导数和应用教（学）案

课题：变化率问题

教学目标：

1.理解平均变化率的概念；

2.了解平均变化率的几何意义；

3.会求函数在某点处附近的平均变化率

教学重点：平均变化率的概念、函数在某点处附近的平均变化率；

教学难点：平均变化率的概念.

教学过程：

一、情景导入

为了描述现实世界中运动、过程等变化着的现象，在数学中引入了函数，随着对函数的

研究，产生了微积分，微积分的创立以自然科学中四类问题的处理直接相关：

一、已知物体运动的路程作为时间的函数，求物体在任意时刻的速度与加速度等；

二、求曲线的切线；

三、求已知函数的最大值与最小值；

四、求长度、面积、体积和重心等。

导数是微积分的核心概念之一它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一

般、最有效的工具。导数研究的问题即变化率问题：研究某个变量相对于另一个变量变化的

快慢程度.

二、知识探究

探究一：气球膨胀率

我们都吹过气球回忆一下吹气球的过程，可以发现，随着气球空气容量的增加，气球的半

径增加越来越慢.从数学角度，如何描述这种现象呢？

■气球的体积X单位⑷与半径/(单位:由)之间的函数关系是V(r)=14疗3&

[3V~

■如果将半径r表示为体积V的函数，那么=]——

V4万

(1)当V从0增加到1时,气球半径增加了r(l)-r(0)«0.62(Jm)

气球的平均膨胀率为“；一1)«0.62(曲//L)

(2)当V从1增加到2时，气球半径增加了"2)-〃⑴。0.16(而?)

气球的平均膨胀率为医_丁)«0.16(dm/L)

可以看出，随着气球体积逐渐增大，它的平均膨胀率逐渐变小了.

思考：当空气容量从%增加到达时,气球的平均膨胀率是多少？

探究二：高台跳水：

在高台跳水运动中，运动员相对于水面的高度汽单位：Z77)与起跳后的时间/(单位：S)

存在函数关系帅=-4.9/2+6.5/+10.如何用运动员在某些时间段的平均速[度粗略地描述其

运动状态？

探究过程：如图是函数饵。=-4.9K+6.5N10的图像，结合图形可知，A(—)=〃(0),所以

49

v=—------=0(s/m)，虽然运动员在04/4京这段时间里的平均速度为0(s/m),

----0

49

但实际情况是运动员仍然运动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动

状态。

探究（三）：平均变化率

1、平均变化率概念：上述问题中的变化率可用式子/（公）一/（玉）表示,

々-%!

称为函数心淋M到及的平均变化率

2.若设想=々一七，与二八々）—/（百）（这里Ax看作是对于总的一个“增量”可用

Xl+Ax代替及,同样V=母=/(x2)-/区))

3+...Ay/(x)-f(x.)/(X,+Ar)-/(x.)

则n平均变化率为_£=八2,_J'"=J'1------___,、〃

Axx2-X]Ar

X2

X

/(尤。+“/(x°)

3、函数f（x）从xo到XO+AX的平均变化率怎么表示？

Vx

三、典例分析

例1.已知函数仆)=-/+x的图象上的一点4(_],一2)及临近一点3(—1+Ax,—2+Ay),

则包=

Ax---------

解：-2+Ay=-(-1+Av)2+(-1+Ax),

,Ay_-(-1+Ax)2+(-1+Ax)-2_

..—■=J-L\X

AxAr

例2、求y=x?在x=x0附近的平均变化率。

22

解：型=(x0+Ax)2f2,所以包=(%+-)f

AxAr

222

=4+23+匕7。-=2%+块

Ax

所以y=/在、=玉)附近的平均变化率为2%+Ax-

例3、求函数y=5x2+6在区间[2,2+”]的平均变化率

例4、某盏路灯距离地面高8m,一个身高1.7m的人从路灯的嘤下出发，以1.4m/s的

速度匀速沿某直线离开路灯，求人影长度的平均变化率.[

8：1.7>\

解：略：、

四.课堂练习

1.质点运动规律为s=r+3,则在时间(3,3+△，)中相应的平均速度为.

25+34

2.物体按照5(。=3""4的规律作直线运动，求在4s附近的平均变化率.

3.过曲线片/x)="上两点尸(1,1)和Q(1+Ax,1+△历作曲线的割线，求出当小户。」时割

线的斜率.

五.回顾总结

1.平均变化率的概念

2.函数在某点处附近的平均变化率

六.布置作业

课后记：

课题:导数的概念

教学目标：

1.了解瞬时速度、瞬时变化率的概念；

2.理解导数的概念，知道瞬时变化率就是导数，体会导数的思想及其涵；

3.会求函数在某点的导数

教学重点：瞬时速度、瞬时变化率的概念、导数的概念；

教学难点：导数的概念.

教学过程：

一、复习引入

1、函数平均变化率：包=/（?）―/（、）=/（、+8）一/（内）

Avxz-X]Ax

2、函数平均变化率的几何意义：表示曲线上两点连线（割线）的斜率

3、在高台跳水运动中，平均速度不能准确反映运动员在这段时间里运动状态.因为运动员从

高台腾空到入水的过程中，不同时刻的速度是不同的。

二、知识探究

1、引例：计算运动员在竺这段时间里的平均速度，并思考以下问题：

49

⑴运动员在这段时间使静止的吗？

⑵你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？

探究过程：如图是函数从。=-4.92+6.5^10的图像，结合图形可知，

65_"（幕-4（。）

做募）=〃（0），所以u=----------=0（.v/机），

------0

49

虽然运动员在这段时间里的平均速度为0（s/〃?），但实际情况是运动员仍然运

动，并非静止，可以说明用平均速度不能精确描述运动员的运动状态.

2、.瞬时速度：我们把物体在某一时刻的速度称为瞬时速度。运动员的平均速度不能反映

&<0时，在［2+4,2］这段时间内4>0时，在［2,2+&］这段时间内

-A(2)-A(2+A/)49A?+i3W-_双2+4)-应2)_-49A?-13.血

2-(2+Az)-td“(2+A/)-2△/♦

=-494-13.1=-494-13.1

当4=-0.01时,Ax=-13.05b•当4=0.01时,Az=-13.05b，

Az=-0,00101，=-13.0951,•当4=0001时，=-13.0951,•

当A=-0.001时，A=-13.09951,•当4=0.001时,4=-13.09951一

当△£=-0,0001时，Ai=-13.099951,,当4=0.0001时,Az=-13.099951；.

当4=-0.00001时,A/=-13.099951,-当4=0.00001时，AZ=-13.099951,,

......

他在某一时刻的瞬时速度，那么，如何求运动员的瞬时速度呢？比如，f=2时的瞬时速度

是多少？考察/=2附近的情况：

①、思考：当加趋近于。时，平均速度3有什么样的变化趋势？

②、结论：当加趋近于0时，即无论r从小于2的一边，还是从大于2的一边趋近于2时，

平均速度工都趋近于一个确定的值-13.1.

③、从物理的角度看，时间画间隔无限变小时，平均速度G就无限趋近于史的瞬时速度，

因此，运动员在f=2时的瞬时速度是-

④、为了表述方便，我们用1而以2+/->2)=_]3]表示“当仁2,加趋近于0时，

A/->0Z

平均速度三趋近于定值—13.1”

⑤、小结：局部以匀速代替变速，以平均速度代替瞬时速度，然后通过取极限，从瞬时速度

的近似值过渡到瞬时速度的精确值。

3、导数的概念：函数片外)在后风处的瞬时变化率是：lim/(九'")二"%)=Hm包

Ar-»OAxAr->°M

我们称它为函数y=/(x)在工=/出的导数，记作/,(%)或y,

即.(与)=limf(飞+")一£(飞)

-Ax

说明：(1)导数即为函数片《用在广府处的瞬时变化率

(2)Ax=x-x0,当AxfO时，X—玉)，所以/'(%)=lim~"~))

AXTOx—%

4、一般地，求函数f(x)在x=x0处的导数有哪几个基本步骤？

第一步,求函数值增量:Ay=f(x+")-f(x0);

第二步，求平均变化率：也=/(x0)

VxVx

第三步，取极限，求导数：=lim也

0V.v®0Vx

5、常见结也:(1)hm-----------=f4七、)(2)lim——--------------=-

X®"x-X(1°Vx缈0Vx

.„./U+2Vx)-/(x)f{x+/nV%)-/(x)m

(3)lim―2o--------------=2/1也)(4)lim—2---------------=

'v*®oVx0v*®o〃Vxn°

三、典例分析

例1.(1)求函数尸3屋在A=1处的导数.

分析：先求△/=*1+△*)-{1)=6AA+(AA)2

再求包=6+AA-再求lim^=6

AxAx

解：法一(略)

3r2-3.123(Y2-I2)

法二：yi1=lim———=lim^_^=lim3(x+l)=6

I】X—lXfX—1

(2)求函数^=-x2+x在x=-l附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.

械.△)'-(-1+Ax)2+(-l+Ar)-2

解：——=--------------------------=3-Ax

AxAx

7.fzAy-(-1+Ax)?+(-1+Ax)-2

f(-1n)=lrim——=---------------------=lim(3-Ax)=3

AxAxno

例2.(课本例1)将原油精炼为汽油、柴油、塑胶等各种不同产品，需要对原油进行冷却

和加热，如果第皿时，原油的温度(单位：C)为/(X)=X2—7X+15(0<X<8)，计算

第2〃时和第6〃时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

解：在第2。时和第6〃时，原油温度的瞬时变化率就是/(2)和1(6)

根据导数定义，竺="2+©).(/)

AxAx

(2+AJC)2-7(2+AX)+15-(22-7X2+15).

=---------------------------------=AAx-3

Ar

所以f'(2)=1而竺=lim(Ax-3)=-3

AxfOXAr—>0

同理可得:八6)=5

在第2〃时和第6〃时，原油温度的瞬时变化率分别为-3和5,说明在2/7附近，原油温度大

约以3C/力的速率下降，在第6〃附近，原油温度大约以5C/〃的速率上升.

注：一般地，/'(%)反映了原油温度在时刻与附近的变化情况.

四.课堂练习

1.质点运动规律为$=产+3,求质点在r=3的瞬时速度为.

2.求曲线片｛A)=X3在X=1时的导数.

3.例2中，计算第3〃时和第5/?时，原油温度的瞬时变化率，并说明它们的意义.

五.回顾总结

1.瞬时速度、瞬时变化率的概念

2.导数的概念

六.布置作业

课题：导数的几何意义

教学目标：

1.了解平均变化率与割线斜率之间的关系；

2.理解曲线的切线的概念；

3.通过函数的图像直观地理解导数的几何意义，并会用导数的几何意义解题;

教学重点：曲线的切线的概念、切线的斜率、导数的几何意义；

教学难点：导数的几何意义.

教学过程：

-.复习引入

1、函数f(x)在x=xo处的导数的含义是什么？

/(x°+Vx)〃x°)

小。)=轲总lim

V.i0

2、求函数f(x)在x=xo处的导数有哪几个基本步骤？

3、导数f'(xo)表示函数f(x)在x=x0处的瞬时变化率，这是导数的代数意义，导数是否具有

某种几何意义，是一个需要探究的问题.

-.知识探究

探究一：导数的几何意义

1、曲线的切线及切线的斜率：如图3.1-2,当J(x“))(〃423,4)沿着曲线/(x)趋

近于点P(x0,/(x0))时，割线PPn的变化趋势是什么？

我们发现,当点匕沿着曲线无限接近点尸即AAO时，割线P4趋近于确定的位置，这个

确定位置的直线尸厂称为曲线在点尸处的切线.

问题：⑴割线PP“的斜率筋与切线尸T的斜率k有什么关系?

⑵切线尸厂的斜率女为多少？

容易知道，割线P巴的斜率是心=/^上”以，当点2沿着曲线无限接近点尸时，心无

/To

限趋近于切线尸厂的斜率k，即Z=lim"/十.）-/（"0）=/（龙0）

说明：

⑴、设切线的倾斜角为a,那么当AAO时，割线PQ的斜率，称为曲线在点尸处的切线的斜率.

这个概念：①提供了求曲线上某点切线的斜率的一种方法；

②切线斜率的本质一函数在x=%。处的导数.

⑵、曲线在某点处的切线：

①、与该点的位置有关；②、要根据割线是否有极限位置来判断与求解。如有极限,则在此

点有切线，且切线是唯一的；如不存在，则在此点处无切线；③、曲线的切线，并不一定与曲线

只有一个交点，可以有多个，甚至可以无穷多个.

2、导数的几何意义：

函数万0)在后即处的导数等于在该点(%,/(%))处的切线的斜率，

即：八%)=lim"为+为)=k

说明：求曲线在某点处的切线方程的基本步骤：

①、求出尸点的坐标；

②、求出函数在点/处的变化率广岛)=lim"*+&)二"*'=%，得到曲线在点

心一°Ax

(%,/(%))的切线的斜率；

③、利用点斜式求切线方程.

探究二；导函数概念：

1、导函数定义：

由函数/W在X府处求导数的过程可以看到，当X=XO时,/''(%)是一个确定的数，那么,

当X变化时，便是X的一个函数，我们叫它为4M的导函数.记作：/'(X)或了，

即：/(X)="lim/a+8)/(x)

AEAX

注：在不致发生混淆时，导函数也简称导数.

2、函数/(x)在点/处的导数/'(%)、导函数尸(x)、导数之间的区别与联系。

1)函数在一点处的导数/'(%)，就是在该点的函数的改变量与自变量的改变量之比的极限，

它是一个常数，不是变数。

2)函数的导数，是指某一区间任意点x而言的，就是函数f(x)的导函数

3)函数/(x)在点/处的导数/'(%)就是导函数/(无)在x=x0处的函数值，这也是求函

数在点端处的导数的方法之一。

三.典例分析

例1：(1)求曲线片4用=晨+1在点仅1,2)处的切线方程.

(2)求函数片3/在点(1,3)处的导数.

[(]+Ax)2+i](i2+i)「2Ax+Ax~

解：(1)y'L=!呵=lim--------二2,

AxA%

所以，所求切线的斜率为2,因此，所求的切线方程为丫-2=2(工一1)即2元一y=0

3r2-3123(x2-I2)

(2)因为/1_,=lim--------=lim--------=lim3(尤+1)=6

Jex-l—x-i-

所以所求切线的斜率为6,因此所求的切线方程为y—3=6(x—1)即6x—y—3=0

练习：求函数/(A)=-X2+x在x=—l附近的平均变化率，并求出在该点处的导数.

解：包=-(-1+/2+(-1+~)-2=3_三

MAx

Ay—(—1+Ax)"+(—1+Ax)—2.

f(-1n)=r----------=lrim(3-AAJC)

例2.(课本例2)如图3.1-3,它表示跳水运动中高度随时间

变化的函数〃(％)=-4.9/+6.5》+10,根据图像，请描述、

比较曲线〃«)在0、4、t2附近的变化情况.

解：我们用曲线饵。在f。、4、处的切线，刻画曲线〃（。在上述三个时刻附近的变化情

况.

（1）当/="时，曲线人«）在办处的切线/。平行于X轴，所以，在/=%附近曲线比较平

坦，几乎没有升降.

（2）当r=4时，曲线〃«）在八处的切线4的斜率〃'亿）＜0,所以，在f=4附近曲线下

降，即函数〃。）=一4.9/+6.5彳+10在f=4附近单调递减.

（3）当/=»2时，曲线力”）在与处的切线4的斜率〃'«2）＜0，所以，在f=f2附近曲线下

降，即函数/?（无）=一4.9/+6.5》+10在r=L附近单调递减.

从图3.1-3可以看出，直线《的倾斜程度小于直线的倾斜程度，这说明曲线在4附近比

在q附近下降的缓慢.

例3.（课本例3）如图3.1-4,它表示人体血管中药物浓度c=.f（r）（单位：加g/〃4）随时

间f（单位：min）变化的图象.根据图像，估计7=0.2,0.4,0.6,0.8时，血管中药物浓

度的瞬时变化率（精确到0.1）.

解：血管中某一时刻药物浓度的瞬时变化率，就是药物浓度,/■⑺在此时刻的导数，从图

像上看，它表示曲线/⑺在此点处的切线的斜率.

如图3.1-4,画出曲线上某点处的切线，利用网格估计这条切线的斜率，可以得到此时刻药

物浓度瞬时变化率的近似值.

作r=0.8处的切线，并在切线上去两点，如（0.7,0.91）,（1.0,0.48）,则它的斜率为：

0.48-0.91

k-

1.0-0.7

所以/'(0.8)a—1.4

下表给出了药物浓度瞬时变化率的估计值:

t0.20.40.60.8

药物浓度瞬时变化率/'(f)0.40-0.7-1.4

四.课堂练习

1.求曲线片在点(1,1)处的切线；

2.求曲线y=4在点(4,2)处的切线.

五.回顾总结

1.曲线的切线及切线的斜率；

2.导数的几何意义

六.布置作业

课后记

课题：几个常用函数的导数

教学目标：

1.使学生应用由定义求导数的三个步骤推导四种常见函数＞=。、y=x、y=/、y=-

x

的导数公式；

2.掌握并能运用这四个公式正确求函数的导数.

教学重点：四种常见函数y=c、y=x、y=K、＞的导数公式及应用

X

教学难点：四种常见函数y=c、y=x、y=y=’的导数公式

X

教学过程：

-.复习引入

1、导数/电%）的几何意义是什么？

2、如何求函数f（x）的导函数？

3、我们知道，导数的几何意义是曲线在某一点处的切线斜率，物理意义是运动物体在某一

时刻的瞬时速度.那么，对于函数y=/（x）,如何求它的导数呢？由导数定义本身，给出

了求导数的最基本的方法，但由于导数是用极限来定义的，所以求导数总是归结到求极限这

在运算上很麻烦，有时甚至很困难，为了能够较快地求出某些函数的导数，这一单元我们将

研究比较简捷的求导数的方法，下面我们求几个常用的函数的导数.

二.知识探究

1.函数y=f（x）=c的导数

⑴根据导数定义，因为包=上以）二/（X）==o,

AvAJCAr

所以y'=lim"=limO=O

Ax->oA,AJ：—>o

⑵y'=0表示函数y=c图像（图3.2-1）上每一点处的切线的斜率都为。.若y=c表示路

程关于时间的函数，则y'=0可以解释为某物体的瞬时速度为0，即物体一直处于静止状态.

2.函数y=/（x）=x的导数

⑴因为"=二f⑴=五以二=］。

MMAr

所以y'=lim竺==l

Atf0.丫Ar->0

⑵y=l表示函数y=x图像（图3.2-2）上每一点处的切线的斜率都为1.若y=x表示路

程关于时间的函数，则y'=l可以解释为某物体做瞬时速度为1的匀速运动.

3.函数y=/（幻=/的导数

⑴因为包=①仝匕皿=宜3^=2x+-

函数导数

AxArAr

7y=2x

所以y'=lim—=lim(2x+Ax)=2x

Ar->oA,Axfo

⑵y'=2x表示函数y=V图像(图3.2-3)上点(x,y)处的切线的斜率都为2x,说明随着

x的变化，切线的斜率也在变化.另一方面，从导数作为函数在一点的瞬时变化率来看，表

明：当x<0时，随着x的增加，函数y=/减少得越来越慢；当%〉0时，随着1的增加，

函数y=d增加得越来越快.若丫=/表示路程关于时间的函数，则y'=2x可以解释为某

物体做变速运动，它在时刻x的瞬时速度为2x.

4.函数y=/(x)=4的导数

x

1____J

因为包=/(x+Ax)-/(x)=x+8-1=x-(尤+Ax)=_]

AxAxAxx(x+Ar)Axx2+x-Ar

P、I,..Ay1.1

所以y=lim—=limz(——：-------)=——弓

ADAx2°x+x-Axx

函数导数

1y=_X

丁二一J2

XX~

(2)推广：若y=/(x)=xH{neQ*),则f\x)=njc"-'

三.课堂练习

1.课本P13探究1；2.课本P13探究2;3.求函数y=4的导数

四.回顾总结

五.布置作业

课题：基本初等函数的导数公式及导数的运算法则

教学目标：

1.熟练掌握基本初等函数的导数公式；掌握导数的四则运算法则；

3.能利用给出的基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数.

教学重点：基本初等函数的导数公式、导数的四则运算法则

教学难点：基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则的应用

教学过程：

-.复习引入

1、四种常见函数^=。、y=x、y=y=’的导数公式及应用

X

二.知识探究

探究一：基本初等函数的导数公式表

函数导数

y=cy=0

y=/(x)=x"(〃GQ*)y=nx"T

y=sinxy=cosx

y=cosxy=-sinx

y=/(x)=优y=ax-In(t7>0)

y=/(x)=ex>'=ex

f(x)=log(,X/(x)=-—(a>0且aw1)

xln。

f(x)=InXf(x)=L

X

探究二：导数的运算法则

导数运算法则

1."(x)±g(x)]=/'(x)±g'(x)

2.[/(x>g(x)]=/'(x)g(x)±/(x)g'(x)

特别:[</(x)]=cf'(x)

3.WJ")—-,，。％”。)

Lg(x)」[g(切

三.典例分析

例1.假设某国家在20年期间的年均通货膨胀率为5%，物价p(单位：元)与时间t(单

位：年)有如下函数关系p(f)=Po(l+5%)',其中p0为r=0时的物价.假定某种商品的

p0=l,那么在第10个年头，这种商品的价格上涨的速度大约是多少(精确到0.01)?

解：根据基本初等函数导数公式表，有p'(f)=LO5'lnl.O5

所以p(10)=1.05'°In1.05«0.08(元/年)

因此，在第10个年头，这种商品的价格约为0.08元/年的速度上涨.

例2.根据基本初等函数的导数公式和导数运算法则，求下列函数的导数.

(1)y=*3_2x+3(2)y=-----;(3)y=x-sinx-\nx;

1+y/~X1—Vx

(4)y=^；(5)y=\*nA.(6)y=(2*-5x+1)6

AA1iv

4X1+lnx

sinx-xcosx

(7)y=

cosx+xsinx

说明：①求导数是在定义域实行的.②求较复杂的函数积、商的导数，必须细心、耐心.

例3、日常生活中的饮水通常是经过净化的.随着水纯净度的提高，所需净化费用不断增

加.已知将1吨水净化到纯净度为x%时所需费用为：c(x)=薇4(80<%<100)

100-x

求净化到下列纯净度时，所需净化费用的瞬时变化率:(1)90%(2)98%

解：略

四.课堂练习

1.课本P92练习

2.已知曲线C:y=3*4-29*+4,求曲线。上横坐标为1的点的切线方程；

(y=-12x+8)

五.回顾总结

(1)基本初等函数的导数公式表

(2)导数的运算法则

六.布置作业

课后记

课题：复合函数的求导法则

教学目标：理解并掌握复合函数的求导法则.

教学重点：复合函数的求导方法：复合函数对自变量的导数，等于已知函数对中间变量的导

数乘以中间变量对自变量的导数之积.

教学难点：正确分解复合函数的复合过程，做到不漏，不重，熟练，正确.

教学过程:

-.复习引入

1、基本初等函数的导数公式表

函数导数

y=cy=0

y=fM=x"(,n^Q*)y=rvcn~1

y=sinxy=cosx

y=cosxy=-sinx

y==axy=优•Ina(a>0)

y=f(x)=exy=ex

=log”X/(x)=log,,V(x)=(a>。且a*1)

xlna

1

f(x)=\nx/a)=-

X

2、导数的运算法则

导数运算法则

1-J(x)±g(x)]=/'(x)±g'(x)

2-f(x)-g(x)]=/(x)g(x)±/(x)g'(x)

特别：=c/'(x)

~/U)~

3.=/'Q)g(x)一斗幻g'Q)(g(x)#o)

.g(幻一[g(切

二、知识探究

1、复合函数的概念：一般地，对于两个函数＞=/(〃)和M=g(X)，如果通过变量〃，)，可

以表示成X的函数，那么称这个函数为函数y=/(M)和M=g(x)的复合函数，记作

y=/(g(x))。

2、下列函数可以看成那两个函数复合而成？

(1)y=ln(x2+3)(2)y=(2x+3)3(3)y=sin(ax+1)

3、复合函数的导数：复合函数y=/(g(x))的导数和函数y=.f(M)和”=g(x)的导数间

的关系为"'=第'-％'，即)对x的导数等于)，对〃的导数与“对x的导数的乘积.

若y=/(g(x))，则了=[/(8。))]'=/'他(幻"'(尤)

三.典例分析

例1求下列函数的导数：

0Mx+

(1)y=(2x+3)3；(2)y=e'

(3)y=sin(px+/)(4)y=ln(3x+2).

例2求y二:的导数.

W-2ax

例3求y=sin4%+cos的导数.

【解法一】y=sinAx+cos4x=(sin2x+cos2A)2-2sin2cos2x=1-^-sin22x

131

=1—(1-cos4x)=—+—cos4%.y=-sin4x.

444

【解法二】y二(sin4刈+(cos4A/=4sin3MsinA)Z+4cos3x(cos=4sin3xcos%+4

cos3x(-sinA)=4sinxcosx(sin2x-cos2A)=-2sin2xcos2x=-sin4x

例4曲线y=x(x+1)(2・x)有两条平行于直线y的切线，求此二切线之间的距离.

【解】y=->3+*2+2x/=-3x2+2%+2令〃=1即3*・2x-1=0,解

1114

得x二•一或x=1.于是切点为尸(1,2),。(•一，——),

3327

过点尸的切线方程为，y・2=x-1即x-y+1=0.

114一

I-彳+——I-11]£

显然两切线间的距离等于点Q到此切线的距离，故所求距离为一3—/一=—V2.

V227

四.课堂练习

qin2r

1.求下列函数的导数(1)y=sin*+sin33x;(2)y=----------;(3)log„(x2-2)

2x-l

2.求ln(2/+3x+l)的导数

五.回顾总结

六.布置作业

课题：函数的单调性与导数

教学目标：

1.了解可导函数的单调性与其导数的关系；

2,能利用导数研究函数的单调性，会求函数的单调区间，对多项式函数一般不超过三

次；

教学重点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间

教学难点：利用导数研究函数的单调性，会求不超过三次的多项式函数的单调区间

教学过程：

-.情景导入

函数是客观描述世界变化规律的重要数学模型，研究函数时，了解函数的增与减、增减

的快与慢以及函数的最大值或最小值等性质是非常重要的.通过研究函数的这些性质，我们

可以对数量的变化规律有一个基本的了解.下面，我们运用导数研究函数的性质，从中体会

导数在研究函数中的作用.

二.知识探究

1.问题：图3.3-1(1),它表示跳水运动中高度/?随时间f变化的函数

力(。=-4.6+6f字的图像，图3.3-1(2)表示高台跳水运动员的速度I，随时间f变化

的函数丫«)="。)=一9.8f+6.5的图像.

运动员从起跳到最高点，以及从最高点到入水这两段时间的运动状态有什么区别？

通过观察图像，我们可以发现：

⑴、运动员从起点到最高点，离水面的高度〃随时间/的增加而增加，

即是增函数.相应地，v(t)=h(t)>0.

⑵、从最高点到入水，运动员离水面的高度”随时间/的增加而减少，

即小«)是减函数.相应地，v(t)=h(t)<Q.

2.函数的单调性与导数的关系

观察下面函数的图像，探讨函数的单调性与其导数正负的关系.

如图3.3-3,导数表示函数/(尤)在点(%,为)处的孙籍的颔子

y=fM

在x=x0处，/'(x0)>0,切线是“左下右上”式的，这时懵;

在工=%处，/(x0)<0,切线是“左上右下”式的，这时，友.

(x,./(x,))

结论：函数的单调性与导数的关系

在某个区间(a,〃)，如果f\x)>0,那么函数y=/(x)在这个区间单调递增；如果

/(x)<0,那么函数y=/(x)在这个区间单调递减.

说明：(1)特别的，如果/(x)=0,那么函数y=/(x)在这个区间是常函数.

3.求解函数y=/(x)单调区间的步骤：

(1)确定函数y=/(x)的定义域；

(2)求导数y=f\x);

(3)解不等式/'(乃>0，解集在定义域的部分为增区间；

(4)解不等式f(x)<0，解集在定义域的部分为减区间.

三.典例分析

例1.已知导函数/(X)的下列信息：当l<x<4时，f'(x)>Q;当x>4,或x<l时，

/(x)<0;当x=4,或x=l时，f(x)=O,试画出函数y=/(x)图像的大致形状.

解：当1<x<4时，/(%)>0,可知y=/(x)在此区间单调递增；

当x>4,或x<l时，f\x)<0;可知y=/(x)在此区间单调递减；

当x=4,或x=l时，/(x)=0,这两点比较特殊，我们把它称为“临界点”.

综上，函数y=/(x)图像的大致形状如图3.3-4所示.

例2.判断下列函数的单调性，并求出单调区间.

(1)f(x)=x3+3x;(2)f(x)=x2-2x-3

y.y=f(x)

(3)/(x)=sinx—xxe(O,万)；(4)f(x)=：

2

解：(1)因为/(x)=/+3x,所以，f'(X)=3x.i\

,~o~\i\*x

因此，/(x)=x3+3x在/?上单调递增，如图3.35、—LJ_________、

yI

l/(x)=x3+ax

(2)因为/(x)=x2—2x—3，所以，/(x)=2x-2=2(x-l)

当/(x)>0,即x>l时，函数/(幻=/一2%—3单调递增；

当f'(x)<0，即x<l时，函数/(幻=/一2》一3单调递减；

函数f(x)=x2—2x—3的图像如图3.3-5(2)所示.

(3)因为/(x)=sinx-xxe(O,»),所以，/(x)=cosx-l<0

因此，函数/(x)=sinx—x在(0,万)单调递减，如图3.3-5(3)所示.

(4)因为/(x)=2/+3/_24X+1,所以.

当f(x)>0,即时，函数/(X)=X2-2X-3;

当/'(X)<0,即时，函数/(x)=f-2x—3;

函数/(幻=2/+3/_24%+1的图像如图3.3-5(4)所示.

注：(31(4)生练

例3如图3.3-6,水以常速（即单位时间注入水的体积相同）注入下面四种底面积相同的

容器中，请分别找出与各容器对应的水的高度力与时间f的函数关系图像.

解：⑴一(3)，(2)一⑷，⑶,(0),(4)一(C)

思考：例3表明，通过函数图像，不仅可以看出函数的增减，还可以看出其变化的快慢.结

合图像，你能从导数的角度解释变化快慢的情况吗？

一般的，如果一个函数在某一围导数的绝对值较大，那么函数在这个围变化的快，这时，

函数的图像就比较“陡峭”；反之，函数的图像就'平缓”一些.

如图337所示，函数y=/(x)在(0,。)或(a,0)的图像“陡峭”，在(d+oo)或(—。,“)的

图像“平缓’,

例4求证：函数>=2》3+3/—12尤+1在区间(―2,1)是减函数.

证明：因为y=6/+6%—12=6(%2+X-2)=6(X—1)(X+2)

当2,1)即—2<X<1时，y<0，所以函数y=2V+3/—I2x+1在区间(―2,1)是

减函数.

说明：证明可导函数/(X)在(华人)的单调性步骤：

(1)求导函数f(x);(2)判断/(X)在(4,0)的符号;

(3)做出结论：f(x)>()为增函数，f(“<0为减函数.

2

例5、已知函数/(处=以+处2――在区间［—1,1］上是增函数，求实数。的取值围.

解：f'(x)=4+2ax-2x2，因为/(