中科大电磁学课件2稳恒电流

第二章稳恒电流稳恒电流第二章1s2-1物质的电性质一、物质电性质分类1.

导体、绝缘体与半导体各种物质电性质的不同,早在18世纪初就为人们所注意了。1729年,英国人格雷(Stephen

Gray)就发现金属和丝绸的电性质不同,前者接触带电体时能很快把电荷转移或传导到别的地方,而后者却不能。由于不同原子内部的电子数目和原子核内的情况各不相同,由不同原子聚集在一起构成的不同物质的电性质也各不相同,甚至有的差别很大。即使是由相同原子构成的物质,由于所处的环境条件(如温度、压强等)不同,电性质也有差异。电阻率(用符号p表示)是可以定量反映物质传导电荷能力的物理量,在数值上等于单位横截面、单位长度的物质电阻。物质的p越小,其传移和传导电荷的能力越强。通常人们把物质分为3类:(1

)导

体转移和传导电荷能力很强的物质,或者说电荷很容易在其中移动的物质:导体的电阻率约在

。导体有固态物质,如金属、合金、石墨、人体、地等:有液态物质,如电解液,即酸、碱、盐的水溶液等:也有气体物质,如各种电离气体.此外,在导体中还有等离子体和超导体。(2

)绝缘体转移和传导电荷能力很差的物质,即电荷在其中很难移动的物质:绝缘体的电阻率一般为106Ωm~1018Ωm。绝缘体同样有固态物质,如玻璃、橡胶、塑料、瓷器、云母、纸等。有液态物质,如各种油:也有气态物质,如未电离的各种气体。稳恒电流第二章2(3

)半导体介于这两者之间的物质:半导体的电阻率约为10-6Ωm~106Ω

m。半导体物质有硅、锗、蹄以及一些金属化合物等。2.

等离子体(1

)什么是等离子体等离子体是部分或完全电离的气体,由大量自由电子和正离子以及中性原子、分子组成。等离子体在宏观上是近似电中性的,即从宏观上说,所含的正电荷与负电荷几乎处处相等。图2-1美国普林斯顿大学PPPL

托克马克中的等离子体(2

)离子体如何形成任何物质由于温度不同将处于不同的聚集状态。固体加温熔解成为液体,液体加温沸腾成为气体。温到几万度、几十稳恒电流第二章3万度甚至更高的温度,则不仅分子或原子的运动十分剧烈,而且原子中的电子也已具有相当大的动能,足以摆脱原子核的束缚成为自由电子,于是原子电离,成为自由电子和正离子。这种部分电离(带电粒子的数量超过千分之一)或完全电离的气体,就是等离子体。(3

)物质的第四态从物质聚集态的顺序来说,等离子体居于固体、液体、气体之后,位列第四,所以等离子体又称为物质的第四态。所谓物质的不同聚集态,从微观上说,就是构成物质的微观粒子排列的有序程度不同。固体(晶体)中的粒子规则地周期性地排列,远程有序,使固体具有确定的形状和体积。液体分子在小范围内规则排列,近程有序,使液体具有一定体积且不易压缩,但又易流动或相对移动从而无一定形状。气体分子作无规则热运动,使气体既无固定形状和体积,又易流动和压缩。在等离子体中,不仅未被电离的中性分子自由地热运动,而且电离产生的电子和正离子也都自由地热运动,所以等离子体是有序度最差的聚集态。物质各种聚集态在一定条件下的转化,就是物质有序度的改变,从固体到液体再到气体和等离子体,有序度逐步被破坏。有序度对物质的性质有重大影响,区分固体、液体、气体的原因正在于此。把部分或完全电离的气体单独命名为等离子体,也正是因为等离子体与气体的性质很不相同。(4

)等离子体间的力普通的气体由中性原子、分子组成,其间的相互作用是分子力,这是一种短程相互作用,只在分子相距很近(即碰撞)时才需要考虑,相距较远即可忽略,由此,在气体不太稠密时主要是二体碰撞,多体碰撞极少。在等离子体中,中性原子分子之间的作用已退居次要地位,整个系统受带电粒子的运动支配。带电粒子之间的相互作稳恒电流第二章4用主要是Coulomb

力,这是一种与距离平方成反比的长程力,每个带电粒子往往同时与许多带电粒子发生作用(集体相互作用),并且带电粒子的运动还将受到外加电磁场的强烈影响。从电性质上看,由于它主要是由可自由运动的电子和正离子组成,所以是导电性能极好的良导体。这种由大量电子和正离子组成的物质系统宏观上是电中性的,任何局部正电荷或负电荷的偶然集中都将会被附近移来的相反电性电荷立即中和,从而恢复电中性。所有这些,都决定了等离子体具有一系列区别于气体的独特性质和研究方法。(5

)等离子体是宇宙物质存在的主要形态在地球上,常见的是气体、液体和固体,等离子体很少见,这是因为地球表面的温度太低,

通常并不具备产生等离子体的条件。然而,在特定的环境和条件下,地球上也能产生等离子体。例如,在两极上空,由于太阳活动和地球磁场的作用,高空大气会电离形成稀薄等离子体,美丽的极光就是两极上空等离子体的辐射产生的。例如,在雷雨季节,

云层各部分之间或云层与地面之间的高电压会使大气击穿电离形成等离子体,等离子体的辐射产生壮观的闪电。例如,霓虹灯鲜艳的色彩,就是其中氖或氢等离子体产生的。此外,例如在日光灯、火焰或氢弹爆炸时也都有等离子体,围绕地球的电离层也是等离子体。与地球不同,在的宇宙中,恒星(例如太阳)是高温电离形成的等离子体,稀薄的星云和星际物质则是由辐射电离形成的等离子体,在宇宙中99.9%的物质是等离子体,如太阳风、恒星和星云等(如图2-2,2-3,2-4)。稳恒电流第二章56图2-2漂亮的北极光图2-4宇宙中的星云图2-3

太阳风稳恒电流第二章(6

)核聚变众所周知,轻核的聚变可以获得取之不尽用之不竭的能量,为了实现可控热核反应而不是热核爆炸,需要解决一系列难题。例如,聚变只能在几百万度或更高的温度下进行,在这种温度下任何固体都将熔化而无法作为装载的(容器",为此,人们采用磁场来约束等离子体,迫使等离子体的全部带电粒子按一定队形运动而不与固体器壁接触。然而,又出现了等离子体的不稳定性问题,它使得约束无法维持到实现反应所需的时间。所以,为了解决等离子体的磁约束问题,

不仅需要设计各种磁场位形,建立巨大而复杂的托卡马克装置,图2-1就是托卡马克中的等离子体:图2-5是合肥的中国科学院等离子体研究所的正在建造的新一代超导托卡马克HT-7U

装置。图2-5中国科学院合肥等离子体研究所的超导托卡马克

HT-7U装置稳恒电流第二章73

.超导体(1

)什么是超导体某些金属或合金的温度降到接近绝对零度时,其电阻突然变为零或接近于零,这种现象称为超导电现象。图2-6超导厚薄膜的微观电镜图象(2

)超导体的发现超导体首先由荷兰物理学家开默林一昂纳斯(Kamerlingh-Onnes

Heike1853-1926)(图2-7)于1911年发现。昂纳斯长期现代超导重力仪的观测表明,超导态物体的电阻率必定小于10-28

Ωm,远远小于正常金属迄今所能达到的最低电阻率0-8Ωm,因此,可以认为超导态的电阻率确实为零。图2-6是超导厚薄膜的微观电镜图象。从事低温物理的研究,是他首先打开了低温世界的大门,他创建的莱顿实验室是世界著名的低温物理研究中心之一。他第一个稳恒电流第二章8图2-7超导体的发现者荷兰物理学家开默林一昂纳斯(3

)转变温度正常导体转变成超导体的温度称为转变温度。大量的研究表明,除汞外有几十种元素、数千种合金和化合物都具有超导性。由于处在超导态的导体的电阻接近零,电流在超导体中一旦形成,便能经久不衰地持续下去,而无需电场的作用。(4

)BCS

理论1957年美国物理学家巴丁(J.Bardeen)、库柏(L.N.Cooper)和施瑞弗(J.R.Schrieffer)三位理论物理学家(图2-8)

提出了超导的微观理论简称BCS

理论(以三人名字第一个字母命名的理论),他们三人因此而获得1972年诺贝尔物理学奖。按照这一理论,超导的转变温度不会高于30oK,这一结论使本来已经萧条的超导物理变得更加沉闷。实现了氢气的液化,接着又实现了氦气的液化。1911年,他发现的水银样品在温度4.22oK~4.27oK

时电阻消失,接着他又发现其他一些金属也有这种现象。昂纳斯因在低温的获得和低温下物性的研究而获得1913年诺贝尔物理学奖。稳恒电流第二章9图2-8BCS

理论的提出者美国物理学家巴丁、库柏和施瑞弗(5

)高温超导1986年,瑞士物理学家贝德诺兹(J.G.Bednorz)和米勒(K.A.Muller)教授(图2-9)发现了新的超导材料——氧化物超导体,能在较高的温度下获得超导性,打破了BCS

理论的禁锢,两人荣获1987

年诺贝尔物理学奖。图2-9瑞士物理学家贝德诺兹和米勒稳恒电流第二章10图2-10超导临界温度TC

提高的历史稳恒电流第二章111986年12月和1987年1月初,中国科学院物理所赵忠贤教授等宣布,Sr-La-Cu-O

系统的TC

=48.6oK

,Ba-La-Cu-o系统的TC

=46.3oK,1987年2月16日美联社报道美国朱经武教授等获得起始转变温度为98o

K

的超导材料。

1987年2月24日中国科学院物理所宣布,赵忠贤教授等已制成起始超导温度高于100oK,中点转变温92.8oK,零电阻温度为78.5oK

的超导材料BaxY5-xCu5O5(3-y)。1988年1月22日日本宣布Bi-Sr-ca-Cu-O超导材料的TC

约为105oK。1988年3月美国宣布Tl-Ba-Ca-Cu-O超导材料的TC

为125oK。1993年4月发现Hg-Ba-Ca-Cu-O

超导材料的TC

为134o

K

。图2-10表示了超导临界温度TC

提高的历史。上述可以在液氮温区工作的高TC

超导材料的发现,为超导技术的实用开辟了广阔的前景,对科技和生产将产生深刻的影响,图2-11是日本正在开发的测试磁悬浮列车:图2-12欧洲CERN

正在建造的世界最大的加速器LHC

中的超导磁体。2002年9月上海磁悬浮列车首次试车成功,设计时速达505km/h,总投资30亿元,将于2003年初试运行。近些年来,高温超导的研究成了世界各国科学家的一个热门课题,主要包括三个方面:(1

)进一步寻找高临界参数的超导新材料:(2

)阐明高Tc

氧化物超导体的物理机制:(3

)开发新超导体的技术应用,如研制高Tc

的高温氧化物超导实用线材或带材,发展制备高质量超导薄膜的技术,利用高温氧化物超导材料制造各种电子元件和器件等。稳恒电流第二章12图2-12欧洲CERN

正在建造的世界最大的加速器

LHC中的超导磁体图2-11日本的测试磁悬浮列车稳恒电流第二章13E

=0(2

)载流导体和静电平衡导体的区别一旦导体中存在电荷运动即电流时,导体将脱离静电平衡状态。一般来说,随时间变化的电流有可能改变导体中自由电荷的分布,从而使电场随时间变化,这种情况比较复杂。对不随时间变化的电流即稳恒电流,导体中电荷分布不会随时间变化,所产生的电场仍为静电场。当然,即使在稳恒情况下,载流导体和静电平衡导体也有着本质区别。静电平衡时,导体显示出彻底的4抗电性",表现为导体内电场强度必须处处为零(图2-13)。而载流导体则不同,导体内存在着非零的电场,它与电流之间的依赖关系满足一定的实验规律,

该规律反映了导体的导电性质。另外,电流既是电荷的定向运动,它本身应满足电荷守恒定律:而静电场本身也具有特定的规律。二、静电场中的导体—

静电平衡1

.处于静电平衡的导体的的性质(1

)处于静电平衡的导体的的主要性质●导体中的自由电荷的分布保持恒定,即自由电荷分布不随时间变化:即:2p(x,y,z)

2t●导体内电场强度处处为零,导体外的电场为静电场:即:稳恒电流第二章导体内=014一图2-13静电场中的导体球内部和周围的电场分布2

.导体上的电荷分布(1

)静电平衡时,电荷只分布在导体的表面,导体内部体电荷密度处处为零。导体表面电荷的电荷层一般只有1至2个原子的厚度(如图2-14所示)。若初始时刻,导体内电荷不为零,则导体内的电荷将按指数衰减,在很短的时间内(约10-

14

秒),导体达到静电平衡。稳恒电流第二章15图2-14导体表面电荷分布和电场法线分量的分布,固体在x>0区域,大部分电荷分布在士2oA以内。(2

)导体表面的电荷分布非常复杂。导体表面的电荷分布与导体的几何形状、导体所带的总电量以及周围其它场源和导体有关。孤立导体,表面电荷分布只与导体的形状有关:凸的地方,面电荷密度大,凹的地方,面电荷密度较小(图

2-15)。与内外表面的曲率有关,但并不存在唯一的函数关系。电场电荷密度稳恒电流第二章16图2-15面电荷密度分布示意图20世纪50年代,前苏联科学家朗道在《连续介质电动力学》中介绍了用正交曲线坐标系求解椭球导体表面电荷分布的例子,对椭球导体:x

y

z

a

2

b

2

c

2得到其表面电荷分布为:1o=(||(＋

＋

2--

2＋＋=

1稳恒电流222第二章17对于一些表面具有简单几何形状的导体,可以找到面电荷密度与曲面曲率之间的函数关系。但一般情况下,面电荷密度与曲面曲率之间并不存在单一的函数关系。(3

)导体外靠近其表面的地方的电场与表面垂直,其场强大小为o/20。证明:反证法,假设在导体表面某处的电场与其表面不垂直,那末在那里的电场便有一平行于导体表面的分量,这将会引起导体表面电荷的横向运动,违背了身体达到静电平衡这一前提。所以静电平衡下的导体表面电场处处与表面垂

直.为求其场强大小,作图2-16,在导体表面取面元AS

,过它的周线作一柱面,使其侧面与导体表面垂直,两底面分别位于导体表面的两侧,取该柱面为高斯面,设面电荷密度为o。由于导体内E

为零,高斯面处于导体内侧部分的电通量为零.至于高斯面的外侧部分,侧面的高Ah

趋于0,对通量没有贡献。于是,S

内外侧0故=0有空腔的导体,空腔内表面无电荷分布,导体腔内电场强度为零。AS=

.

ds一

==

E

.

ds

＋=

E

.

ds＋=

E

.

ds

=

EAS

=

E一o

o2稳恒电流第二章++AhE+18图2-16

用高斯定律计算导体面电荷分布3

.静电屏蔽(1

)腔外不影响腔内即空腔外的导体和场源不影响空腔内的物体,因为空腔内表面无电荷分布,导体腔内电场强度为零,如图2-17,这就是静电屏蔽。图2-17腔内无电荷图2-18腔内有电荷(2

)腔内却影响腔外即空腔内有带电体时,由于静电感应,空腔内表面和外表面将会出现感应电荷,腔外的电场分布随之发生变化,如图2-18。(3

)对接地空腔,腔内腔外互不影响将导体壳接地时,当腔内无电荷时,腔外电场不能影响腔内,当然腔外电场也不影响腔内。若腔内有电荷如图2-19稳恒电流第二章19所示,记空腔内区域为A

,导体壳的外部区域为B

,并设B

区不存在其它带电体。考虑到B

区远离导体壳的地方应和大地等电位,故不妨把大地看成一个包围B

区的导体壳。这样,大地、导体壳和接地导线一道又构成一个新的导体壳:对该导体壳而言,B

成为腔内,A

成为腔外部,见图2-20。于是有:B

区的电场E=0,它不受A

区带电体的影响:换句话说,导体壳接地可以消除腔内(A

区)带电体对腔外(B

区)电场的影响。一个有趣的例子是,为保证高压线带电检修工人的安全作业,工人全身穿戴金属丝网制成的衣、帽、手套和鞋子,即均压服。均压服相当一个导体壳,对人体起到电屏蔽作用,它大大减弱了高压线电场动人体的影响,保护作业工人不致受到伤害。图2-19腔内有电荷,导体腔接地图

2-20等效图三、导体在静电场中性质的应用稳恒电流第二章20导体的以上的各种性质得到广泛的应用,如避雷针、场致发射显微镜、静电屏蔽、感应起电机等。1

.避雷针高层建筑物上的避雷针利用了导体尖锐部分表面曲率大,o大的性质。因为导体表面电场E

与o成正比。o大则E

大,且垂直于导体表面,强大的电场使空气击穿,也就是空气中残留的自由电荷(电子或离子)被强电场加速,获得足够大的能量,当它们在激烈运动过程中撞上空气分子或某些原子时,就使其电子被打出来(电离),从而产生大量新的离子,空气便变得易于导电。在雷雨时节,大块的云顶部带正电,而底部则有过剩的负电,于是在接近地面时,地面感应产生正电。云底部与地面距离3至4km,其电荷大到足以使云与地面之间产生一个20或30MV

甚至达到100MV

的电势差。如果没有避雷针,地面与云间累积电荷产生的高电势差会把空气击穿,共产生大规模的放电,这就是雷击(图2-21)。图2-21`地面与云间产生大规模的放电,这就是雷击如果装上避雷针,则避雷针尖端o比其它地方大许多,便率先把周围空气击穿,使云与地面电荷不断中和,避免电荷累积和大规模的放电所带来的危害(如图2-22)。稳恒电流第二章21图2-22避雷针工作原理2

.场致发射显微镜场致发射显微镜也是依赖金属尖端上所产生的强电场,原理如图2-23:中间一根细小的金属针,其尖端的直径约为1000oA

,被置于一个先抽成真空后充进少量氦气的玻璃泡中。泡内壁镀上一层十分薄的荧光质导电膜,

在这荧光膜与金属针之间加上一个非常高的电压,当一个氦原子与针尖碰撞时,那里极强的电场会把氦原子中一个电子剥去,剩下带正电的氢离子。随即氦离于沿着场线跑至荧光壁,撞击荧光膜引起发光,与示波器、电视机显象管中的情况类似(其差别是显象管中是

电子撞击荧光膜引起发光)。那些到达荧光膜某特定点上的氮离子,在很高的近似程度上,可以看作是发源于径向场线的另一端,这样,我们根据荧光膜的发光点的位置就可以推断出金属尖端的个别原子的位置。利用这一装置,把需要研究的金属作成针状样品放入这一设备中,便可获得荧光膜上斑点图样,进一步分析出待测样品的原子排列(图2-24)。用这种正离子场致发射显微镜,有可能获得高达二百万倍的放大率,比最好的电子显微镜的放大率还要高(如图2-25)。稳恒电流第二章22图2-23场离子显微镜原理图2-25一台场致发射扫描式电子显微镜(分辨率1.0nm,放大率6.5x

105)稳恒电流第二章23图2-24钨针尖的

FIM图象稳恒电流第二章243

.范德格拉夫起电机范德格拉夫(Van

der

Graff)起电机可用于加速带电粒子,原子核物理研究中用的静电加速器就是用范德格拉夫起电机制成的。起电机的结构示意如图2-26所示,其中A

为直径可达数米的空心导体球,放在绝缘圆柱C

上.圆柱内有橡胶或丝织的传送带B

,它套在两个定滑轮D

和D'上,依靠电动机带动,将按箭头方向运转.E

是金属针尖,接在几万伏的直流电源的正极上,通过尖端的电晕放电使传送带带正电.F

为另一针尖,与导体球亮相连.当传送带上的正电荷随带传送到针尖F

附近时,通过尖端放电使金属球A

带正电.这样随着传送带不停运转,A

球的电量越来越多,电势不断升高。但由于绝缘物的漏电,电势不可能无限升高,一般可达到107

V

左右。在绝缘圆柱内,有一与传送带平行的真空管道通往空心导体球,如果把带电粒子注入管道,粒子在管道中被加速成高能粒子,然后通过管道引至进行实验的地方,目前在半导体工业中把小型范德格拉夫起电机用于离子注入技术。图2-26范德格拉夫起电机示意图稳恒电流第二章25图2-27范德格拉夫起电机是科技馆中的经典展示项目稳恒电流第二章26§2-2电容与电容器一、孤立导体的电容1

.电容的定义电荷在导体表面的分布必须保证满足导体的静电平衡条件。对于孤立导体,电荷在导体表面的相对分布情况由导体的几何形状唯一确定,因而带一定电量的导体外部空间的电场分布以及导体的电势亦完全确定.根据叠加原理,当孤立导体的电量增加若干倍时,导体的电势也将增加若干倍,即孤立导体的电势与其电量成正比:=CV比例系数C

称为孤立导体的电容。在单位制确定以后,它的值只取决于孤立导体的几何形状。孤立导体电容的大小反映了该导体在给定电势的条件下储存电量能力的大小。2

.孤立导体球的电容一半径为R

的导体球,当带有电荷q

时,其电势为V

=

故其电容为稳恒电流第二章q10由半径决定.若把地球作为一个孤立导体球,其电容也可由上式决定。3

.电容的单位电容的单位是对法拉(F),1F=1C

/V

,F

是一个很大的单位,电容为IF

的孤立导体球的半径约9

×109

m,而地球的半径只有6.4×106m

.由于法拉这一单位太大,使用不方便,通常取法拉的10-6

作为电容的单位,称为微法拉,

记作µF.有时取法拉的10-9

作为电容的单位,称为皮法拉,记作pF。1µF=10-6

FIpF=10-3

µF=10-9F二

、

电容器1

.两导体间的电容当带电导体周围存在其他导体或者其他带电体时,不论其他导体是否带电,由于静电感应,这些导体上都会产生一定分布的感应电荷,而且这些感应电荷的分布将因其他带电体带电情况的改变而改变,从而改变所考察带电导体的电势。因此,在一般情况下,非孤立导体的电荷与其电势并不成正比.对于两个导体组成的导体组,当周围不存在其他导体或带电体,而其中一个导体带电荷为q

,另一导体带电荷-q

时,

这两导体间的电势差V

与电量成正比,或者说,电量与电势差的比值是一恒量。通常把这比值称为这两个导体构成的导体组的电容。C

=4πεR稳恒电流第二章22

.电容器当这两导体附近存在其他带电体或导体时,电量与电势差之间的正比关系将被破坏。可以采用静电屏蔽的方法,可保证两导体间的电势差与电量间的正比关系容器不受周围其他带电体或导体的影响。空腔导体的屏蔽作用可以使带电物体不影响周围其它带电体,如图2-28所示,一个导体B

包围成一空腔,另一导体A被绝缘地固定在该空腔之中,这时当导体A

带一定电量,导体B

的内表面必带等量异号的电量,由于导体B

的屏蔽作用,导体A和B

之间的电势差将仅与导体A

的电量成正比,与导体B

周围的其他带电体或导体无关。--++-++--图2-28

电容器这种特殊的导体组称为电容器,组成电容器的两个导体分别称为电容器的两个极板。电容器的电容值为:+

B稳恒电流第二章+A3---电容器的电容与电容器的带电状态无关,与周围的带电体也无关,完全由电容器的几何结构决定。电容的大小反映了当电容器两极间存在一定电势差时,极板上贮存电量的多少。C

q

=

U1

−U

2图2-29常用的电容器稳恒电流第二章4三、几种常见电容器的电容1

.平行板电容器这是一种常见的电容器。最简单的平行板电容器由两块平行放置的金属板组成,如图2-30所示,极板的面积S

足够大,两极板间的距离d

足够小,两极板均匀带电,带电量为±q

,极板间的电场由极板上的电荷分布唯一确定。忽略极板的边缘效应,两板之间的电势差为b

-q

图2-30平行板电容器C

=

q

=

ε0SU

dUab

=

J

E

⋅

dl

=

Ed

=

e

d0故平行板电容器的电容为

S

+q

a

一

一

σ稳恒电流第二章εdab5由此可见,增大极板面积,减少两极板间的距离可使电容器的电容量增大。严格讲,平行板电容器并不是屏蔽得很好的导

体组,它们的电势差或多或少受到周围导体和带电体的影响,以上的结论只有在其他导体或带电体远离平行板电容器时才严格成立:实际使用中的平行板电容器往往加有屏蔽罩或卷成筒状,使屏蔽效果改善。2

.球形电容器由两个同心金属球壳制成的电容器。设内球壳A

的外半径为RA

,外球壳B

的内半径为RB

,A

带正电荷q

时,B

的内壁带负电q

,两球壳间的场强为E

q

=

4πε0

r

2两球壳的电势差Uab

=

J

E

⋅

dl

=

(

−

)abRAARBB图2-31同心金属球壳电容器稳恒电流第二章6由于电容器每个电极上的电量q=ηL,故电容为2πε0

r

RB

RA

Uab

=

J

dr

=

ln

B

A

LRARARBRB其电容为

q

4πε0

RA

RBC

=

Uab

=

RB

−

RA若RB

>>RA

,即外球壳B

远离球A

,则回到孤立导体球的电容公式:若RA

和RB

都很大,而比RB

一RA

=d

很小,则RA×RB=R2,

则回到平板电容器的公式。3

.圆柱形电容器由两个同轴导体圆筒A

和B

组成的电容器。设圆筒半径分别为RA

和RB

,长为L,当L》RB-RA

时,可近似认为圆筒是无限长的,边缘效应可忽略.若η为单位长度的内圆筒所带的电量,则两圆筒间的场强E为:

η

电势差为:图2-32同轴导体圆柱形电容器稳恒电流第二章=E71

n

1

=

Ⅹ

C

i

Ci电容器串联时,各电容器两极间的电压小于总电压。但实际电容器很少串联使用,因为一旦一只电容器被击穿,会使其他电容器相继被击穿。C

=

=

四、电容器的联结1

.电容器串联电容器串联的特点是各电容器极板上的电量的绝对值都相等。注意到串联电容器组两端的总电压等于各电容器两极板门的电压之和,电容分别为C1

,C2

,C3

,⋅⋅⋅,Cn

的n

个电容器串联后,其等值电容C与各电容器的电容有下面的关系:U图2-33电容器串联稳恒电流第二章C3C4C2C182

.电容器并联电容器并联的特点是各电容器两极间的电压都相等。电容分别为C1

,C2

,C3

,⋅⋅⋅,Cn

的n个电容器并联后,其等值电容C与各电容器的电容有下面的关系:nC

=

ⅩCii电容器并联后可以获得较大的电容。图2-34电容器并联稳恒电流第二章C3C1C2U9五、几点说明1

.电容器是一种特制的两导体系统利用空腔导体的屏蔽作用使空腔内的电场分布仅由电容器的两电极的几何形状和相对位置决定,而两极板带的电量一定是等量异号的。对电容器这一特殊的两导体系统,所谓导体的几何形状就是指两极板的几何形状,电容器的电量就是任一极板上的电量。2

.任意导体组,当导体带电并达到静电平衡时,每个导体上有一定的电荷分布,有一定的总电量和一定的电势根据叠加原理,若各个导体的电量都增加若干倍,静电平衡条件并不破坏,这时空间的场强亦增加若干倍,

各个导体的电势亦相应增加若干倍。所以,其中任意两导体之间都有电容,但任意两导体间的电容并不完全取决于自己的几何形状和相对位置,而是与周围其他导体都有关系。在这种情况下,任意两导体之间都有电容,但一般不称这两个导体为电容器。稳恒电流第二章10§2-3稳恒电流与稳恒条件一、电流的定义1

.电流的形成(1

)产生电流的条件电荷流动形成电流。在宏观范围内,电流就是大量电荷的定向运动。●存在载流子要产生电流,一方面必须存在可以自由运动的电荷,即载流子,在多数情况中,载流子是电子或某种带电微粒,如正、负离子。●存在迫使电荷作定向运动的某种作用由于导体对载流子的定向运动具有阻力,要维持电荷的定向运动,这种作用是必不可少的。迫使电荷作定向运动的作用则是多种多样的,有机械作用、化学作用、电作用等等。(2

)不同材料中的载流子●金属导体中电流的载流子是自由电子金属中存在大量自由电子,当金属处在电场中时,自由电子因电场力而作定向运动,从而形成金属中的电流,由于电子的质量很小,金属中的电流不会引起宏观上可观察到的质量迁移。●电解质溶液中电流的载流子是正负离子当酸、碱、盐等电解质溶液处在电场中时,正、负离子因受电场作用而分别向相反的方向作定向运动,从而形成电解质溶液中的电流。从电量迁移的角度看,正电荷向某一方向运动与负电荷向相反方向的运动所产生的效果是相同的。电解质溶液中的电流会引起质量迁移,一般还伴随化学反应。稳恒电流第二章1●半导体材料中的载流子是电子和空穴半导体材料中的载流子是电子(导带中)和带正电的空穴(满带中),电子或空穴在电场作用下形成半导体中的电流。半导体中载流子的密度和定向运动与温度、光照等因素密切相关。●导电气体中的载流子是电子和正、负离子通常,气体中没有可以自由移动的电荷,故气体没有导电性,是良好的绝缘体。但是,紫外线、X

射线、宇宙线以

及火焰等所谓电离剂会使气体分子电离,产生电子和正、负离子,从而使气体具有导电性。(3

)真空中的电流●热电子发射真空中没有自由电荷,故在一般情况下真空中不会有电流。金属内部的自由电子可以在金属内部自由运动,但它们很难进人真空形成电流。不过随着金属温度的升高,动能大的电子增多,当金属达到灼热时,动能大的电子会很多,从而有大量电子从金属中逸出,这就是热电子发射。热电子发射使真空中出现大量载流子,在外电场作用下形成真空中的电流。●隧道电流真空两极管中的电流就是由阴极发出的热电子形成的。微观粒子具有贯穿势垒的隧道效应,即使金属的温度不高,电子仍有一定的概率贯穿势垒进入真空,从而可在特定的条件下使真空中形成微弱的隧道电流。,86Ⅰ年,IBM苏黎世实验室的宾尼(Binnig)博士和罗雷尔(Rohrer)博士及同事们成功地研制出了一种新型的表面分析仪器一扫描隧道显微镜(简称STM)│,862年他们又第一次利用STM在硅单晶表面观察到周期性排列的硅原子阵列,这是人类有史以来首次得以直接看到个别的原子。由于这一成就,他们获得了,863年的诺贝尔物理学奖。扫描隧道显微镜有一个针尖在表面上扫描,样品表面就是原子,针尖和样品之间的距离小于1纳米,就会有隧道电流,这个隧道电流对针尖和样品之间的距离非常敏感,如果我们控制了隧道电流恒定不变,就意味着控制了针尖和样品之间的距离不变,距离不变,针尖就随着表面的起伏而起伏,把针尖高低运动的轨迹记录下来,就得到表面原子的形状,但这只是从原理上说,技术上还很复杂。那原子怎么操纵呢?扫描隧道显微镜的操纵原理是,在针尖上加一个很微弱的电流,这个电流产生一个电场,当两个物体非常接近的时候,会有排斥力,但到一定程度它又会有吸引力,在吸引力的

范围内,一般在几个埃的时候,把针尖提上来,原子就跟着上来了,把它放到哪儿它就在哪,这个方法可操纵吸附在表

面的原子、分子。稳恒电流第二章2图2-35扫描隧道显微镜原理示意图稳恒电流第二章3图2-36中国科学技术大学研究者获得的C60

分子的

STM图象2

.电流的方向由于电子服从量子力学的规律,即使处于绝对零度附近,金属中的自由电子仍必须分布在一系列能量不同的状态上,因而电子不规则运动的平均速率仍非常大,其数值约为106m/s

。但是,电子的平均速度为零,故电子的不规则运动并的不引起宏观上的电流。由于负电荷向某一方向的定向运动所引起的电量迁移与等量的正电荷向相反方向作定向运动所引起的电量迁移等效,加之传统习惯,即使在很多情况下实际的载流子是带负电的电子,但在研究电流时都规定带正电的载流子的定向运动方向作为电流的方向。稳恒电流第二章42

.电流密度用电流强度这个物理量描述导体中有时似乎太"粗糙"。(1)电流强度只表示导体中某一截面的总电流大小,而不能描述电流沿截面的分布情况。(2)电流是有方向的,它指向正电荷运动的方向。导体中各点的电流不仅强弱有别,而且方向也可能不一致。为了

描述导体中各点电流的大小和方向,人们引入一个更"精细"的物理量一电流密度。为给出电流密度的定义,考虑导体中某一给定点P

,在该点沿电流方向作一单位矢量n0

,并取一面元AS0

与n0

垂直,设通过AS0

的电流强度为AI,则定义P

点处电流密度的大小为二、电流强度与电流密度1

.电流强度(1

)电流强度的定义电荷的定向运动形成电流,电流强度即单位时间内通过导体任一根截面的电量。设在小的时间间隔t

通过某一根截面的电量为Q

,则电流强度为QI

=t(2

)电流强度的单位电流强度的单位为库仑/秒,称为安培,符号为A

。电流强度常用单位还有毫安(10-3

安培)和微安(10-6

安培),符号为mA

和uA。稳恒电流第二章5j

=

.由上式可知,所定义的电流密度的单位为安培/米2

(A

·m-2

)。进一步,为了使电流密度能同时表示出P

点处电流的方向,可将电流密度定义为一个矢量,其大小仍由上式表示,

其方向与n0

同向。即电流密度是一个矢量,它的方向表示导体中某点电流的方向,数值等于通过垂直于该点电流方向的单位面积的电流强度。这样定义的电流密度是空间位置的函数,它细致地描述了导体中的电流分布,称为电流场。为形象地描述电场,

对电流场也可以通过引入"电流线"来进行形象描述。电流线即电流所在空间的一组曲线,其上任一点的切线方向和该点的电流密度方向一致。一束这样的电流线围成的管状区域则称为电流管。已知导体中某点P

的电流密度,可以求得通过该点任一面元的电流强度:AI

=j

.AS通过导体任一有限截面S

的电流强度为:I

=

JJ

j-

.

ds-稳恒电流第二章--s6三、电流连续性方程1

.积分形式按照电荷守恒定律,电荷的代数和保持不变,电荷只能由一个物体转移到另一个物体,或由物体的某一部分转移到其它部分。因此,如果在导体内任取一闭会曲面S

,所困区域为V

,则某段时间内流出波曲面S

的电量应当等于同一段时间内区域V

中电量的减少。若在S

面上规定面积元矢量ds

指向外法线方向,则JJ

j-

.

ds-

=

-

J

JJpe

dV这是电流连续方程的积分形式,它反映电流分布和电荷分布之间存在的普遍关系,它是电守恒定律的数学表示。2

.微分形式vs3

.电流连续方程的意义电流连续方程表明,电流线只能起、止于电荷随时间变化的地方,在电流线的起点附近的区域中,会出现负电荷的不断累积,即电荷密度不断减小:而在电电流线的终点的附近的区域中,会出现正电荷的不断积累,即电荷密度不断增加。对于电荷密度不随时间变化的地方,电流线既无起点又无终点,即电流线不可能中断。由于稳恒电流的电流密度不随时间变化,如果存在电流线发出或汇聚的地方,那么这些地方电荷的增加或减少的过程就将持续进行下去,这必将导致这些地方正电荷或负电荷的大量积聚,从而形成越来越强的电场,电场将阻碍电荷的继续积聚,电流将消失。而对于真正的稳恒电流,必须不存在这种电荷不断积聚的地方,亦即j

对任何封闭曲面的通量必须等于零,

即电流连续方程的微分形式为V.j-＋ape

at稳恒电流第二章=07JJ

j

.

ds

=

0这就是说,任何时刻进入封闭曲面的电流线的条数与穿出该封闭曲面的电流线条数相等,在电流场中既找不到电流线发出的地方,也找不到电流线汇聚的地方,稳恒电流的电流线只可能是无头无尾的闭合曲线。这是稳恒电流的一个重要特性,称为稳恒电流的闭合性。四、稳恒条件对于稳恒电流,空间任一封闭曲面内的电量保持不变。即对于稳恒电流,在任何地点,其流失的电荷必被别处流来的电荷所补充,电荷的流动过程是空间每一点的一些电荷被另一些电荷代替的过程。否则在空间任一点的电荷积累将导致电流稳恒性的破坏,因此,由电流的连续性方程有JJ

j

.

dS

=

0这就是稳恒条件的积分形式,其微分形式为:V.j

=0即电荷的分布不因电流的存在而随时间变化,由它产生的电场亦不随时间变化,这种电场称为稳恒电场,它是一种静态电场。稳恒电场与静电场有相同的性质,服从相同的场方程式,电势的概念对稳恒电场仍然有效。稳恒电流可以同样用电流线和电流管的概念来描述,稳恒有两个特性:(1)稳恒电流的电流线或电流是闭合的,电流线不可能有起点和终点。(2)沿任一电流管的各截面电流强度都相等。sst

t稳恒电流11第二章18§2一4欧姆定律一、欧姆定律的两种表示1

.欧姆定律的微分形式实验指出,当金属导体中存在电场时,导体中便出现电流。当导体中的电场恒定时,形成的电流也是恒定的,一旦撤除电场,电流亦随之停止。进一步的实验指出:当保持金属的温度恒定时,金属中的电流密度j

与该处的电场强度

E

成正比,即比例系数o称为金属的电导率。上式对大部分导体都是成立的,称为欧姆定律的微分形式,它反映了导体内部任一点的电流密度与该点的电场分布和电导率无关。若导体是均匀的,则导体内各处的电导率都相等,若导体是非均匀的,

则电导率是位置的函数。在更加一般的情况下,电导率o本身也可以是电场强度E

的函数,这时j一

=o()

这时阻力就不再与定向速度成正比了。电导率o倒数称为电阻率,用p表示p=

E一E一一j

=

oE稳恒电流第二章1一在SI

单位制中,电导率的单位是(欧·米)-

1

,或a-

l

·m-

1

:电阻率的单位是(欧·米),或a

·m,这里a是电阻的单位,称为欧姆。欧姆定律的微分形式对频率不是非常高的非稳恒电流亦适用。2

.一段电路欧姆定律在导体和绝缘体的交界面附近,由电场强度边界条件,即:0对于稳恒电流,电荷不可能在交界面堆积,否则电流不稳恒,因而电流密度只能沿着交界面亦即在交界面上,电流密度j

只

有切向分量,没有法向分量。稳恒电流的闭合性要求通过导体任一截面的电流相等。即流过一段粗细均匀、材料均匀的导线,导线的截面积为S,电导率为o

.显然,导线的每一横截面都是等势面,相距为l

的两个横截面问的电势差为2A

=J

·dl一

=Jpj一

·dl一

=I

J

设R

=

J

则:E一n一

·(2

-1

)=o

oE一E一I

=

U

=IR

或稳恒电流第二章23

.电阻率与温度的关系材料的电阻率与温度有关。实验测量表明,纯金属的电阻率随温度的变化较有规律,当温度变化的范围不很大时,电阻率与温度成线性关系,

即p=p0

(1+et)式中p是t℃时的电阻率,p0是0℃时的电阻率,e称为电阻的温度系数。大部分金属的电阻温度系数在0.4%左右.通常,电阻随温度变化的关系可以用下式表示:材料电阻率/(a·m)材料

电阻率/(a·m)铜铁镍锡钨汞镍铬合金1.67×10-89.71×10-89.71×10-81.59×10-85.51×10-89.58×10-8100×10-8锗石墨玻璃石英食盐饱和溶液

硫木材0.641.4×10-51010~10141×10134.4×10-22×1019108~1011R

为所考察的两等势面间导体的电阻,它与导体材料的性质、导体的形状等因素有关,就是一段导体的欧姆定律。实际上即使同一导体,当电流流动的方式不同时,对应的电阻也不同。如圆筒形导体,电流沿筒的轴向流动时的电阻与电流沿筒的径向流动时的电阻就是完全不同的.尽管电阻与导体形状及电流流动方式有关,但电阻率却与这些因素无关,仅由材料性质决定。表2-1给出了几种材料的电阻率。表2-1

几种材料的电阻率稳恒电流第二章3R

=R0

(1+0.003985t

-0.000000586t

2

)上面两式中,R

是t℃时导体的电阻,R0

是0℃时导体的电阻。4

.纳米材料的电阻德国萨尔大学的Gleiter

教授等人对纳米金属Cu

、Pd

、Fe

块体的电阻与温度关系,电阻温度系数与颗粒尺寸的关系进行了系统的研究。他们发现纳米材料的电阻随温度的变化与纳米颗粒径有关,随颗粒尺寸减小,电阻温度系数下降。这个结果表明纳米金属和合金材料的电阻随温度变化的规律与常规粗晶基本相似,其差别在于纳米材料的电阻高于常规材料,电阻温度系数强烈依赖于晶粒尺寸。当颗粒小于某一临界尺寸(电子平均自由程)时,电阻温度系数可能由正变负。例如,Ag

细粒径和构成粒子的晶粒直径分别减小至等于或小于18nm

和11nm

时,室温以下的电阻随温度上升呈线性下降,即电阻温度系数e由正变负,而常规金属与合金e为正值。纳米金属与合金在电阻上的这种新特性可以这样解释:因为当电子在理想周期场中的运动时,如果势场不发生畸变,电子的能量状态不会变化,运动的速度不会改变。电子在周期势场中以波的形式(布洛赫波)传播。电子的函数可以看作是前进的平面波和各晶面的反射波的选加。在一般情况下,各反射波的位相之间没有一定的关系,彼此相互抵消,从理想上可以认为周期势场对电子的传播没有障碍,但实际晶体存在原子在平衡位置附近的热振动,杂质或缺陷以及晶界。这样,电子在实际晶体中的传播由于散射使电子运动受障碍,这就产了电阻。纳米材料中大量的晶界的存在,几乎使大量电子运动局限在小颗粒范围,晶界原子排列越混乱,晶界厚度越大,对电子散射能力就越强,界面这种高能垒是使电阻升高的主要原因。R

=R0

(1+et)电阻随温度变化的较精确的关系式为:稳恒电流第二章4图2-37室温下纳米Ag

的电阻随温度的

变化。a()粒径为20nm,晶粒度为12nm:B()粒径为18nm

,晶粒度为11nm:)粒径为11nm,晶粒度为11nm。稳恒电流第二章5总的来说,纳米材料从微结构来分析,它对电子的散射可划分为两个部:一是颗粒(晶内)组元:二是界面组元(晶界)。当颗粒尺寸与电子的平均自由程相当时,界面组元对电子的散射有明显的作用,而当颗粒尺寸大于电子平均自由程时,晶内组元对电子的散射逐渐优势,颗粒尺寸越大,电阻和电阻温度系数接近常规粗晶材料,这是因为常规粗晶材料主要是以晶内散射为主。当颗粒尺寸小于电子平均自由程,使界面对电子的散射起主导作用,这时电阻与温度的关系以及电阻温度系数的变化都明显地偏离了粗

晶的情况,甚至出现反常现象。例如,电阻温度系数变负值就可以用占主导地位的界面对电子散射加以解释。我们知道,

一些结构无序的系统,当电阻率趋向一"饱和值”时,电阻随温度上升增加的趋势减弱,e减少,甚至由正变负.对于纳米,固体界面占据庞大的体积分数,面中原子排列混乱,这就会导致总的电阻率趋向饱和值,此外,粒径小于一定值时,量子尺寸效应的出现,也会

导致颗粒内部对电阻率的贡献大大提高,这就是负温度系数出现在纳米固体试样中原因。5

.电流的功和功率●焦耳定律电流通过导体时,正电荷从高电势处向低电势处运动,在这过程中,电场对电荷做功。根据欧姆定律,电场做的功即电流的功率为P

=UI

=I

2

R

=U

2

/

R电场作的功将转变成其他形式的能量。电场所作的功为2A

=I

2

R2t实验表明,电流通过欧姆介质时,电能将以发热的形式释放出来,

即Q

=2A

=I

2

R2t这就是熟知的焦耳定律。它表明:这一结论只对纯电阻R

的情况成立。单位体积的导体内的电功率称为电功率密度。若用p

表示电功率密度,则由欧姆定律的微分形式,可得p

=j一

·

=这就是焦耳定律的微分形式。E一稳恒电流第二章6二、欧姆定律的解释1

.金属导电性的经典微观解释金属可以简单地看成是位于晶格点阵上带正电的原子实与自由电子的集合。原子实虽然被固定在晶格上,但可以在各自的平衡位置附近作微小的振动:自由电子则在晶格间作激烈的不规则运动,在没有外场或其它因素(如温度梯度、数密度梯度),不规则的运动一般并不形成宏观电流,但存在随机涨落。当存在外场时,自由电子将获得一加速度,由于与晶格的碰撞,电子会改变速率和方向。设在t

=0的时刻正好发生一次碰撞,碰撞后的速度为v0

,则在下一次碰撞前,载流子的位移为s

=v0

t

+at2

=v0

t

+Et

2t

是连续两次碰撞之间所经历的时间即自由时间。不同的电子,在碰撞后所具有的速度v0

各不相同,自由时间t也各不相同.对大量的电子求平均,

有s

=(

)E

t2

由于t

和v0

都是完全随机的,因而v0t

的平均值为零。电子的定向运动平均速度为

s

u

=对不同的载流子,自由时间t

是不同的,由分子物理学可知,在N

个载流子中,自由时间为t

到t+dt

间隔内的粒子数与e-t/rdt成正

r稳恒电流第二章7比,平均值为t

2

=2r2导体中的电流密度为j

=Nqu

=N

rE这就是欧姆定律的微分形式,而电导率o为o=N

r这就是欧姆定律的经典电子论解释。由气体分子运动论知道,平均自由时间r、平均速率v

和平均自由程入三者的关系为:入=

vr代入电导率o式子,由于入与温度无关,而v

×,故电导率o与温度的关系为:o×

这与实验结果不相符,所以经典电子论对金属的导电性的解释在定量方面并不成功。2

.金属的导电性的量子理论经典电子论困难的原因来自两方面:首先,电子气不同于理想气体,它不遵守麦克斯韦-波尔兹曼分布,而服从费米-狄拉克统稳恒电流第二章8计:其次,电子具有波粒二象性,电子的平均自由程不能用经典分子运动论的方法来计算。按照量子理论,电子应服从泡利不相容原理,金属中的自由电子气服从费米一狄拉克统计,服从费米一狄拉克统计的电子气称为费米电子气,对手费米电子气,即使T=0。K,N

个电子也只能处在从最低能级数起的前N/2个能级上,

其中最高能级的能量为费米能。金属的费米能很大,如铜的费米能oF=7.03eV

,若把与费未能相当的温度称为费米温度,则铜的费米温度TF

=8l000。K。按量子理论,即使在绝对零度,电子的平均动能也很大,其平均动能o=3oF/5.在T=0。K

时,费米电子气占满费米能级以下的所有的能级,而费米能级以上的能级全空着,无电子占有。当T>0时,晶格上的原子实具有的动能为kT

的数量级,在一般情况下比oF

小得多。如T=300。K

时,kT=0.026eV。电子通过与晶格的碰撞从原子实取得的能量不可能超过kT

,只有能量接近费米能的能级上的电子,才可能通过碰撞从原子实取得能量而激发到费米能级上方的空能级上,在外电场时,全部电子都获得加速度,但对金属导电有贡献的只是费米能级附近的能级上的电子。这些电子可以从电场获得能量,进入能量较高的激发态能级上去,而远离费米能级的电子不参与导电,所以金属的导电性与费米能级附近的能级的多少即能级的密度密切有关,作为修正,电子的平均速度v

可用与费米能对应的费米速度

vF

代替,而

m另外,电子平均自由程的概念也要修正。电子是微观粒子,具有波粒二象性,所谓电子与晶格上原子实的碰撞实际上是电子波被晶格的散射.量子力学证明,若晶体是完整的,即原子实严格固定在周期性的晶格上,电子波是不会被晶格散射的,电子的平均自由程将为无限大,因而金属的电导率为无限大,即完整的晶体是没有电阻的。实际的晶体都有某种不完整性,它一方面来自原子实在品格上的热振动,另一方面是因晶体中不可避免的含有杂质。原子实的振动相当于严格的周期性排列遭到某种偏离,在常温下,原子实振动的振幅的均方很值与绝对温度成正比,从而导致电子波被原子实散射的次数与绝对温度成正比,因而自由时间与温度成反比。由于费米能几乎与温度无关,故电导率与温度成反比,这正是实验结果所要求的。另外,严格的计算表明,按电子波散射求得的平均自由程正好是经典理论求得的100倍,而vF

是v

的16倍,两者结合恰好使电导率的理论值与实验值相等,解决了经典理论值偏小的问题。vF

=

F稳恒电流2o 第二章9三、欧姆定律的失效问题若平均自由时间r与电场无关,则电流密度与电场强度成线性关系,这种导电介质就是欧姆介质:而当r与电场有关时,电导率o本身与场强有关,欧姆定律失效,即j

与E

产或者说I

与U

的比例关系遭到破坏,而代之以非线性关系。1

.电场很强时欧姆定律的微分形式在电流随时间变化时也成立,但是场强E

随时间变化的周期T

应比r大得多,即T

>>

r对一般金属,电子的平均自由时间r在10-

13~10-

14s

范围内,这就要求T》10-

14s

或频率0《1014Hz,这个频率属于可见光范围,而一般场强变化的频率比可见光频率小得多,故直到频率超过微波