

・一20一海

.•.x<704,

••.X的取值范围为0<x<704.

当x=0n寸，y取最大值1987.40；当x=704时，y取最小值1565.00.

，小李每月的工资收入范围为1565.00〜1987.40元.

利用增减性设计

2.（2011宁波市，24,10分）我市某林场计划购买甲、乙两种树苗共800株，甲种树苗每

株24元，乙种树苗每株30元，相关资料表明：甲、乙两种树苗的成活率分别为85%,90%,

（D若购买这两种树苗共用去21000元，则甲、乙两种树苗各购买多少株？

（2）若要使这批树苗的总成活率不低于88%,则甲种树苗至多购买多少株？

（3）在（2）的条件下，应如何选购树苗，使购买的树苗的费用最低？并求出最低费用.

【答案】解：⑴设购买甲种树苗x株，乙种树苗y株，则列方程组｛某感

解得：It：!!!，答：购买甲种树苗500株,乙种树苗300株.

（2）设购买甲种树苗z株，乙种树苗（800-z）株，

则列不等式85%z+90%（800-z）>88%x800解得：z<320

（3）设甲种树苗m株，购买树苗的费用为W元，则W=24m+30（800—m）=-6m+2400

V-6<0AW随m的增大而减小，

V0<m<320.,.当m=320时，W有最小值W最小值=24000—6、320=22080元

答：当选购甲种树苗320株，乙种树苗480株时，总费用最低为22080元.

3.（2011福建泉州，24,9分）某电器商城“家电下乡”指定型号冰箱、彩电的进价和售价

如下表所示：

（1）按国家政策，农民购买“家电下乡”产品享受售价13%的政府补贴。农民田大伯到该商

场购买了冰箱、彩电各一台，可以享受多少元的补贴？

（2）为满足农民需求，商场决定用不超过85000元采购冰箱、彩电共40台，且冰箱的数量

5

不少于彩电数量的%.若使商场获利最大，请你帮助商场计算应该购进冰箱、彩电各多少

台？最大获利是多少？

类别冰箱彩电

进价（元/台）23201900

售价（元/台）24201980

【答案】解：(1)(2420+1980)X13%=572,

(2)①设冰箱采购x台，则彩电采购(40-x)台，根据题意得

2320x+1900(40-%)<85000

4523

x>-(40-x)18—4xK21—

16解不等式组得117

因为x为整数，所以x=19、20、21,

方案-：冰箱购买19台，彩电购买21台，

方案二：冰箱购买20台，彩电购买20台，

方案三：冰箱购买21台，彩电购买19台，

设商场获得总利润为y元，则y=(2420-2320)x+(1980-1900)(40-x)=20x+3200

；20>0,；.y随x的增大而增大，.•.当x=21时,y最大=20x21+3200=3620

4.(2011山东潍坊，21,10分)2011年秋冬北方严重干旱，凤凰社区人畜饮用水紧张，每

天需从社区外调运饮用水120吨.有关部门紧急部署，从甲、乙两水厂调运饮用水到社区供

水点，甲厂每天最多可调出80吨，乙厂每天最多可调出90吨.从两水厂运水到凤凰社区供

水点的路程和运费如下表：

到凤原社区供水点的路程(千米)运费(元/吨•千米)

甲厂2012

乙厂1415

(1)若某天调运水的总运费为26700元，则从甲、乙两水厂各调运了多少吨饮用水？

(2)设从甲厂调运饮用水x吨，总运费为W元，试写出W关于与x的函数关系式，怎样

安排调运方案才能使每天的总运费最省？

【解】(1)设从甲厂调运饮用水x吨，从乙厂调运饮用水y吨，根据题意得

'20xl2x+14xl5y=26700,Jx=50,

x+y=120.解得)=70.

,.•50<80,70<90,...符合条件.

故从甲、乙两水厂各调用了50吨、70吨饮用水.

(2)设从甲厂调运饮用水x吨，则需从乙厂调运水(120-x)吨，根据题意可得

XW80,

V

120-xW90.解得30VW80.

的一知W=20xl2x+14x15(120-x)=30x+2520030WxW80

AS，I/

••.W随x的增大而增大，故当工=30时，卬最小=26100元.

...每天从甲厂调运30吨，从乙厂调运90吨，每天的总运费最省.

5.(2011山东济宁，21,8分)“五一”期间，为了满足广大人民的